特征值：一矩阵A作用与一向量a，结果只相当与该向量乘以一常数λ。即A*a=λa，则a 为该矩阵A的特征向量，λ为该矩阵A的特征值。 奇异值：设A为m*n阶矩阵，A H A的n个特征值的非负平方根叫作A的奇异值。记 (A) 为σ i 上一次写了关于PCA与LDA的文章，PCA的实现一般有两种，一种是用特征值分解去实现的，一种是用奇异值分解去实现的。在上篇文章中便是基于特征值分解的一种解释。特征值和奇异值在大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示，这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。就像是描述一个人一样，给别人描述说这个人长得浓眉大眼，方脸，络腮胡，而且带个黑框的眼镜，这样寥寥的几个特征，就让别人脑海里面就有一个较为清楚的认识，实际上，人脸上的特征是有着无数种的，之所以能这么描述，是因为人天生就有着非常好的抽取重要特征的能力，让机器学会抽取重要的特征，SVD是一个重要的方法。 在机器学习领域，有相当多的应用与奇异值都可以扯上关系，比如做feature reduction的PCA，做数据压缩（以图像压缩为代表）的算法，还有做搜索引擎语义层次检索的LSI（Latent Semantic Indexing） 另外在这里抱怨一下，之前在百度里面搜索过SVD，出来的结果都是俄罗斯的一种狙击枪（AK47同时代的），是因为穿越火线这个游戏里面有一把狙击枪叫做 SVD，而在Google上面搜索的时候，出来的都是奇异值分解（英文资料为主）。想玩玩战争游戏，玩玩COD不是非常好吗，玩山寨的CS有神马意思啊。国内的网页中的话语权也被这些没有太多营养的帖子所占据。真心希望国内的气氛能够更浓一点，搞游戏的人真正是喜欢制作游戏，搞Data Mining的人是真正喜欢挖数据的，都不是仅仅为了混口饭吃，这样谈超越别人才有意义，中文文章中，能踏踏实实谈谈技术的太少了，改变这个状况，从我自己做起吧。 前面说了这么多，本文主要关注奇异值的一些特性，另外还会稍稍提及奇异值的计算，不过本文不准备在如何计算奇异值上展开太多。另外，本文里面有部分不算太深的线性代数的知识，如果完全忘记了线性代数，看本文可能会有些困难。 一、奇异值与特征值基础知识： 特征值分解和奇异值分解在机器学习领域都是属于满地可见的方法。两者有着很紧密的关系，我在接下来会谈到，特征值分解和奇异值分解的目的都是一样，就是提取出一个矩阵最重要的特征。先谈谈特征值分解吧：
矩阵分解以及矩阵范数在数值计算中的应用 张先垒 （自动化与电气工程学院 控制科学与工程 2012210186） 【摘要】矩阵的分解是将一个矩阵分解为较为简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或 者乘积，这是矩阵理论及其应用中比较常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵的分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，它是应用于解最优化问题、特征值问题、最小二乘方问题的主要数学工具。 关键词 ： 矩阵分解 对角化 逆矩阵 范数 条件数 1. 引言 矩阵分解在工程中的应用主要是在解线性方程组中,而这主要就是关系到储存和计算时间的问题上面,如何实现最小的储存和最少的计算时间是在工程计算中的头等问题。在这方年就牵涉到很多对矩阵进行怎样的分解，这篇文章介绍了基本的关于三角分解相关的内容以及关于界的稳定性的考虑。 2. 矩阵的三角分解求解线性方程组 数值求解线性方程组的方法中有一个主要是直接法，假设计算中没有舍入误差，经过有限次算术运算能够给出问题的精确解的数值方法。其中高斯消去法就是利用矩阵的分解实现的。矩阵论一种有效而且应用广泛的分解法就是三角分解法，将一个矩阵分解为一个酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积。（见课本P93例4.3）考虑一般的线性方程组，设其中的系数矩阵A 是可逆的， 1111 n m mn a a A a a ?? ? = ? ??? （1-1） 设矩阵A 的第一列中至少有一个是非零元素（否则A 就是奇异矩阵）不妨设为1i a 若一 般的记初等矩阵 [1] 如1-2式及矩阵论课本上的Givens 矩阵。
C语言课程设计报告 课程名称：计算机综合课程设计 学院：土木工程学院 设计题目：矩阵特征值分解 级别： B 学生姓名： 学号： 同组学生：无 学号：无 指导教师： 2012年 9 月 5 日 C语言课程设计任务书 （以下要求需写入设计报告书） 学生选题说明: 以所发课程设计要求为准，请同学们仔细阅读； 本任务书提供的设计案例仅供选题参考；也可自选，但难易程度需难度相当； 鼓励结合本专业（土木工程、力学）知识进行选题，编制程序解决专业实际问题。
限2人选的题目可由1-2人完成（A级）；限1人选的题目只能由1人单独完成（B级）；设计总体要求: 采用模块化程序设计； 鼓励可视化编程； 源程序中应有足够的注释； 学生可自行增加新功能模块（视情况可另外加分）； 必须上机调试通过； 注重算法运用，优化存储效率与运算效率； 需提交源程序(含有注释)及相关文件(数据或数据库文件)； (cpp文件、txt或dat文件等) 提交设计报告书，具体要求见以下说明。 设计报告格式： 目录 1．课程设计任务书（功能简介、课程设计要求）； 2．系统设计（包括总体结构、模块、功能等，辅以程序设计组成框图、流程图解释）； 3．模块设计（主要模块功能、源代码、注释（如函数功能、入口及出口参数说明，函数调用关系描述等）； 4．调试及测试：（调试方法，测试结果的分析与讨论，截屏、正确性分析）； 5．设计总结：（编程中遇到的问题及解决方法）； 6．心得体会及致谢； 参考文献
1.课程设计任务书 功能简介： a）输入一个对称正方矩阵A，从文本文件读入； b）对矩阵A进行特征值分解，将分解结果：即U矩阵、S矩阵输出至文本文件； c）将最小特征值及对应的特征向量输出至文本文件； d）验证其分解结果是否正确。 提示：A=USU T,具体算法可参考相关文献。 功能说明： 矩阵特征值分解被广泛运用于土木工程问题的数值计算中，如可用于计算结构自振频率与自振周期、结构特征屈曲问题等。 注：以三阶对称矩阵为例 2.系统设计 3.模块设计 #include
矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质若干矩阵之积或之和，大体分为三角分解、分解、满秩分解和奇异值分解.矩阵地分解是很重要地一部分内容，在线性代数中时常用来解决各种复杂地问题，在各个不同地专业领域也有重要地作用.秩亏网平差是测量数据处理中地一个难点，不仅表现在原理方面，更表现在计算方面，而应用矩阵分解来得到未知数地估计数大大简化了求解过程和难度. 矩阵地三角分解 如果方阵可表示为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵之积，即，则称可作三角分解.矩阵三角分解是以消去法为根据导出地，因此矩阵可以进行三角分解地条件也与之相同，即矩阵地前个顺序主子式都不为，即.所以在对矩阵进行三角分解地着手地第一步应该是判断是否满足这个前提条件，否则怎么分解都没有意义.矩阵地三角分解不是唯一地，但是在一定地前提下，地分解可以是唯一地，其中是对角矩阵.矩阵还有其他不同地三角分解，比如分解和分解，它们用待定系数法来解求地三角分解，当矩阵阶数较大地时候有其各自地优点，使算法更加简单方便.资料个人收集整理，勿做商业用途 矩阵地三角分解可以用来解线性方程组.由于，所以可以变换成，即有如下方程组：资料个人收集整理，勿做商业用途 先由依次递推求得,,……，，再由方程依次递推求得，，……，. 资料个人收集整理，勿做商业用途 必须指出地是，当可逆矩阵不满足时，应该用置换矩阵左乘以便使地个顺序主子式全不为零，此时有：资料个人收集整理，勿做商业用途 这样，应用矩阵地三角分解，线性方程组地解求就可以简单很多了. 矩阵地分解 矩阵地分解是指，如果实非奇异矩阵可以表示为，其中为正交矩阵，为实非奇异上三角矩阵.分解地实际算法各种各样，有正交方法、方法和方法，而且各有优点和不足.资料个人收集整理，勿做商业用途 ．正交方法地分解 正交方法解求分解原理很简单，容易理解.步骤主要有：）把写成个列向量（，，……，），并进行正交化得（，，……，）；) 单位化，并令（，，……，），（，，……，），其中；）. 这种方法来进行分解，过程相对较为复杂，尤其是计算量大，尤其是阶数逐渐变大时，就显得更加不方便.资料个人收集整理，勿做商业用途 ．方法地分解 方法求分解是利用旋转初等矩阵，即矩阵()来得到地，()是正交矩阵，并且(()).()地第行第列 和第行第列为，第行第列和第行第列分别为和，其他地都为.任何阶实非奇异矩阵可通过左连乘()矩阵（乘积为）化为上三角矩阵，另，就有.该方法最主要地是在把矩阵化为列向量地基础上找出和，然后由此把矩阵地一步步向上三角矩阵靠近.方法相对正交方法明显地原理要复杂得多，但是却计算量小得多，矩阵()固有地性质很特别可以使其在很多方面地应用更加灵活.资料个人收集整理，勿做商业用途 ．方法地分解 方法分解矩阵是利用反射矩阵，即矩阵，其中是单位列向量，是正交矩阵，.可以证明，两个矩阵地乘积就是矩阵，并且任何实非奇异矩阵可通过连乘矩阵（乘积为）化为上三角矩阵，则.这种方法首要地就是寻找合适地单位列向量去构成矩阵，
《线性代数与矩阵分析》课程小论文 矩阵分解及其应用 学生姓名：****** 专业：******* 学号：******* 指导教师：******** 2015年12月
Little Paper about the Course of "Linear Algebra and Matrix Analysis" Matrix Decomposition and its Application Candidate:****** Major:********* StudentID:****** Supervisor:****** 12,2015
中文摘要 将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。本文主要介绍几种矩阵的分解方法，它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和 Fitting 分解等。矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分，在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。因此，本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。 关键词：等价分解,三角分解,奇异值分解,运用
Abstract Many particular types of matrix are split into the product of a matrix of several matrices, which is called decomposition of matrix. In this paper, we introduce some methods of matrix decomposition, which are equivalent decomposition, triangular decomposition, spectral decomposition, singular value decomposition, Fitting decomposition and so on. The decomposition theory and method of matrix is an important part of matrix analysis, which is widely used in solving the characteristic value, solving linear equations and the practical engineering. In this paper, we will introduce the theory of matrix equivalence decomposition, triangular decomposition, singular value decomposition and the engineering application of triangular decomposition. Key words：Equivalent Decomposition, Triangular Decomposition, Singular Value Decomposition, Application
实验报告（五） 院（系）课程名称：数学模型日期：年月日 班级学号实验室506 专业数学教育姓名计算机号F08 实验 名称 矩阵运算、分解和特征值成绩评定 所用 软件 MATLAB 7.0 指导教师 实验目的1．矩阵的基本运算。 2．矩阵的LU、QR和Cholesky分解。3．矩阵的特征向量和特征值。 实验内容问题1：求线性方程组 1234 124 234 1234 258 369 225 4760 x x x x x x x x x x x x x x +-+= ? ?--= ? ? -+=- ? ?+-+= ? 的解。问题2： （1）求矩阵 123 456 780 A ?? ? = ? ? ?? 的LU分解。 （2）求矩阵 123 456 789 101112 A ?? ? ? = ? ? ?? 的QR分解。 （3）求5阶pascal矩阵的Cholesky分解。 问题3： （1）求矩阵 31 13 A - ?? = ? - ?? 的特征值和特征向量。 （2）求矩阵 23 45 84 A ?? ? = ? ? ?? 的奇异值分解。
实验过程问题1：A=[2,1,-5,1;1,-3,0,-6;0,2,-1,2;1,4,-7,6]; >> inv(A) ans = 1.3333 -0.6667 0.3333 -1.0000 -0.0741 0.2593 1.1481 -0.1111 0.3704 -0.2963 0.2593 -0.4444 0.2593 -0.4074 -0.5185 -0.1111 ans=[1.3333,-0.6667,0.3333,-1.0000;-0.0741,0.2593,1.1481,-0.1111;0.3704,-0. 2963,0.2593,-0.4444;0.2593,-0.4074,-0.5185,-0.1111]; >> B=[8;9;-5;0]; >> ans*B ans = 2.9996 -3.9996 -1.0000 1.0003 所以线性方程的解x=[ 2.9996,-3.9996,-1.0000,1.0003] 问题2：1、A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0]; >> [L,U]=lu(A) L = 0.1429 1.0000 0 0.5714 0.5000 1.0000 1.0000 0 0 U = 7.0000 8.0000 0 0 0.8571 3.0000 0 0 4.5000 2、A=[1,2,3;4,5,6,;7,8,9;10,11,12]; >> [Q,R]=qr(A) Q = -0.0776 -0.8331 0.5456 -0.0478 -0.3105 -0.4512 -0.6919 0.4704 -0.5433 -0.0694 -0.2531 -0.7975 -0.7762 0.3124 0.3994 0.3748 R = -12.8841 -14.5916 -16.2992 0 -1.0413 -2.0826 0 0 -0.0000 0 0 0
矩阵分析
第四章 矩阵分解
§4.1: 矩阵的满秩分解 §4.2: 矩阵的正交三角分解 §4.3: 矩阵的奇异值分解 §4.4: 矩阵的极分解 §4.5: 矩阵的谱分解
矩阵分解前言
矩阵分解定义: 将一个已知矩阵表示为另一些较为简单或 较为熟悉的矩阵的积(或和)的过程称为矩阵分解. 例:(1)对任意n阶正规矩阵A,存在酉阵U∈Un×n使 A=Udiag(λ1,…,λn)U*, 其中λ1,…,λn为A的所有特征值的任一排列. (2)对任意n阶正定矩阵A,存在可逆阵Q∈Cnn×n使A=Q*Q,或存 在唯一正定阵B使A=BB. 矩阵分解意义:有利于研究已知的矩阵. 例如,利用正定阵A的平方根B为正定阵可证: 对任意Hermite阵H,AH或HA都有实特征值.
1
( AH～(A1/2)-1AHA1/2=A1/2HA1/2∈Hn×n )
2
初等变换与初等矩阵(p73)
三类初等变换: (行(列)变换←→左(右)乘) (1)将矩阵A的两行互换等价于用第一类初等矩阵P(i,j)左 乘A; (2)将矩阵A的第i行乘以k≠0等价于用第二类初等矩阵 P(i(k))=diag(1,…,1,k,1,…,1)左乘A. (3)将矩阵A的第j行乘以k≠0后再加到第i行等价于左乘第 三类初等矩阵P(i,j(k)).
P (i , j ) =
?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 1 1 1 0 1 1
初等变换与初等矩阵举例
?1 ?? 1 4 7 ? ? 1 4 7 ? ? 0 1 ?? 2 5 8 ? = ? 3 6 9 ? ; ? ?? ? ? ? ? 1 0 ?? 3 6 9 ? ? 2 5 8 ? ? ?? ? ? ? ?1 4 7??1 ? ? 1 7 4? ? 2 5 8?? 0 1? = ? 2 8 5? ? ?? ? ? ? ? 3 6 9?? 1 0? ? 3 9 6? ? ?? ? ? ?
?1 ??1 4 7? ? 1 4 7 ? ? ?? ? ? ? 0.2 ? ? 2 5 8 ? = ? 0.4 1 1.6 ? ; ? ? 1?? 3 6 9 ? ? 3 6 9 ? ? ?? ? ? ?
?1 4 7??1 ? ? 1 4 7 / 9? ? ?? ? ? ? ? 2 5 8?? 1 ? = ? 2 5 8/9? ? 3 6 9?? 1/ 9 ? ? 3 6 1 ? ? ?? ? ? ?
---- i ---- j
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1?
P (i , j ( k )) =
?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1
k 1
? ? ? ? ---? ? ? ---? ? ? 1?
i j
3
?1 ?? 1 2 3? ? 1 2 3 ? ? ?? ? ? ? ? ?4 1 ? ? 4 5 6 ? = ? 0 ?3 ?6 ? ; ? 1?? 7 8 9? ? 7 8 9 ? ? ?? ? ? ?
?3 ? ? 1 2 0 ? ? 1 2 3??1 ? ?? ? ? ? ? 4 5 6?? 1 ? = ? 4 5 ?6 ? ?7 8 9?? 1 ? ? 7 8 ?12 ? ? ?? ? ? ?
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初等变换与初等矩阵的性质
3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). 将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变换等价 于左(右)乘A以可逆矩阵Pr…P1(P1…Pr). 可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的行(列)是A 的行(列)的任意排列; 可适当选第三类初等矩阵 P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j)元变为0; 可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k使P(i(k))A的非 零(i,i)元变为1. 存在初等矩阵的乘积P和Q,使PAQ= ,其中r=rankA.
初等变换与初等矩阵的性质续
命题:设A∈Crm×n前r列线性无关,则用初等行变换可把A变为
? Er ? ? 0 ?1 ? ? D? ? = ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 1 * * * * *? ? *? *? ? *? ? ? ? ?
一般地,?A∈Crm×n都存在m,n阶可逆阵P和Q使PAQ=
5
证:因前r列线性无关,故用第一类初等矩阵左乘可使A的 (1,1)元≠0. 再用第二类初等矩阵左乘可使a11=1; 最后用若干第三类初等矩阵左乘可使A的第一列=e1. 因前2列线性无关,故新的第2列与e1线性无关且≠0, 故用第一类行变换可使(2,2)元≠0,…可使A的第2列=e2. ….可使A的第r列=er.此时空白处必为0元.
安徽大学 章权兵
1
线性系统的求解是数值分析中的一个基本问题。线性系统的求解在电路分析中典型的应用就是用基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律求解电路。下面的五个方程组是对一个典型的电路系统的描述：5I1+5I2=V;I3-I4-I5=0;2I4-3I5=0;I1-I2-I3=0;5I2-7I3-2I4=0;当系统确定以后I1, I2，I3，I4，I5前面的系数就确定了。I1，I2，I3，I4，I5的具体数值将随输入电压值V5的变化而改变。求解线性系统解（也就是求解矩阵的解）常用的方法有Gaussian Elimination with Backward Substitution 法，LU Factorization法，LDL T Factorization 法和Choleski 法。其中Gaussian Elimination with Backward Substitution 法最为简单直接，它的思路就是将系数矩阵化简为一个上三角矩阵或者化简为一个下三角矩阵。但是它消耗的资源最多，以一个可描述为5*5矩阵的系统而言它需要5*5*5/3次乘法运算，即大约42次乘法运算。但系统大到100*100时这种方法的计算量非常可观。这种方法不适合处理很大的矩阵。作为Gaussian Elimination with Backward Substitution 法的改进LU Factorization（也叫LU分解法）法的思路是将系统矩阵分解成为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵进行运算。这样的话极为方便求解迭代。假设系统为n*n的系统，那么LU分解的方法将计算量由n*n*n/3降低到2*n*n。对于一个100*100的系统LU分解法的计算量仅仅是Elimination with Backward Substitution 法的3%。尽管在决定L矩阵和U矩阵时依然需要n*n*n/3次运算但是系统一旦定下来后是不会有大的改动的，往往是外部条件改变也就是说5I1+5I2=V;I3-I4-I5=0;2I4-3I5=0;I1-I2-I3=0;5I2-7I3-2I4=0;这个系统的系数是不会经常变的，常变的只是外部条件V。LU分解法适应的范围极宽，他对系统没有特殊的要求。当描述系统的矩阵大于6*6时选用LU分解法会更为节省资源，当系统小于6*6时Elimination with Backward Substitution法效率会更高些。LDL T Factorization 法和Choleski 法和LU分解法很像似，基本思路也是将系统矩阵分解成上三角矩阵和下三角矩阵。但是这两种方法要求系统的矩阵必须是正定的，也就是说系统的任意阶行列式必需为正。这样对系统的要求就严格一些。LDL T Factorization 法需要n*n*n/6+n*n-7*n/6次乘法和n*n*n/6-n/6次加减法。Choleski 法则仅仅需要n*n*n/6+n*n/2-2*n/3次乘法和n*n*n/6-n/6次加减法。当系统较大时不失为两种很好的选择。
矩阵分解及其简单应用 x=b，即有如下方程组：Ly=bUx=y 先由Ly=b依次递推求得y1, y2,……，yn，再由方程Ux=y依次递推求得 xn，xn-1，……， x1、必须指出的是，当可逆矩阵A不满足?k≠0时，应该用置换矩阵P左乘A以便使PA的n个顺序主子式全不为零，此时有： Ly=pbUx=y 这样，应用矩阵的三角分解，线性方程组的解求就可 以简单很多了。2、矩阵的QR分解矩阵的QR分解是指，如果实 非奇异矩阵A可以表示为A=QR，其中Q为正交矩阵，R为实非奇 异上三角矩阵。QR分解的实际算法各种各样，有Schmidt正交方法、Givens方法和Householder方法，而且各有优点和不足。2、1．Schmidt正交方法的QR分解Schmidt正交方法解求QR分解原 理很简单，容易理解。步骤主要有：1）把A写成m个列向量a= （a1，a2，……，am），并进行Schmidt正交化得=（α1， α2，……，αm）；2) 单位化，并令Q=（β1，β2，……，βm），R=diag（α1， α2，……，αm）K，其中a=K；3）A=QR、这种方法来进行QR分解，过程相对较为复杂，尤其是计算量大，尤其是阶数逐渐变大时，就显得更加不方便。2、2．Givens方法的QR分解Givens方 法求QR分解是利用旋转初等矩阵，即Givens矩阵Tij(c,s)来得 到的，Tij(c,s)是正交矩阵，并且det(Tij(c,s))=1。Tij(c,s)的第i行第i列和第j行第j列为cos，第i行第j列和第j行第i
列分别为sin和-sin，其他的都为0、任何n阶实非奇异矩阵A可通过左连乘Tij(c,s)矩阵（乘积为T）化为上三角矩阵R，另 Q=T-，就有A=QR。该方法最主要的是在把矩阵化为列向量的基础上找出c和s，然后由此把矩阵的一步步向上三角矩阵靠近。Givens方法相对Schmidt正交方法明显的原理要复杂得多，但是却计算量小得多，矩阵Tij(c,s)固有的性质很特别可以使其在很多方面的应用更加灵活。2、3．Householder方法的QR分解Householder方法分解矩阵是利用反射矩阵，即Householder矩阵H=E-2uuT，其中u是单位列向量，H是正交矩阵，detH=-1。可以证明，两个H矩阵的乘积就是Givens矩阵，并且任何实非奇异矩阵A可通过连乘Householder矩阵（乘积为S）化为上三角矩阵R，则A= QR。这种方法首要的就是寻找合适的单位列向量去构成矩阵H，过程和Givens方法基本相似，但是计算量要小一些。矩阵的QR分解可以用来解决线性最小二乘法的问题，也可以用来降低矩阵求逆的代价。矩阵的求逆是件不小的工程，尤其是阶数慢慢变大的情况时，而用先把矩阵QR分解成正交矩阵和上三角矩阵，就容易多了，况且正交矩阵的转置就是逆，这一点是其他的矩阵分解无法比拟的。在解求线性方程组中，如果系数矩阵的阶数比较大，可以利用QR分解来使计算简单化。另外，QR分解考虑的是n阶矩阵，其他的矩阵是不能用这种方法进行分解，由于QR 分解的这一前提条件，使得下面提到的满秩矩阵分解和奇异值分解就有了其特殊的意义。3、满秩分解满秩分解也称最大秩分
对矩阵分解及其应用 矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质若干矩阵之积或之和，大体分为三角分解、QR 分解、满秩分解和奇异值分解。矩阵的分解是很重要的一部分内容，在线性代数中时常用来解决各种复杂的问题，在各个不同的专业领域也有重要的作用。秩亏网平差是测量数据处理中的一个难点，不仅表现在原理方面，更表现在计算方面，而应用矩阵分解来得到未知数的估计数大大简化了求解过程和难度。 1. 矩阵的三角分解 如果方阵A可表示为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U之积，即A=LU 则称A可作三角分解。矩阵三角分解是以Gauss消去法为根据导出的，因此矩阵可以进行三角分解的条件也与之相同，即矩阵A的前n-1个顺序主子式都不为0, 即?k工0.所以在对矩阵A进行三角分解的着手的第一步应该是判断是否满足这个前提条件，否则怎么分解都没有意义。矩阵的三角分解不是唯一的，但是在一定的前提下， A=LDU勺分解可以是唯一的，其中D是对角矩阵。矩阵还有其他不同的三角分解，比如Doolittle 分解和Crout 分解，它们用待定系数法来解求 A 的三角分解，当矩阵阶数较大的时候有其各自的优点，使算法更加简单方便。 矩阵的三角分解可以用来解线性方程组Ax=b。由于A=LU，所以Ax=b可以变换成LU x=b，即有如下方程组： Ly = b { {Ux = y 先由Ly = b依次递推求得y i, y2, ........ ，y n，再由方程Ux = y依次递推求得X n， x n-1 ， ... ，X1 . 必须指出的是，当可逆矩阵A不满足?k工0时，应该用置换矩阵P左乘A以便使PA 的n个顺序主子式全不为零，此时有： Ly = pb { { Ux = y 这样，应用矩阵的三角分解，线性方程组的解求就可以简单很多了。 2. 矩阵的QF分解 矩阵的QR分解是指，如果实非奇异矩阵A可以表示为A=QR其中Q为正交矩阵，R为实非奇异上三角矩阵。QR分解的实际算法各种各样，有Schmidt正交方
第八章 矩阵的特征值与特征向量的数值解法 某些工程计算涉及到矩阵的特征值与特征向量的求解。如果从原始矩阵出发,先求出特征多项式,再求特征多项式的根，在理论上是无可非议的。但一般不用这种方法，因为了这种算法往往不稳定．常用的方法是迭代法或变换法。本章介绍求解特征值与特征向量的一些方法。 §1 乘幂法 乘幂法是通过求矩阵的特征向量来求特征值的一种迭代法,它适用于求矩阵的按模最大的特征值及对应的特征向量。 定理８·1 设矩阵Ａn ×n 有n 个线性无关的特征向量X ｉ（ｉ=1,２,…,n)，其对应的特征值λi (ｉ ＝1,2，…，n)满足 ｜λ１|＞|λ2｜≧…≧|λn ｜ 则对任何ｎ维非零初始向量Z ０，构造Ｚk ＝ AZ k-1 11()lim ()k j k k j Z Z λ→∞ -= (8·1) 其中(Ｚk )ｊ表示向量Z k 的第ｊ个分量。 证明 : 只就λｉ是实数的情况证明如下。 因为A 有n 个线性无关的特征向量X i ,(i = １,2,…,n)用X ｉ(ｉ = 1,2,…，n)线性表示,即Z 0=α1X 1 + α2Ｘ2 +用A 构造向量序列{Z k }其中 ? 21021010, ,k k k Z AZ Z AZ A Z Z AZ A Z -=====， (8.2） 由矩阵特征值定义知ＡＸi =λi X i (i=1,２, …,n),故 ? 0112211122211121k k k k k n n k k k n n n k n k i i i i Z A Z A X A X A X X X X X X ααααλαλαλλλααλ===++ +=+++???? ??=+ ?????? ? ∑ (８.3） 同理有 1 1 11 1121k n k i k i i i Z X X λλααλ---=? ? ????=+ ????? ? ? ∑ (8．４) 将(8.３）与(8．4)所得Ｚk 及Z k-１的第j 个分量相除，设α1≠0，并且注意到 |λi |<|λ1|(i=1,２,…，n ）得
解线性方程组的Doolittle 分解 目的意义： 1.学习和掌握线性代数方程组的Doolittle 分解法。 2.运用Doolittle 分解法进行计算。 方法原理： n 阶线性方程组的系数矩阵A 非奇异且有分解式A=LR ，其中L 为单位下三角矩阵，R 为上三角矩阵，即L=(l ij ),当i
特征值分解及奇异值分解在数字图像中的应用 摘要：目前，随着科学技术的高速发展，现实生活中有大量的信息用数字进行存储、处理和传送。而传输带宽、速度和存储器容量等往往有限制，因此数据压缩就显得十分必要。数据压缩技术已经是多媒体发展的关键和核心技术。图像文件的容量一般都比较大，所以它的存储、处理和传送会受到较大限制，图像压缩就显得极其重要。当前对图像压缩的算法有很多，特点各异，类似JPEG 等许多标准都已经得到了广泛的应用。本文在简单阐述了矩阵特征值的数值求解理论之后，介绍了几种常用的求解矩阵特征值的方法，并最终将特征值计算应用到图像压缩中。以及奇异值分解(Singular Value Decomposition ，SVD) 。奇异值分解是一种基于特征向量的矩阵变换方法，在信号处理、模式识别、数字水印技术等方面都得到了应用。由于图像具有矩阵结构，有文献提出将奇异值分解应用于图像压缩[2]，并取得了成功，被视为一种有效的图像压缩方法。本文在奇异值分解的基础上进行图像压缩。 关键词：特征值数值算法；奇异值分解；矩阵压缩；图像处理 引言 矩阵的特征值计算虽然有比较可靠的理论方法，但是，理论方法只适合于矩阵规模很小或者只是在理论证明中起作用，而实际问题的数据规模都比较大，不太可能采用常规的理论解法。计算机擅长处理大量的数值计算，所以通过适当的数值计算理论，写成程序，让计算机处理，是一种处理大规模矩阵的方法，而且是一种好的方法。常用的特征值数值方法包括幂法、反幂法、雅克比方法、QR 分解法等。其中，幂法适用于求解矩阵绝对值最大的特征值，反幂法适合求解矩阵的逆矩阵的特征值，雅克比方法适合求解对称矩阵的特征值，QR分解法主要使用于求中小型矩阵以及对称矩阵的全部特征值。矩阵乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量。因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，变换的效果当然与方阵的构造有密切关系。图像压缩处理就是通过矩阵理论减少表示数字图像时需要的数据量，从而达到有效压缩。数字图像的质量很大程度上取决于取样和量化的取样数和灰度级。取样和量化的结果是一个实际的矩阵。图像压缩是数据压缩技术在数字图像上的应用，它的目的是减少图像数据中的冗余信息从而用更加高效的格式存储和传输数据。图像数据之所以能被压缩，就是因为数据中存在着冗余。图像数据的冗余主要表现为：图像中相邻像素间的相关性引起的空冗余；图像序列中不同帧之间存在相关性引起的时间冗
矩阵分解 在矩阵运算中，把矩阵分解成形式比较简单或具有某种特性的一些矩阵的乘积，在矩阵理论的研究和应用中，具有重要的意义。一方面，矩阵分解能够明显反映出原矩阵的某些数值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等，令一方面分解的方法与过程往往提供了某些有效地数值计算方法和理论分析根据。常见的矩阵分解方法有：三角分解、QR 分解、满秩分解、奇异值分解。下面将主要从这四个方面进行分别介绍。 一、三角分解 定义： 设n n n C A ?∈，如果存在下三角矩阵n n n C L ?∈和上三角矩阵n n n C R ?∈，使得 LR A = （1） 则成A 可以作三角分解。 A 可以作三角分解的充分必要条件是A 的k 阶顺序主子式 )1,2,1(0det -=≠=?n k A k k ，而k A 为A 的k 阶顺序主子式（证明略） 。 如果A 可以分解成LR A =，其中L 是对角元素为1的下三角矩阵（称为单位下三角矩阵），R 是上三角矩阵，则称之为A 的Doolittle 分解；L 是下三角矩阵，R 为对角元素为1的上三角矩阵，则称之为A 的Crout 分解。 如果A 可以分解为LDR A =，其中L 为单位下三角矩阵，D 为对角
矩阵，R 为单位上三角矩阵，则称之为A 的LDR 分解。设n n n C A ?=，则A 有唯一LDR 分解的充分必要条件是)1,,2,1(0-=≠?n k k 。此时对角矩阵),,,(21n d d d diag D =的元素满足 ),,3,2(,111n k d d k k k =??= ?=- （2） 证明从略。 假设n n C A ?∈是Hermite 正定矩阵，则存在下三角矩阵n n C G ?∈，使得H GG A =,则称之为A 的Cholesky 分解。 综合分析：方阵的三角分解存在的充要条件是：A 的k 阶顺序主子式)1,2,1(0det -=≠=?n k A k k ，但是方阵的三角分解不是唯一的，比如A 可以表示成))((1R D LD LR A -==,其中，D 为对角元素均不为0的对角矩阵。为了规范化才有了Doolittle 分解和Crout 分解形式。矩阵的LDR 分解建立在普通LR 分解的基础上。而Cholesky 分解则是A 为Hermite 正定矩阵时的一种特殊形式。 二、QR 分解 定义：设n n C A ?∈，如果存在n 阶酉矩阵Q 和n 阶上三角矩阵R ，使得 QR A = （3） 则称之为A 的QR 分解或酉-三角分解。当n n R A ?∈时，称之为A 的正交-三角分解。 值得注意的是，任意n n C A ?∈都可以作QR 分解。当n n n C A ?∈（即A 为满秩矩阵）时，A 可以得到唯一A=QR 分解形式，其中，Q 是n 阶酉矩阵，n n n C R ?∈是具有正对角元的上三角矩阵。
矩阵分解及应用 1 引言 矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具许多数学模型都可以用矩阵表示,矩阵理论既是学习数学的基础,又是一门最有实用价值的数学理论.它不仅是数学的一个重要分支,而且业已成为现代各科领域处理大量有限维空间形式与数量关系强有力的工具.矩阵在代数学习课程中占有重要的地位,而矩阵的分解在矩阵理论研究及其应用中有着重要意义,是其他一些研究课题解决问题的工具. 本文介绍了矩阵的几种分解方法:三角分解、正交分解、满秩分解、奇异值分解以及各种分解方法的应用.三角分解在求线性方程组的过程中占有十分重要的作用;正交三角 )(QR 分解在计算数学中扮演十分重要的角色,尤其是以QR 分解所建立的QR 方法,已对数 值线性代数理论的近代发展起了关键的作用;矩阵的满秩分解和奇异值分解是近几十年来求各类最小二乘问题和最优化问题的重要数学工具. 2 矩阵的三角分解及应用 2.1 杜利特尔分解法 定义 2.1]1[ 对于n 阶矩阵A =)(ij a ,n j i ,,2,1,Λ=.如果LU A =,其中L 为单位下三角矩阵,U 为上三角矩阵,则称LU A =为矩阵A 的杜利特尔分解. 确定三角矩阵L 和U 的方法: 设LU A =,其中L =??????? ?????11 12121 ΛO ΛM n n l l l ,U =????? ? ??????nn n n u u u u u u M O ΛΛ22211211 按矩阵的乘法有 ij a = ∑=) ,m in(1 j i s sj is u l ,n j i ,,2,1,Λ= 由于 kk l =1 所以有
kj a =+ kj u ∑-=1 1 k s sj ks u l ,n k k j ,,1,Λ+= 所以 kj u =- kj a ∑-=1 1 k s sj ks u l ,n k k j ,,1,Λ+= 同理 ik l = kk sk k s is ik u u l a ∑-=-1 1 ,n k k i ,,2,1Λ++= 这样便可以得到三角矩阵L 和U . 2.2 克劳特分解法 定义 2.2]1[ 对于n 阶矩阵A =)(ij a ,n j i ,,2,1,Λ=,如果LU A =,其中L 为下三角矩阵,U 为单位上三角矩阵,称LU A =为矩阵A 的克劳特分解. 确定三角矩阵L 和U 的方法: 设LU A =,其中L =? ?????? ?????nn n n l l l l l l ΛO ΛM 2121 2111,U =????? ? ??? ???1112112M O ΛΛn n u u u 按矩阵的乘法有 ij a = ∑=) ,m in(1 j i s sj is u l ,n j i ,,2,1,Λ= 由于 kk u =1 所以有 ik a =+ ik l ∑-=1 1 k s sk is u l ,n k k i ,,1,Λ+= 所以 ik l =-ik a ∑-=1 1k s sk is u l .n k k i ,,1,Λ+=. 同理
§9. 矩阵的分解 矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应用中常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。 这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。 一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。 将一个矩阵分解为酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。首先我们从满秩方阵的三角分解入手，进而讨论任意矩阵的三角分解。 定义1 如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈<=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则上三角矩阵 1112122200 ?? ? ?= ? ??? n n nn a a a a a R a 称为正线上三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，R 称为单位上三角复（实）矩阵。 定义2如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈>=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则下三角矩阵 1121 221 2 000?? ? ?= ? ??? n n nn a a a L a a a