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数学模型期末考试精彩试题及问题详解

轻工业学院 08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A 试卷

(本试卷共4页)

数学模型期末考试精彩试题及问题详解

说明:本次考试为开卷考试,参加考试的同学可以携带任何资料,可以使用计算器,但上述物品严禁相互借用。

一、简答题(本题满分16分,每小题8分)

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1、在§2.2录像机计数器的用途中,仔细推算一下(1)式,写出与(2)式的差别,并解释这个差别;

2、试说明在§3.1中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产费用,在什么条件下可以不考虑它;

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二、简答题(本题满分16分,每小题8分) 1、对于§5.1传染病的SIR 模型,叙述当σ

1

0>

s 时)(t i 的变化情

并加以证明。

2、在§6.1捕鱼业的持续收获的效益模型中,若单位捕捞强度的费用为捕捞强度E 的减函数, 即)0,0(,>>-=b a bE a c ,请问如何达到最大经济效益?

三、简答题(本题满分16分,每小题8分)

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1、在§9.3 随机存储策略中,请用图解法说明为什么s 是方程

)()(0S I c x I +=的最小正根。

2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力?

四、(本题满分20分)

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某中学有三个年级共1000名学生,一年级有219人,二年级有

316人,三年级有465人。现要选20名校级优秀学生,请用下列办

法分配各年级的优秀学生名额:(1)按比例加惯例的方法;(2)Q 值法。另外如果校级优秀学 生名额增加到21个,重新进行分配,并按照席位分配的理想化准则分析分配结果。

五、(本题满分16分)

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大学生毕业生小为选择就业岗位建立了层次分析模型,影响就

业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面,有三个 就业岗位可供选择。层次结构图如图,已知准则层对目标层的成对比较矩阵

??????????=12/15/1213/1531A ,方案层对准则层的成对比较矩阵分别为??

??

?

?????=1272/1147/14/111B ,

??????????=13/17/1313/17312B ,??

??

??????=12/16/1214/16413B 。

请根据层次分析方法为小确定最佳的工作岗位。

选择就业岗位

收入

发展

声誉

岗位1 岗位2 岗位3

六、(本题满分16分)

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某保险公司欲开发一种人寿保险,投保人需要每年缴纳一定数的额保险费,如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止(退

保)。 保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估,从而制定合适的投保金额和理赔金额。各种状态间相互转移的情况和概率如图。试建立马氏链模型分析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下,平均需要经过多少年投保人就会出现退保或死亡的情况,以及出现每种情况的概率各是多少?

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轻工业学院 08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A 试卷解答

一、简答题(本题满分16分,每小题8分) 1、 答:由(1)得vt m m mr =++2

)

1(22πω

π, 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

0.6

将kn m =代入得)2(22

ωππω++

=

r v

kn

n v

k t , 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

因为ω>>r 所以r r 22≈+ω,则得(2)。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

2、答:假设每件产品的生产费用为3c ,则平均每天的生产费用为r c 3,每天的平均费用是 r c rT c T c T C 31

211112

)(++=

, 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 下面求1T 使)(11T C 最小,发现dT

T dC dT T dC )

()(111=,所以 r

c c T T 21

12=

=,与生产费用无关,所以不考虑。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 二、简答题(本题满分16分,每小题8分)

1、答:由(14)

),1(-=s i dt

di

σμ若σ10>s ,

当01s s <<σ时,)(,0t i dt

di >增加; 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 当σ1=s 时,)(,0t i dt di =达到最大值m i ;

当σ1

di <减少且由1.知0=∞i 。

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 2、 答:E bE a S )(-=,则E bE a pEx S T R )(--=-=, 。。。。。。。。。。。。。。2分

将)1(0r E N x -=代入,得 2

)()()(E r pN b E a pN E R -+-=,

。。。。。。。。。。。。。。5分 令0='R 得pN

rb pN

a r E R --?=2。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

三、简答题(本题满分16分,每小题8分)

1、由于方程(4)左边随着S 的增加单调递增,因此)(u J 有唯一驻点x S u -=且为最小值点。从而

)(u J 是下凸的。而由)(u J 和)(x I 的表达式的相似性知)(x I 也是下凸的,而且在S x =处达最小值

)(S I 。 。

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 记)}()({0S I c x I x A +≤=, )}()({0S I c x I x B +>=则集合A 与B 的分界点即为订货点s ,此即

方程)()(0S I c x I +=的最小正根 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

2、答:(回答要点)培养想象力和洞察力。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 四、(本题满分20分)

解:20个席位:(1)、

38.4201000219=?,32.6201000316=?,30.9201000

465

=?因此比例加惯例分配结果为5、6、9个。(2)三方先分得4、6、9个,=?=

5421921Q 2398.05,=?=7

63162

2Q 2377.52 =?=10

94652

3Q 2402.5,3Q 最大,按Q 值法分配结果为4、6、10个。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

21个席位:(1)

599.4211000219=?,636.6211000316=?,765.9211000

465

=?因此比例加惯例分配结果为4、7、10个。(2)三方先分得4、6、10个, =?='11

104652

3

Q 195.68,1Q 最大,按Q 值法分配结果为5、6、10个。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。16分 显然此例中比例加惯例的方法违背了席位分配的理想化准则1,而Q 值法分配结果恰好也满足准则2,因此Q 值法分配结果是同时符合准则1和准则2.。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。20分 五、(本题满分16分) 解:用“和法”近似计算得:

矩阵A 对应的权向量为:T

)12.0,23.0,65.0(,最大特征根为3.003697,0018.0=CI ,0031.0=CR 矩阵1B 对应的权向量为:T

)60.0,32.0,08.0(,最大特征根为3.001982,001.0=CI ,0017.0=CR 矩阵2B 对应的权向量为:T

)09.0,24.0,67.0(,最大特征根为3.00703,0035.0=CI ,006.0=CR 矩阵3B 对应的权向量为:T )11.0,19.0,70.0(,最大特征根为3.00922,0046.0=CI ,008.0=CR

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

组合权向量为T )423664.0,283708.0,292628.0(

因此最佳的岗位为岗位3。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。16分 六、(本题满分16分)

解:由题意,转移概率矩阵为?????

????

???3.06.007.003.001.7.005.015.000100001

,从而知状态“退保”和“死亡”为两个吸收状态,此为吸收链。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

11

7.06.01.03.0)(--?

?????--=-=Q I M = ???

?

????2432324 Me y ==T )6,315(,因此在投保时健康或疾病状态下,平均需要经过3

1

5或6年投保人就会出现退保

或死亡的情况。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

MR F ==?

?

?

???34.066.028.072.0,因此在投保时健康状态下,被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为0.72和0.28;在投保时疾病状态下,被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为0.66和0.34。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。18分