高中数学
上海市重点中学讲义汇编专题：数列+极限+平面向量
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积土成山，风雨兴焉；积水成渊，蛟龙生焉；积善成德，而神明自得，圣心备焉。故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。蚓无爪牙之利，筋骨之强，上食埃土，下饮黄泉，用心一也；蟹六跪而二螯，非蛇鳝之穴无可寄托者，用心躁也。是故无冥冥之志者无昭昭之明，无惛惛之事者无赫赫之功。行衢道者不至，事两君者不容。目不能两视而明，耳不能两听而聪。螣蛇无足而飞，梧鼠五技而穷。《诗》曰：“尸鸠在桑，其子七兮。淑人君子，其仪一兮。其仪一兮，心如结兮。”故君子结于一也。---------<<劝学>>(荀子)
§数列极限
【华师大二附中】
1、一个正数无穷等比数列{a }n 中，已知：1
2342
a a a a +++
≤
，则公比q ∈ . 2、设{a }n 是等差数列，记：*
12()n n n n b a a a n N ++=∈，设{}n S 是数列{}n b 的前n 项和，且有512380a a =>，
若{}n S 取最大值，则n = .
3、若数列{}n a 是等差数列，则数列n
a a a
b n
n +++=
21（*∈N n ）也为等差数列；类比上述性质，
相应地若数列{}n c 是等比数列，且0>n c ，则有=
n d
也是等比数列．
4、两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且
7453n n A n B n +=+，则77
a b = ． 5、用数学归纳法证明：
()
*,224
13
1312111N n n n n n n n ∈≥>++++++++ 的过程中， 从＂k 到1+k ＂左端需增加的代数式为 ( )
121.
+k A 221.+k B 221121.+++k k C 221
121D.+-+k k
6、若数列}{n a 前8项的值各异，且n 8n a a =+对任意的N n ∈都成立，
则下列数列中可取遍}{n a 前8项值的数列为 （ ） A 、}{12+k a
B 、}{13+k a
C 、}{14+k a
D 、}{16+k a
【七宝中学】
1、用数学归纳法证明2
2
1
11(1)1n n x x x x
x x
++-+++
+=≠-，在验证当1n =等式成立时，其左边为（ ） A 、1 B 、1x + C 、21x x ++ D 、23
1x x x +++
2、（2011年上海高考理14）已知点(0,0)O 、0(0,1)Q 和0(3,1)R ，记00Q R 的中点为1P ，取01Q P 和10P R 中的一
条，记其端点为1Q 、1R ，使之满足11(||2)(||2)0OQ OR --<；记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记其端点为2Q 、2R ，使之满足22(||2)(||2)0OQ OR --<；依次下去，得到点12,,
,,
n P P P ，则
0li m ||n n Q P →∞
= ．
3、如图所示：矩形n n n n A B P Q 的一边n n A B 在x 轴上，另两个顶点,n n P Q 在函数2
2()(0)1x
f x x x =
>+的图像上,（其中点n B 的坐标为()*
,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B P Q 的面积记为n S ，则lim n n S →∞
= .
4、已知点A 2220,
,0,,4,0B C n n n ??????-+ ? ? ??
?????
，其中n 为正整数，设Sn 表示△ABC 外接圆的面积， 则lim n n S →∞
= .
5、如图，已知b a ,是两条相交直线，由直线a 上一定点1P 作b P P ⊥21于点2P ，由2P 作a P P ⊥32于点3P ， 再由3P 作b P P ⊥43于点4P ，┅，这样无限继续下去，若7,8
3221
==P P P P ，求所有这些垂线段长度的总和？
a
b
P 1 P 2 P 3
P 4
【交大附中】
1、等比数列{}n a 中，1
1
lim a S n n =
∞
→，求1a 的取值范围 .
2、已知数列{}n a 是一个首项为a ，公比0>q 的等比数列，前n 项和为n S ，记1231-+++=n n a a a P ，
求n
n
n P S lim →∞的值= .
3、有一列正方体，棱长组成以1为首项，2
1
为公比的等比数列，体积分别记为?
?,,,,21m V V V 则=
+?++∞
→)(lim 21n n V V V .
4、设数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，4lim =∞→n n n b a ，则=+?++∞→n n
n na b b b 3221lim .
5、设???
??∈≥∈≤≤=-)
,3(,3
1)
,21(,2**1N n n N n n a n n n ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim .
6、P 1是长为G 的一条线段AB 的中点，BP 1的中点是P 2，P 1P 2的中点是P 3，依此类推，P n-2P n-1中点是P n ， 求AP n 的长，如果无限的进行下去，那么P n 的极限位置在哪里？
A
B
1
2
3
7、在如图，已知扇形AOB 的半径为a ，中心角为θ，从A 向半径OB 作垂线，垂足为B 1，由B 1作弦AB 的平行线，与OA 交于A 1，反复如此做，得到△ABB 1，△A 1B 1B 2，…，△A n B n B n+1，…，它们的面积分别为S 1，S 2，S 3，...，求所有这些面积的和。
【复旦附中】
1、如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为
2
1
的半圆得到图形2P ， 然后依次剪去一个更小的半圆（其直径是前一个被剪掉半圆的半径）可得图形 ,,,,43n P P P ， 记纸板n P 的面积为n S ，则=∞
→n n S lim _____________.
2、一条曲线是用以下方法画成：ABC ?是边长为1的正三角形，曲线1CA 、1223A A A A 、分别以A B C 、、为 圆心，12AC BA CA 、、为半径画的弧， 123CA A A 为曲线的第1圈，然后又以A 为圆心，3AA 为半径画弧
这样画到第n 圈，则所得曲线123
32313n n n CA A A A A A --的总长度n S 为 ( )
A. (31)n n π+
B. (1)3
n n π
+ C. 2(31)n π
- D. (1)n n π+
A
3、在xOy 平面上有一系列的点111222(,),(,),
,(,),
n n n P x y P x y P x y ，对于所有正整数n ，
点n P 位于函数2(0)y x x =≥的图像上，以点n P 为圆心的圆n P 与x 轴相切，且圆n P 与圆1n P +又彼此外切， 且1n n x x +<,则lim n n nx →∞
等于 .
4、在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得m T m a a =+对于任意非零正整数m 均成立，那么就称数列{}n a 为
周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期．已知周期数列{}n x 满足11n n n x x x +-=-(*
2,n n N ≥∈)且11x =，
2x a =(),0a R a ∈≠，当{}n x 的周期最小时，该数列前2016项和是 ．
【格致中学】
1、（2013年上海高考）如图，O 为直线02013A A 外一点，若0123452013,,,,,,,A A A A A A A 中任意相邻两点的
距离相等，
设0OA a =，2013OA b =，用,a b 表示0122013OA OA OA OA +++
+，其结果为 .
2
、设
c b a ,,是互不共线的非零向量，给出下列命题：①()
2b a ≤?；②(
)
2
22
b a b a ?=?；③若a a 33-=+， 则a 与b 垂直；④在等边△ABC 中，AB 与BC 的夹角为600，上述命题中正确命题个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3、若矩阵cos60sin60sin60cos60A ?-???= ?????
，????
?
? ??=21-2
323-
21-B ，则AB = . A 1
O
A 2
A 0
A 2013
4、定义1x ，2x ，…，n x 的“倒平均数”为n
x x x n
+++ 21（*N n ∈）．
（1）若数列}{n a 前n 项的“倒平均数”为
4
21
+n ，求}{n a 的通项公式；
（2）设数列}{n b 满足：当n 为奇数时，1=n b ，当n 为偶数时，2=n b ．若n T 为}{n b 前n 项的倒平均数，求n n T ∞
→lim ；
（3）设函数x x x f 4)(2
+-=，对（1）中的数列}{n a ，是否存在实数λ，使得当λ≤x 时，1
)(+≤
n a x f n
对任意*N n ∈恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．
【2015年一模选择填空精选】
1、（虹口区2015届）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q = .
2、（嘉定区2015届高三上期末）设数列}{n a 是等差数列，其首项11=a ，公差0 且对任意n *N ∈，总存在m * N ∈，使得m n a S =．则=d _______. 3、（金山区2015届高三上期末）等差数列{a n }中，a 2=8，S 10=185，则数列{a n }的通项公式a n = (n ∈N*)． 4、（静安区2015届高三上期末）已知数列{}n a 的通项公式1222+-+=n n n a （其中*N n ∈）， 则该数列的前n 项和=n S . 5、（普陀区2015届高三上期末）若无穷等比数列}{n a 的各项和等于公比q ，则首项1a 的最大值是 . 6、（青浦区2015届高三上期末）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若742S =，则4a = . 7、（松江区2015届高三上期末）在等差数列{}n a 中，15,652==a a ,则=++++108642a a a a a . 8、（徐汇区2015届高三上期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，*11 0()2 n n S a n N +-=∈， 则{}n a 的通项公式为 . 9、（杨浦区2015届高三上期末）已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则通项公式为n a =___________. 10、（浦东区2015届）等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若17017=S ，1197a a a ++则的值为 （ ） ()A 10 ()B 20 ()C 25 ()D 30 11、（徐汇区2015届高三上期末）某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n 类 *()n N ∈，分别编号为1,2,,n ，买家共有m 名*(,)m N m n ∈<，分别编号为1,2, ,m ．若 1,1,10,ij i j a i m j n i j ?=≤≤≤≤?? 第名买家购买第类商品 第名买家不购买第类商品， 则同时购买第1类和第2类商品的人数是（ ） A .1112121222m m a a a a a a ++ +++++ B.1121112222m m a a a a a a ++++++ + C.1112212212m m a a a a a a +++ D.1121122212m m a a a a a a ++ + 12、（杨浦区2015届高三上期末）对数列{}{},n n a b ，若区间[],n n a b 满足下列条件： ①[]11,n n a b ++≠ ?[]( )* ,n n a b n N ∈；②()lim 0n n n b a →∞ -=， 则称{} ,n n a b ????为区间套。下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ） A 12,23n n n n a b ==???? ? ?????； B. 21,31n n n n a b n ==+?? ??? C ．1 1,13n n n n a b n -==+?? ??? D ．32,21n n n n a b n n ++= =++ 13、（闸北区2015届高三上期末）已知等比数列}{n a 前n 项和为n S ，则下列一定成立的是 ( ) A ．若30a >，则20150a <； B ．若40a >，则20140a <； C ．若30a >，则20150S >； D ．若40a >，则20140S >． 专题2：平面向量拓展 【2016年二模选择填空精选】 一、填空题 1、（崇明县2016届高三二模）矩形ABCD 中，2,1AB AD ==，P 为矩形内部一点，且1AP =．若 AP AB AD λμ=+(,)R λμ∈，则2λ+的最大值是 ． 2、（奉贤区2016届高三二模）已知△ABC 中，2AB =， 3AC =，0AB AC ?<， 且△ABC 的面积为 3 2 ， 则BAC ∠=_______． 3、（黄浦区2016届高三二模）已知菱形ABCD ，若||1AB =，3 A π = ，则向量AC 在AB 上的投影为 4、（静安区2016届高三二模）已知△ABC 外接圆的半径为2，圆心为O ，且2AB AC AO +=，AB AO =， 则CA CB ?= . 5、（闵行区2016届高三二模）平面向量a 与b 的夹角为60?，1a =，(3,0)b =，则2a b += . 6、（闵行区2016届高三二模）若AB 是圆2 2 (3)1x y +-=的任意一条直径，O 为坐标原点， 则OA OB ?的值为 7、（浦东新区2016届高三二模）设,m n 分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量(,)a m n =，(1,1)b =-， 则a r 与b r 的夹角为锐角的概率是________ 8、（普陀区2016届高三二模）如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33C B 上有10个不同的点1021,,,P P P ，记i i AB M ?=2 （10,,2,1 =i ），则=+++1021M M M . 9、（徐汇、金山、松江区 2016届高三二模）已知平面上三点A 、B 、C 满足| ||=则AB BC BC CA CA AB ++的值等于_______________ 10、（杨浦区2016届高三二模）若向量a 、b 满足||1,||2a b ==，且a 与b 的夹角为π 3 ， 则||a b += 11、（闸北区2016届高三二模）在直角坐标系xoy 中，已知三点(,1),(2,),(3,4)A a B b C ，若向量OA ，OB 在向量OC 方向上的投影相同，则34a b -的值是 12、（虹口区2016届高三二模）在ABC ?中，a b c 、、分别是内角A B C 、、所对的边， 若2224ABC a b c S ?+-=（其中)ABC S ABC ??表示的面积，且0,AB AC BC AB AC ?? ?+?= ??? 则ABC ?的形状是 ( ) （A ）有一个角为30?的等腰三角形 （B ）等边三角形 （C ）直角三角形 （D ）等腰直角三角形 13、（浦东新区2016届高三二模）已知平面直角坐标系中两个定点(3,2),(3,2)E F -，如果对于常数λ， 在函数224,[4,4]y x x x =++-- ∈-的图像上有且只有6个不同的点P ，使得λ=?成立， 那么λ的取值范围是( ) （A ）95,5??-- ??? （B ）9,115?? - ? ? ? （C ）9,15??-- ??? （D ）()5,11- 14、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）已知a r ，b r 是平面内两个互相垂直的单位向量， 若向量c r 满足()()0c a c b -?-=r r r r ，则||c r 的最大值是（ ）． （A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）2 2 15、在锐角ABC ?中， 2sin sin sin( )sin( ).4 4 A B B B π π =++- (1) 求角A 的值； (2) 若12,AB AC ?=求ABC ?的面积. 16、设),(21a a a =，),(21b b b =，定义一种向量运算：),(2211b a b a b a =?，已知)2,2 1(a =， )0,4 (π =，点),(y x P 在函数x x g s in )(=的图像上运动，点Q 在函数)(x f y =的图像上运动，且满足 +?=（其中O 为坐标原点）。 （1）求函数)(x f 的解析式； （2）若函数b x f x a x h +-+ =)4(23sin 2)(2π ，且)(x h 的定义域为],2 [ππ，值域为]5,2[， 求b a , 的值。 17、已知O 是线段AB 外一点，若OA a =，OB b =. （1）设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，试用向量a 、b 表示OP OQ +； （2）如果在线段AB 上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论. 18、已知向量(sin ,cos )a x x =, (sin ,sin )b x x =， (1,0)c =-. （1）若3 x π = ，求向量a 、c 的夹角θ； （2）若3,84x ππ?? ∈-???? ，函数x f ?=λ)(的最大值为21，求实数λ的值. 上海市2016届二模汇编 一、填空、选择题 1、（崇明县2016届高三二模）若数列{}n a 是首项为1，公比为3 2 a -的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是 ． 2、（奉贤区2016届高三二模）无穷等比数列首项为1,公比为()0q q >的等比数列前n 项和为n S ，则lim 2n n S →∞ =， 则q =________． 3、（虹口区2016届高三二模）在正项等比数列{}n a 中，13234 1,,3 a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞+++= . 4、（黄浦区2016届高三二模）已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1 (,22,1,2,3, )k k i N i k +∈≤<=， 则满足2100i i a a +≥的i 的最小值为 5、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足181a =，1 311log ,2,(*)3 ,21 n n n a a n k a k N n k ---+=?=∈?=+?，则数列{} n a 的前n 项和n S 的最大值为 . 6、（闵行区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，22|2016|n S n a n =+-（0a >），则使得1 n n a a +≤（n ∈* N ）恒成立的a 的最大值为 . 7、（浦东新区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-?+，*n N ∈，则这个数列的前n 项 和n S =___________． 8、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为__________________． 9、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）对于给定的正整数n 和正数R ，若等差数列123,,, a a a 满足 22121 n a a R ++≤，则21222341n n n n S a a a a ++++=++++的最大值为__________________． 10、（杨浦区2016届高三二模）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且满足：174a a =，则数列2{log }n a 的前7项之和为 . 11、（闸北区2016届高三二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，13n n a S +=，则下列关于{} n a 的论断中正确的是（ ） A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列 C ．可能是等差数列，但不会是等比数列 D ．可能是等比数列，但不会是等差数列 12、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）已知各项均 为正数的数 列}{n a 满足23n n =+L （*N ∈n ），则12 231 n a a a n +++=+L ___________． 13、（崇明县2016届高三二模）下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题： （1）数列{}n a 是递增数列； （2）数列{}n n a 是递增数列； （3）数列n a n ?? ???? 是递减数列； （4）数列{}3n a nd +是递增数列． 其中的真命题的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 14、（奉贤区2016届高三二模）若数列{}n a 前n 项`和n S 满足( )2 * 1212,n n S S n n n N -+=+≥∈,且1 a x =，{} n a 单调递增，则x 的取值范围是_______． 15、（浦东新区2016届高三二模）任意实数,a b ，定义00ab ab a b a ab b ≥?? ?=? ?（）.数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且61a =，1239101()()()()()2f a f a f a f a f a a +++++=L ，则1a =_______． 极 限 的 概 念（4月27日） 教学目的：理解数列和函数极限的概念； 教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限； 教学难点：数列和函数极限的理解 教学过程： 一、实例引入： 例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析变化趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析变化趋势。 观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以任意地靠近A ，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。 二、新课讲授 1、数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数A （即A a n -无限趋近于0） ，那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作 A a n n =∞ →lim 注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。A a n n =∞ →lim 有时也记作当n →∞时，n a →A ②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？ 例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由 （1）1，21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1 +n n ，…； 数列的极限、数学归纳法 一、知识要点 （一） 数列的极限 1.定义：对于无穷数列{a n }，若存在一个常数A ，无论预选指定多么小的正数ε，都能在数列中找到一项a N ，使得当n>N 时，|an-A|<ε恒成立，则称常数A 为数列{a n }的极限，记作 A a n n =∞ →lim . 2.运算法则：若lim n n a →∞ 、lim n n b →∞ 存在，则有 lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞ →∞ →∞ ±=±；lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞ →∞ →∞ ?=? )0lim (lim lim lim ≠=∞→∞ →∞→∞→n n n n n n n n n b b a b a 3.两种基本类型的极限：<1> S=?? ???-=>=<=∞ →)11() 1(1) 1(0lim a a a a a n n 或不存在 <2>设()f n 、()g n 分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为p a 、 p b 且)(0)(N n n g ∈≠,则??? ????>=<=∞→)()() (0)()(lim q p q p b a q p n g n f q p n 不存在 4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：1 1a S q = - （|q|<1） 无穷数列{a n }的所有项和：lim n n S S →∞ = （当lim n n S →∞ 存在时） （二）数学归纳法 数学归纳法是证明与自然数n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为： ①验证命题对于第一个自然数0n n = 成立。 ②假设命题对n=k(k ≥0n )时成立,证明n=k+1时命题也成立. 则由①②,对于一切n ≥ 0n 的自然数,命题都成立。 二、例题（数学的极限） 专题三 函数 不等式 数列 极限 数学归纳法 一能力培养 1,归纳猜想证明 2,转化能力 3,运算能力 4,反思能力 二问题探讨 1 冋题1数列｛ a n ｝满足3] , a i a 2 2 问题2已知定义在R 上的函数f(x)和数列｛ a n ｝满足下列条件： a 1 a , a . f (a n 1) (n =2,3,4, ),a 2 印， f (a n ) f (a n 1) = k(a n a n 1) (n =2,3,4,),其中 a 为常数,k 为非零常数 (I) 令b n a n 1 a n ( n N )，证明数列｛b n ｝是等比数列； (II) 求数列｛ a n ｝的通项公式；(III)当k 1时，求 lim a n . n umv uuuv uuuv uuuv uuuiv uuv 问题3已知两点M ( 1,0) ,N (1,0),且点P 使MP MN , PM PN , NM NP 成公差小 于零的等差数列? uuuv uuuv (I)点P 的轨迹是什么曲线？ (II)若点P 坐标为(X g , y 。),记 为PM 与PN 的夹角，求tan 2 a n n a n ,(n N ). (I)求｛a n ｝的通项公式 (II)求丄 100n 的最小值； a n (III)设函数 f(n)是— 100n 与n 的最大者，求 f (n)的最小值. 三习题探讨 选择题 2 1数列｛a n ｝的通项公式a n n kn ,若此数列满足a n a n ,(n N ),则k 的取值范围是 A, k 2 B, k 2 C,k 3 D, k 3 2等差数列｛ a n ｝,｛ b n ｝的前n 项和分别为S n ,T n ,若」 --- ，贝V —= T n 3n 1 b n 2 2n 1 2n 1 2n 1 A,— B,- C,- D,- 3 3n 1 3n 1 3n 4 3已知三角形的三边构成等比数列 ，它们的公比为q ,则q 的取值范围是 若AF , BF , CF 成等差数列，则有 1 6在 ABC 中,ta nA 是以4为第三项,4为第七项的等差数列的公差，ta nB 是以-为 3 第三项,9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是 A,钝角三角形 B,锐角三角形 C,等腰直角三角形 D,以上都不对 填空 2m 项之和S 2m ___________________________________ 11等差数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项和且S 6 S 7，S 7 S 8,则①此数列的公差 d 0, 1苗 A, (0, 丁) B,(1 5 1 、5 1 、、 5 c,[1, 丁) D,( 1_5) 2 4在等差数列｛a n ｝中,a 1 8 B ,75 1 ，第10项开始比1大，记 25 t 色 25 4 C , 75 [ im A (a n n n _3 50 S n ) t ,则t 的取值范围是 4 D ,75 t 5o 5 设 A (x i , y i ),B (X 2, y 2),C (X 3, y 3)是椭圆 2 y b 2 1(a 0)上三个点 ,F 为焦点， A, 2X 2 X ] x 3 B,2y 2 y 1 y 3 2 C,— X 2 2 D, X X 1 X 3 X 1 X 3 7等差数列｛a n ｝前n (n 6)项和& 324，且前6项和为36,后6项和为180，则n 22 32 23 33 62 63 {a n }中』m(a 1 a ? 10 一个数列{a n },当n 为奇数时，a . 9在等比数列 2n 3n 6n ,则 lim S n 1 a n ) ，则a 1的取值范围是 ________________ 15 n 5n 1 ；当n 为偶数时，a n 22 .则这个数列的前 1 mn 4(m n) mn 2(m n) 【综合能力训练】 一、选择题 1?数列｛a n ｝是等比数列，下列结论中正确的是（ ） A. a n ? a n+1 >0 B. a n ? a n+1 ? a n+2>0 C. a n ? a n+2 >0 D. a n ? a n+2 ? a n+4>0 2.在等比数列｛a n ｝中，a 1=sec 0 （ B 为锐角），且前n 项和S n 满足lim S n = ，那么B 的 n a 1 取值范围是（ ） A. （0, ） B. （0, ） C. （0, ） D. （0, 2 3 6 4 3.已知数列｛a n ｝中，a n =p^ （n € N ），则数列｛a n ｝的最大项是（ ） n 156 A.第12项 B.第13项 C.第 项或13 . D.不存在 4.三个数成等差数列，如果将最小数乘 2，最大数加上 7,所得三数之积为 1000,且成 等比数列，则原等差数列的公差一定是（ ) A.8 B.8 或—15 C. ± 8 D. ± 15 112 1 2 3 1 2 9 1 5.已知数列｛a n ｝： , + , + +-, + + …+ ” , ... 那么数列｛ 2 3 3 4 4 4 10 10 10 a n ?a n 1 的所有项的和为（ ) A.2 B.4 C.3 D.5 n 1 | n n 1 . n 6.已知a 、b € —?a -> lim n ，贝V a 的取值范围是（ ） n a n a A. a>1 B. — 1 17年高考数学一轮复习数列的极限知识点 极限是微积分中的基础概念，下面是整理的数列的极限知识点，希望考生可以认真学习。 1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限; 2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在; 3、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线); 4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在. 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法. 重要题型及点拨 1.求数列极限 求数列极限可以归纳为以下三种形式. ★抽象数列求极限 这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除. 此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证. ★求具体数列的极限,可以参考以下几种方法： a.利用单调有界必收敛准则求数列极限. 首先,用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性,进而确定极限存在性;其次,通过递推关系中取极 限，解方程, 从而得到数列的极限值. b.利用函数极限求数列极限 如果数列极限能看成某函数极限的特例,形如,则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限,此时再用洛必达法则求解. ★求项和或项积数列的极限,主要有以下几种方法： a.利用特殊级数求和法 如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式,那么通过整理可以直接得出极限结果. l b.利用幂级数求和法 若可以找到这个级数所对应的幂级数,则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出,再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值. c.利用定积分定义求极限 若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项可用一个通项表示, 则可以考虑用定积分定义求解数列极限. d.利用夹逼定理求极限 若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项不能用一个通项表示,但是其余项是按递增或递减排列的,则可以考虑用夹逼定理求解. e.求项数列的积的极限,一般先取对数化为项和的形式,然 新人教高考数学总复习专题训练数列极限和数学归 纳法 Last revision date: 13 December 2020. 数列、极限和数学归纳法 安徽理（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是____________ (11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n 项和. 【解析】由算法框图可知(1) 1232 k k T k +=++++=，若T ＝105，则 K ＝14，继续执行循环体，这时k ＝15，T >105，所以输出的k 值为15. （18）（本小题满分12分）在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a +=求数列{}n b 的前n 项和n S . （本小题满分13分）本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的 正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力. 解：（I ）设221,,,+n l l l 构成等比数列，其中,100,121==+n t t 则 ,2121++????=n n n t t t t T ①， ,1221t t t t T n n n ????=++ ② ①×②并利用得),21(1022131+≤≤==+-+n i t t t t n i n .1,2lg ,10)()()()()2(2122112212≥+==∴=????=+++++n n T a t t t t t t t t T n n n n n n n n （II ）由题意和（I ）中计算结果，知.1),3tan()2tan(≥+?+=n n n b n 另一方面，利用,tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan k k k k k k ?++-+= -+= 得.11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=?+k k k k 所以∑∑+==?+==2 3 1tan )1tan(n k n k k n k k b S 23 tan(1)tan tan(3)tan 3( 1)tan1tan1 n k k k n n +=+-+-=-=-∑ 安徽文（7）若数列}{n a 的通项公式是()()n a n =-13-2,则a a a 1210++= （A ） 15 (B) 12 (C ) -12 (D) -15 （7）A 【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题. 【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论； 法二：12349103a a a a a a +=+= =+=，故a a a 1210++ =3?5=15.故选A. 数列极限的运算法则（5月3日） 教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。 教学重点：运用数列极限的运算法则求极限 教学难点：数列极限法则的运用 教学过程： 一、复习引入： 函数极限的运算法则：如果,)(lim ,)(lim 0 B x g A x f x x x x ==→→则[]=±→) ()(lim 0 x g x f x x ＿＿＿ []=→)().(lim 0 x g x f x x ＿＿＿＿，=→) () (lim x g x f x x ＿＿＿＿（B 0≠） 二、新授课： 数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 推广：上面法则可以推广到有限．． 多个数列的情况。例如，若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限， 则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞ →∞ →∞ →++=++lim lim lim )(lim 特别地，如果C 是常数，那么CA a C a C n n n n n ==∞ →∞ →∞ →lim .lim ).(lim 二.例题： 例1.已知,5lim =∞ →n n a 3lim =∞ →n n b ，求).43(lim n n n b a -∞ → 例2.求下列极限： （1）)45(lim n n + ∞ →； （2）2)11 (lim -∞→n n 例3.求下列有限： （1）1312lim ++∞→n n n （2）1 lim 2-∞→n n n 分析：（1）（2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限， 上面的极限运算法则不能直接运用。 数列、极限、数学归纳法·归纳、猜想、证明·教案 张毅 教学目标 1．对数学归纳法的认识不断深化． 2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法． 3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系．教学重点和难点 用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明． 教学过程设计 （一）复习引入 师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法．请问：它适用于哪些问题的证明？ 生：与连续自然数n有关的命题． 师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？ 生：共有两个步骤： （1）证明当n取第一个值n0时结论正确； （2）假设当n=k（k∈N，且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确． 师：这两个步骤的作用是什么？ 生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程． 师：这实质上是在说明这个证明具有递推性．第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据．递推是数学归纳法的核心．用数学归纳法证题时应注意什么？ 生：两个步骤缺一不可．证第（2）步时，必须用归纳假设．即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立．师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题． 今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题．请看例1． （二）归纳、猜想、证明 1．问题的提出 a3，a4，由此推测计算an的公式，然后用数学归纳法证明这个公式． 师：这个题目看起来庞大，其实它包括了计算、推测、证明三部分，我们可以先一部分、一部分地处理．（学生很快活跃起来，计算工作迅速完成，请一位同学口述他的计算过程，教师板演到黑板上） 师：正确．怎么推测an的计算公式呢？可以相互讨论一下． 数列的极限 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注：a 不一定是｛a n ｝中的项. 2.几个常用的极限：①∞ →n lim C =C （C 为常数）;②∞ →n lim n 1 =0;③∞→n lim q n =0 （|q |＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞ →n lim a n =a , ∞ →n lim b n =b 时，∞ →n lim （a n ±b n ）=a ±b ; ∞ →n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞ →n lim n n b a =b a （ b ≠0）. ●点击双基 1.下列极限正确的个数是 ①∞ →n lim α n 1=0（α＞0） ②∞ →n lim q n =0 ③∞ →n lim n n n n 3 232+-=－1 ④∞ →n lim C =C （C 为常数） A.2 B.3 C.4 D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞ →n lim ［n （1－3 1）（1－4 1）（1－51） (1) 2 1 +n ）］等于 A.0 B.1 C.2 D.3 解析: ∞ →n lim ［n （1－3 1）（1－4 1）（1－5 1） (1) 2 1 +n ）］ =∞ →n lim ［n ×32×43×54×…×2 1++n n ］ =∞ →n lim 2 2+n n =2. 答案:C ●典例剖析 【例1】 求下列极限： （1）∞ →n lim 7 5722 2+++n n n ;（2） ∞ →n lim （ n n +2－n ）; （3）∞ →n lim （ 2 2n + 2 4n +…+2 2n n ）. 剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（2）因 n n +2与 n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限. 解:（1）∞ →n lim 7 57 222 +++n n n =∞→n lim 2 2757 12n n n +++ =5 2. （2）∞ →n lim （ n n +2－n ）= ∞ →n lim n n n n ++2=∞ →n lim 1111++ n =2 1. （3）原式=∞ →n lim 2 2642n n ++++Λ=∞ →n lim 2 )1(n n n +=∞→n lim （1+n 1 ）=1. 评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式=) 75(lim ) 72(lim 22+++∞ →∞ →n n n n n =∞ ∞=1, ②∵∞ →n lim （2n 2+n +7）, ∞ →n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2） 要避免出现下面两种错误： ①∞ →n lim （ n n +2－n ）= ∞ →n lim n n +2－∞ →n lim n =∞－∞=0;②原式=∞ →n lim n n +2－∞ →n lim n =∞－∞不存在. 课时考点数列极限数学 归纳法 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】 课时考点6 数列、极限、数学归纳法 考纲透析 考试大纲： 数学归纳法，数列的极限，函数的极限，极限的四则运算，函数的连续性。 高考热点： 数学归纳法，数列的极限 1专题知识整合 1.无穷递缩等比数列(q ?0,|q |<1)各项和1 1a S q = - 2.归纳法证猜想的结论，用数学归纳法证等式和不等式。 3.含有n 的无理式，如lim n →∞ 需分子有理化，转化为 0n = 4.指数型，如111lim n n n n n a b a b +++→∞-+，分子、分母同除以|a|n +1或|b|n +1转化为求lim n n q →∞ 热点题型1：数列与极限 样题1： (05全国卷II)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，lga 1、lga 2、lga 4成等差数列．又21 n n b a = ，n=1,2，3，…． （Ⅰ）证明{b n }为等比数列； （Ⅱ）如果无穷等比数列{b n }各项的和1 3 S =，求数列{a n }的首项a 1和公差d ． （注：无穷数列各项的和即当n ??时数列前n 项和的极限） 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，依题意，由 2142lg lg lg a a a =+ 得 2214a a a = 即)3()(1121d a a d a +=+，得d =0 或 d =a 1 因 1 221 +=+n n a a b b n n ∴ 当d =0时，{a n }为正的常数列 就有 11 221 ==++n n a a b b n n 当d =a 1时，1112112)12(,)12(1a a a a a a n n n n -+=-+=++,就有 1221+= +n n a a b b n n 2 1 = 于是数列{b n }是公比为1或 2 1 的等比数列 （Ⅱ）如果无穷等比数列{b n }的公比q =1，则当n →∞时其前n 项和的极限不存在。 因而d =a 1≠0，这时公比q =21，11 2b d = 这样{b n }的前n 项和为11[1()] 22112 n n d S -=- 则S=11[1()] 122lim lim 112 n n n n d S d →+∞→+∞-==- 由1 3 S =，得公差d =3，首项a 1=d =3 变式题型1 设数列{a n }是等差数列，a 1=1，其前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，b 2=4， 其前n 项和为T n . 又已知lim n →∞ T n =16,S 5=2T 2+1.求数列{a n }、{b n }的通项公式。 样题2： (05天津)已知：u n =a n +a n -1b+a n -2b 2+…+ab n -1+b n (n ?N*,a >0,b >0)。 （Ⅰ）当a = b 时，求数列{a n }的前n 项和S n ； （Ⅱ）求1 lim n n n u u →∞-。 解：（I ）当a = b 时，u n =(n+1)a n ，它的前n 项和 ()232341n n S a a a n a =+++++ ① ①两边同时乘以a ，得 ()23412341n n aS a a a n a +=+++ ++ ② 数列 一、高考要求 1．理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法， 并能根据递推公式写出数列 的前n 项. 2．理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前 n 项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题. 3．了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证题方法，掌握“归纳—猜想—证明”这一思想方法. 二、热点分析 1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目. 2.有关数列题的命题趋势（1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的 代数推理是近年来高考命题的新热点（2）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常 使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。 （3）加强了数列与极限的综合考查题 3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如2435 46225a a a a a a ，可以利用等比数列的性质进行转化：从而有2 23355225a a a a ，即235()25a a . 4.对客观题，应注意寻求简捷方法 解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下：①借助特殊数列. ②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法 5.在数列的学习中加强能力训练数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜 不等式、数列、极限与数学归纳法 湖南省常德市一中曹继元 不等式、数列是高中数学的主干知识，也是高考的重点内容之一，每年都有与此相关的大题。其中，选择题和填空题一般以考查基础知识、基本方法为主，而解答题以考查数学思想方法、思维能力、以及创新意识为主。总体看来，本节内容对运算能力和逻辑推理能力有较高的要求。预测今年高考关于这一部分的内容, 仍然是以考能力为主，稳中有变，“小”中有新。与往年一样，可能出现基本题型、综合题型、应用题型等，个别题型还将会命出新意，把不等式、数列知识和现实生活、市场经济、理化生知识等紧密结合起来，甚至还会出现有较新创意的应用型题目。因此，我们必须引起高度重视。 1.不等式. 1.1 近三年湖南省高考考查情况统计 1.2 近三年考查情况分析 从近三年的高考湖南卷来看，虽然每年都有几道不等式的题，但大都是将不等式融入其它知识之中。一般来讲，选择题、填空题主要考查不等式性质、简单不等式的解法、函数最值的运用。解答题主要考查与不等式有关的基础知识、基本方法，以及运用相关知识去分析问题和解决问题的能力。 不等式作为工具知识，在高中数学的各个分支中都有广泛的应用。如确定函数的定义域、值域，确定函数的最值，确定集合的子集关系，确定方程的解等，无一不与不等式有着密切的关系。而不等式中往往蕴含有多种数学思想方法，如等价转化、分类讨论、数形结合、函数方程的思想方法，极易使得不等式与其它知识融会交融，体现“在知识交汇处设计命题”的特点，符合“多考一点想，少考一点算”的命题理念，也能有效的测试考生的“逻辑思维能力、运算能力、以及分析问题和解决问题的能力”。所以，我们复习时，要以此为重点，强化训练，提高能力。 1.3 今年考情预测 ①不等式仍将是高考数学的重点内容之一。选择题、填空题的难度不会增大，重在基础知识、基本方法的考查，但命题角度会有所变化，设问方式会有所创新，考查内容主要分布在不等式的性质、简单不等式的解法、不等式与集合、不等式与函数、不等式与方程等知识点中。解答题仍将以能力考查为主，重在考查代数推理能力，常以高中代数的主要内容（函数、方程、不等式、数列、导数、极限、数学归纳法）以及交叉综合内容为知识背景设计问题，主要考查含参数不等式的解法、均值不等式的运用、取值范围的求法等知识点，不排除应用题中直接涉及不等式相关知识的可能。 ②以不等式为中心设计函数、方程、不等式的综合题的可能性仍然较大，特别是含绝对值 专题三 数列与极限 问题1：等差、等比数列的综合问题 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果 例1：设等比数列{a n }的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n }的前多少项和最大？(取lg2=03,lg3=04) 思路分析 突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n 项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n 是n 的二次函数，也可由函数解析式求最值 解法一 设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有 ??? ? ?+=?--?=--?)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m ，化简得?????==?????+==+10831 , ),1(9114121 a q q q a q q 解得 设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则 S n =lg a 1+lg （a 1q 2）+…+lg （a 1q n －1）=lg （a 1n ·q 1+2+…+(n － 1)） =n lg a 1+ 21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21 n (n －1)lg3 =(－23lg )·n 2+(2lg2+2 7lg3)·n 可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大 而4 .024.073.043lg 3 lg 272lg 2??+?= +=5, 故{lg a n }的前5项和最大 解法二 接前，3 1,1081= =q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n －1)lg 31, ∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg 3 1 为公差的等差数列， 令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0， ∴n ≤4 .04 .043.023lg 3lg 42lg 2?+?=+=5 5 由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大 点评 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力 演变1 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它前3m 项的和为_______ 点拨与提示：本题可以回到数列的基本量，列出关于d 1和a 的方程组，然后求解；或 第二章数列、极限、数学归纳法（2） 等比数列 【例题精选】: 例1：“b 2 = ac ”是a , b , c 成等比数列的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分又不必要条件 分析：由a , b , c 成等比数列?b ac 2=；b ac 2=若a , b , c 中有等于零者，a , b , c 不成等比数列，故选（B ） 说明：只有当a , b , c 均不为零时， b ac 2=? a , b , c 成等比数列。 例2：已知数列{}a n 的前n 次和S k k n n =+3(为常数），那么下述结论正确的 是 A ．k 为任意实数时，{}a n 是等比数列 B ．k = －1时，{}a n 是等比数列 C ．k = 0时，{}a n 是等比数列 D ．{}a n 不可能是等比数列 分析：给出 s k k n n =+3(为常数），可由s n 求出通项a n 来进行判断： n a s k n a s s k k n n n n n n ===+≥=-=+-+=?---13123323211111 时，时，() ()() 当n a ==?=1223210时，由（）式 当a k k 121321=+==-时代入（）式得得, {}∴=-=?∈-当时，数列k a n N a n n n 1231()是等比数列，故选（B ）。 小结：解好本题要准确掌握数列的前n 项和S n 与通项a n 关系式 a n =s n s s n n n 1 112=-≥?? ?- 例3：在等比数列{}a n 中，已知a a a a a 132492040+=-+=,,求 解：设等比数列的公比为q ，依题意：() ()a a q a q a q 112 1 13 201402+=-+=????? ()()()()()12112 214 421024 19188÷=-∴=-=-∴==--=-得 代入得q q a a a q 例4：（1）在等比数列6，…，1458，…，13122，…中，1458是第n 项， 13122 数列极限和数学归纳法 一、知识点整理： 数列极限：数列极限的概念、数列极限的四则运算法则、常见数列的极限公式以及无穷等比数列各项的和 要求：理解数列的概念，掌握数列极限的四则运算法则和常见数列的极限，掌握公比q 当01 q <<时无穷等比数列前n 项和的极限公式及无穷等比数列各项和公式，并用于解决简单的问题。 1、理解数列极限的概念：2 1 ,(1),n n n -等数列的极限 2、极限的四则运算法则：使用的条件以及推广 3、常见数列的极限：1 lim 0,lim 0(1),lim →+∞→+∞→+∞ ==<=n n n n q q C C n 4、无穷等比数列的各项和：1lim (01)1→+∞==<<-n n a S S q q 数学归纳法：数学归纳法原理，会用数学归纳法证明恒等式和整除性问题，会利用“归纳、猜想和 证明”处理数列问题 （1）、证明恒等式和整除问题（充分运用归纳、假设，拆项的技巧，如证明22389n n +--能被64 整除，2438(1)9k k +-+-）22 9(389)64(1)k k k +=--++），证明的目标非常明确； （2）、“归纳－猜想－证明”，即归纳要准确、猜想要合理、证明要规范，这类题目也是高考考察数列的重点内容。 二、填空题 1、 计算：1 12323lim -+∞→+-n n n n n =_____3_____。 2、 有一列正方体，棱长组成以1为首项、2 1 为公比的等比数列，体积分别记为ΛΛ，，， ，n V V V 21 =+++∞ →)(lim 21n n V V V Λ87 . 3、 20lim ______313n n n →∞+=+1 3 4、 数列的通项公式，前项和为，则 =______32 _______. 5、 设{}n a 是公比为 2 1 的等比数列，且4)(lim 12531=+???+++-∞→n n a a a a ，则=1a 3． 6、 在等比数列{}n a 中，已知123432,2a a a a ==，则()12lim n n a a a →∞ +++=L _16±______. 7、 数列{}n a 的通项公式是13(2)--+=+-n n n a ，则)(lim 21n n a a a +++∞ →Λ=___76 ____ . 8、已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=， 则lim n n S →∞ 的值为 163 . {}n a *1 , 1 ()1 , 2(1)n n a n N n n n =?? =∈?≥?+? n n S lim n n S →∞ 数列、极限和数学归纳法 一、基础篇 一、考试内容 1.数列，等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式；等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。 对数列的考查，客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.数列推理题是新出现的命题热点. 2.数列的极限及其四则运算。 数列极限是高等数学在高考中的应用,高考命题对其要求不高,仅要求会利用四则运算法则求得极限即可. 3.数学归纳法及其应用。 数学归纳法作为一种重要的推理方法,是高考重点考查内容.极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具. 二、考试要求 1.理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项和。 2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能够应用这些知识解决一些问题。 3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题。 4.了解数列极限的定义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限。 5.了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题。 三、考点简析 1.数列及相关知识关系表 2.内容与意义分析 （1）数列是函数概念的继续和延伸，对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一 次函数”，前n 项和是自然数n 的“二次函数”。等比数列可看作自然数n 的“指数函数”。应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的. （2）数列的极限这部分知识的学习，教给了学生“求极限”这一数学思路，为学习高等数学作好准备。 （3）数学归纳法是一种数学论证方法，同时又是一种数学思想。学好这部分知识，对培养学生逻辑思维的能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有很好的效果。 （4）数列、极限、数学归纳法这部分知识，在高考中占有相当的比重。这部分知识是必考的内容，而且几乎每年有一道综合题。 （5）解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法等，养成良好的学习习惯，达到事半功倍的效果. 四、知识要点 1.等差数列 （1）定义：a n+1－a n =d(常数d 为公差) （2）等差数列的判定方法: ①定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列； ②等差中项法：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列；在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 （3）通项公式：a n =a 1+(n －1)d ，该公式整理后是关于n 的一次函数。 （4）前n 项和公式：S n = 2)(1n a a n +=na 1+2 ) 1(-n n d ，对于后面公式整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。 （5）通项公式推广：a n =a m +(n －m)d ，n m ≤。 2.等差数列{a n }的一些性质 （1）对于任意正整数n ，都有a n+1－a n =a 2－a 1 （2）{a n }的通项公式：a n =（a 2－a 1）n+(2a 1－a 2) （3）对于任意正整数p,q,r,s,如果p+q=r+s ，则有a p +a q =a r +a s ，也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a 。 （4）对于任意正整数p,q,r,如果p+r=2q,则有a p +a r =2a q （5）对于任意正整数n>1，有2a n =a n －1+a n+1 （6）对于任意非零实数b ，若数列{ba n }是等差数列，则数列{a n }也是等差数列 （7）已知数列{b n }是等差数列，则{a n ±b n }也是等差数列 （8）{a 2n }，{a 2n －1}，{a 3n }，{a 3n －1}，{a 3n －2}等都是等差数列，若数列{}n a 是等差数列， n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。 （9）S 3m =3（S 2m －S m ） （10）若S n =S m (m ≠n)，则S m+n =0 （11）若S p =q,S q =p ，则S p+q =－(p+q)(p ≠q)高中数学知识点专题复习-极限的概念
数列的极限、数学归纳法
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