第一讲线性空间
一、线性空间的定义及性质
[知识预备]
★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体
集合的表示：枚举、表达式
集合的运算：并（U），交（I）
另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。
★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。
1．线性空间的定义：
设V是一个非空集合，其元素用x,y,z等表示；K是一个数域，其元素用k,l,m等表示。如果V满足[如下8条性质，分两类]
（I）在V中定义一个“加法”运算，即当x,y V
∈时，有唯一的和+∈（封闭性），且加法运算满足下列性质
x y V
（1）结合律()()
++=++；
x y z x y z
（2）交换律x y y x
+=+；
（3）零元律存在零元素o，使x+o x
=；
（4）负元律对于任一元素x V
∈，使
∈，存在一元素y V
+=o，且称y为x的负元素，记为（x-）。则有()
x y
+-=o。
x x
（II）在V中定义一个“数乘”运算，即当x V
∈，k K
∈时，有唯一的kx V
∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质
（5）数因子分配律()
k x y kx ky
+=+；
（6）分配律()
+=+；
k l x kx lx
（7）结合律()()
=；
k lx kl x
（8）恒等律1x x
=；[数域中一定有1]
则称V为数域K上的线性空间。
注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。
（2）两种运算、八条性质
数域K中的运算是具体的四则运算，而V中所定义的加法运
算和数乘运算则可以十分抽象。
（3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。
当数域K为实数域时，V就称为实线性空间；K为复数域，V就称为复线性空间。
例1．设R+＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为
xy=xy , k k x x =o
证明：R +是实数域R 上的线性空间。 [证明] 首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性 ①唯一性和封闭性
唯一性显然
若x>0,y>0, k R ∈，则有
xy=xy R +∈ k k x x =o R +∈ 封闭性得证。 ②八条性质
（1）x （yz ）=x(yz)=(xy)z=(xy)z （2） xy=xy ＝yx= yx
（3） 1是零元素 x1＝1=x x ? [xo=x ——>xo=x －>o=1]
（4） 1x 是x 的负元素 x 1x
＝1
x 1x ?= [x+y=o ]
（5） k o （xy ）()k
k k xy x y ===k o x k o y [数因子分配律] （6） ()k l k l k l x x x x ++===o （k o x ）（l o x ） [分配律] （7） ()()
()k
l kl k l x x
x kl x ===o o o [结合律]
（8） 11x x x ==o [恒等律] 由此可证，R +是实数域R 上的线性空间。 2．
定理：线性空间具有如下性质
（1） 零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的。 （2） 如下恒等式成立： 0x =o ， ()()1x x -=-。 [证明]（1）采用反证法：
①零元素是唯一的。 设存在两个零元素o 1和o 2，则由于
o 1和o 2 均为零元素， 按零元律有
[交换律]
o 1＋o 2＝o 1 ＝ o 2＋o 1＝o 2
所以 o 1＝o 2
即 o 1和o 2 相同，与假设相矛盾，故只有一个零元素。 ②任一元素的负元素也是唯一的。假设x V ?∈，存在两个负
元素y 和z ，则根据负元律有
x y +=o ＝x z +
()()y y o y x z y x z o z z =+=++=++=+= [零元律] [结合律] [零元律] 即y 和z 相同，故负元素唯一。
（2） ①：设w=0x ，则 x+w=1x+0x=(1+0)x=x ，故 w=o 。 [恒等律]
②：设w=(－1)x ，则x+w=1x+(－1)x=[1+(－1)]x=0x=o ，
故w=－x 。
3．
线性相关性
线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似。
?线性组合： 12m 12m x ,x x V,c ,c c K ?∈∈L L
m
1122m m i i i 1
c x c x c x c x =+++∑L @
称为元素组12m x ,x x L 的一个线性组合。
?线性表示：V 中某个元素x 可表示为其中某个元素组的线性组合，则称x 可由该元素组线性表示。
?线性相关性：如果存在一组不全为零的数12m c ,c c K ∈L ，使得对于元素12m x ,x x V ∈L 有
m
i i
i 1
c x
0==∑
则称元素组12m x ,x x L 线性相关，否则称其线性无关。线性相关性概念是个非常重要的概念，有了线性相关性才有下面的线性空间的维数、基和坐标。 4．
线性空间的维数
定义：线性空间V 中最大线性无关元素组所含元素个数称为V 的维数，记为dimV 。
本课程只考虑有限维情况，对于无限维情况不涉及 。
例2. 全体m ×n 阶实矩阵的集合构成一个实线性空间（对于矩阵加
法和数对矩阵的数乘运算），求其维数。
[解] 一个直接的方法就是找一个最大线性无关组，其元素尽可能简单。
令E ij 为这样的一个m ×n 阶矩阵，其（i, j ）元素为1，其余元素为零。
显然，这样的矩阵共有mn 个，构成一个具有mn 个元素的线性无关元素组{}11121n 21222n m1m2mn E ,E ,E ;E ,E ,E ;;E ,E ,E L L L L 。另一方面，还需说明元素个数最大。对于任意的()ij m n A a ?=，都可由以上元素组线性表示，
ij ij i,j
A a E =∑ ——>
ij ij
i,j
a E
A 0+=∑
即{}ij E |i 1m,j 1n ==::构成了最大线性无关元素组，所以该空间的维数为mn 。
二、 线性空间的基与坐标 1．
基的定义：设V 是数域K 上的线性空间，()
12r x ,x x r 1≥L 是属于V 的r 个任意元素，如果它满足 （1）12r x ,x x L 线性无关；
（2）V 中任一向量x 均可由12r x ,x x L 线性表示。
则称12r x ,x x L 为V 的一个基，并称12r x ,x x L 为该基的基元素。 ?基正是V 中最大线性无关元素组；V 的维数正是基中所含元素的个数。
?基是不唯一的，但不同的基所含元素个数相等。
例3 考虑全体复数所形成的集合C 。如果K ＝C （复数域），则该集
合对复数加法和复数复数的乘法构成线性空间，其基可取为1，空间维数为1；如果取K ＝R （实数域），则该集合对复数加法及实数对复数的数乘构成线性空间，其基可取为{1,i}，空间维
数为2。
2．
坐标的定义：称线性空间n V 的一个基12n x ,x x L 为n V 的一
个坐标系，n x V ?∈，它在该基下的线性表示为：
n
i i
i 1
x
=ξ∑ ()i i K,x V,i 1,2,n ξ∈∈=L
则称12n ,ξξξL 为x 在该坐标系中的坐标或分量，记为
()
T
12n ,ξξξL
讨论：（1）一般来说，线性空间及其元素是抽象的对象，不同空间的
元素完全可以具有千差万别的类别及性质。但坐标表示却把它们统一了起来，坐标表示把这种差别留给了基和基元素，由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来。
（2）更进一步，原本抽象的“加法”及 “数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及数对向量的数乘。
1o 1122n n 1122n n x y (x x x )(x x x )+=ξ+ξ++ξ+η+η++ηL L
111222n n n ()x ()x ()x =ξ+η+ξ+η++ξ+ηL 正对应
()12n 1122n n 12n x (,,,)x y ,,,y (,,,)
=ξξξ?→+=ξ+ηξ+ηξ+η?
=ηηη?L L L
2o ()()()()1122n n 1122n n kx k x x x k x k x k x =ξ+ξ++ξ=ξ+ξ++ξL L
()12n k ,k ,,k →ξξξL
正对应 12n x (,,,)=ξξξL ()12n kx k ,k ,,k →=ξξξL
（3）显然，同一元素在不同坐标系中的坐标是不同的。后面我们还要研究这一变换关系。
三、 基变换与坐标变换
基是不唯一的，因此，需要研究基改变时坐标变换的规律。 设12n x ,x x L 是n V 的旧基，12n y ,y y L 是n V 的新基，由于两者都是基，所以可以相互线性表示
n
j ij i i 1y c x ==∑ (i 1,2,n =L )
即
[][][]11121n 21222n 12n 12n 12n n1n2
nn c c c c c c y ,y y x ,x x x ,x x C c c c ????
??==???
???
L L L L L M M O M L
其中C 称为过渡矩阵，上式就给出了基变换关系，可以证明，C 是可逆的。
设n x V ∈，它在旧基下的线性表示为 []1n
2i i 12n i 1
n x x x ,x ,x =ξ????ξ??=ξ=????ξ??
∑L M
它在新基下的线性表示为
[]12i n ''n
'
i 12n i 1
'x y y ,y ,y =??ξ??
ξ??=ξ=??????ξ??∑L M
则 [][]12n '1'212n 12n 'n y ,y ,y x ,x ,x ??ξξ??????ξξ??
??=????
????ξ??ξ????
L L M M
由于基元素的线性无关性，得到坐标变换关系
12n '1'2'n C ??ξξ??
????ξξ????=????????ξ??ξ????
M M →
12n '1'21'n C -??ξξ??????ξξ????=????????ξ??ξ????
M M 补充：证明对于线性空间的零元素o ，k K ?∈，均有k o ＝o 。
线性子空间
一、线性子空间的定义及其性质
1. 定义：设V 1是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件 （1） 如果x 、y ∈V 1，则x ＋y ∈V 1； （2） 如果x ∈V 1，k ∈K ，则kx ∈V 1， 则称V 1是V 的一个线性子空间或子空间。
2. 性质：（1）线性子空间V 1与线性空间V 享有共同的零元素； （2）V 1中元素的负元素仍在V 1中。 [证明]（1）0x =0
1x V V ∈?Q
∴ V 中的零元素也在V 1中，V 1与V 享有共同的零元素。
（2）1x V ?∈
（－1）x=(－x)1V ∈ 封闭性
∴ V 1中元素的负元素仍在V 1中
3. 分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间
平凡子空间：{0}和V 本身 非平凡子空间：除以上两类子空间
4. 生成子空间：设x 1、x 2、·、x m 为V 中的元素，它们的所有线性组合的集合
m i i i i 1k x |k K,i 1,2m =??
∈=????
∑L 也是V 的线性子空间，称为由x 1、x 2、·、
x m 生（）成的子空间，记为L(x 1、x 2、·、x m )或者Span(x 1、x 2、·
、x m )。
若x 1、x 2、·
、x m 线性无关，则 dim{L(x 1、x 2、·、x m )}=m
5. 基扩定理：设V 1是数域K 上的线性空间V n 的一个m 维子空间，
x 1、x 2、·、x m 是V 1的一个基，则这m 个基向量必可扩充为V n 的一个基；换言之，在V n 中必可找到n-m 个元素x m+1、x m+2、·、x n ，使得x 1、x 2、·、x n 成为V n 的一个基。这n-m 个元素必不在V 1中。
二、子空间的交与和
1.定义：设V 1、V 2是线性空间V 的两个子空间，则 {}1212V V x |x V ,x V ?=∈∈
{}1212V V x y |x V ,y V +=+∈∈
分别称为V 1和V 2的交与和。
2.定理：若V 1和V 2是线性空间V 的两个子空间，则12V V ?，V 1＋V 2
均为V 的子空间
[证明]（1）12x,y V V ?∈I
1x y V +∈ 2x y V +∈ 12x y V V ∴+∈I
12x V V ?∈I k K ∈
1kx V ∈ 2kx V ∈ 12kx V V ∴∈I
12V V ∴I 是V 的一个线性子空间。
（2）121x ,x V ?∈ 122y ,y V ?∈
11(x y )+12V V ∈+ 22(x y )+12V V ∈+ 12(x x )+1V ∈
12(y y )+2V ∈
1122121212(x y )(x y )(x x )(y y )V V +++=+++∈+
k K ?∈ 11kx V ∈ 12ky V ∈
111112k(x y )kx ky V V +=+∈+
12V V ∴+是V 的子空间。
4. 维数公式：若V 1、V 2是线性空间V 的子空间，则有
dim(V 1+V 2)+ dim(12V V ?)= dimV 1+ dimV 2
[证明] 设dimV 1=n 1, dimV 2=n 2, dim(12V V ?)=m
需要证明dim(V 1+V 2)＝n 1＋n 2－m
设x 1、x 2、·、
x m 是12V V ?的一个基，根据基扩定理 存在1）y 1、y 2、·、y n1－m ∈V 1，使x 1、x 2、·、x m 、y 1、y 2、·
、y n1－m 成为V 1的一个基；
2）z 1、z 2、·、z n2－m ∈V 2，使x 1、x 2、·、x m 、z 1、z 2、·
、z n2－m 成为V 2的一个基；
考察x 1、x 2、·、x m 、y 1、y 2、·、y n1－m 、z 1、z 2、·、z n2－m ， 若能证明它为V 1+V 2的一个基，则有dim(V 1+V 2)＝n 1＋n 2－m 。 成为基的两个条件：
1） 它可以线性表示V 1+V 2中的任意元素 2）
线性无关
显然条件1）是满足的，现在证明条件2），采用反证法。 假定上述元素组线性相关，则存在一组不全为0的数k 1、k 2、·、k m 、p 1、p 2、·、p n1－m 、q 1、q 2、·
、q n2－m 使
i i
i i
i i
k x p y q z
0++=∑∑∑
令i i 2z q z V =∈∑，则
i i
i i
2
k x p y z V +=-∈∑∑但1
2
V V ?I
根据基扩定理 i i k x ∑12V V ∈? i y 12
V V ?I ， x 1、x 2、·
、x m
、y 1、y 2、·
、y n1－m 成为V 1的一个基 i p 0∴=
同理：i q 0= i k 0=
这与假设矛盾，所以上述元素线性无关，可作为V 1+V 2的一个基。
∴
dim(V 1+V 2)＝n 1＋n 2－m
三、子空间的直和
1. 定义：设V 1、V 2是线性空间V 的子空间，若其和空间V 1+V 2中的
任一元素只能唯一的表示为V 1的一个元素与V 2的一个元素之和，即12x V V ?∈+，存在唯一的1y V ∈、2z V ∈，使
x y z =+，则称12V V +为V 1与V 2的直和，记为12V V ⊕ 子空间的直和并不是一种特殊的和，仍然是 {}1212V V x y |x V ,y V +=+∈∈，
反映的是两个子空间的关系特殊。 2. 定理：如下四种表述等价
（1）12V V +成为直和12V V ⊕ （2）{}12V V 0?=
（3）dim(V 1+V 2)=dimV 1+ dimV 2
（4）x 1、x 2、·、x s 为V 1的基，y 1、y 2、·
、y t 为V 2的基，则x 1、x 2、·、x s 、y 1、y 2、·
、y t 为12V V +的基 [证明]（2）和（3）的等价性显然
采用循环证法：（1）→（2）→（4）→（1） （1）→（2）：已知12V V +＝12V V ⊕ 假定x 0≠且12x V V ∈?，则
000x (x)=+=+-
120V V ∈+，10V ∈，20V ∈，1x V ∈，2x V -∈
说明对0元素存在两种分解，这与直和的定义矛盾，所以假定不成立，在12V V ?中只能存在0元素，即{}12V V 0?=
（2）→（4）：已知{}V V 012?=
成为基的两个条件： 1）
可以线性表示V 1+V 2中的任意元素
2）线性无关
1x V ?∈、2y V ∈，存在如下坐标表示式
s i i i 1
x x ==ξ∑ t
i i i 1
y y ==η∑
x y + 可表示V 1+V 2中的任一元素，
∴x 1、x 2、·、x s 、y 1、y 2、·
、y t 可表示V 1+V 2中的任意元素。
假设x 1、x 2、·、x s 、y 1、y 2、·
、y t 线性相关，即存在不全为0的12s 12t ,,,,,,,ξξξηηηL L 使
s i i
i 1
x =ξ∑t
i i
i 1
y =+η∑＝0
而 s i i i 1x x ==ξ∑1V ∈ t
i i i 1
y y ==η∑2V ∈
∴
s
i i
i 1x
=ξ∑＝－y 2V ∈
∴
s
i i
i 1x
=ξ∑12V V ∈I
∴
s
i i
i 1
x
=ξ∑＝0
∴12s 0ξ=ξ==ξ=L
同理12t 0η=η==η=L
这与其线性相关性矛盾，x 1、x 2、·、x s 、y 1、y 2、·
、y t 线性无关 ∴ x 1、x 2、·、x s 、y 1、y 2、·
、y t 可作为12V V +的基 （4）→（1）：已知（4）成立 在x 1、x 2、·、x s 、y 1、y 2、·
、y t 这组基下 12x V V ?∈+存在唯一的坐标12s 12t ,,,,,,,ξξξηηηL L 使
x ＝s i i i 1
x =ξ∑1
t
i i i y η=+∑
s
i i
i 1
x
=ξ∑1V ∈
t
i i
2
i 1
y V =η∈∑
∴ 12V V +成为直和 作业：P25－26 7，9，12