第五章静电场
5 －9若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为
2
2
4
π
1
L
r
Q
ε
E
-
=
(2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为
2
2
04
π2
1
L
r
r
Q
ε
E
+
=
若棒为无限长(即L→∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.
分析这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x，其电荷为d q＝Q d x/L，它在点P 的电场强度为
r
r
q
ε
e
E
2
d
π4
1
d
'
=
整个带电体在点P的电场强度
?=E
E d
接着针对具体问题来处理这个矢量积分.
(1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同，
?=L E i
E d
(2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A)所示，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P的电场强度就是
??=
=
L
y
E
α
E j
j
E d
sin
d
证 (1) 延长线上一点P 的电场强度?'=L r πεE 202，利用几何关系 r ′＝r －x 统一积分
变量，则
()220
022
204π12/12/1π4d π41L r Q
εL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=??????+--=-=?
电场强度的方向沿x 轴.
(2) 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为
E r εq
αE L d π4d sin 2
?
'=
利用几何关系 sin α＝r /r ′，2
2
x r r +=' 统一积分变量，则
()
2
2
03
/2222
2041π2d π41L
r r
εQ
r
x L x
rQ εE L/-L/+=
+=?
当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度
r
ελL r L Q r εE l 02
20π2 /41/π21lim
=
+=∞
→
此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B)］.这说明只要满足r 2/L 2
＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线.
5 －14 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量.
分析 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即?
?=S
S d s E Φ
方法2：作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面无电荷，由高斯定理
∑?==
?0d 0
q εS
S E 这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S ′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S 的电场强度通量.因而
??'
?-=?=S S
S E S E Φd d
解1 由于闭合曲面无电荷分布，根据高斯定理，有
??'
?-=?=S S
S E S E Φd d
依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元d S 的方向，
E R πR E 22πcos π=??-=Φ
解2 取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①
()r θθθE e e e E sin sin cos sin cos ++=
r θθR e S d d sin d 2=
E
R θθER θθER S
S
2π
π
2
222πd
sin d sin d
d sin sin d ===?=????S E Φ
5 －17 设在半径为R 的球体，其电荷为球对称分布，电荷体密度为
()()
R r ρkr ρ>=≤≤= 0R r 0
k 为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E 与r 的函数关系.
分析 通常有两种处理方法：(1) 利用高斯定理求球外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度
大小为常量，且方向垂直于球面，因而有2
S π4d r E ?=??
S E
根据高斯定理?
?
=
?V ρεd 1
d 0S E ，可解得电场强度的分布. (2) 利用带电球壳电场叠加的方法求球外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为r r ρq ''?=d π4d 2
，每个带电球壳在壳激发的电场0d =E ，而在球壳外激发的电场
r
r
εq
e E 20π4d d =
由电场叠加可解得带电球体外的电场分布
()()()()R r r r R
r
>=≤≤=??
d R r 0
d 0
E E E E
解1 因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理
?
?=
?V ρεd 1
d 0S E 得球体(0≤r ≤R ) ()4
20
2
πd π41
π4r εk r r kr εr r E r
=
=
?
()r εkr r e E 0
2
4=
球体外(r ＞R )
()4
20
2πd π41π4r εk r r kr εr r E R
=
=
?
()r εkR r e E 0
2
4=
解2 将带电球分割成球壳，球壳带电
r r r k V ρq '''==d π4d d 2
由上述分析，球体(0≤r ≤R )
()r r r
εkr r r r r k εr e e E 02
2200
4d π4π41=''?'=? 球体外(r ＞R )
()r r R
r εkR r r r πr k πεr e e E 2
02
220
04d 441=''?'=?
5 －20一个外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面，球面带电荷为Q2 .求电场分布.电场强度是否为离球心距离r的连续函数？试分析.
分析以球心O 为原点，球心至场点的距离r为半径，作同心球面为高斯面.由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等.因而
2
4
d rπ
E?
=
?S
E .在确定高斯面的电荷∑q后，利用高斯定理∑
?=0/
dε
q
S
E即可求出电场强度的分布.
解取半径为r的同心球面为高斯面，由上述分析
∑
=
?
2/
π4ε
q
r
E
r＜R1，该高斯面无电荷，0
=
∑q，故0
1
=
E
R1＜r＜R2，高斯面电荷
()
3
1
3
2
3
1
3
1
R
R
R
r
Q
q
-
-
=
∑
故
()
()23
1
3
2
3
1
3
1
2π4r
R
R
ε
R
r
Q
E
-
-
=
R2＜r＜R3，高斯面电荷为Q1，故
2
1
3π4r
ε
Q
E=
r＞R3，高斯面电荷为Q1＋Q2，故
2
2
1
4π4r
ε
Q
Q
E
+
=
电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图(B)所示.在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r＝R3的带电球面两侧，电场强度的跃变量
2
3
2
3
4π4
Δ
ε
σ
R
ε
Q
E
E
E=
=
-
=
这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性.实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层外的电场强度也是连续变化的，本题中带电球壳外的电场，在球壳的厚度变小时，E 的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E 的变化成为一跃变.
5 －21 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1 和R 2 ＞R 1 )，单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r 处的电场强度：(1) r ＜R 1 ，(2) R 1 ＜r ＜R 2 ，(3) r ＞
R 2 .
分析 电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且?
?=rL E d π2S E ，求出不同半径高斯面的电荷
∑q .即可解得各区域电场的分布.
解 作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理
∑=?0/π2εq rL E
r ＜R 1 ，
0=∑q
01=E
在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变
R 1 ＜r ＜R 2 ，
L λq =∑
r
ελ
E 02π2=
r ＞R 2，
0=∑q
03=E
在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变
π2
π2
Δ
ε
σ
rL
ε
Lλ
r
ε
λ
E=
=
=
这与5 －20 题分析讨论的结果一致.
5 －22如图所示，有三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一条直线等间距分布且Q1＝Q3＝Q.已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q1、Q3的情况下，将Q2从点O 移到无穷远处外力所作的功.
分析由库仑力的定义，根据Q1、Q3所受合力为零可求得Q2.外力作功W′应等于电场力作功W 的负值，即W′＝－W.求电场力作功的方法有两种：(1)根据功的定义，电场力作的功为
l
E d
02
?∞
=Q
W
其中E是点电荷Q1、Q3 产生的合电场强度.
(2) 根据电场力作功与电势能差的关系，有
()
2
2
V
Q
V
V
Q
W=
-
=
∞
其中V0是Q1、Q3在点O产生的电势(取无穷远处为零电势).
解1 由题意Q1所受的合力为零
()0
2
π4
π42
3
1
2
2
1
=
+
d
ε
Q
Q
d
ε
Q
Q
解得Q
Q
Q
4
1
4
1
3
2
-
=
-
=
由点电荷电场的叠加，Q1、Q3激发的电场在y轴上任意一点的电场强度为
()2/32
2
3
1π2y
d
ε
Q
E
E
E y
y
y
+
=
+
=
将Q2从点O沿y轴移到无穷远处，(沿其他路径所作的功相同，请想一想为什么？)外力所作的功为
()dε
Q
y
y
d
ε
Q
Q
Q
W y
2
2/3
2
2
02π8
d
π2
4
1
d=
+
??
?
?
??
?
-
-
=
?
-
='?
?∞
∞
l
E
解2 与解1相同，在任一点电荷所受合力均为零时Q
Q
4
1
2
-
=，并由电势
的叠加得Q1、Q3在点O的电势