第9讲 曲线运动动力学解释
本讲提示：
1.本讲的理论推导尽量在听懂的基础上自己能独立完成，不然容易留下“心理阴影”。
2.新课为了激发兴趣肯定尽量结合实际讲，但是学习完后应该对理论有完整体系的认识。 总得来说，做好受虐的心理准备，听不懂回家死磕，实在不行记得让老师下讲复习。
知识点睛
曲线运动中的加速度
我们研究曲线运动，运用的坐标系不同，加速度分量式是不同。物理学研究的时候根据研究问题的特点不同，采用的坐标系经常不一样，比如直角坐标系，自然坐标系，极坐标系，球坐标系，注坐标系等，在高一暑假的讲义上，我们曾经铺垫过一些，本讲继续讨论。
在普通的直角坐标系中，分加速度容易理解，每个坐标方向相互独立。 记为：
???
?
?
?
?????=??=??=t v a t v a t v a z z y y x x 对应的动力学方程就是牛顿定律分量式，具体的应用参考我们对于抛体以及恒力曲线运动的处理，这个方法比较适合恒力作用下的曲线运动。由于浅显易懂，本讲不再重复。 1.自然坐标系以及加速度分量
除了直角坐标系以外，我们还经常会用自然坐标系研究加速度。有一类曲线运动是在已知轨道上进行的，这时，可以在轨道上任取一参照点o ，这样就可以在轨道上用到o 的距离来表示运动方程。这就是自然坐标，实际初中物理中的匀速率运动公式vt s =就是这个坐标系中的方程。
我们把运动方向叫切向，垂直运动方向叫法向。对应的，每个方向的加速度叫切向加速度，与法向加速度。下面用数学推导相应的加速度。当质点做曲线运动时，一般速度的大小和方向都在变化。
为计算P 位置加速度，将速度增量v ? 分解为与2v 平行的分量//v ?和2v 垂直的分量1v ?，如图：
质点在P 的加速度为
t
v t v t v
a t t t ??+??=??=⊥→?→?→?
//00lim lim lim n a a
+=τ
其中n a a ,τ就是切向加速度和法向加速度。其中法向加速度又有规律：
易从相似三角形得： v t
v a n ωθ
=??=
，
其中R 为P 位置的“曲率半径”，
由于R v =ω，所以还有： R
v R v a n 22
=
==ωω
如果物体做圆周运动，这个加速度又叫向心加速度，向心加速度的规律最早由惠更斯在研究匀速
圆周运动时发现。惠更斯发现：做匀速圆周运动的物体，其受合外力总是正比于物体质量，正比于物体速度平方，反比于其圆轨道半径。记为：
R
v m
F n 2= 这就是高中教材上的圆周运动向心力定理。
应该说这个结论还是很实用的，虽然只是我们推论中的一个特殊情况。
由于暂时我们的同学对于向量微分的运算还不了解，为了把上述推导在极坐标系里推广，必须把自然坐标系的计算结果做一个形象的总结。 【总结】
（1）改变一个速度的大小的加速度分量与速度共线，由速度大小变化率决定。
（2）改变一个速度方向的加速度与该速度垂直指向旋转的内侧，大小正比于速度与角速度乘积。 利用以上推论我们引入极坐标里的加速度 2.极坐标系以及加速度分量
极坐标以到参考点o （又叫极点）的距离ρ以及到参考射线（极轴）的夹角θ来描述平面内的点（ρ，θ），其数学优点是某些平面坐标系里的很复杂的曲线方程很简单（比如以极点为圆心的圆的方程为R =ρ）。极坐标在物理上的优势是描述一些既沿着径向运动，又绕着固定点的旋转的运动比较直观。
比如椭圆轨道卫星的运动，我们关心卫星到地面高度以及方位角。又比如我们以前学习运动关联时候用绳子或杆衔接的物体，既有径向速度，又有转速。都比较适合极坐标，如图
:
水平向左运动的物体B 的速度分解为沿着绳子的分量//v 以及垂直绳子的转速⊥v ，根据自然坐标系得到的加速度计算原理：
1.在绳子方向（径向）上一共是两个加速度，一个改变//v 大小，与拉绳子的加速度大小一致，另一个改变⊥v 方向，大小AB
R v a 2
⊥=。
2.在垂直绳子方向（垂向，注意不是切向）也有两加速度，一个改变⊥v 大小，另一个改变//v 方
向，注意这个加速度不等于 AB
R v 2
// ,而等于AB R v v v ⊥=////ω。 专业的力学教材还会对这些加速度中的某些项取一堆形象的名字方便记忆，比如著名的科里奥利
加速度，平面系5个加速度等。由于这个加速度过于依赖向量微分的理解，这里就不引入了。
期望着以上的讨论能引起同学们对于向量代数甚至向量微积分的兴趣，因为很复杂的物理情景理解问题在向量微积分里可以简化为几个简单的算符。
学而思物理竞赛的教学一种灌输一种观点，那就是方程是最美最高效率的物理语言。开始喜欢上物理的同学一般都是因为物理对现实的超理性理解。但多数喜欢物理的人进入大学后都容易对脱离实际现象的数学运算产生排斥感和畏惧感，希望同学们尽量的克服。一旦我们弄懂一个方程运算可以处理的实际情景之广泛，就会疯狂的喜欢上这种方程。方程会让我们对众多的问题有一个统一的观点，方程会让我们需要记忆的量以及概念辨析的量减少为最少。
从现实的角度，很多喜欢物理而且具备很高物理直觉天赋的同学最终在学习物理的过程中被郁闷，基本都是因为不适应物理的数学描述方式。我们提倡数理结合一起理解物理的教学观点也是希望更早的开始帮助我们同学克服上述困难。同学们要在科学道路上走的更高更远，与其被数学语言虐，不如学会去享受它。
当然如果我们学习物理只是作为科学知识去了解物理一下，物理确实不需要过多的数学语言去表达它。即便从概念以及逻辑思辨的角度去学习物理，物理也是很美丽很迷人的，因为他可以几乎可以无限的满足人先天本能中那种无法抑制的探索欲与求知欲。
例题精讲
【例1】 如图一条不可伸长的轻绳长为L ，一端用手握住，另一端系一质量为m 的小球，今使手握的一端在水平桌面上做半径为R ，角速度为ω的匀速圆周运动，且使绳始终与半径为R 的圆相切，小球也将在同一水平面内做匀速圆周运动，若人手做功的功率为P ，求：
（1）小球做匀速圆周运动的线速度大小； （2）小球在运动过程中受到的摩擦力的大小．
【例2】 如图所示，岸边的汽车用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引水中的小船，设小船始终不离开水面，且绳足够长，河岸离水面高h ，绳子与水平面成角度θ。不计船受的阻力，船的质量为m ，计算车匀速以速度v 1拉动船拉力F 与θ函数。
【例3】 如图，把一个质量为m 的物体放于半径为R 的光滑圆上，用向上的拉力F 拉着物体把物体往下放：
（1）如果以恒定的拉力F 让物体往下滑，计算支持力与θ函数。
（2）如果物体以恒定的竖直分速度v 沿着光滑面往下滑，计算拉力F 与θ函数。
【例4】 一个半径为R 的半圆柱沿水平方向做加速度为a 的匀加速运动，在圆柱上搁置一竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图，当半圆的速度向右以v 运动时，且如图中角度α已知，求竖直杆的加速度。
【例5】把两个质量均为m 的小球用长度为2r 的轻绳连接，放于光滑水平地面，分别对两球施加一对瞬时冲量产生一对初速度v 与-v ，两位同学为计算绳子上张力出现了矛盾。
A 同学认为：以绳子中心为圆心，那么拉力为r m v 2
B 同学认为：一右端球为圆心，拉力为r
m v r v m 2
222)2(
哪位同学考虑不周？为什么？
【例6】如图所示，1根长为2L的细绳，两端各系1个质量为m的小滑环，滑环套在固定的水平杆上，细绳的中点挂1个质量为M=2m的重物。不计细绳质量和一切摩擦，从细线与滑杆平行位置由静止释放到水平杆与绳夹角为θ=30°的位置时，已知m速度为v
(1)重物速度为多大？
(2)连接滑环与重物的细绳中的张力为多大？
【例7】长度为L的轻杆上端连接着一个质量为m的体积可忽略的小重物B。杆的下端被用铰链固接与水平面上的A点。同时，置于同一水平面上的立方体C恰好与B接触，立方体C的质量为M。今作一个微小扰动，使杆子向右倾倒，设B与C、C与水平面间无摩擦，而B与C刚刚脱离接触的瞬间，杆与地面夹角恰好为30?，计算此时B的速度以及杆上拉力。
【例8】一绳的一端连接于A点,绳上距A点为a处系有一重物B,其质量为m，绳的;另一端通过定滑轮C,现以恒定速率v收绳,当绳收至图示位置时,写出此时人的拉力符合的两个方程,(α,已知β已知)
【例9】试证明在有心力作用下（时刻指向一个固定点的力），做曲线运动的物体角动量（物体质量m 速度v 以及到固定点距离r 以及r 与v 夹角正弦乘积mvrsinθ）守恒。
【例10】计算以速度v 平抛的物体抛出后轨迹曲率半径与时间的函数，以此模型推导抛物线py x 22=曲率半径公式。
课后练习
1.如图所示，半径为r 的圆筒，绕竖直中心轴ω转动，小物块a 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的摩擦因数为μ，现要使a 不下滑，则圆筒转动的角速度ω至少为（ ）
A ．
g r μ B ．g μ C ．g r D ．g
r
μ
2.如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A 、B 两个小物块。A 的质量为m k g A =2，离轴心r c m 120=，B 的质量为m k g B =1，离轴心r c m 210=，A 、B 与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求
（1）当圆盘转动的角速度ω0为多少时，细线上开始出现张力？
（2）欲使A 、B 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（g m s =102
/）
3.水平桌面上放着三个圆柱体A,B,C ，它们的半径均为r ，质量m B =m C =m A 。先让它们保持如图所示的位置，然后从静止开始释放，若不计接触面间的摩擦，求A 触及桌面时的速度,已知分离时AB 连线与水平夹角为θ。
趣味物理故事
清朝全息相片之谜
清朝时候，有个姓汪的官员外出，乘马车走在一处河堤上．天空忽然阴云密布，随即雷鸣电闪，大雨倾盆．汪某急忙让车子停在一棵大柳树下躲避．
雨过天晴，汪某下车方便，回头时猛地看见车窗内有几个人影，心中不禁一惊．揭开车帘看，车厢里空无一人，仔细审视，原来人影是在车窗玻璃上．回家后，人影依然不散，家人都以为神异，就把这块玻璃取下供奉起来．
20几年后，汪家的儿童用弓箭游戏，不小心打碎了玻璃．奇怪的是，每一块碎片上的影像仍然是完整的．
汪某的外甥，翰林院侍读张亮基得到一块碎片，拿去给他的好友姚元之看．姚元之把自己看到的情况记录下来，并收入他所写的《竹叶亭杂记》书中．
书中记载：放平了看，这是一块残缺的玻璃片，但斜向阳光看去，就有一个“仙人”坐在里面，仪容端庄，面色微红，双目炯炯，胸前飘着长长的白须，头戴红色道冠，穿紫色衣服，右手执一柄羽毛扇，身旁还侍立着一个童子．
姚元之在清代嘉庆、道光两朝，做官近40年，经历丰富，博学能文，著述严谨．囿于当时认识水平，姚元之把这一奇异现象解释为在雷雨时刻，一位避劫的仙灵精气聚合不散，附着在玻璃上而成．学习效果反馈：
代课教师：
通过今天学习，你觉得：
1.本讲讲义内容设置：
A．太难太多，吃不透
B．难度稍大，个别问题需要下去继续思考
C．稍易，较轻松
D．太容易，来点给力的
2.本节课老师讲解你明白了：
A .40%以下
B .40%到80%
C .80%以上但不全懂
D .自以为都懂了
3．有什么东西希望老师下节课再复习一下么？（可填题号，知识点，或者填无）
学而思小学奥数知识点梳理 学而思教材编写组 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出 现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主 编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共 五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充 相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 ⑵ 一般而言： ① 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ② 乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2． 简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ① 运算定律的综合运用 ② 连减的性质 ③ 连除的性质 ④ 同级运算移项的性质 ⑤ 增减括号的性质 ⑥ 变式提取公因数 形如 ： 3． 估算 求某式的整数部分：扩缩法 4． 比较大小 ① 通分 a. 通分母 b. 通分子 ② 跟“中介”比 ③ 利用倒数性质 若， 则 c>b>a. 。形如： 5． 定义新运算 6． 特殊数列求和 运用相关公式： ，则 。 一、 计 算 四则混合运算繁分数 运算顺序 分数、小数混合运 算技巧 1． ⑴
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 1+2+3+4???( n-1 ) +n+ ( n-1 ) +-4+3+2+1=n 5． 一般地，如果a 是整数，b 是整数(b 工0),那么一定有另外两个整数 q 和r , Ow r < b,使得a=bx q+r 当 r=0 时，我们称 a 能被 b 整除。 当r 工0时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的不完全商(亦简称为商)。 用带余数除式又可以表示为 a * b=q ... r, 0 w r < b a=b x q+r 6. 唯一分解定理 任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即 n= p1 x p2 x ... x pk 7. 约数个数与约数和定理 设自然数n 的质因子分解式如 n= p1 x p2 x ... x pk 那么： n 的约数个数： d(n)=(a1+1)(a2+1) . (ak+1) n 的所有约数和：(1+P1+P1 + …p1 )( 1+P2+P2 + …p2 )???( 1+Pk+Pk + …pk ) 8. 同余定理 ① 同余定义：若两个整数 a ，b 被自然数m 除有相同的余数，那么称 a ，b 对于模m 同余，用式子表 示为 a = b(mod m) ② 若两个数a ，b 除以同一个数c 得到的余数相同，则 a ， b 的差一定能被 c 整除。 ③ 两数的和除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数和。 二、 数论 1． 奇偶性问题 奇 奇=偶 奇 偶=奇 奇x 偶=偶 偶 偶=偶 偶x 偶=偶 2． 位值原则 形如： =100a+10b+c 3． 数的整除特征： 整除数 特 征 2 末尾是 0、 2、4 、6、8 3 各数位上数字的和是 3的倍数 5 末尾是 0 或 5 9 各数位上数字的和是 9 的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和， 4 和 2 5 末两位数是 4(或 25)的倍数 8 和 125 末三位数是 8(或 125)的倍数 7、 11、13 末三位数与前几位数的差是 4． 整除性质 ① 如果 c|a 、 c|b ， 那么 c|(a b) 。 ② 如果 bc|a ，那么 b|a ， c|a 。 ③ 如果 b|a ， c|a 且( b,c ) =1, 那么 11 的倍数 a 整除。 如果 a 个连续自然数中必恰有一个数能被 带余 除法 两者之差是 7(或 11 或 13)的倍数 bc|a 。 c|b,b|a, 那么 c|a.
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学而思小学奥数知识点梳理 学而思教材编写组 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 一、计算 1．四则混合运算繁分数 ⑴运算顺序 ⑵分数、小数混合运算技巧 一般而言： ①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ②乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2．简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ①运算定律的综合运用 ②连减的性质 ③连除的性质 ④同级运算移项的性质 ⑤增减括号的性质 ⑥变式提取公因数 形如： 3．估算 求某式的整数部分：扩缩法 4．比较大小 ①通分 a. 通分母 b. 通分子 ②跟“中介”比 ③利用倒数性质 若，则c>b>a.。形如：，则。 5．定义新运算
6．特殊数列求和 运用相关公式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 二、数论 1．奇偶性问题 奇奇=偶奇×奇=奇 奇偶=奇奇×偶=偶 偶偶=偶偶×偶=偶 2．位值原则 形如：=100a+10b+c 3．数的整除特征： 整除数特征 2 末尾是0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3的倍数 5 末尾是0或5 9 各数位上数字的和是9的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 4和25 末两位数是4（或25）的倍数 8和125 末三位数是8（或125）的倍数 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数 4．整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(a b)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 ④如果c|b,b|a,那么c|a. ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5．带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0?r＜b,使得a=b×q+r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0?r＜b a=b×q+r 6. 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p1 × p2 ×...×pk 7. 约数个数与约数和定理
学而思小学奥数知识点梳理 一、计算 1．四则混合运算繁分数 ⑴运算顺序 ⑵分数、小数混合运算技巧 一般而言： ①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ②乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2．简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ①运算定律的综合运用 ②连减的性质 ③连除的性质 ④同级运算移项的性质
⑤ 增减括号的性质 ⑥ 变式提取公因数 形如：1212......(......)n n a b a b a b a a a b ÷±÷±±÷=±±±÷ 3． 估算 求某式的整数部分：扩缩法 4． 比较大小 ① 通分 a. 通分母 b. 通分子 ② 跟“中介”比 ③ 利用倒数性质 若 111 a b c >>， 则c>b>a.。形如：3 12123 m m m n n n > >，则 3 12123 n n n m m m <<。 5． 定义新运算 6． 特殊数列求和 运用相关公式： ①()2 1321+=++n n n ② ()()6 12121222++= +++n n n n ③()21n a n n n n =+=+ ④() ()4 121212 22 333+= ++=+++n n n n ⑤131171001???=?=abc abc abcabc ⑥()()b a b a b a -+=-22
⑦1+2+3+4…（1）（1）+…4+3+2+12 二、数论 1．奇偶性问题 奇±奇=偶奇×奇=奇 奇±偶=奇奇×偶=偶 偶±偶=偶偶×偶=偶2．位值原则 形如：abc=10010 3．数的整除特征：
第一讲 孙行者有几个名字 一、 枚举法 有序思考 目标：不重复，不漏掉 二、 排列（有顺序 ） 1、 类型：名字、卡片、位置 魏雅楠老师 2、 方法：先固定开头，后交替位置 三、 组合（无顺序） 1、 类型：握手、击掌、打电话、搭配 2、 方法：连线法
【例1】布莱克、树桩、简乐、石磊磊合照留念，树桩只能在从左往右的第二个位置，他们一共有多少种不同的排法呢？ 解析：首先四个人肯定有四个位置，先把四个位置写上。看到树桩只能站在②号位置，给它一个特殊的符号，比如▲，布莱克用A 表示，简乐用B 来表示，石磊磊用C 来表示。先确定树桩在②，接下来有序思考，先让A 站在一号位，两种；B 站在①号位，两种；C 站在①号位，两种。一共六种。具体如下： ① ② ③ ④ A ▲ B C A ▲ C B B ▲ A C B ▲ C A C ▲ A B C ▲ B A 2+2+2=6（种） 答：一共有6种不同的站法。 【例3】四只猴子互相击掌庆祝胜利，想一想如果每两只猴子击一次掌（不能重复计数），他们一共需要几次击掌？
解析：首先给四只猴子起个名字，A 、B 、C 、D ，第一个猴子A 先开始，分别找B 、C 、D 击掌；然后第二个猴子B ，已经跟A 击过掌了，那就不用再回去击掌了，只要往后面继续就行，所以找C 、D ；接下来是C ，还是只要往后继续，所以只有找D ，如下图： A B C D 3+2+1=6(次) 【例 5】用下面的服装搭配一下，可以有几种不同的穿法？ 解析：首先上衣穿一件，下装穿一件，两两搭配，由于思考，先看第一件上衣可以搭配几种，连线连出来，再看第二件上衣，同样连线，如下图： 答：可以有6种不同的搭配。 、
学而思家校互动平台 学而思网校是学而思教育集团旗下的在线视频教学平台。自2009年上线以来，学而思网校依托学而思教育集团强大教学资源与师资力量，专注于中小学网络教育培训课程研发，竭诚为广大中小学生提供优质高效的远程教育服务。在短短6个月时间内，学而思网校已开通了小升初奥数相关在线培训辅导课程分3大类15小类，共计100多门课程，使用用户高达3000多人，并稳步持续增长。 1）学而思网校与学而思辅导班是什么关系？ 学而思网校与学而思辅导班都隶属于学而思国际教育集团，是学而思的网络教育和学习平台，通俗的说就进行网上授课和学习，把老师请回家！ 2）在辅导班跟老师学习有互动和监督，在网校怎样学习，如何保证学习效果？ 网校教学在真人互动性上的确欠缺，但是国内外的教学领域广泛应用，是地面教学非常重要的组成，是因为其本身不可替代的优势： 最顶尖的师资和教学，完全学透每一讲课程，可及时度量学习效果！ 学而思网校，有班主任监督的网络学习 最顶尖的师资和教学 学生不只是和一位精英教师在学习，而是由一个专业的教学团队为孩子授课和服务。 现在的孩子不是学的不够，而是要学得太多！家长们在千千万万的辅导班中为孩子挑选时间和收效比最高的，孩子最宝贵的是时间成本，选错了课和老师耽误的不是金钱而是孩子的一学期甚至孩子对一门学科的兴趣！ 网校集中了最优秀的师资，每门课在录制前要从精英教师队伍中经过层层选拔，由最能讲出这门课程特色的老师来执教。这一位老师的背后有着几十位乃至上百位老师和教研员组成的课程教研、录制团队为他提供教学服务和支持。 点击这里进入学而思网校秋季班在线报名并订购课程享受大优惠特价 完全学透每一讲课程 为什么一起学习的同班同学学习成绩千差万别？ 这是因为每个孩子的学习偏向和接受能力不同，大班教学无法针对每个孩子，所以就会出现孩子学习的地方越学越好，学习不好的地方怎么学还是不会。 网校学习最大特点是可以根据孩子实际的接受情况来调整学习进度，孩子掌握好的地方可以很快过一遍巩固，学得不好的地方就要反复的多听几遍，并且可以及时的回顾课程，温故而知新。 可及时度量的学习效果 家长对于孩子学习最大的困惑和担心是什么？——无法确知学习效果！ 一堂课学完，孩子到底掌握了没有？一听就会，一做就不会，是大多数孩子的问
111111111 1223344556677889910++++++++ ????????? 【举一反三】 2341011(12)(12)(123)(123)(1234)(129)(12910) +++++?++?++++?++++++?++ ++ 计算： 1111 244668 98100 ++++ ???? 小升初计算重点考查内容(一) 抵消思想——裂项
【举一反三】 11111 1447710101397100 +++++ ????? 计算： 111 1 123234345 484950 +++ + ???????? 【举一反三】 111 1 12342345345678910 +++ + ???????????? 计算：56677889910 56677889910 +++++-+-+ ????? 【举一反三】 357911131517192612203042567290-+-+-+-+ 计算： 456 11 123234345 8910 +++ + ????????
猜猜下回是哪位老师小时候的故事呢？
在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。 【例1】(★★★)计算： 33333 122334451920 +++++= ????? （） A．47 30 B． 47 29 C． 57 63 D． 57 20 【例2】(★★★)计算： 11111 133******** ++++= ????? （） A．5 11 B． 10 11 C． 8 9 D． 2 9 【例3】(★★★★)计算： 1111 456567678101112 ++++= ???????? （） A． 7 333 B． 77 333 C． 7 330 D． 27 333 【例4】(★★★★)计算：2337911 345122030 +++++=（） A．32 27 B． 41 12 C． 41 21 D． 23 12 【例5】(★★★★)计算： 5719 1232348910 +++= ?????? 。 A．35 17 B． 35 12 C． 47 23 D． 23 15
第七讲 时间爷爷的胡子去哪了 一、 认识钟表 1、 12个数：1~12 2、 格子：12个大格子，60个小格子 3、 指针：秒针 →数小格子 分针 →数小格子 时针 →数大格子 二、 时间换算 1分=60秒 1时=60分 三、 认识时间 四、 时间的计算 1、 时和时，分和分 2、 求具体时刻
再过几分钟，做“+” 几分钟前，做“-” 3、 求某个时间段 经过的时间等于结束-开始 注：变成24小时制 五、 镜子里的时间 上下不变，左右改变。 1.按要求填写下面的时刻。 解析：
（1）第一辆车发车时间是7时4分，再过6分钟，用加法，第二辆车发车时间是7时4分+6分=7时10分，再过6分，用加法，第三辆车发 车时间是7时10分+6分=7时16分。 （2）第二辆车发车时间是8时，第一辆车在第二辆车8分钟前发出，用减法，分钟是0不够减，所以可以找小时兄弟借过来1小时，将1小时 变成60分，8时变成了7时60分。第一辆车的发车时间是7时60 分-8分=7时52分。第三辆车在第二辆车后面发出，也就是8分钟后， 用加法，第三辆车发车时间是8时+8分=8时8分。 （3）第三辆车发车时间是11时25分，第二辆车在第一辆车15分钟前发出，用减法，第二辆车的发车时间是11时25分-15分=11时10分， 第1辆车在第二辆车15分钟前发出，用减法，我们发现分钟不够减， 怎么办？那咱们就想办法借一借，从哪借？看到小时兄弟时间挺多的， 就找他借过来1小时，将1小时变成60分，将1小时变成60分，第 一辆车发车时间是10时70分-15分=10时55分。 2. 下面钟表上所表示的是什么时刻？用电子计时法表示出来。 解析：首先我们先知道那个是分针，哪个是时针，又矮又胖身材不好的是时针，又瘦又高身材最好的是分针。读时间其实就是数格子，那么分针和时针都是怎么
温馨提示：本讲实验不在讲义中呈现，详见视频！！ 一切物体在失去支持的时候都要向地面降落。 这是因为地球对它周围的物体有引力，能把它们拉向地面。 一、重力的产生 趣味实验探究----重力
2．判断下列说法是否正确 ·地面上的任何物体都受到重力作用 ·只有静止的物体受到重力作用 ·与地球不接触的物体不受重力作用 ·奔驰的列车不受重力作用 ·地球周围物体受到的重力作用与其运动状态无关 二、重力的方向 1．判断重力的方向 ·物体所受重力的方向总是竖直向下的。 从理论上说竖直方向就是垂直于水平面(海平面)的方向。 2．想一想： ·空中飞行的足球所受的重力方向 ·起伏不平的路面上的汽车在不同地点的重力方向 3．应用：利用重垂线校准墙壁是否竖直，窗台等是否水平(可用三角板加重垂线)
三、重力的大小 实验一：重力大小与质量关系 实验结论： 1．实验表明： 质量增大几倍，重力也增大几倍，即物体所受的重力跟它的质量成正比，比值9.8N/kg，是个定值。 如果用G表示物体受到的重力，m表示物体的质量，g表示比值9.8N/kg(质量为1千克的物体所受到的重力为9.8牛顿)重力跟质量的关系可以写作： 粗略计算时，g的值也可以取做10N/kg。 练习 1．一只苹果质量200g，则所受重力为多少？ 2．一载重汽车及其货物总重4.9×104N，则能否通过限重为6t的桥梁？
3．在一般情况下g为定值，但经过科学家的精确测量，g值仍有差异，右表为各个不同城市的g值大小，观察分析表中提供的数据，回答下列问题： ⑴g值相同的城市是_________； ⑵g值差异最大的两地是__________、__________； ⑶试猜想g值变化的原因可能是____________。 四、重心 1．一个物体的各个部分都要受到重力的作用，从效果上看，可以认为各部分受到的重力集中于一点，这一点叫物体的重心。 ⑴重心是等效作用点。 重心不是重力实际作用点，也不是物体最重的点。 ⑵重心的位置跟物体形状和质量的分布有关系 2．找重心 ·质量均匀且形状规则的物体的重心在其几何中心。 ·支撑平衡找重心。 ·悬挂法找重心：质量不均匀、外形不规则物体的重心可以用悬挂法确定。 重心是否一定在物体上？ ·质量均匀、外形规则的唱片的重心在它的圆心上。
小学四年级数学知识点归纳 四年级上册 知识点概括总结 1.大数的认识: (1)亿以内的数的认识: 十万:10个一万; 一百万:10个十万; 一千万:10个一百万; 一亿:10个一千万; 2.数级:数级是为便于人们记读阿拉伯数的一种识读方法,在位值制(数位顺序)的基础上,以三位或四位分级的原则,把数读,写出来。通常在阿拉伯数的书写上,以小数点或者空格作为各个数级的标识,从右向左把数分开。 3.数级分类 (1)四位分级法 即以四位数为一个数级的分级方法。我国读数的习惯,就是按这种方法读的。如:万(数字后面4个0)、亿(数字后面8个0)、兆(数字后面12个0,这是中法计数)……。这些级分别叫做个级,万级,亿级……。 (2)三位分级法
即以三位数为一个数级的分级方法。这西方的分级方法,这种分级方法也是国际通行的分级方法。如:千,数字后面3个0、百万,数字后面6个0、十亿,数字后面9个0……。 4.数位:数位是指写数时,把数字并列排成横列,一个数字占有一个位置,这些位置,都叫做数位。从右端算起,第一位是“个位”,第二位是“十位”,第三位是“百位”,第四位是 “千位”,第五位是“万位”,等等。这就说明计数单位和数位的概念是不同的。 5.数的产生:阿拉伯数字的由来:古代印度人创造了阿拉伯数字后,大约到了公元7世纪的时候,这些数字传到了阿拉伯地区。到13世纪时,意大利数学家斐波那契写出了《算盘书》,在这本书里,他对阿拉伯数字做了详细的介绍。后来,这些数字又从阿拉伯地区传到了欧洲,欧洲人只知道这些数字是从阿拉伯地区传入的,所以便把这些数字叫做阿拉伯数字。以后,这些数字又从欧洲传到世界各国。 阿拉伯数字传入我国,大约是13到14世纪。由于我国古代有一种数字叫“筹码”,写起来比较方便,所以阿拉伯数字当时在我国没有得到及时的推广运用。本世纪初,随着我国对外国数学成就的吸收和引进,阿拉伯数字在我国才开始慢慢使用,阿拉伯数字在我国推广使用才有100多年的历史。阿拉伯数字现在已成为人们学习、生活和交往中最常用的数字了。 6.自然数:用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码 0,1,2,3,4,……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数,自然数由0开始(包括0),一个接一个,组成一个无穷的集体。 7.计算工具:算盘、计算器、计算机。
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对学而思网校的了解
对教育培训行业及学而思网校的了解 “教育培训业是21世纪的朝阳产业之一”。教育培训机构市场的火爆，也直接导致了竞争的越来越激烈，教育行业上演了一场“群雄逐鹿”的大戏，在优胜劣汰大浪淘沙的市场选择下，行业格局和架构正经历着新一轮洗牌，出现了几家欢喜几家愁的局面。 一、线下教育培训机构的发展瓶颈以及弊端 国家对教育培训市场进一步开放，尤其是职业培训快速迅猛发展。市场竞争进一步加剧，小型机构由于师资、市场开发资金缺乏、品牌难以在短期形成，市场空间越来越小。并且因为教育培训业是先收费，后服务的赢利模式，所以较之其他行业具有与众不同的特色，即“轻资产，重品牌”，学员为了降低学习风险，往往会集中选择具有优势的教育培训机构品牌，从而形成强者更强，一家独大的良性局面。教育培训领域的广阔市场和丰厚利润，也使得西方国家加紧了进军中国教育培训市场的步伐，这些国外公司开始进军我国教育培训市场。并且在优胜劣汰的局面之下，其多元化的教育培训市场格局，较低的培训市场准入门槛，使很多经营者对教育培训的规律缺乏科学的认识，在教学质量、教学内容、师资上的研发投入严重不足，教学效果自然无从保证，加上急功近利的心态，导致对教学质量的漠视。最终的结果就是其越做越小，质量越做越差，名声越做越烂，最后被市场淘汰出局。 二、线上教育将会是未来的全新市场 线上教育与线下教育对比，主要拥有以下的优势：
1.空间优势：在线教育的全面发展，使人们可以直接在家里进行学习，降低了空间上的成本。例如题主所说的英语培训，平时少儿主要都是在校教育的，那么在空间上就会受到很大的限制，并不利于教学进度的实施，而线上教育就能很好的弥补线下教育的这一缺点，人们现在只需一部电脑、一台手机，即可在互联网上进行学习，真正的做到不出门既能学遍天下。 2.时间优势：线上教育相比线下教育，更大的一个优势就是在线教育还能支持课后重温，也就是说当你忘记了某个知识点，或者在听某节课分心了的时候，你都能对课程进行重新学习，无论何时何地，只要你想进行重温即可马上进行。在线教育中的时间是宽泛的，没有时间的限制，更有利于人们对自我时间的安排。 3.对知识的掌控更强：互联网不断的当今，随着焦虑的不断增强，人们需要的知识也变得越来越多，我们都想学到更多的东西，但是却又不知道到底哪些内容是适合我们的。这时候，在线教育就能很好的解决这一问题。因为在线教育的课程都是直接摆在我们面前的，可以直接通过小程序、App等相关的工具即可进行听课，并且大多数都支持在线免费试听，先试着学习，觉得合适自己之后再进行对其购买，相对于传统的线下教育，这恐怕也是最大的优点了吧！ 4.其他的优势：除了上面所说的这三点优势，线上教育还具有很多细节上长处的，例如在费用问题上，线上教育可以设定基础、入门、深度学习等模式，对不同的人群进行不同的收费，即能减轻费用上的负担，也更能提升家长的信任感。
学而思小学奥数知识点梳理 一、计算 (4) 1、四则混合运算繁分数 (4) 2、简便计算 (4) 3、估算 (5) 4、比较大小 (5) 5、定义新运算 (6) 6、特殊数列求和 (6) 7、大数计算： (6) 9、重复数字：324324324324=324×1001001001 (6) 10、头同尾和十 (6) 11、452=2025 (6) 12、7×11×13 = 1001 (6) 37×3 = 111 (6) 13、7的秘密： (6) 14、位值原理： (7) 二、数论 (7) 1、奇偶性问题 (7) 2、位值原则 (7) 3、数的整除特征： (7) 4、整除性质 (7) 5、带余除法= (7)
7、约数个数与约数和定理 (8) 8、两数的约数也是两数差的约数； (8) 9、同余定理 (8) 10．弃九法 (8) 11．完全平方数性质 (8) 12．孙子定理（中国剩余定理）见下 (8) 13．余数应用 (8) 14．辗转相除法---根本在于辗转相减 (9) 15. 质数 (9) 16．求最大公因数，最小共倍数 (9) 17．数论解题的常用方法 (9) 三、几何图形 (12) 1、平面图形 (12) 2、立体图形：长方体、正方体 (14) 3、周长 (15) 4、图形计数： (15) 5、图形分割和拼接 (15) 6、一些特殊图形 (15) 7、勾股定理 (15) 8．曲线形图形 (16) 9、一些特殊的图形： (16) 四、典型应用题 (17)
2．方阵问题 (17) 3．列车过桥问题 (18) 4．年龄问题 (18) 5．鸡兔同笼 (18) 6．牛吃草问题 (18) 7．平均数问题 (18) 8．盈亏问题 (18) 9．和差问题 (18) 10．和倍问题 (18) 11．差倍问题 (18) 12．逆推问题 (18) 13．代换问题 (19) 五、行程问题 (19) 1．相遇问题 (19) 2．追及问题 (19) 3．流水行船 (19) 4．多次相遇 (19) 5．环形跑道 (19) 6．行程问题中正反比例关系的应用 (19) 7．钟面上的相遇与追及问题。 (20) 8．结合分数、工程、和差问题的一些类型。 (20) 9．行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。 (20)
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小升初古诗考题大揭秘 考点1：主题诗句 详见第三讲 考点2：诗句默写及文学常识 例1：（海淀名校2010年考题）古诗文基础（每空0.5分，共8分） “桃花潭水深千尺，。”是我国代诗人写的《赠汪伦》中的一句诗。他被称为“”，和另一位与之同期的诗人并称为唐诗浪漫主义与现实主义的两座高峰。课文中所学的“，漫卷诗书喜欲狂。，青春作伴好还乡。”即是后者的作品。
1．杜甫的《春夜喜雨》中“晓看红湿处”的下句是（） A．花重绵阳城B．花重锦州城C．花重锦官城 2．杜牧的《泊秦淮》中“商女不知亡国恨”的下句是（） A．多少楼台烟雨中B．隔江犹唱《后庭花》C．卧看牵牛织女星 3．“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲”是谁的诗句？（）A．王维B．王之涣C．王勃 考点3：正确停顿 例2：下面诗句连读，不正确的一项是（） A．烟花/三月/下/扬州B．孤帆/一片/日边/来 C．门泊/东吴/万/里船D．山色/空蒙/雨/亦奇
古诗的朗读节奏技巧： 按意义兼顾章节来划分： 四言诗，按意义或节奏可划分为“二二”，如：人生/几何，去日/苦多。 五言诗，按意义可划分为“二三”，如：问女/何所思。按节奏可划分为“二二一”，如：大漠/孤烟/直；或是“二一二”，如：举头/望/明月。 七言诗按意义可划分为“四三”，如：两岸青山/相对出。按节奏可划分为“二二二一”，如：春风/不度/玉门/关；或“二二一二”，如：人生/自古/谁/无死。 下列诗句的朗读节奏，只有一句是不正确的，它是（） A．海内/存/知己，天涯/若/比邻。 B．应怜/屐齿/印/苍苔，小扣/柴扉/久不开。 C．随风/潜/入夜，润物/细/无声。 D．不敢/高声语，恐/惊/天上人。
学而思小学奥数知识点梳理 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、 1． 估算 求某式的整数部分：扩缩法 2． 比较大小 ① 通分 a. 通分母 b. 通分子 ② 跟“中介”比 ③ 利用倒数性质 若111a b c >>，则c>b>a.。形如：312123m m m n n n >>，则312123n n n m m m <<。 3． 定义新运算 4． 特殊数列求和 运用相关公式： ①()2 1321+= ++n n n Λ ②()()612121222++=+++n n n n Λ ③()2 1n a n n n n =+=+ ④()()4121212 22333+=++=+++n n n n ΛΛ ⑤131171001???=?=abc abc abcabc ⑥()()b a b a b a -+=-2 2 ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 2 一、 数论 1． 奇偶性问题 奇±奇=偶 奇×奇=奇 奇±偶=奇 奇×偶=偶
偶±偶=偶偶×偶=偶 2．位值原则 形如：abc=100a+10b+c 4．整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(a±b)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 ④如果c|b,b|a,那么c|a. ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5．带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r＜b a=b×q+r 6. 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p11a× p22a×...×p k ak 7.约数个数与约数和定理 设自然数n的质因子分解式如n= p11a× p22a×...×p k ak那么： n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) n的所有约数和：（1+P1+P12+…p11a）（1+P2+P22+…p22a）…（1+Pk+Pk2+…pk ak） 8.同余定理 ①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模 m同余，用式子表示为a≡b(mod m) ②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。 ③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。 ④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。 ⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。 9．完全平方数性质
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推荐10本小学奥数参考书 推荐一些同步的参考书教材，大家根据自己的年级买对应的书即可 1、《华数奥赛教材》 出版社：吉林出版集团 主编：毛文凤，单墫等 华数奥赛教材.png 简介：一本有着较长历史的书，可以作为同步学习的资料。作者毛文凤、单墫等都是我国着名的数学竞赛教练，同时编书很严谨。书正如其标题所示，是一本针对华杯赛的教材。华杯赛作为目前全国范围内比较正规、权威的赛事，其知识点覆盖面很全，同时对初中学习也有很强的指导作用。书中例题多采用华杯赛中的真题、改编题，可以帮助构建整个小学数学竞赛的知识框架。 优点：同时解决知识框架和华赛备考 缺点：书中欠缺知识点总结 适合学员：五年级、六年级有较好基础的同学可以使用 难度： 2、《小学奥数举一反三》 出版社：陕西人民教育出版社 主编：蒋顺，李济元 小学奥数举一反三.png 简介：也是分年级的一本书，难度相对来说较为简单，无论是大人还是小孩子都能看明白。孩子如果未接触过数学竞赛，可以用来作为初步自学的书籍。本书氛围A版和B版，A版是教材，有知识点讲解和例题；B版是同步练习册，用于课后巩固。 优点：入门必备，编排板式不错，有单独练习册 缺点：难度、深度均不足 适合学员：1-3年级推荐使用此书进行初步学习，4-6年级如果刚刚接触数学竞赛可以用此书作为初步学习的教材。 难度： 3、《明心数学资优教程》 出版社：湖北教育出版社 主编：刘嘉 明星数学资优教程.png 简介：这是武汉的刘嘉老师编写的一本教材，内容非常详细，每个知识点的介绍都有很多的背景介绍，不仅传授方法和知识，也会培养孩子对于数学历史的了解。整本书的结构非常不错，对于所涵盖的专题的讲解非常细致。 优点：对于单个知识点挖掘得很深，同时有很多背景知识介绍，丰富孩子的见闻 缺点：可能这套丛书只是部分完成，很多重要专题没有涉及，另外部分题目的解题方法已经较为落后 适合学员：对数学有较强兴趣，同时有一定数学竞赛基础的同学，此书只有4—6年级 难度：