3.1.2 函数的极值
1.理解极大值,极小值的概念.(难点)
2.掌握求极值的步骤.(重点)
3.会利用导数求函数的极值.(重点)
[基础·初探]
教材整理极值点与极值
阅读教材P59“练习”以下至P61“例3”以上部分,完成下列问题.
1.极大值点与极大值
如图3-1-6,在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极大值点,其函数值f(x0)为函数的极大值.
图3-1-6
2.极小值点与极小值
如图3-1-7,在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极小值点,其函数值f(x0)为函数的极小值.
图3-1-7
3.极值的判断方法
如果函数y=f(x)在区间(a,x0)上是增加的,在区间(x0,b)上是减少的,则x0是极大值点,f(x0)是极大值;如果函数y=f(x)在区间(a,x0)上是减少的,在区间(x0,b)上是增加的,则x0是极小值点,f(x0)是极小值.
4.求函数y=f(x)极值的步骤
(1)求出导数f′(x).
(2)解方程f′(x)=0.
(3)对于方程f ′(x )=0的每一个解x 0,分析f ′(x )在x 0左、右两侧的符号(即f (x )的单调性),确定极值点:
①若f ′(x )在x 0两侧的符号“左正右负”,则x 0为极大值点; ②若f ′(x )在x 0两侧的符号“左负右正”,则x 0为极小值点; ③若f ′(x )在x 0两侧的符号相同,则x 0不是极值点.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数f (x )=x 3
+ax 2
-x +1必有两个极值.( ) (2)在可导函数的极值点处,切线与x 轴平行或重合.( ) (3)函数f (x )=1
x
有极值.( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)×
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1: 解惑: 疑问2: 解惑: 疑问3: 解惑:
[小组合作型]
(1)f (x )=x 2
-2x -1; (2)f (x )=x 44-2
3x 3
+x 2
2-6;
(3)f (x )=|x |.
【自主解答】 (1)f ′(x )=2x -2,令f ′(x )=0,解得x =1. 因为当x <1时,f ′(x )<0, 当x >1时,f ′(x )>0,
所以函数在x =1处有极小值, 且y 极小值=-2.
(2)f ′(x )=x 3
-2x 2
+x =x (x 2
-2x +1)=x (x -1)2
. 令f ′(x )=0,解得x 1=0,x 2=1.
所以当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:
所以当极小值(3)f (x )=|x |=???
?
?x ,x ≥0,-x ,x <0.
显然函数f (x )=|x |在x =0处不可导, 当x >0时,f ′(x )=x ′=1>0,
函数f (x )=|x |在(0,+∞)内单调递增; 当x <0时,f ′(x )=(-x )′=-1<0, 函数f (x )=|x |在(-∞,0)内单调递减. 故当x =0时,函数取得极小值, 且y 极小值=0.
1.讨论函数的性质要注意定义域优先的原则.
2.极值点与导数的关系
(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点,导数值为0的点不一定是极值点. 点x 0是可导函数f (x )在区间(a ,b )内的极值点的充要条件: ①f ′(x 0)=0;
②点x 0两侧f ′(x )的符号不同.
(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x =0点),也可能不是极值点(如y =x ,在
x =0处不可导,在x =0处也取不到极值),所以函数的极值点可能是f ′(x )=0的根,也
可能是不可导点.
[再练一题]
1.已知函数f (x )=x 2
-2ln x ,则f (x )的极小值是__________. 【解析】 ∵f ′(x )=2x -2
x
,
且函数定义域为(0,+∞),
令f ′(x )=0,得x =1或x =-1(舍去), 当x ∈(0,1)时,f ′(x )<0, 当x ∈(1,+∞)时,f ′(x )>0,
∴当x =1时,函数有极小值,极小值为f (1)=1. 【答案】 1
已知f (x )=x 3+ax 2
+bx +c 在x =1与x =-3时都取得极值.
(1)求a ,b 的值;
(2)若f (-1)=3
2
,求f (x )的单调区间和极值.
【精彩点拨】 (1)求导函数f ′(x ),则由x =1和x =-2
3是f ′(x )=0的两根及根与
系数的关系求出a ,b .
(2)由f (-1)=3
2求出c ,再列表求解.
【自主解答】 (1)f ′(x )=3x 2
+2ax +b ,
令f ′(x )=0,由题设知x =1与x =-2
3为f ′(x )=0的解.
∴?????1-23=-23a ,1×? ????-23=b 3,∴a =-12,b =-2.
(2)由(1)知f (x )=x 3
-12x 2-2x +c ,
由f (-1)=-1-12+2+c =3
2,得c =1,
∴f (x )=x 3
-12x 2-2x +1,
∴f ′(x )=3x 2
-x -2.
当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:
∴f (x )的递增区间为? ????-∞,-
3和(1,+∞),递减区间为? ????-3
,1. 当x =-23时,f (x )有极大值为f ? ????-23=49
27;
当x =1时,f (x )有极小值为f (1)=-1
2
.
已知函数极值的情况,逆向应用确定函数的解析式时,应注意以下两点: (1)根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解; (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
[再练一题]
2.已知函数f (x )=13x 3-12(m +3)x 2
+(m +6)x (x ∈R ,m 为常数),在区间
(1,+∞)内有
两个极值点,求实数m 的取值范围.
【解】 f ′(x )=x 2
-(m +3)x +m +6. 因为函数f (x )在(1,+∞)内有两个极值点,
所以导数f ′(x )=x 2-(m +3)x +m +6在(1,+∞)内与x 轴有两个不同的交点, 如图所示.
所以?????Δ=(m +3)
2
-4(m +6)>0,
f ′(1)=1-(m +3)+m +6>0,
m +32>1,
解得m >3,故实数m 的取值范围是(3,+∞).
[探究共研型]
探究1 【提示】 不一定,如f (x )=x 3
,f ′(0)=0,但x =0不是f (x )=x 3
的极值点.所以,
当f ′(x 0)=0时,要判断x =x 0是否为f (x )的极值点,还要看f ′(x )在x 0两侧的符号是否相反.
探究2 函数f (x )的定义域为开区间(a ,b ),导函数f ′(x )在(a ,b )内的图像如图3-1-8所示,则函数f (x )在开区间(a ,b )内有几个极小值点?
图3-1-8
【提示】 一个.x 1,x 2,x 3是极值点,其中x 2是极小值点,x 1,x 3是极大值点. 探究3 函数y =f (x )在给定区间(a ,b )内一定有极值点吗?
【提示】 不一定,若函数y =f (x )在区间(a ,b )内是单调函数,就没有极值点.
已知函数f (x )=x 3
-3x +a (a 为实数),若方程f (x )=0有三个不同实根,求实
数a 的取值范围.
【精彩点拨】 求出函数的极值,要使f (x )=0有三个不同实根,则应有极大值大于0,极小值小于0,由此可得a 的取值范围.
【自主解答】 令f ′(x )=3x 2
-3=3(x +1)(x -1)=0, 解得x 1=-1,x 2=1. 当x <-1时,f ′(x )>0; 当-1
所以当x =-1时,f (x )有极大值f (-1)=2+a ; 当x =1时,f (x )有极小值f (1)=-2+a . 因为方程f (x )=0有三个不同实根,
所以y =f (x )的图像与x 轴有三个交点,如图.
由已知应有?
????2+a >0,-2+a <0,
解得-2 方程f (x )=0的根就是函数y =f (x )的零点,是函数图像与x 轴交点的横坐标,研究方程的根的问题可以转化为函数图像与x 轴交点的问题.我们可以根据函数图像在坐标轴中的 位置不同,结合极值的大小确定参数的范围. [再练一题] 3.设a 为实数,函数f (x )=x 3 -x 2 -x +a . (1)求f (x )的极值; (2)当a 在什么范围内取值时,曲线y =f (x )与x 轴仅有一个交点? 【解】 (1)f ′(x )=3x 2 -2x -1. 令f ′(x )=0,则x =-1 3 或x =1. 当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表: 所以f (x )的极大值是f ? ????-3=27 +a ,极小值是f (1)=a -1. (2)函数f (x )=x 3 -x 2 -x +a =(x -1)2 (x +1)+a -1, 由此可知,x 取足够大的正数时,有f (x )>0, x 取足够小的负数时,有f (x )<0, 所以曲线y =f (x )与x 轴至少有一个交点. 由(1)知f (x )极大值=f ? ????-13=5 27 +a , f (x )极小值=f (1)=a -1. ∵曲线y =f (x )与x 轴仅有一个交点, ∴f (x )极大值<0或f (x )极小值>0, 即5 27+a <0或a -1>0, ∴a <-5 27 或a >1, ∴当a ∈? ????-∞,-527∪(1,+∞)时,曲线y =f (x )与x 轴仅有一个交点. [构建·体系] 函数的极值与导数 —?? ?—极值—????—极大值—f ′(x )左正右负 —极小值—f ′(x )左负右正—极值点— f ′(x )=0 1.函数f (x )的定义域为R ,导函数f ′( x )的图像如图3-1-9,则函数f (x )( ) 图3-1-9 A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点 【解析】 有极值点的定义可知答案应选C. 【答案】 C 2.函数y =x 3 -3x 2 -9x (-2<x <2)有( ) A.极大值5,极小值-27 B.极大值5,极小值-11 C.极大值5,无极小值 D.极小值-27,无极大值 【解析】 由y ′=3x 2 -6x -9=0,得x =-1或x =3. 当x <-1或x >3时,y ′>0;由-1<x <3时,y ′<0, ∴当x =-1时,函数有极大值5;3?(-2,2),故无极小值. 【答案】 C 3.(2016·四川高考)已知a 为函数f (x )=x 3 -12x 的极小值点,则a =( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 【解析】 由题意得f ′(x )=3x 2 -12,令f ′(x )=0得x =±2,∴当x <-2或x >2时, f ′(x )>0;当-2 减函数,在(2,+∞)上为增函数. ∴f(x)在x=2处取得极小值,∴a=2. 【答案】 D 4.设a∈R,若函数y=e x+ax(x∈R)有大于零的极值点,则a的取值范围为________. 【解析】∵y=e x+ax, ∴y′=e x+a,令y′=e x+a=0,则e x=-a, 即x=ln(-a),又∵x>0,∴-a>1,即a<-1. 【答案】a<-1 5.求函数y=x4-4x3+5的极值. 【解】y′=4x3-12x2=4x2(x-3). 令y′=4x2(x-3)=0,得x1=0,x2=3. 当x变化时,y′,y的变化情况如下表: 故当x=极小值 我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2) 导数的应用—单调性与极值的习题课 【复习目标】 1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用; 2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。 3.结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的 单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间; 4.结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三 次的多项式函数的极大值、极小值,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 【重点难点】 ①利用导数求函数的极值;②利用导数求函数的单调区间;④利用导数证明函数的单调性; ⑤数在实际中的应用;⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题; 【基础过关】1. 函数的单调性 ⑴ 函数y =)(x f 在某个区间内可导,若)(x f '>0,则)(x f 为 ;若)(x f '<0,则) (x f 为 .(逆命题不成立) (2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ,则)(x f . 注:连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法: ① 确定函数)(x f 的 ; ② 求)(x f ',令 ,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根; ③ 把函数)(x f 的间断点(即)(x f 的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺 序排列起来,然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间; ④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ,根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区 间内的增减性. 2.可导函数的极值 ⑴ 极值的概念 设函数)(x f 在点0x 附近有定义,且对0x 附近的所有点都有 (或 ),则称 )(0x f 为函数的一个极大(小)值.称0x 为极大(小)值点. ⑵ 求可导函数极值的步骤: ① 求导数)(x f '; ② 求方程)(x f '=0的 ; ③ 检验)(x f '在方程)(x f '=0的根左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负, 那么函数y =)(x f 在这个根处取得 ;如果在根的左侧附近为负,右侧为正,那么函 数y =)(x f 在这个根处取得 . 【基础训练】 例1.如果函数()y f x =的图像如右图,那么导函数, ()y f x =的图像可能是( ) 例2. 曲线x x y ln 22-= 的单调减区间是( ) 《函数的极值与导数》教案 §1.3.2函数的极值与导数(1) 【教学目标】 1.理解极大值、极小值的概念. 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. 3.掌握求可导函数的极值的步骤. 【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤. 【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 【内容分析】 对极大、极小值概念的理解,可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出,判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号. 【教学过程】 一、复习引入: 1. 函数的导数与函数的单调性的关系:设函数y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内/ y >0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内/ y <0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数. 2.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②令f ′(x )>0解不等式,得x 的范围就是递增区间.③令f ′(x )<0解不等式,得x 的范围,就是递减区间. 二、讲解新课: 1.极大值: 一般地,设函数f(x)在点x 0附近有定义,如果对x 0附近的所有的点,都有f(x)<f(x 0),就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值,记作y 极大值=f(x 0),x 0是极大值点. 2.极小值:一般地,设函数f(x)在x 0附近有定义,如果对x 0附近的所有的点,都有f(x)>f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值,记作y 极小值=f(x 0),x 0是极小值点. 3.极大值与极小值统称为极值. 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.请注意以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. (ⅱ)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,1x 是极大值点,4x 是极小值点,而)(4x f >)(1x f . (ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点. 4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法: 若0x 满足0)(0='x f ,且在0x 的两侧)(x f 的导数异号,则0x 是)(x f 的极值点,) (0x f 习题课导数的应用 学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用. 知识点一函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a,b)内的函数y=f(x) f′(x)的正负f(x)的单调性 f′(x)>0单调递________ f′(x)<0单调递________ 知识点二求函数y=f(x)的极值的方法 解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时, (1)如果在x0附近的左侧________,右侧________,那么f(x0)是极大值. (2)如果在x0附近的左侧________,右侧________,那么f(x0)是极小值. 知识点三函数y=f(x)在[a,b]上最大值与最小值的求法 1.求函数y=f(x)在(a,b)内的极值. 2.将函数y=f(x)的________与端点处的函数值________比较,其中________的一个是最大值,________的一个是最小值. 类型一数形结合思想的应用 例 1 已知f′(x)是f(x)的导函数,f′(x)的图象如图所示,则f(x)的图象只可能是________. 反思与感悟解决函数极值与函数、导函数图象的关系时,应注意: (1)对于导函数的图象,重点考查导函数的值在哪个区间上为正,在哪个区间上为负,在哪个点处与x 轴相交,在交点附近导函数值是怎样变化的. (2)对于函数的图象,函数重点考查递增区间和递减区间,进而确定极值点. 跟踪训练1 设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数f (x )在x =-2处取得极小值,则函数y =xf ′(x )的图象可能是________. 类型二 构造函数求解 命题角度1 比较函数值的大小 例2 已知定义域为R 的奇函数y =f (x )的导函数为y =f ′(x ),当x ≠0时,f ′(x )+ f x x <0,若a =12f (12),b =-2f (-2),c =(ln 12)f (ln 1 2),则a ,b ,c 的大小关系是________. 反思与感悟 本例中根据条件构造函数g (x )=xf (x ),通过g ′(x )确定g (x )的单调性,进而确定函数值的大小,此类题目的关键是构造出恰当的函数. 跟踪训练2 设a =ln 33,b =ln 44,c =ln 5 5,则a ,b ,c 的大小关系是________. 命题角度2 求解不等式 例3 定义域为R 的可导函数y =f (x )的导函数f ′(x ),满足f (x ) 第二课时 导数在函数中的应用 【学习目标】 1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用; 2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。 3.结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间; 4.结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 【重点难点】 ①利用导数求函数的极值;②利用导数求函数的单调区间;③利用导数求函数的最值;④利用导数证明函数的单调性;⑤数在实际中的应用;⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题;⑦导数与解析几何相综合的问题。 【高考要求】B 级 【自主学习】1. 函数的单调性 ⑴ 函数y =)(x f 在某个区间内可导,若)(x f '>0,则)(x f 为 ;若)(x f '<0,则)(x f 为 .(逆命题不成立) (2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ,则)(x f . 注:连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法: ① 确定函数)(x f 的 ; ② 求)(x f ',令 ,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根; ③ 把函数)(x f 的间断点(即)(x f 的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间; ④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ,根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性. 2.可导函数的极值 ⑴ 极值的概念:设函数)(x f 在点0x 附近有定义,且对0x 附近的所有点都有 (或 ),则称)(0x f 为函数的一个极大(小)值.称0x 为极大(小)值点. ⑵ 求可导函数极值的步骤: ① 求导数)(x f '; 导数的应用(一)单调性与极值 一. 教学内容: 导数的应用(一)单调性与极值 1. 函数的单调性 一般地,设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ,则)(x f 为减函数,如果在某个区间内恒有0)(='x f ,则)(x f 为常数。 2. 函数的极值 一般地,设函数)(x f 在点0x 附近有定义,如果对0x 附近的所有点,都有)()(0x f x f <,就称)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值,记作极大值y )(0x f =;如果对0x 附近的所有的点,都有)()(0x f x f >就称)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值,记作)(0x f y =极小值。极大值和极小值统称为极值。 判别)(0x f 是极大(小)值的方法是: (1)如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ,右侧0)(<'x f ,那么)(0x f 是极大值; (2)如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ,右侧)(x f '0>,那么)(0x f 是极小值。 导数为0的点不一定是极值点,例如函数3)(x x f =,0=x 处的导数是0,但非极值点。 求可导函数)(x f 的极值的步骤如下: (1)求导数)(x f ' (2)求出方程0)(='x f 的根 (3)检查0)(='x f 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么)(x f 在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么)(x f 在这个根处取得极小值,如果左右符号相同,那么这个根不是极值点。 【典型例题】导数的应用—单调性与极值的习题课
函数的极值与导数教案完美版
高中数学第三章导数及其应用习题课导数的应用学案苏教版选修1_417
导数在函数中的应用
导数的应用(一)单调性与极值