牛吃草问题练习及答案
解析
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牛吃草问题
历史起源：英国数学家牛顿(1642—1727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的着作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。
主要类型：
1、求时间
2、求头数
除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。
基本思路：
①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。
②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。
③根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”，求出只数。
基本公式：
解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶?
(1)草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数－吃的较少天数)；
(2)原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`
(3)吃的天数＝原有草量÷(牛头数－草的生长速度)；
(4)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度
第一种：一般解法
“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。”
一般解法：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：
(1)27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162(这162包括牧场原有的草和6天新长的草。)
(2)23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207(这207包括牧场原有的草和9天新长的草。)
(3)1天新长的草为：(207－162)÷(9－6)＝15
(4)牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72
(5)每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷(21－15)＝72÷6＝12(天)
所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。
第二种：公式解法
有一片牧场，草每天都匀速生长(草每天增长量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草(2)要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛
解答：
1)草的生长速度：(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份)
原有草量：21×8-12×8=72(份)
16头牛可吃：72÷(16-12)=18(天)
2)要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数
所以最多只能放12头牛。
例题一一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？
解：把每天每头牛吃的草量看成“1”。
第6周时总草量为：6×27＝162
第9周时总草量为：9×23＝207
3周共增加草量：207－162＝45
每周新生长草：45÷（9－6）＝15 即每周生长出的草可以供15头牛吃。
原有草量为：162－6×15＝72
所以可供21头牛吃：72÷（21－15）＝12（周）
随堂练习：
1、牧场上有一片草地，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，问可供25头牛吃几天？
解：20天时草地上共有草：10×20＝200
10天时草地上共有草：15×10＝150
草生长的速度为：（200－150）÷（20－10）＝5
即每天生长的草可供5头牛吃。
原草量为：200－20×5＝100
可供25头牛吃：100÷（25－5）＝5（天）
2、一片草地，每天都匀速长出青草。如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天吃完。那么可供19头牛吃几天？
解：6天时共有草：24×6＝144
10天时共有草：20×10＝200
草每天生长的速度为：（200－144）÷（10－6）＝14
原有草量：144－6×14＝60
可供19头牛： 60÷（19－14）＝12（天）
3、一片牧场长满草，每天匀速生长，这片牧场可供5头牛吃8天，可供14头牛吃2天，问可供10头牛吃几天？
解：8天时草的总量为：5×8＝40
2天时草的总量为：14×2＝28
草每天生长的速度为：（40－28）÷（8－2）＝2
即每天生长的草可供2头牛吃。
草地上原有的草为：28－2×2＝24
可供10头牛吃：24÷（10－2）＝3（天）
4、某牧场上的草，若用17人去割，30天可以割尽，若用19人去割，则只要24天便可割尽，问用多少人割，6天可以割尽（草匀速生长，每人每天割草量相同）
解：（17×30－19×24）÷（30－24）＝9
17×30－9×30＝240
240÷6＋9＝49（人）
5、武钢的煤场，可储存全厂45天的用煤量。当煤场无煤时，如果用2辆卡车去运，则除了供应全厂用煤外，5天可将煤场储满；如果用4辆小卡车去运，那么9天可将煤场储满。如果用2辆大卡车和4辆小卡车同时去运，只需几天就能将煤厂储满（
假设全厂每天用煤量相等。）
解：（45＋5）÷5＝10 （45＋9）÷9＝6 45÷（10＋6－1）＝3（天）
6、林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光（
假定野果生长的速度不变）【浙江2007】4
解：（21×12－23×9）÷（12－9）＝15
23×9－15×9＝72
72÷（33－15）＝4（周）
7、一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？
解：（10×20－15×10）÷（20－10）＝5
10×20－20×5＝100
100÷5＋5＝25（头）
例题二由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长多，反而以固定的速度在减少，照这样计算，某牧场草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天，那么，可供多少头牛吃10天？
解：5天时草地上共有草：5×20＝100
6天时草地上共有草：6×15＝90
每天草地上的草减少：（100－90）÷（6－5）＝10
原草量为：100＋5×10＝150
10天后还剩下的草量： 150－10×10＝50
50÷10＝5（头）
随堂练习：
1、因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，或可供24头牛吃6天。照这样计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？
解：5天时草地上共有草：33×5＝165
6天时草地上共有草：24×6＝144
每天减少：（165－144）÷（6－5）＝21
原有的草量为：165＋5×21＝270
10共减少了：21×10＝210
10天后剩草量为：270－210＝60
60÷10＝6（头）
2、天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么可供11头牛吃几天？
解：5天时共有草：20×5＝100
6天时共有草：16×6＝96
草减少的速度为：（100－96）÷（6－5）＝4
原有的草量为：100＋4×5＝120
可供11头牛吃：120÷（11＋4）＝8（天）
3、因为天气日渐寒冷，牧场上的草不但不生长，反而以固定的速度每天在减少。如果20头牛去吃20天可以吃完；如果30头牛去吃15天可以吃完。那么，如果10头牛去吃____天可以吃完。
解：（ 30×15－20×20）÷（20－15）＝10
20×20＋10×20＝600
600÷（10＋10）＝30（天）
答：10头牛去吃30天可吃完。
4、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供12头牛吃7天。照此计算，可供6头牛吃几天？
解：
假设1头牛1天吃1份的草
20头牛5天一共吃了：20×5=100 份的草
12头牛7天一共吃了：12×7=84 份的草
时间相差：7-5=2 （天）
草量减少：100-84=16 份的草
说明，一天减少：16÷2=8 份的草
5天减少了：8×5=40 份的草
原来牧场上有：100+40=140 份的草
这140份的草，可供6头牛吃：140÷(6+8)=10(天)
例题三自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问该扶梯共有多少级台阶？
解：5分钟时男孩共走了：20×5＝100（台阶）
6分钟时女孩共走了：15×6＝90（台阶）
自动扶梯的速度为：（100－90）÷（6－5）＝10（台阶）
自动扶梯共有：100＋5×10＝150（台阶）
随堂练习：
1、两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走，在20秒里，男孩可走27级台阶，女孩可走24级台阶，男孩走了2分钟到另一端，女孩走了3分钟到达另一端，该扶梯共有多少级台阶？
解：男孩共走了：2×60÷20×27＝162
女孩共走了：3×60÷20×24＝216
自动扶梯的速度：（216－162）÷（3－2）＝54（台阶）
162－54×2＝54
2、自动扶梯以均匀的速度行驶着，小明和小红要从扶梯上楼。已知小明每分钟走25级台阶，小红每分钟走20级台阶，结果小明用5分钟，小红用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？
解：5分钟小明共走了：25×5＝125
6分钟小红共走了：20×6＝120
自动扶梯的速度为：（125－120）÷（6－5）＝5
该扶梯的台阶：125＋5×5＝150（台阶）
3、自动扶梯以均匀的速度行驶着，小明和小红要从扶梯上楼。已知小明每分钟走20级台阶，小红每分钟走14级台阶，结果小明用4分钟，小红用了5分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？
解：5分钟小明共走了：20×4＝80
6分钟小红共走了：14×5＝70
自动扶梯的速度为：（80－70）÷（6－5）＝10
该扶梯的台阶：80＋10×4＝120（台阶）
4、自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个性急的孩子嫌扶梯走得慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上，女孩用60秒到达楼上。该扶梯共有多少级？
解：（50×1－60÷3×2）÷（60－50）＝1
50×1＋50×1＝100（级）
例题四一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入舱内，发现漏洞时已经进了一些水，如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想2小时舀完水，需要多少人？
解：把每个人每小时的舀水量看成单位‘1’
3个小时后共有水：12×3＝36
10个小时后共用水：5×10＝50
每小时的进水量：（50－36）÷（10－3）＝2
发现时船舱内有水：36－3×2＝30
原水量舀完共需：30÷2＝15（人）
共需：15＋2＝17（人）
随堂练习：
1、一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时可淘完；5人淘水8小时可淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？
解：3小时后共有水：3×10＝30
8小时后共有水：8×5＝40
进水速度为：（40－30）÷（8－3）＝2
原有水量为：30－3×2＝24
24÷2＝12（人） 12＋2＝14（人）
2、有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔，底面有个出水孔，两孔同时打开后，如果每小时注水30立方米，7小时可以注满水箱；如果每小时注水45立方米，注满水箱可少用小时。那么每小时由底面小孔排水多少立方米（
每小时排水量相同）
解：7小时共注水：7×30＝210（立方米）
小时共注水：（7－）×45＝（立方米）
排水速度为：（210－）÷（7－）＝3（立方米）
3、一水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可以把水抽干。那么有25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？
解：20小时共抽水：10×20＝200
10小时共抽水：15×10＝150
泉水涌出的速度为：（200－150）÷（20－10）＝5
原有水量为：200－20×5＝100
25部可以在：100÷（25－5）＝5（小时）
4、有一眼泉井，用功率一样的3台抽水机去抽井水，同时开机，40分钟可以抽干；用同样的6台抽水机去抽，则只需要16分钟就可以抽干，那么用同样的抽水机9台，几分钟可以抽干？
解：（3×40－6×16）÷（40－16）＝1
16×6－16×1＝80
80÷（9－1）＝10（分钟）
例题4 有一口水井，连续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果使用3台抽水机来抽水，36分钟可以抽完；如果使用5台抽水机来抽水，20分钟可抽完。现在12分钟内要抽完井水，需要抽水机多少台？
解：36分钟时的总水量为：3×36＝108
20分钟时的总水量为：5×20＝100
涌水的速度为：（108－100）÷（36－20）＝
原水量为：100－20×＝90
90÷12＝（台）＋＝8（台）
随堂练习：
1、一艘轮船发生漏水事故，船长立即安排两部抽水机同时向外抽水，当时已经漏了500桶水，一部抽水机每分钟抽水18桶，另一部每分钟抽水12桶，经过25分钟把水抽完，问每分钟漏进水多少桶？
解：25分钟共抽水：（18＋12）×25＝750（桶）
25分钟共漏水：750－500＝250（桶）
每分钟漏水：250÷25＝10（桶）
2、有一口井，连续不断涌出泉水，每分钟涌出的泉水量相等。如果用4台抽水机来抽水，40分钟可以抽完；如果用5台抽水机来抽水，30分钟可以抽完。现在要求24分钟内抽完井水，需要抽水机多少台？
解：40分钟抽水量为：40×4＝160
30分钟抽水量为：30×5＝150
泉水的速度为：（160－150）÷（40－30）＝1
原有的水量为：160－40×1＝120
24分钟抽完原水量需： 120÷24＝5（台）
共需：5＋1＝6（台）
3、有一口井，连续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等，若用4台抽水机15分钟可抽完。若用8台抽水机7分钟可抽完，现用11台抽水机多少分钟可抽完？
解：15分钟时抽出的水为：4×15＝60
7分钟时抽出的水位：7×8＝56
泉水的速度为：（60－56）÷（15－7）＝
原有的水为：60－15×＝
÷（11－）＝5（分钟）
4、一个水池安装有排水量相等的排水管若干根，一根入水管不断地往池里放水，平均每分钟入水量相等。现在如果开放3根排水管45分钟可把池中水排完，如果开放5根排水管25分钟可把池中水排完。如果开放8根排水管，几分钟排完池中的水？
解：45分钟时共排水：45×3＝135
25分钟时共排水：5×25＝125
每分钟进水速度为：（135－125）÷（45－25）＝
原有水为：125－25×＝
÷（8－）＝15（分钟）
5、一个水库水量一定，河水匀速流入水库。5台抽水机连续20天可抽干，6台同样的抽水机15天可抽干。若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？
解：20天共抽水：20×5＝100
15天共抽水：15×6＝90
进水的速度为：（100－90）÷（20－15）＝2
原有水为：100－2×20＝60
60÷6＝10（台） 10＋2＝12（台）
6、一个水池，池底有水流均匀涌出．若将满池水抽干，用10台水泵需2小时，用5台同样的水泵需7小时，现要在半小时内把满池水抽干，至少要这样的水泵多少台？
解：设每台水泵每小时抽水量为一份．
（1）水流每小时的流入量：
（5×7-10×2）÷（7-2）=3（份）
（2）水池原有水量：
5×7-3×7=14（份）
或 10×2-3×2=14（份）
（3）半小时内把水抽干，至少需要水泵：
（14+3×）÷=31（台）
例题五有三块草地，面积分别为5公顷、6公顷和8公顷。草地上的草一样厚，而且长的一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天？
解：每公顷在第10天时共有草：11×10÷5＝22
每公顷在第14天时共有草：12×14÷6＝28
每公顷草每天生长的速度为：（28－22）÷（14－10）＝
8公顷每天生长的草为：×8＝12
每公顷的原草量为：22－10×＝7
8公顷原草量为：8×7＝56
原草量可供吃：56÷（19－12）＝8（天）
1、有3个长满草的牧场，每块地每公亩草量相同而且都是匀速生长。第一牧场33公亩，可供22头牛吃54天；第二牧场28公亩，可供17头牛吃84天；第三牧场40公亩，可供多少头牛吃24天？
解：54天时每亩有草量为：22×54÷33＝36
84天时每亩有草量为：17×84÷28＝51
每亩地草生长的速度为：（51－36）÷（84－54）＝
40亩地每天生长的草为：40×＝20
每亩地的原草量为：36－54×＝9
40亩地的原草量为：40×9＝360
360÷24＝15（头）
15＋20＝35（头）
2、一个农夫有2公顷、4公顷和6公顷三块牧场，三场牧场上的草长得一样密，而且长得一样快，农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，5天吃完了，农夫又将这8头牛赶到4公顷的牧场，15天又吃完了；最后，这8头牛又被赶到6公顷的牧场，这块牧场够吃多少天？解：5×8÷2＝20
15×8÷4＝30
（30－20）÷（15－5）＝1 1×6＝6 20－5×1＝15 15×6＝90
90÷（8－6）＝45（天）
3、有3片牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它的面积为31
3
公亩、10公亩和
24公亩。12头牛4星期吃完第一片牧场原有的和4星期内新长出来的草；21头牛9星期吃完第二片牧场原有的和9星期内新长出来的草。多少头牛18星期才能吃完第三片牧场原有的和新长出来的草？
解：4星期时每公亩共有草：12×4÷31
3
＝
9星期时每公亩共有草：21×9÷10＝ 每星期新长出的草为：（－）÷（9－4）＝ 每公亩原有的草量为：－4×＝ 24公亩每星期长出的草为：24×＝ 24公亩原有的草量为：24×＝ ÷18＝（头） ＋＝36（头）
4、12头牛28天可吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且生长量也相等）
解：28天时每公亩草地上有草：28×12÷10＝
63天时每公亩草地上有草：63×21÷30＝
每天每公亩草生长的速度为：（－）÷（63－28）＝
72公亩草地每天生长的草为：72×＝
每公亩原有草为：－28×＝
72公亩原有草为：72×＝
÷126＝（头）＋＝36（头）
5、有三块草地，面积分别是5、15、25亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，则第三块草地可供多少头牛吃60天？
解：30×10÷5＝60
28×45÷15＝84
（84－60）÷（45－30）＝
×25＝40
60－×30＝12
12×25＝300
300÷60＝5（头）
40＋5＝45（头）
6、12头牛4周吃完6公顷的牧草，20头牛6周吃完12公顷的牧草．假设每公顷原有草量相等，草的生长速度不变．问多少头牛8周吃完16公顷的牧草？
解：设1头牛吃一周的草量为一份．
（1）每公顷每周新长的草量：
（20×6÷12-12×4÷6）÷（6-4）=1（份）
（2）每公顷原有草量：
12×4÷6-1×4=4（份）
（3）16公顷原有草量：
4×16=64（份）
（4）16公顷8周新长的草量：
1×16×8=128（份）
（5）8周吃完16公顷的牧草需要牛数：
（128+64）÷8=24（只）
1、在一片牧场里，放养4头牛，吃6亩草，18天可以吃完：放养6头牛，吃10亩草，30天可以吃完，请问放入多少头牛，吃8亩草，24天可以吃完（假定这片牧场每亩中的原草量相同，且每天草的生长两相等）
解：4×18÷6＝12 6×30÷10＝18
（18－12）÷（30－18）＝ 8×＝4
12－18×＝3 3×8＝24
24÷24＋4＝5（头）
例题六某火车站的检票口，在检票开始前已有一些人排队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票，，一个检票口每分钟能让25人检票进站，如果只有一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队；如果有两个检票口，那么检票后多少分钟就没有人排队？
解：8分钟共检票：25×8＝200（人）
原有人数位：200－8×10＝120（人）
开两个窗口需时：120÷（25×2－10）＝3（分钟）