行列式测试题(有答案)
第九讲
行列式单元测试题点评
一、填空题（每小题2分，满分20分）
1．全体3阶排列一共有6 个，它们是123,132,213,231,312,321；
2. 奇排列经过奇数次对换变为偶排列，奇排列经过偶数次
对换变为奇排列；
3. 行列式D和它的转置行列式D'有关系式D D'
=；
4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号；
5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这
个行列式等于零；
6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到
行列式符号的外边；
7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）
的对应元素上，行列式的值不变；
8. 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的
代数余子式的乘积之和等于零；
9.
11121
222
1122
; 00
n
n
nn
nn
a
a a
a a
a a a
a
=
10.当k=2
2
±
时，5
42
k k
k
=。
二、判断题（每小题3分，满分24分）
1.1)(,)(31221±==k i i i i k i i i n n ππ则若 （∨）
的符号
的一般项则设n n j i j i j i nn
n n n
n
a a a a a a a a a a a a D
2211D ,.221
22221
11211
=
.)1()
(21n j j j π-是 （×）
3. 若n(n>2)阶行列式D=0,则D 有两行（列）元素相同. (×) 4．若n 阶行列式D 恰有n 个元素非0，则D ≠0. (×) 5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆法则求解。 （×） 6．若行列式D 的相同元素多于2n n -个，则D=0. (×)
7.
11
121313233321222312
222331
32
33
11
21
31
a a a a a a a a a a a a a a a a a a = (×)
8.n 阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。 （×） 三、单项选择题（每小题4分，满分20分） 1．位于n 级排列12111k k n i i i i i -+中的数1与其余数形成的
反序个数为（ A ）
（A ）k-1 (B) n-k-1 (C) k
n C (D) 2
n C k -
2.设12n i i i 是奇排列，则121n n i i i i -是（C ）
（A ）奇排列； （B ） 偶排列；
（C ）奇偶性不能仅由n 的奇偶性确定的排列； （D ）奇偶性仅由n 的奇偶性确定的排列。
3．一个不等于0的n 阶行列式中非零元素个数至少为（D ）；
22
()(1)
()()(1)()A n n B n C n D n --
4．以下数集作成数环的是( C )
(1) S={}
5Z ∈; (2) S={}
0a a Q ≠∈;
(3) S={}3,a b
b Z +∈; （4） S={}
3,a i a b Q +∈.
（A ）（1）、（3） （B ）（2）、（4） （C ）（3）、（4） （D ）（1）、（4）
5．行列式000
000
a e b
f g
c h d
中元素f 的代数余子式是（ C ） ()
()()()
d e d e a e
a
e
A B C g
D g
f
g
f
h d
h d -
-
四、计算下列各题（每小题5分，满分20分）
1．计算(
)π(2k)1(2k-1)2(k+1)k ；
521-)2(1)](12)
(1)k k k k +=++
++
+-
3．计算行列式
D=
2223
3
3
4443453453
4
5
345的值。
2
22222
2222333333
3333
44
4
4
4
4
4
4
4
411
11155555
2345623456
52
3456234562345623456
234562345632)42)52)62)43)53)63)
54)64)6555
==----------解（（（（（（（（（（）=288
4．计算行列式 1
2
3
1110
022
00
11n n
n n
--=--
-n D 的值。
21
112311
10000
22000001112310
1000(1)0
020
02
1(1)(1)!1(1)!1.
22
n n n n n n D n n n n n n
n
n n n n ----==
-----+--++=--=
-将第至列都加到第一列
解
（）
（）
五、证明下列各题（满分16分）
121
2,F F F F 1.设均为数域，证明也是数域。（5分）
2．已知a,b,c 均不为0，证明ay bx c cx az b bz cy a +=??
+=??+=?
有唯一解。（5分）
证明 因为方程组的系数行列式
020(,,00b a D c a abc a b c c b
==-≠均不为）
所以有克莱姆法则知，方程组有唯一解。
3．设a,b,c 是一个三角形的三边，证明000.00a b
c
a c b
b c a c b a <（6分）
证明
0110000101
01010
10
1a b c
a b c
a c b
c b
a
c b b c
b
c
a c
a c a
b
a c c
b a b a b a a b
c
---==------（a+b+c)
（a+b+c)
证明 因为
121212*********,1,0,1,,,,,,,(0),,,(0)
,,(0)F F F F a b F F a b F a a
a b F a b ab b F a b ab b b b
a
F a b ab b F F F F b
∈?∈?∈??∈∈?±≠∈±≠∈?±≠∈???是数域。
.
====-a
c-b b-c -a c-b b-c
（a+b+c)c-a
-b
a-c （a+b+c)c
-c a-b b-a a-b
-c b a-c
-b
-1
11
=（a+b+c)(a-(b+c))c
-c a-b b a-c -b -1
00（a+b+c)(a-(b+c))c
0a+c-b b
a+b-c
（a+b+c)(a-(b+c))(a+b-c)(a+c-b)<0
（因为a,b,c 是三角形的三边）
本讲作业：
（一）解答下列各题
1.计算行列式
123113121
1
23
1
n x n
D x n
x +=++
110,(1)|.2),,
[(1)]()2)[(1)]|1=2)
[(1)]
n n n n
n n n x D x D x x n D x i x j i j x x n D D x D x x n -==------≠------解当时，所以同理（均为的因式。又与各不相
同，所以
（x-1)（ 但的展开式中最高次项的系数为，所以
（x-1)（
2.计算n 阶行列式
51000
6
510
00
650000051000
65
D =
121
1
1156560,5
A231,22319
4,93-2.
n n n n n n n n n D D D x A B D B n A B A B D ----++=--+=+=?=+=?
+=?=-=?=2解由于按第一列展开有 ，作特征方程 x 解此方程得二根2,3，令 ，令可得 解得
01211
012
1
2
1031
2
3
1
3.(1)()(),
22(),cos sin .
n n n n n n n n i
i i a a a a a a a a D a a a a f f f a a a a f x a x i n n εεππ
ε--------=====+∑证明 其中0
12121101224
2(1)
210312(1)
(1)(1)1
2
3
0111
1
111n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a εεεεεε
εεε------------????
??
? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ??
?
??证明作矩阵乘积
2122112422(1)112(1)2(1)(1)121
242(1)12(1)
(1)((1)()()()(1)()()
()
(1)
()()
()(1)()()
()1111111n n n n n n n n n n n n n n n n f f f f f f f f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε---------------?? ? ?
?
= ? ?
??
?
=11)(1)()
()n f f f εε--??
??
?
? ? ? ? ? ?
? ???
??
?
两边取行列式即得所征。
22222
2222
222
2
2
2
2
12312(1)(1)1(2)2341n n n n n n --
-说明:此行列式称为循环行列式，以后见到以下类型的行列式计算，可直接利用这一结果。
例如计算行列式 D=（二）阅读教材P49-60，并回答什么是矩阵、矩阵的相等？矩阵有哪些运算和性质？有哪些特殊矩阵和特殊性质？