南京信息工程大学 试卷
2005-2006学年 第 1 学期 《计算方法》 课程试卷( A 试卷)
本试卷共 2 页;考试时间 120 分钟;任课教师 雷金贵 出卷时间2005年 12 月
系 专业 学号 姓名 得分
一、 测得某桌面的长a 的近似值a *=120cm,宽b 的近似值b *=60cm 。若已知 |e(a *)|≤0.2cm,|e(b *)|≤0.1cm 。 试求近似面积s *= a *b * 的绝对误差限与相对误差限。(9分)
解: 面积s=ab, 则绝对误差限为
*)
(**)(**)(*)
*,(*)(*)*,(*)(b e a a e b b e b b a s a e a b a s s e +=??+??≈
4分 2
241.01202.060|
*)(||*||*)(||*||*)(|cm
b e a a e b s e =?+?≤+≤ 2分
相对误差限为
%33.060
12024
|**)(|
|*)(|=?≤=s s e s e r 3分 二、 为求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的一个根,要求:
1. 给出求解方程根的两种迭代公式(4分); 2. 判断两种迭代公式的收敛性;(6分)
3. 任意取一种收敛的迭代公式计算方程在5.10=x 的根,要求
4110-+<-n n x x ;(4分)
4. 推导出求解上述方程的Newton 迭代公式。(6分) 解:1、方程的三种等价形式为:
(1)211x x +
= ,相应的迭代公式为:2111n
n x x +=+ 2分 (2)231x x +=,相应的迭代公式为:32
11n n x x +=+ 2分
2、令21
1)(x x +
=?,3
5.12)5.1(='?<1 第一种迭代法收敛 3分
令321)(x x +=?,()
3
2
3
2225.2185.115
.13
2
)5.1(???
?
??+=+?=
'?<1,
第二种迭代法收敛 3分
3、
由于49810x x -<-,取46560.19*=≈x x 4分 4、直线的两点公式为:
k x x y y =--0
0,把()123--==k k k k x x x f y ,01=+k y ,()1
223k
k k x x x f k -='= 带入方程整理得:
1
2231
231k
k k k k k x x x x x x ----=+k k k k x x x x 239
29191322--++= 6分 三、 给定方程组b Ax =,其中?
?
??
?????
???=30
10
43211010
0201
A ,????
?
?
??????=51334b ,
1、 用gauss 消去法给出方程组的准确解;(4分)
2、
用矩阵的直接三角分解法,给出矩阵的A 的LU 分解;(6分)
3、
计算∞∞b b b A A ,,,,211。(5分)
解:1、方程组得精确解为:
????
??
? ??=1122x 4分
2、矩阵A 的LU 分解为:
A =LU =??????? ?????????
??21210102011010121101
6分
3、
79865
.14219;13;25;10;82
11≈=====∞
∞b
b
b A A 5分
四、 给定方程组
??????
?-=---=----=--+-=---9523822277542
143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x 1、 写出Jacobi 迭代法的迭代公式,判断其收敛性;(4+2=6分) 2、 写出Gauss-Seidel 迭代法的迭代公式,判断其收敛性;(4+2=6分) 3、
任意取初始向量,用其中一种迭代法计算方程组的近似解,要求
2)()1(10-∞
+<-n n x x
。(4分) 解:1、Jacobi 迭代公式为:
()
()
()
()
?????
???
??
?++--=+++-=+++=+++=++++k k k k
k k k k
k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x 2
1133
21133
311243211295123812271751 () ,2,1,0=k 4分
系数矩阵是主对角占优矩阵,故Jacobi 迭代法收敛; 2分
2、Gauss-Seidel 迭代法公式为:
()
()
()
()
???????????++-=+++-=+++=+++=
+++++++++12
11133
1211133
3111243211295123812271751k k k k k k k k k k k k
k k k x x x x x x x x x x x x x x x () ,2,1,0=k 4分 系数矩阵是主对角占优矩阵,故Gauss-Seidel 迭代法收敛; 2分
3、任意取初始值,求得近似解,(精确解为????
??
? ??=1112x ) 4分
五、 已知)(x f 的以下下数据:
1.求以以如上数据为插值结点的Lagrange 多项式;(6分) 2. 使用Lagrange 插值多项式计算f(1.6);(2分) 3.给出插值多项式的误差估计式。(4分) 4.给定数据表f(x)=lnx 数据表
xi 2.20 2.40 2.60 2.80 f(xi) 0.78846 0.87547 0.95551 1.02962 构造差商表,写出三次Newton 差商插值多项式N3(x) 。(6分) 解:1、Lagrange 插值多项式为: ()()()()()()()()()()()()()
3121327321.131********.13121320
.12----+----+----=x x x x x x x L
=-0.048152x +0.55865x +0.4895 6分
2、f(1.6)=1.26491 2分
3、误差估计式为:
()()()()()31,321!
3)()3(,∈---=ξξx x x f x R 4分
4、构造差商表如下:
02250
.0073875.037055
.002962
.180.2087375
.040010
.095551.060.243505
.087547.040.278846.020.2]
[--三阶差商
二阶差商
一阶差商i i
x f x 4分
N3(x)= 0.78846+0.43505(x-2.20)- 0.087375(x-2.20)(x-2.40)
+0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60) 2分
六、电流通过2Ω电阻,用伏安法侧得的电压电流如表
用最小二乘法处理数据。(12分)
解 1.确定V=?(I)的形式。将数据点描绘在坐标上可以看出这些点在一条直线的附近,故用线形拟合数据,即 2分 2.建立方程组。 I a a V 10+= 2分
4
.442,7.61,
221,31,66
1
6
1
6
1
261
=====∑∑∑∑====k k k k k
k k k k V i V
i i m
则法方程组为
??
?
???=????????????4.4427.612213131610a a 6分 3.求经验公式,解所得法方程组得 032.2,215.010=-=a a 所求经验公式为 V=-0.215+2.032I 2分
七、设有?-1
1)(dx x f ≈ A0 ?(-1)+A1 ?(0)+A2 ?(1)成立,试求 A0、 A1 、 A2,
使上述代数精度尽可能高,并求其公式的代数精度。(10分)
解:设?(x)=1,x ,x2,则有 2分
A0 +A1 + A2=2
- A0 + A2=0
A0 + A2=2/3 4分三式联立,得 A0 =1/3,A1 =4/3, A2=1/3;
则
?-11)(dx
f≈ [?(-1)+4 ?(0)+ ?(1)]/3 2分
x
取?(x)=x3,左=右=0;
但在?(x)=x4时,左=∫-11x4dx=2/5 ≠右=2/3
所以具有3次代数精度。 2分
2012 年(秋)季学期 课程名称:计算方法 C卷(闭卷)
2012 年(秋)季学期
2012 年(秋)季学期
2012 年(秋)季学期
2012 年 秋 季 (计算方法) (C) 卷标准答案及评分细则 一、 填空题 (每题2分,共20分) 1、 截断 舍入 ; 2、则 ()0n k k l x =∑= 1 ,()0 n k j k k x l x =∑= j x , 4、 12 。 4、 2.5 。 5、10 次。 6、A 的各阶顺序主子式均不为零。 7 、1A ρ=+() ,则6 A ∞ =。 二、综合题(共80分) 1. (本题10分)已知f (-1)=2,f (1)=3,f (2)=-4,求拉格朗日插值多项式)(2x L 及f (1,5)的近似值,取五位小数。 解: )12)(12() 1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2-+-+? --+-+?+------? =x x x x x x x L (6分) )1)(1(34 )2)(1(23)2)(1(32-+--+---= x x x x x x (2分) 04167.024 1 )5.1()5.1(2≈= ≈L f (2分) 2. (本题10分)用复化Simpson 公式计算积分()?=1 0sin dx x x I 的近似值,要求误差限为5105.0-?。 ()()0.9461458812140611=???? ??+??? ??+= f f f S (3分) ()()0.94608693143421241401212=???? ??+??? ??+??? ??+??? ??+= f f f f f S (4分) 5-12210933.0151 ?=-≈ -S S S I 94608693.02=≈S I (3分) 或利用余项:()() -+-+-==!9!7!5!31sin 8 642x x x x x x x f () -?+?-=!49!275142) 4(x x x f ()51 )4(≤ x f
注:1、教师命题时题目之间不留空白; 2、考生不得在试题纸上答题,教师只批阅答题册正面部分,若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案 一.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 1.设有节点012,,x x x ,其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ,则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =,则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -????=--????-??,233x ?? ??=?? ???? ,则1A = ,1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二.简答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分) 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解?为什么说平方根法计算稳定? 2. 什么是不动点迭代法?()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点? 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ,请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三.求一个次数不高于3的多项式()3P x ,满足下列插值条件: i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。(10分) 四.试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。(10分) 五.用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。(10分) 六.试用Doolittle 分解法求解方程组:
注:1、教师命题时题目之间不留空白; 2、考生不得在试题纸上答题,教师只批阅答题册正面部分,若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? (10分) 七.请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式,并 判断其是否收敛?(10分) 八.就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。(10分)
《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案:, 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 , 拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); ( 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y ),y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为
( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y ); 10、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( ); 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f ),代数精 度为( 5 ); 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ,1 ,进行两步后根的所在区间为 , 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ,用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ,梯形公式的代数精度为 1 ,辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ,该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ,)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高,具 有( 12+n )次代数精度。
《计算方法》期末考试试题 一 选 择(每题3分,合计42分) 1. x* = 1.732050808,取x =1.7320,则x 具有 位有效数字。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 2. 取7 3.13≈(三位有效数字),则 ≤-73.13 。 A 、30.510-? B 、20.510-? C 、10.510-? D 、0.5 3. 下面_ _不是数值计算应注意的问题。 A 、注意简化计算步骤,减少运算次数 B 、要避免相近两数相减 C 、要防止大数吃掉小数 D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量)0(x 及常向量g ,迭代过程g x B x k k +=+)() 1(收敛的充分必要条件是_ _。 A 、11< B B 、1<∞ B C 、1)(数值分析学期期末考试试题与答案(A)
期末考试试卷(A 卷) 2007学年第二学期 考试科目: 数值分析 考试时间:120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题(每小题2分,共10分) 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时,应按照n 从小到大的顺序相加。 ( ) 2. 为了减少误差,进行计算。 ( ) 3. 用数值微分公式中求导数值时,步长越小计算就越精确。 ( ) 4. 采用龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题时,公式阶数越高,数值解越精确。( ) 5. 用迭代法解线性方程组时,迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关,与常数项无关。 ( ) 二、填空题(每空2分,共36分) 1. 已知数a 的有效数为0.01,则它的绝对误差限为________,相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____,2x =______,Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高,应使1A = ,2A = ,3A = ,此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时,使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时,系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩
数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字,求绝对误差限。(4分) 解: 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ (6分) 解: {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= (6分) ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时,)(1k k x x ?=+ (k=0,1……)产生的序列{}k x 收敛于2 解: ①Newton 迭代格式为: x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分
②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ,其中:? ??=1 3A ??? 22,??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α(k=0,1……)求解Ax=b ,问取什么实数α,可使迭代收 敛 (8分) 解: 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即,解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意,须使1)(《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉 格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式就是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差与( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 10、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5、9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0、15 ); 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式
《计算方法》期中复习试题 一、填空题: 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案:, 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 , 拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 7、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 8、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( ); 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f ),代数精 度为( 5 ); 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。
一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有( )和( )位有效数字. A .4和3 B .3和2 C .3和4 D .4和4 2. 已知求积公式 ,则=( ) A . B . C . D . 3. 通过点 的拉格朗日插值基函数满足( ) A . =0, B . =0, C .=1, D . =1, 4. 设求方程 的根的牛顿法收敛,则它具有( )敛速。 A .超线性 B .平方 C .线性 D .三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程( ). A . B . C . D . π()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? A 1613122 3()()0011,,,x y x y ()()01,l x l x ()00l x ()110l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =()0 f x =12312312 20 223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=?232 x x -+=232 1.5 3.5 x x -+=2323 x x -+=
单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 二、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设, 则 , . 2. 一阶均差 3. 已知时,科茨系数 ,那么 4. 因为方程 在区间 上满 足 ,所以 在区间内有根。 5. 取步长,用欧拉法解初值问题 的计算公 式 . 填空题答案 230.5 1.5 x x -=-T X )4,3,2(-==1||||X 2||||X =()01,f x x = 3n =()()() 33301213,88C C C === () 3 3C =()420 x f x x =-+=[]1,2()0 f x =0.1h =()211y y y x y ?'=+?? ?=?
,取 , ,取初始值, 近似解的梯形公式是 ,则== = =
10、设,当时,必有分解式,其中 L为下三角阵,当其对角线元素足条件时,这种分解是唯一的。 二、计算题(共60 分,每题15分) 1、设 在上的三次Hermite插值多项式H(x)使满 (1)试求 足H(x)以升幂形式给出。 (2)写出余项的表达式 2、 已知的满足,试问如何利用构造一 个收敛的简单迭代函数,使0,1…收敛? 3、试确定常数A,B,C和,使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少?它是否为Gauss型的? 4、推导常微分方程的初值问题的数值解公式:
三、证明题 1、设 (1)写出解 的Newton迭代格式 (2)证明此迭代格式是线性收敛的 2、设R=I-CA,如果,证明: (1)A、C都是非奇异的矩阵 (2) 参考答案: 一、填空题 1、2.3150 2、 3、 4、1.5 5、 6、 7、 8、收敛
9、O(h) 10、 二、计算题 1、1、(1) (2) ,可得 2、由 因故 故,k=0,1,…收敛。 3、,该数值 求积公式具有5次代数精确度,它是Gauss型的 4、数值积分方法构造该数值解公式:对方程在区间 上积分,得 ,记步长为h,对积分
用Simpson求积公式得 所以得数值解公式: 三、证明题 1、证明:(1)因,故,由Newton 迭代公式: n=0,1,… 得,n=0,1,… (2)因迭代函数,而, 又,则 故此迭代格式是线性收敛的。 2、证明:(1)因,所以I–R非奇异,因I–R=CA,所以C,A都是非奇异矩阵 (2)(2)故则有
1.已知 ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0 .8329,试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差 2.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值 3. 分别求满足习题1和习题2 中插值条件的Newton插值 (1) (2)
3()1(2)(2)(3) 310 N x x x x x x x =+--+--4. 给出函数f(x)的数表如下,求四次Newton 插值多项式,并由此计算f(0.596)的值 解:
5.已知函数y=sinx的数表如下,分别用前插和后插公式计算sin0.57891的值
6.求最小二乘拟合一次、二次和三次多项式,拟合如下数据并画出数据点以及拟合函数的图形。 (a) (b)
7.试分别确定用复化梯形、辛浦生和中矩形 求积公式计算积分2 14dx x +?所需的步长h ,使得精度达到5 10 -。 8.求A 、B 使求积公式 ?-+-++-≈1 1)] 21()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的 代数精度尽量高,并求其代数精度;利用 此公式求? =2 1 1dx x I (保留四位小数)。 9.已知 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求
) (x f 的三次插值多项式)(3 x P ,并求)2(f 的近 似值(保留四位小数)。 10.已知 求)(x f 的二次拟合曲线)(2 x p ,并求)0(f 的近似值。 11.已知x sin 区间[0.4,0.8]的函数表
数值分析复习试题 第一章 绪论 一. 填空题 1.* x 为精确值 x 的近似值;() **x f y =为一元函数 ()x f y =1的近似值; ()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值,请写出下面的公式:**e x x =-: *** r x x e x -= ()()()*'1**y f x x εε≈? ()() () ()'***1**r r x f x y x f x εε≈ ? ()()()() ()* *,**,*2**f x y f x y y x y x y εεε??≈?+??? ()()()()() ** * *,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε??≈ ?+??? 2、 计算方法实际计算时,对数据只能取有限位表示,这时所产生的误差叫 舍入误 差 。 3、 分别用2.718281,2.718282作数e 的近似值,则其有效数字分别有 6 位和 7 位;又取 1.73≈-21 1.73 10 2 ≤?。 4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字,则12x x 的相对误差限为 0.0055 。 5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字,则12x x +的误差限为 0.01 。 6、 已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得 到,则相对误差限为 0.0000204 . 7、 递推公式,??? ? ?0n n-1y =y =10y -1,n =1,2, 如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误 差为 81 10 2 ?;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、 精确值 14159265.3* =π,则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3
西安交大统计学考试试卷 一、单项选择题(每小题2分,共20分) 1.在企业统计中,下列统计标志中属于数量标志的是(C) A、文化程度 B、职业 C、月工资 D、行业 2.下列属于相对数的综合指标有(B ) A、国民收入 B、人均国民收入 C、国内生产净值 D、设备台数 3.有三个企业的年利润额分别是5000万元、8000万元和3900万元,则这句话中有(B)个变量? A、0个 B、两个 C、1个 D、3个 4.下列变量中属于连续型变量的是(A ) A、身高 B、产品件数 C、企业人数 D、产品品种 5.下列各项中,属于时点指标的有(A ) A、库存额 B、总收入 C、平均收入 D、人均收入 6.典型调查是(B )确定调查单位的 A、随机 B、主观 C、随意D盲目 7.总体标准差未知时总体均值的假设检验要用到(A ): A、Z统计量 B、t统计量 C、统计量 D、X统计量 8. 把样本总体中全部单位数的集合称为(A ) A、样本 B、小总体 C、样本容量 D、总体容量 9.概率的取值范围是p(D ) A、大于1 B、大于-1 C、小于1 D、在0与1之间 10. 算术平均数的离差之和等于(A ) A、零 B、1 C、-1 D、2 二、多项选择题(每小题2分,共10分。每题全部答对才给分,否则不计分) 1.数据的计量尺度包括(ABCD ): A、定类尺度 B、定序尺度 C、定距尺度 D、定比尺度 E、测量尺度 2.下列属于连续型变量的有(BE ): A、工人人数 B、商品销售额 C、商品库存额 D、商品库存量 E、总产值 3.测量变量离中趋势的指标有(ABE ) A、极差 B、平均差 C、几何平均数 D、众数 E、标准差 4.在工业企业的设备调查中(BDE ) A、工业企业是调查对象 B、工业企业的所有设备是调查对象 C、每台设备是 填报单位D、每台设备是调查单位E、每个工业企业是填报单位 5.下列平均数中,容易受数列中极端值影响的平均数有(ABC ) A、算术平均数 B、调和平均数 C、几何平均数 D、中位数 E、众数 三、判断题(在正确答案后写“对”,在错误答案后写“错”。每小题1分,共10分) 1、“性别”是品质标志。(对) 2、方差是离差平方和与相应的自由度之比。(错) 3、标准差系数是标准差与均值之比。(对) 4、算术平均数的离差平方和是一个最大值。(错)
一、 名词解释 1.误差:设*x 为准确值x 的一个近似值,称**()e x x x =-为近似值*x 的绝对误差, 简称误差。 2.有效数字:有效数字是近似值的一种表示方法,它既能表示近似值的大小,又能 表示其精确程度。如果近似值*x 的误差限是1 102 n -?,则称*x 准确到 小数点后n 位,并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。 3. 算法:是指解题方案的准确而完整的描述,是一系列解决问题的清晰指令,算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。计算一个数学问题,需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序,这就是算法。 4. 向量范数:设对任意向量n x R ∈,按一定的规则有一实数与之对应,记为||||x ,若||||x 满足 (1)||||0x ≥,且||||0x =当且仅当0x =; (2)对任意实数α,都有||||||x αα=||||x ; (3)对任意,n x y R ∈,都有||||||||||||x y x y +≤+ 则称||||x 为向量x 的范数。 5. 插值法:给出函数()f x 的一些样点值,选定一个便于计算的函数形式,如多项式、 分段线性函数及三角多项式等,要求它通过已知样点,由此确定函数 ()x ?作为()f x 的近似的方法。 6相对误差:设*x 为准确值x 的一个近似值,称绝对误差与准确值之比为近似值* x 的 相对误差,记为* ()r e x ,即** () ()r e x e x x = 7. 矩阵范数:对任意n 阶方阵A ,按一定的规则有一实数与之对应,记为||||A 。若||||A 满足 (1)||||0A ≥,且||||0A =当且仅当0A =; (2)对任意实数α,都有||||||A αα=||||A ; (3)对任意两个n 阶方阵A,B,都有||||||||||||A B A B +≤+; (4)||||||||AB A =||||B
一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有( )和( )位有效数字. A .4和3 B .3和2 C .3和4 D .4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ,则A =( ) A . 16 B .13 C .12 D .2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足( ) A . ()00l x =0, ()110l x = B . () 00l x =0, ()111 l x = C .() 00l x =1,()111 l x = D . () 00l x =1, ()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛,则它具有( )敛速。 A .超线性 B .平方 C .线性 D .三次 5. 用列主元消元法解线性方程组12312312 20223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方 程( ). A . 232 x x -+= B . 232 1.5 3.5 x x -+= C . 2323 x x -+= D . 230.5 1.5 x x -=-
单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 二、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时,科茨系数 ()()() 33301213,88C C C ===,那么() 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ,所以()0f x =在区 间有根。 5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 0,1,2
《计算方法》期中复习试题 一、填空题: 1、已知/⑵=12 /⑶= 1.3 ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 J 1 /(x )d“ ,用三点式求得广⑴? ___________ 。 答案:2.367, 0.25 2、/(1) = -1, /⑵=2, /(3) = 1,则过这三点的二次插值多项式中F 的系数为 ___________ ,拉格 朗日插值多项式为 ________________________ L 、(x) — — (x — 2)(x — 3) — 2(x — l)(x — 3) — — (x — l)(x — 2) 3、近似值疋=0.231关于真值% = 0.229有(2 )位有效数字; 4、设/(J 可微,求方程Y = /U )的牛顿迭代格式是( 答案畑 1 一厂 (x“) 5、 对/V ) = P + x + l 差商/'[0,1,2,3]=( 1 ),/[0丄2,3,4] =( 0 ); 6、 计算方法主要研究(裁断)误差和(舍入)误差; 7、 用二分法求非线性方程f (x )=0在区间@力)内的根时,二分〃次后的误差限为 b-a (耐 ); 8、已知人1)=2,人2)=3,人4)=5.9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为(0.15 ); 11、 两点式高斯型求积公式匸心皿利"曲4[磴#)+磴为]),代数精度为 (5); … 3 4 6 y = 10 ---------- 1 -------- ------------ T 12、 为了使计算 兀一 1匕一1广 仗一1)的乘除法次数尽量地少,应将该表达 式改写为〉'=1°+(3+(4-6/””,『=口,为了减少舍入谋差,应将表达式^/555^-^/i^ 答案:-1, );
练习题与答案 练习题一 练习题二 练习题三 练习题四 练习题五 练习题六 练习题七 练习题八 练习题答案 练 习 题 一 一、是非题 1.–作为x 的近似值一定具有6位有效数字, 且其误差 限4102 1 -?。 ( )
2.对两个不同数的近似数,误差越小,有效数位越多。 ( ) 3.一个近似数的有效数位愈多,其相对误差限愈小。 ( ) 4.用212 x - 近似表示cos x 产生舍入误差。 ( ) 5.和作为的近似值有效数字位数相同。 ( ) 二、填空题 1.为了使计算 ()()23 34912111y x x x =+ -+ ---的乘除法次 数尽量少,应将该表达式改写为 ; 2.–是x 舍入得到的近似值,它有 位有效数字,误差限为 ,相对误差限
为; 3.误差的来源是; 4.截断误差为; 5.设计算法应遵循的原则 是。 三、选择题 1.–作为x的近似值,它的有效数字位数为( ) 。 (A) 7; (B) 3; (C) 不能确定 (D) 5. 2.舍入误差是( )产生的误差。 (A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值
(C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值 3.用 1+x近似表示e x所产生的误差是( )误差。 (A). 模型 (B). 观测 (C). 截断(D). 舍入 4.用s*=21g t2表示自由落体运动距离与时间的关系式(g为重力加速度),s t是在时间t内的实际距离,则s t s*是()误差。 (A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5.作为的近似值,有( )位有效数字。 (A) 3; (B) 4; (C) 5; (D) 6。
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