圆中常见辅助线的做法
一．遇到弦时（解决有关弦的问题时）
1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理；
②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；
③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
例：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 二点.求证：AC = BD
证明:过O 作OE ⊥AB 于E
∵O 为圆心，OE ⊥AB
∴AE = BE CE = DE
∴AC = BD
练习：如图，AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上的一点，AB = 10cm ，PA = 4cm.求⊙O 的半径.
2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.
例：如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB,DN ⊥AB,求证： AC BD
= 证明：（一）连结OC 、OD
∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点
∴OM =
12AO 、ON = 12
BO ∵OA = OB ∴OM = ON
∵CM ⊥OA 、DN ⊥OB 、OC = OD ∴Rt △COM ≌Rt △DON ∴∠COA = ∠DOB
∴ AC BD
= （二）连结AC 、OC 、OD 、BD
∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点 ∴AC = OC BD = OD
∵OC = OD ∴AC = BD ∴ AC BD
= 3.有弦中点时常连弦心距
例：如图，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点,AB = CD ，求证：∠AMN = ∠CNM
证明：连结OM 、ON
∵O 为圆心，M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点
∴OM ⊥AB ON ⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON ∴∠OMN = ∠ONM
∵∠AMN = 90o
－∠OMN ∠CNM = 90o －∠ONM
∴∠AMN =∠CNM
4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.
例：如图，已知⊙O 1与⊙O 2为等圆，P 为O 1、O 2的中点，过P 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于A 、
C 、
D 、B.求证：AC = BD
证明：过O 1作O 1M ⊥AB 于M,过O 2作O 2N ⊥AB 于N ，则O 1M ∥O 2N
∴
1122O M O P
O N O P
=
∵O 1P = O 2P ∴O 1M = O 2N ∴AC = BD
二.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法： ⑴连结过弧中点的半径 ⑵连结等弧所对的弦 ⑶连结等弧所对的圆心角
例：如图，已知D 、E 分别为半径OA 、OB 的中点，C 为弧AB 的中点，求证：CD = CE
证明：连结OC
∵C 为弧AB 的中点 ∴ AB BC
= ∴∠AOC =∠BOC
∵D 、E 分别为OA 、OB 的中点，且AO = BO
∴OD = OE = 12AO = 1
2
BO
又∵OC = OC ∴△ODC ≌△OEC
∴CD = CE
三.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.
例：如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，P 为AC 延长线上一点，且AC = PC,PB 的延长线交⊙
O 于D ，求证：AC = DC 证明：连结AD
∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ADP = 90o
∵AC = PC
∴AC = CD =1
2
AP
P
例（2005年自贡市）如图2，P 是⊙O 的弦CB 延长线上一点，点A 在⊙O 上，且∠=∠BAP C 。求证：PA 是⊙O 的切线。 证明：作⊙O 的直径AD ，连BD ，则
∠=∠∠=?C D ABD ,90 即∠+∠=?D BAD 90
∴∠+∠=?C BAD 90 ∵∠=∠C PAB
∴∠+∠=?BAD PAB 90 即AP AD ⊥ ∴PA 为⊙O 的切线。
四．遇到90度的圆周角时
常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
练习：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA = 90o
,以BC 为直径的⊙O 交AB 于E ，D 为AC 中点，连结BD 交⊙O 于F.求证：
BC CF
BE EF
= 五.有等弧时常作辅助线有以下几种：
⑴作等弧所对的弦 ⑵作等弧所对的圆心角 ⑶作等弧所对的圆周角
练习：1.如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，交点为E ，F 为DC 延长线上一点，连结AF 交⊙O 于M.求证：∠AMD =∠FMC(提示：连结BM)
2.如图，△ABC 内接于⊙O ，D 、E 在BC 边上，且BD = CE ，∠1 =∠2，求证：AB = AC （提示如图）
2题图
A 1题图
B
六.有弦中点时，常构造三角形中位线.
例：已知，如图，在⊙O 中，AB ⊥CD ，OE ⊥BC 于E ，求证：OE =
12
AD 证明：作直径CF ，连结DF 、BF
∵CF 为⊙O 的直径 ∴CD ⊥FD 又∵CD ⊥AB ∴AB ∥DF
∴ AD BF
= ∴AD = BF
∵OE ⊥BC O 为圆心 CO = FO ∴CE = BE ∴OE =12
BF ∴OE =
1
2
AD 七.圆上有四点时，常构造圆内接四边形.
例：如图，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 平分∠FAC ，交⊙O 于E ，交BC 的延长线于D ，求证：
AB ·AC = AD ·AE 证明：连结BE
∵∠1 =∠3 ∠2 =∠1
∴∠3 =∠2
∵四边形ACBE 为圆内接四边形 ∴∠ACD =∠E
∴△ABE ∽△ADC
∴
AE AB
AC AD
= ∴AB ·AC = AD ·AE
八.两圆相交时，常连结两圆的公共弦
例：如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B ，过A 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于C 、D ，过B 的直线分别
交⊙O 1、⊙O 2于E 、F.求证：CE ∥DF 证明：连结AB
∵四边形为圆内接四边形
∴∠ABF =∠C 同理可证：∠ABE =∠D
∵∠ABF ＋∠ABE = 180o
∴∠C ＋∠D = 180o
∴CE ∥DF
九.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：
⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.
⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.
例1：如图，P为⊙O外一点，以OP为直径作圆交⊙O于A、B两点，连结PA、PB.
求证：PA、PB为⊙O的切线
证明：连结OA
∵PO为直径
∴∠PAO = 90o ∴OA⊥PA
∵OA为⊙O的半径
∴PA为⊙O的切线
同理：PB也为⊙O的切线
例2：如图，同心圆O，大圆的弦AB = CD，且AB是小圆的切线，切点为E，求证：CD是小圆的切线
证明：连结OE，过O作OF⊥CD于F
∵OE为半径，AB为小圆的切线
∴OE⊥AB
∵OF⊥CD, AB = CD
∴OF = OE
∴CD为小圆的切线
练习：如图，等腰△ABC，以腰AB为直径作⊙O交底边BC于P，PE⊥AC于E,
求证：PE是⊙O的切线
十.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.
例：如图，在Rt△ABC中，∠C = 90o，AC = 12，BC = 9，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于E，求AD长.
解：连结OE，则OE⊥AC
∵BC⊥AC ∴OE∥BC
∴OE AO BC AB
=
在Rt△ABC中，AB =
15 ==
∴
15
915 OE AB OB OE
AB
--
==
∴OE = OB =45 8
∴BD = 2OB =45 4
∴AD = AB－DB = 15－45
4
=
15
4
答：AD的长为15
4
.
P
C
A
练习：如图，⊙O 的半径OA ⊥OB ，点P 在OB 的延长线上，连结AP 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线CE 交OP 于C ，求证：PC = CD
十一． 遇到两相交切线时（切线长）
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。 作用：据切线长及其它性质，可得到：
①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。 十二．遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。 作用：利用内心的性质，可得：
① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； ② 内心到三角形三条边的距离相等。
在处理内心的问题时，常需连结顶点与内心，以便利用内切圆的圆心是三角形内角平分线交点这一性质。
十三．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点 作用：外心到三角形各顶点的距离相等。
十四．遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题） 常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。 作用：①利用切线的性质；② 利用解直角三角形的有关知识。 十五．遇到两圆相交时 两个相交圆不离公共弦 常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。 作用： ①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识； ②利用圆内接四边形的性质；
E
③利用两圆公共的圆周的性质；垂径定理。
1. 作相交两圆的公共弦
利用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。
例1. 如图1，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，过A 、B 分别作直线CD 、EF ，且CD//EF ，与两圆相交于C 、D 、E 、F 。求证：CE ＝DF 。
图1
分析：CE 和DF 分别是⊙O 1和⊙O 2的两条弦，难以直接证明它们相等，但通过连结AB ，则可得圆内接四边形ABEC 和ABFD ，利用圆内接四边形的性质，则易证明。 证明：连结AB
因为∠=∠∠=∠DAB E CAB F ， 又∠+∠=DAB CAB 180
所以∠+∠=E F 180
即CE//DF 又CD//EF
所以四边形CEFD 为平行四边形 即CE ＝DF 2.作两相交圆的连心线
利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的计算问题。
例2. ⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，两圆的半径分别为62和43，公共弦长为12。求∠O AO 12的度数。
图2
分析：公共弦AB 可位于圆心O 1、O 2同侧或异侧，要求∠O AO 12的度数，可利用角的和或差来求解。
解：当AB 位于O 1、O 2异侧时，如图2。
连结O 1、O 2，交AB 于C ，则O O AB 12⊥。分别在Rt AO C ?1和Rt AO C ?2中，利用锐
角三角函数可求得 ∠=∠=O AC O AC 124530
， 故∠=∠+∠=O AO O AC O AC 121275
当AB 位于O 1、O 2同侧时，如图
3
图3
则∠=∠-∠=O AO O AC O AC 121215
综上可知∠=O AO 1275
或15
例2：已知，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B ，⊙O 1的弦AC 切⊙O 2于A ，过B 作直线交两圆于D 、E 。求证：DC ∥AE 。
分析:由口诀“两个相交圆不离公共弦”,连结AB,可得∠D=∠CAB , 由切线知∠CAB=∠E,即∠D=∠E 即得证。
练习：如图⊙O 1和⊙O 2都经过A 、B 两点。经过点A 的直线CD 与⊙ O 1交于点C ，与⊙ O 2交于点D ；经过点B 的直线EF 于⊙ O 1交于点E ，与⊙ O 2交于点F 。求证：CE ∥
DF.
例、如图8，在梯形ABCD 中，以两腰 AD 、BC 分别为直径的两个圆相交于M 、N 两点， 过M 、N 的直线与梯形上、下底交于E 、F 。
求证： MN ⊥AB 。
C D
E M N G A B
O O F 图
分析：因为MN是公共弦，若作辅助线O1O2，
必有MN⊥O1O2，再由O1O2是梯形的中位线，得O1O2//AB，从而易证MN⊥AB。
交EF于G => MN⊥O1O2。
证明连结O
DO1=O1A，CO2=O2B => O1O2是梯形ABCD的中位线 => O1O2//AB =>∠EFA=∠EGO1=Rt∠ => MN⊥AB
说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。
十六．遇到两圆相切时
两个相切圆不离公切线
常常作连心线、公切线。
作用：①利用连心线性质；
②弦切角性质；
③切线性质等。
例3. 如图4，⊙O1和⊙O2外切于点P，A是⊙O1上的一点，直线AC切⊙O2于C，交⊙O1于B，直线AP交⊙O2于D。求证PC平分∠BPD。
图4
BPC DPC
分析：要证PC平分∠BPD，即证∠=∠
而∠BPC的边分布在两个圆中，难以直接证明。
若过P作两圆的公切线PT，与AC交于T
BPC TPB TPC
易知∠=∠+∠
TPB A
由弦切角定理，得∠=∠
又∠DPC是?APC的一个外角
DPC A ACP
所以∠=∠+∠
TPC ACP
又∠=∠
BPC DPC
从而有∠=∠
即PC平分∠BPD
例3:已知, ⊙O1和⊙O2外切于A,直线BC切⊙O1于B,切⊙ O2于C。
求证：AB⊥AC(人教版课本P87例4）
分析1：口诀“两个相切圆不离公切线”,过A 作两圆的公切线,则∠1=∠2, ∠3=∠4,又∠1+∠2+∠3+∠4=180,则∠2+∠3=90即AB ⊥AC。
分析2： 口诀“两圆三圆连心线”，连结O 1O 2、O 1B 、O 2C,则点A 在O 1O 2上,易知O 1B ∥O 2C ,显然∠1+∠2=90,故AB ⊥AC
1.相切两圆常添公切线作辅助线.
例2 如图2,已知⊙O 1、⊙O 2外切于点P ，A 是⊙O 1上一点，直线AC 切⊙O 2于点C ，交⊙O 1一点B ，直线AP 交⊙O 2于点D .(1)求证:PC 平分∠BPD;(2)将“⊙O 1与⊙O 2外切于点P ”改为“⊙O 1、⊙O 2内切于点P ”，其它条件不变，①中的结论是否仍然成立？画出图形并证明你的结论(武汉市中考题）.
证明:(1)过P 点作两圆公切线PQ ∵∠QPC=∠PCQ,
∠QPB=∠A, ∠CPD=∠A+∠QCP ，
∴∠CPD=∠CPB, 即PC 平分∠BPD (2)上述结论仍然成立.
如图3,过点P 作两圆公切线PM,则∠MPB=∠A.
∴∠BPC=∠MPC －∠MPB=∠BCP －∠A=∠CPA, ∴PC 平分∠BPD. 说明:作公切线的“公”字联系了小圆弦切角与大圆弦切角.
2、遇到三个圆两两外切时 两圆三圆连心线 常常作每两个圆的连心线。 作用：可利用连心线性质。
A
D Q O O C B 图2
A D
P
O C B
图3
M P
3.两圆三圆时常作连心线作为辅助线
例3 如图4,施工工地水平地面上有三根外径都是1米的水泥管,两两外切堆放在一起,则最高点到地面距离是_____________(辽宁省中考题).
解:连O 1O 2、O 2O 3、O 3O 1，过O 1作AO 1⊥O 2O 3交⊙O 1于A ，交O 2O 3于B ∵⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3是等圆, ∴△O 1O 2O 3是等边三角形.
说明:三圆两两相切时作连心线后注意挑选直角三角形解题.
十七．遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆。
作用：以便利用圆的性质。
过小圆圆心作大圆半径的垂线
有关公切线问题常过小圆的圆心作大圆半径的垂线，构造直角三角形。
例5. 如图6，⊙O 1与⊙O 2外切于点O ，两外公切线PCD 和PBA 切⊙O 1、⊙O 2于点C 、D 、B 、A ，且其夹角为60
，AB =23，求两圆的半径。
图6
分析：如图6，连结O 1O 2、O 1A 、O 2B ，过点O 2作O E O A 21⊥，构造Rt O O E ?12，下面很容易求出结果。
十八．相交两圆中至少有一个圆经过另一个圆的圆心，遇到这类问题，常用的辅助线是连结过交点的半径
例10 如图10，⊙O 1与⊙O 2相交于 A 、B 两点，且O 2在⊙O 1上，点P 在⊙O 1上， 点Q 在⊙O 2上，若∠APB=40°，求∠AQB 的度数。
分析 连结O 2A 、O 2B ，在⊙O 1中利用
P A Q
B O 2 O 1
. 图 10 图4
A O 1 O 2
O 3
B
圆内接四边形性质求得∠AO 2B=140°，在⊙O 2中， ∠AQB=1/2∠AO 2B=70°。
切点三角形是直角三角形的应用.
例4 如图5,⊙O 1与⊙O 2外切于点C, ⊙O 1与⊙O 2连心线与公切线交于P,外公切线与两圆切点分别为A 、B,且A=4,BC=5.
(1)求线段AB 长；(2)证明：PC 2
=PA ?PB.(2002年杭州市中考题) 解：(1)过C 作两圆公切线CQ,交AB 于Q ∵QA=QC=QB=
2
1
AB ∴∠ACB=90° ∵AC=4 BC=5 ∴AB=41
(2)∵∠ACB=90° ∴∠PCA+∠1=90°,∠PBC+∠2=90°,
从而∠PCA=∠PBC. ∵∠P=∠P, ∴△PCA ∽△PBC ∴PC 2
=PA ?PB
说明:A 、B 、C 为切点，故有切点三角形为直三角形的重要结论，应用此结论解题能到事半功倍效果.
辅助线，莫乱添，规律方法记心间； 弦和弦心距，亲密紧相连； 切点与圆心连线要领先； 两个相交圆不离公共弦； 两个相切圆不离公切线；
两圆三圆连心线，四点是否有共圆； 直角相对或共弦，应当想想辅助圆； 要证直线是切线，还看是否有共点； 直线和圆有共点，连出半径辅助线； 直线和圆无共点，得过圆心作垂线； 若遇直径想直角，灵活运用才方便。
P
A
Q B
O O C 1 2
图5
浅谈圆的辅助线作法 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。下面以几道题目为例加以说明。 1.有弦，可作弦心距 在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。 例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ， 且AC=BD 。求证：PO 平分∠APD 。 分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE≌△OPF，得出PO 平分∠APD 。 证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F AC=BD => = => = => AB=CD => OE=OF ∠OEP=∠OFP=90 ° => △OPE≌△OPF 0OP=OP =>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证 PO 平分∠APD ，即证 ∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线 即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OP A ≌△OP D 。 证法2：连结OA ，OD 。 ∠CAP=∠BDP ∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP AB ( BD ， ( CD ( D 图 1 AC ( AC ( BD ( AB ( CD ( D 图1-1
圆中常见的辅助线的作法1．遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。【例1】如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。 【例2】如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点， 那么OP的长的取值范围是_________． 2．遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 【例3】如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2, ∠B= 3．遇到90°的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 【例4】如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°， AB=6，AC=8，⊙O的半径是
4．遇到弦时 常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。 【例5】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上， 则∠C的度数是________. 5．遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点） 作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。 【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB?的延长线于D，求证：AC=CD． （2）常常添加连结圆上一点和切点 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。 6．遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。 【例7】如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。 求证：直线L与⊙O相切。 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。 【例8】如图，△ABO中，OA= OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F．求证：AB是⊙O切线；
专训2 圆中常用的作辅助线的八种方法名师点金：在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及“作垂直，证半径”等． 作半径，巧用同圆的半径相等 1．如图所示，两正方形彼此相邻，且大正方形的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形的顶点F在半圆O上，E点在半圆O的直径上，点G在大正方形的边上．若小正方形的边长为4 ，求该半圆的半径． (第1题) 连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等 2．如图，圆内接三角形的外角∠的平分线与圆交于D点，⊥，垂足是P，⊥，垂足为H .求证：＝. (第2题)
作直径，巧用直径所对的圆周角是直角 3．如图，⊙O的半径为R，弦，互相垂直，连接，. (1)求证：2＋2＝4R2； (2)若弦，的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(>)，求⊙O的半径及点O到的距离． (第3题) 证切线时辅助线作法的应用 4．如图，△内接于⊙O，＝，∥且与的延长线交于点D.判断与⊙O的位置关系，并说明理由． (第4题)
遇弦加弦心距或半径 5．如图所示，在半径为5的⊙O中，，是互相垂直的两条弦，垂足为P，且＝＝8，则的长为( ) A．3 B．4 C．3 D．4 (第5题) (第6题) 6．【中考·贵港】如图所示，是⊙O的弦，⊥于点H，点P是优弧上一点，若＝2，＝1，则∠的度数是．遇直径巧加直径所对的圆周角 7．如图，在△中，＝＝2，以为直径的⊙O分别交，于点D，E，且点D是的中点． (1)求证：△为等边三角形． (2)求的长． (第7题)
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧 半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内切圆，内角平分线梦园。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 二：圆中常见辅助线的添加： 1、遇到弦时（解决有关弦的问题时） （1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 （2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
2、遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形 3、遇到90°的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 4、遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（见切点连半径得垂直） 作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。 5、遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。 6、遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。 作用：利用内心的性质，可得： （1）内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分 线；（2）内心到三角形三条边的距离相等 7、遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点 作用：外心到三角形各顶点的距离相等。 例题1、如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。 例题2、如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上， 则∠C的度数是 ________. 例题3、如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2,∠ B= 例题4、如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°， AB=6，AC=8，⊙O的半径 是
圆中常见辅助线的作法 1.如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO的度数为( ) A.15° B.18° C.20° D.28° 2.如图所示，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB＝23，OH＝1，则∠APB的度数是( ) A.60° B.50° C.40° D.30° 3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为( ) A.10 B.8 C.5 D.3 4.如图所示，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长是( ) A.2 5 B. 5 C.213 D.13 5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为( )
A．10 B．8 C．5 D．3 6. 如图所示，已知：AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ABC＝50°，则∠D 为( ) A.50° B.45° C.40° D.30° 7.如图，半圆O的直径AB＝10，弦AC＝6，AD平分∠BAC，则AD的长为( ) A．8 B．5 5 C．5 D．45 8. 如图所示，在半径为5的⊙O中，AB,CD是互相垂直的两条弦，垂足为P,且AB=CD=8，则OP的长为( ) A．3 B．4 C．3 2 D．42 9.如图，AB是⊙O的弦，AB＝6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°.若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是 . 10.如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O 的切线，切点为F.若∠ACF＝65°，则∠E＝ . 11. 已知：AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝50°，则∠D＝ .
圆中常见的辅助线 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】
圆中常见辅助线的做法 一．遇到弦时（解决有关弦的问题时） 1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 例：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证：AC = BD 证明:过O作OE⊥AB于E ∵O为圆心，OE⊥AB ∴AE = BE CE = DE ∴AC = BD 练习：如图，AB为⊙O的弦，P是AB上的一点，AB = 10cm，PA = 4cm.求⊙O的半径. 2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角. 例：如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,求证：AC BD = 证明：（一）连结OC、OD ∵M、N分别是AO、BO的中点 ∴OM = 1 2 AO、ON = 1 2 BO ∵OA = OB ∴OM = ON ∵CM⊥OA、DN⊥OB、OC = OD ∴Rt△COM≌Rt△DON ∴∠COA = ∠DOB ∴AC BD = （二）连结AC、OC、OD、BD ∵M、N分别是AO、BO的中点 ∴AC = OC BD = OD ∵OC = OD ∴AC = BD ∴AC BD = 3.有弦中点时常连弦心距 例：如图，已知M、N分别是⊙O 的弦AB、CD的中点,AB = CD，求证：∠AMN = ∠CNM 证明：连结OM、ON ∵O为圆心，M、N分别是弦AB、CD的中点 ∴OM⊥AB ON⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON ∴∠OMN = ∠ONM
九年级数学圆中常见辅助线作法
圆中常见辅助线的作法 典型例题： 例题1、如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B ，C 是 弧AB 上 任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E ，若△PDE 的周长为12，则PA 长为______________ 例题2、如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，AC ⊥L 于C ，BD ⊥L 于D ，且AC+BD=AB 。 求证：直线L 与⊙O 相切。 例题3、如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°角，CD 与⊙O 切于C ， 交AB?的延长线于D ，求证：AC=CD ． A B C D E O
例题4、如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_________． 1．遇到弦时（解决有关弦的问题时） 1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。O C B A
O C B A O C B A 2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。 2．遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形 3．遇到90°的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 4．遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点 作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。（2）常常添加连结圆上一点和切点 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。 5．遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），
一、添辅助线有二种情况： 1、按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2、按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：（1）平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线 （2）等腰三角形是个简单的基本图形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 （3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形： 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 （5）三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。 （6）全等三角形： 全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线 （7）相似三角形： 相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似
C 圆中常见辅助线的作法 1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时） 1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 2 ，遇到有直径时 3．4．常常添加过切点的半径（连结圆心和切点 5． 遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）， 再 证其与直线垂直。 6． 遇到两相交切线时（切线长） 常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。 7． 遇到三角形的内切圆时 连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。 8． 遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点 C B P
，E，F，求Rt△ABC的内心I ，若CF垂直于AD，AB=2，求CD 上一个动点，
8、已知：□ABCD的对角线AC、BD交于O点，BC切⊙O于E点.求证：AD也和⊙O相切. 9、如图，学校A附近有一公路MN，一拖拉机从P点出发向PN方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？ 10、如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，求阴影部分的面积. 11、如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E,BF⊥CD，垂足为 F.求证：DE=CF.
圆中常见辅助线的作法 典型例题： 例题1、如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B ，C 是 弧AB 上 任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E ，若△PDE 的周长为12，则PA 长为______________ 例题2、如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，AC ⊥L 于C ，BD ⊥L 于D ，且AC+BD=AB 。 求证：直线L 与⊙O 相切。 例题3、如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°角，CD 与⊙O 切于C ， 交AB?的延长线于D ，求证：AC=CD ． 例题4、如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点， 那么OP 的长的取值范围是_________． A B C D E P O
O C B A O C B A 1．遇到弦时（解决有关弦的问题时） 1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周 上一点和弦的两个端点。 作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。 2．遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形 3．遇到90°的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 4．遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点 作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。（2）常常添加连结圆上一点和切点 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。 5．遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）， 再证其与直线垂直。 O C B A
O C B A 1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：1、利用垂径定理； 2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 4、可得等腰三角形； 5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。 例：如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于P 点，弦PN 与AB 相交于点M ， 求证：PM ?PN=2PO 2 . 分析：要证明PM ?PN=2PO 2 ，即证明PM ?PC =PO 2 ， 过O 点作OC ⊥PN 于C ，根据垂经定理 NC=PC ，只需证明 PM ?PC=PO 2 ，要证明PM ?PC=PO 2 只需证明Rt △POC ∽Rt △PMO. 证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ，∴PC= 2 1PN ∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°. 又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO. ∴ PO PC PM PO 即∴PO 2= PM ?PC. ∴PO 2= PM ?2 1PN ，∴PM ?PN=2PO 2 . 【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。 【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点， 那么OP 的长的取值范围是_________． 【例3】如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，
1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：1、利用垂径定理； 2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 4、可得等腰三角形； 5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。 例：如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于P 点，弦PN 与AB 相交于点M ， 求证：PMPN=2PO 2. 分析：要证明PMPN=2PO 2，即证明PMPC =PO 2， 过O 点作OC ⊥PN 于C ，根据垂经定理 NC=PC ，只需证明 PMPC=PO 2，要证明PMPC=PO 2只需证明Rt △POC ∽Rt △PMO. 证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ，∴PC= 2 1 PN ∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°. 又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO.
O C B A ∴ PO PC PM PO 即∴PO 2= PMPC. ∴PO 2= PM 2 1PN ，∴PMPN=2PO 2 . 【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。 【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点， 那么OP 的长的取值范围是_________． 【例3】如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上， 则∠C 的度数是________. 2． 遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 例 如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ． （1） 求证：BA ·BM=BC ·BN ； （2） 如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点，当AC=3时，求AB 的值． 分析：要证BA ·BM=BC ·BN ，需证△ACB ∽△NMB ，而∠C=90°，所以需要△NMB 中有个直角，而BN 是圆O 的直径，所以连结MN 可得∠BMN=90°。 （1） 证明：连结MN ，则∠BMN=90°=∠ACB ∴△ACB ∽△NMB
圆中常见辅助线的添加 口诀及技巧 Revised at 2 pm on December 25, 2020.
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内切圆，内角平分线梦园。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。若是添上连心线，切点肯定在上面。 二：圆中常见辅助线的添加： 1、遇到弦时（解决有关弦的问题时） （1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 （2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。 2、遇到有直径时
常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形 3、遇到90°的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 4、遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（见切点连半径得垂直） 作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。 5、遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。 6、遇到三角形的内切圆时 连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。 作用：利用内心的性质，可得：
圆中常见辅助线的做法 一．遇到弦时（解决有关弦的问题时） 1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 例：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 二点.求证：AC = BD 证明:过O 作OE ⊥AB 于E ∵O 为圆心，OE ⊥AB ∴AE = BE CE = DE ∴AC = BD 练习：如图，AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上的一点，AB = 10cm ，PA = 4cm.求⊙O 的半径. 2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角. 例：如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB,DN ⊥AB,求证： AC BD = 证明：（一）连结OC 、OD ∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点 ∴OM = 12AO 、ON = 12 BO ∵OA = OB ∴OM = ON ∵CM ⊥OA 、DN ⊥OB 、OC = OD ∴Rt △COM ≌Rt △DON ∴∠COA = ∠DOB ∴AC BD = （二）连结AC 、OC 、OD 、BD ∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点 ∴AC = OC BD = OD ∵OC = OD ∴AC = BD ∴AC BD = 3.有弦中点时常连弦心距 例：如图，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点,AB = CD ，求证：∠AMN = ∠CNM 证明：连结OM 、ON ∵O 为圆心，M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点
圆中常见辅助线的做法 .遇到弦时（解决有关弦的问题时） 1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 例：如图，在以0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证：AC= BD 证明：过0作0吐AB于E ?/ 0为圆心，0E± AB ??? AE = BE CE = DE ??? AC = BD 练习：如图，AB为O 0的弦，P是AB上的一点，AB = 10cm，PA = 4cm.求O 0的半径.
2 2. 有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角 例：如图，已知AB 是O 0的直径，MN 分别是 A0B0的中点，CMLAB,DN1 AB,求证： A C B D 证明：（一）连结0C 0D ?/ M N 分别是A0 B0的中点 1 1 ? 0M = A0 0N = B0 2 2 ?/ 0A = 0B ? 0M = 0N ?/ CML 0A DNL 0B 0C = 0D ? Rt △ C0I W Rt △ D0N ???/ C0A = / D0B ? A C B D （二）连结 AC 0C 0D BD ?/ M N 分别是A0 B0的中点 ? AC = 0C BD = 0D ?/ 0C = 0D ? AC = BD ? A C ?D 3. 有弦中点时常连弦心距 例：如图，已知 M N 分别是O O 的弦AB CD 的中点,AB = CD ，求证：/ AMN = / CNM 证明： 连结OM ON ?/ O 为圆心，M N 分别是弦AB CD 的中点 C B
C B B A 1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。 【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点， 那么OP 的长的取值范围是_________． 2． 遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 【例3】如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，弦BC=2, ∠B= 3． 遇到90°的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 【例4】如图，AB 、AC 是⊙O 的的两条弦，∠BAC=90°， AB=6，AC=8，⊙O 的半径是
4．遇到弦时 常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。 【例5】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上， 则∠C的度数是________. 5．遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点） 作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。 【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB?的延长线于D，求证：AC=CD． （2）常常添加连结圆上一点和切点 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。 6．遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。 【例7】如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。 求证：直线L与⊙O相切。
O C B A 1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：1、利用垂径定理； 2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 4、可得等腰三角形； 5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。 例：如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于P 点，弦PN 与AB 相交于点M ， 求证：PM ?PN=2PO 2. 分析：要证明PM ?PN=2PO 2，即证明PM ?PC =PO 2， 过O 点作OC ⊥PN 于C ，根据垂经定理 NC=PC ，只需证明 PM ?PC=PO 2，要证明PM ?PC=PO 2只需证明Rt △POC ∽Rt △PMO. 证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ，∴PC= 2 1PN ∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°. 又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO. ∴ PO PC PM PO 即∴PO 2= PM ?PC. ∴PO 2= PM ?2 1 PN ，∴PM ?PN=2PO 2. 【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。 【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点， 那么OP 的长的取值范围是_________． 【例3】如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上， 则∠C 的度数是________.
小专题(十五)圆中常见的辅助线的添法 圆中常见辅助线的添加口诀及技巧 半径与弦长计算，弦心距来中间站． 圆上若有一切线，切点圆心半径连． 要想证明是切线，半径垂线仔细辨． 是直径，成半圆，想成直角径连弦． 弧有中点圆心连，垂径定理要记全． 圆周角边两条弦，直径和弦端点连． 还要作个内切圆，内角平分线梦圆． 三角形与扇形联姻，巧妙阴影部分算． 一、连半径——构造等腰三角形 1．如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上的两点，且AC＝BD.求证：△OCD是等腰三角形． 二、半径与弦长计算，弦心距来中间站 方法归纳：在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算．在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个． 2．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽AB为0.8 m，求排水管内水的深度． 三、见到直径——构造直径所对的圆周角 方法归纳：构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质． 3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E.∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数． 四、有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径 方法归纳：已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题． 4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F.切点为G，连接AG交CD于K.求证：KE＝GE. 五、“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切 方法归纳：证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径． 5．(呼伦贝尔中考)如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA＝5，AB与⊙O相切于点B，
解题技巧专题：圆的切线中常见辅助线的作法 ◆类型一 利用切线的性质时，连接圆心和切点 1．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，若∠P ＝70°，则∠C 的大小为( ) A ．40° B ．50° C ．55° D ．60° 第1题图 第2题图 第3题图 2．如图，一个边长为4cm 的等边三角形ABC 的高与⊙O 的直径相等．⊙O 与BC 相切于点C ，与AC 相交于点E ，则CE 的长为【方法3】( ) A ．4cm B ．3cm C ．2cm D ．1.5cm 3．(益阳中考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，过C 点的切线与AB 的延长线交于P 点，若∠P ＝40°，则∠D 的度数为________． 第4题图 第5题图 第6题图 4．如图，AB 切⊙O 于点B ，OA ＝23，∠BAO ＝60°，弦BC ∥OA ，则BC ︵ 的长为________(结果保留π)． 5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线DM 交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为________． 6．★如图，已知△ABC ，AB ＝BC ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，过点D 的⊙O 的切线交BC 于点E.若CD ＝5，CE ＝4，则⊙O 的半径是________． 7．如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于点E ，AC ⊥PQ 于点C ，交⊙O 于点D. (1)求证：AE 平分∠BAC ； (2)若AD ＝2，CE ＝3，∠BAC ＝60°，求⊙O 的半径． 8．如图，AB 是⊙O 的直径，ED ︵＝BD ︵ ，连接ED ，BD ，延长AE 交BD 的延长线于点M ，过点D
圆中常用辅助线的添加方法 圆中辅助线的添加口诀： 半径与弦长计算，弦心距来中间站.圆上若有一切线，切点圆心半径连. 切线长度的计算，勾股定理最方便.要想证明是切线，半径垂线仔细辨. 是直径，成半圆，想成直角径连弦.弧有中点圆心连，垂径定理要记全. 圆周角边两条弦，直径和弦端点连.弦切角边切线弦，同弧对角等找完. 要想作个外接圆，各边作出中垂线.还要作个内接圆，内角平分线梦圆. 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦.内外相切的两圆，经过切点公切线. 若是添上连心线，切点肯定在上面.要作等角添个圆，证明题目少困难. 1．遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径. 作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量. 例1 如图1，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点.求证：AC BD =. 证明 过O 作OE AB ⊥于E ∵ O 为圆心，OE AB ⊥ ∴ ,AE BE CE DE == ∴ AC BD = 练习 如图2，AB 为⊙O 的弦， P 是AB 上的一点，10AB cm =，4AP cm =.求⊙O 的半径. 2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角. 例2 如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM AB ⊥,DN AB ⊥. 求证： AC BD = 证明：（一）连结OC 、OD ∵ M 、N 分别是AO 、BO 的中点, ∴ 12OM AO =、1 2 ON BO =. ∵ OA OB =, ∴ OM ON =. ∵ CM AB ⊥,DN AB ⊥、OC OD =, ∴Rt △COM ≌Rt △DON . ∴COA DOB ∠=∠. ∴ AC BD =. 3.有弦中点时常连弦心距 例3 如图4，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点,AB CD =，求证：AMN CNM ∠=∠. 证明 连结OM 、ON .(其余证明过程略，请自己补充完整) 4.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法： ⑴连结过弧中点的半径；⑵连结等弧所对的弦；⑶连结等弧所对的圆心角 例4 如图5，已知D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 的中点，C 为弧AB 的中点，求证： CD CE =. 证明 连结OC ∵ C 为弧AB 的中点 ∴ AB BC = ∴∠AOC =∠BOC ∵ D 、E 分别为OA 、OB 的中点，且AO = BO, ∴ 11 22 OD OE AO BO ===. ∴ △ODC ≌△OEC. ∴CD = CE. 5.有直径．．时常作直径所对的圆周角．．．．．．．． ，再利用直径所对的圆周角为直角证题. 例5 如图6，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，P 为AC 延长线上一点，且AC PC =,PB 的延长线交⊙O 于D ，求证：AC DC =. 证明 连结AD. ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ADP = 90o . ∵AC = PC, ∴AC = CD = 12 AP . 例6 如图7，P 是⊙O 的弦CB 延长 线上一点，点A 在⊙O 上，且∠=∠BAP C . 求证：P A 是⊙O 的切线. 证明 作⊙O 的直径AD ，连BD ，则 ∠=∠∠=?C D ABD ,90，即∠+∠=?D BAD 90.所以∠+∠=?C BAD 90. 因为∠=∠C PAB ，所以∠+∠=?BAD PAB 90，即AP AD ⊥. 所以P A 为⊙O 的切线. 6.有等弧时常作辅助线有以下几种： ⑴作等弧所对的弦；⑵作等弧所对的圆心角；⑶作等弧所对的圆周角. 练习：1.如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，交点为E ，F 为DC 延长线上一点，连结AF 交⊙O 于M .求证：∠AMD =∠FMC (提示：连结BM ) 2.如图，△ABC 内接于⊙O ，D 、E 在BC 边上，且BD = CE ，∠1 =∠2，求证：AB = AC. 7.有弦中点时，常构造三角形中位线. ⊙O 中，AB ⊥CD ，OE ⊥BC 例7 已知如图8，在2题图1题图 B A 图1 图2 B A 图3 （二）连结AC 、 OC 、OD 、BD （如图3）. 请自己完成证明过程. 图4 C 图5 P 图6 图7
初中数学常见辅助线 说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。 解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线 有理数的加法运算：同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑；绝对值相等“零”正好。【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。 合并同类项：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。