第十5章 傅里叶级数
1傅里叶级数
一、三角级数·正交函数系
概念1：由正弦函数y=Asin(ωx+φ)表示的周期运动称为简谐振动，其中A 为振幅，φ为初相角，ω为角频率，其周期T=ω
2π.
常用几个简谐振动y k =A k sin(k ωx+φk ), k=1,2,…,n 的叠加来表示较复杂的周期运动，即：y=∑=n 1
k k y =∑=n
1
k k k )φ+ x sin(k ωA ，其周期为T=
ω
2π.
若由无穷多个简谐振动叠加得函数项级数A 0+∑∞
=1n n n )φ+ x sin(n ωA 收敛，
当ω=1时，sin(nx+φn )=sin φn cosnx+cos φn sinnx ，所以 A 0+∑∞=1
n n n )φ+sin(nx A = A 0+∑∞
=1
n n n n n sinnx )cos φA +cosnx sin φ(A ，
记A 0=
2
a 0
，A n sin φn =a n ，A n cos φn =b n ，n=1,2,…，则该级数可以表示为： 2a 0+∑∞
=1
n n n sinnx )b +cosnx (a . 它是由三角函数列(或称为三角函数系) 1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…构成一般形式的三角级数.
定理15.1：若级数
2
a 0+∑∞
=+1
n n n |)b ||a (|收敛，则三角级数
2a 0+∑∞
=1
n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.
证：对任何实数x ，∵|a n cosnx+b n sinnx|≤|a n |+|b n |， 由魏尔斯特拉斯M 判别法得证.
概念2：若两个函数φ与ψ在[a,b]上可积，且?b
a φ(x )ψ(x )dx=0，则 称函数φ与ψ在[a,b]上是正交的, 或称它们在[a,b]上具有正交性，若有一系列函数两两具有正交性，则称其为正交函数系.
注：三角函数列：1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…有以下性质： 1、所有函数具有共同的周期2π；
2、任何两个不相同的函数在[-π, π]上具有正交性，即为在 [-π, π]上的正交函数系. 即有：?π
π-cosnx dx=?π
π-sinnx dx=0；?π
π-cosmx cosnx dx=0 (m ≠n)；
?
π
π
-sinmx sinnx dx=0 (m ≠n)；?π
π
-cosmx sinnx dx=0 (m ≠n).
3、任何一个函数的平方在[-π, π]上的积分都不等于零，即
?
π
π
-2
nx cos dx=?ππ
-2nx sin dx=π；?π
π
-21dx=2π.
二、以2π为周期的函数的傅里叶级数
定理15.2：若2a 0+∑∞
=1
n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则：
a n =
?ππ-f(x)cosnx π1dx, b n =?π
π-f(x)sinnx π
1dx, n=1,2,…. 证：由定理条件可知，f(x)在[-π, π]上连续且可积，
∴?π
π-f(x )dx=2
a
?
π
π
-dx +∑??∞
=1
n π
π
-n ππ
-n )sinnx dx b +dx cosnx (a =
2
a 0
·2π=a 0π.
即a 0=?π
π-f(x)π1dx. 对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )
b +cosnx (a
两边同时乘以coskx(k 为正整数)，可得：
f(x)coskx=2a 0
coskx +∑∞
=1
n n n )sinnx coskx b +cosnx coskx (a ，则新级数收敛，有
coskx f(x )π
π
-?dx=2
a 0
?
π
π
-coskx dx +∑??∞
=1
n π
π
-n ππ
-n )dx sinnx coskx b +coskx dx cosnx a (.
由三解函数的正交性，等式右边除了以=a k 为系数的那一项积分
kx cos a 2
π
π
-k ?
dx= a k π外，其余各项积分都为0，∴coskx f(x )π
π
-?dx= a k π，
即a k =?π
π-f(x)coskx π1dx (k=1,2,…). 同理，对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )
b +cosnx (a
两边同时乘以sinkx(k 为正整数)，可得：b k =?π
π-f(x)sinkx π
1dx (k=1,2,…).
概念3：若f 是以2π为周期且在[-π, π]上可积的函数，则按定理15.2中所求a n , b n 称为函数f(关于三角函数系)的傅里叶系数，以f 的傅里
叶系数为系数的三角级数2a 0+∑∞
=1n n n sinnx )b +cosnx (a 称为f(关于三角函数
系)的傅里叶级数，记作f(x)~
2a 0+∑∞
=1n n n sinnx )b +cosnx (a .
注：若2a 0+∑∞
=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则，
f(x)=2a 0+∑∞
=1
n n n sinnx )b +cosnx (a .
三、收敛定理
概念4：若f 的导函数在[a,b]上连续，则称f 在[a,b]上光滑. 若定义在[a,b]上除了至多有限个第一类间断点的函数f 的导函数在[a,b]上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上导函数f ’的左右极限存在，则称f 在[a,b]上按段光滑.
注：若函数f 在[a,b]上按段光滑，则有： 1、f 在[a,b]上可积；
2、在[a,b]上每一点都存在f(x ±0)，且有
t 0)f(x -t)f(x lim 0
t +++
→=f ’(x+0)，t
-0)
f(x -t)f(x lim 0t ---→=f ’(x-0)；
3、补充定义f ’在[a,b]上那些至多有限个不存在点上的值后，f ’在[a,b]上可积.
定理15.3：(傅里叶级数收敛定理)若周期为2π的函数f 在[-π, π]上按
段光滑，则在每一点x ∈[-π, π]，f 的傅里叶级数2a 0+∑∞
=1
n n n sinnx )
b +cosnx (a 收敛于f 在点x 的左右极限的算术平均值，即
2
0)-f(x 0)f(x ++=2a 0+∑∞
=1n n n sinnx )b +cosnx (a ，其中a n , b n 为傅里叶系数.
注：当f 在点x 连续时，则有2
0)
-f(x 0)f(x ++=f(x)，即f 的傅里叶级数
收敛于f(x).
推论：若周期为2π的续连函数f 在[-π, π]上按段光滑，则f 的傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f.
注：由f 周期为2π，可将系数公式的积分区间[-π, π]任意平移，即：a n =
?+2πc c f(x)cosnx π1dx, b n =?+2π
c c f(x)sinnx π
1dx, n=1,2,….c 为任意实数. 在(-π, π]以外的部分，按函数在(-π, π]上的对应关系作周期延拓，如 f 通过周期延拓后的函数为：
,2,1k ],1)π(2k , 1)π-(-(2k x ，) 2π-f(x ]π, (-πx ，f(x)(x)f ???
??
±±=+∈∈= 函数f 的傅里叶级数就是指函数(x)f
?的傅里叶级数.
例1：设f(x) )
0, (-πx ，0
]π[0,x x ，??
?∈∈=，求f 的傅里叶级数展开式.
解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.
由收敛定理，有a 0=?ππ-f(x)π1dx=?π0x π1dx=2
π
. 当n ≥1时，
a n =
nx cos f(x)π1ππ-?dx=?π0xcosnx π1dx=?-π0π0sinnx n π1|xsinnx n π1dx=π
2|cosnx π
n 1 =π
n 1
2(cosn π-1)=πn 1
(-1)2n -；
b n =?ππ-f(x)sinnx π1dx=?π0xsinnx π1dx=-?+π0π
0cosnx n π
1|xcosnx n π1dx=n (-1)1n +.
∴在(-π, π)上，f(x)=4π+∑∞=??
????+-1n n
2n sinnx n (-1)cosnx πn 1-)1(.
当x=±π时，该傅里叶级数收敛于
20)πf(0)πf(+±+-±=20π+=2
π
.
∴f 在[-π, π]上的傅里叶级数图象如下图：
例2：把函数f(x)= π2x πx πx 0
πx 0 x 22??
?
??≤<-=<<，，
，展开成傅里叶级数. 解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有 a 0=
?2π0f(x)π1dx=?π02x π1dx-?2ππ2x π
1dx =-2π2
. 当n ≥1时，a n =
nx cos f(x)π
1π
π-?dx =?π02cosnx x π1dx-?2ππ2
cosnx x π
1dx ； 又?π02cosnx x π1dx=?-π0π
02xsinnx n π2|sinnx x n π1dx=21n n 2(-1)+-；
?2ππ2cosnx x π1dx=?-2ππ2π
π2xsinnx n π2|sinnx x n π1=21n 2n 2(-1)n 4++； ∴a n =21n 221n n 2(-1)n 4n 2(-1)++---=2
n 4[(-1)n
-1].
b n =?2π0f(x)sinnx π1dx=?π02sinnx x π1dx-?2ππ2
sinnx x π
1dx ；
又?π02sinnx x π1dx=-?-π0π
02xcosnx n π
2|cosnx x n π1dx=πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --+；
?2ππ2sinnx x π1dx=-?-2ππ2π
π2xcosnx n π
2|cosnx x n π1dx=-πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n +--+； ∴b n =πn ](-1)-2[1n π)
1(3n 1
n --++π
n ](-1)-2[1n π)
1(n 4π3n 1n --++ =πn ](-1)-4[1n 2π)1(n 4π3
n n ---=π
n ](-1)-4[1n (-1)]-[1 2πn 2π3n n -+ =
??
? ??-+πn 4n 2π
](-1)-[1n 2π3n ；∴当x ∈(0, π)∪(π, 2π]时， f(x)= -π2
+∑∞
=?
?????????????? ??-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4 .
当x=π时，该傅里叶级数收敛于20)f(π0)f(π++-=2)
π(π22-+=0；
当x=0或2π时，该傅里叶级数收敛于2
0)f(00)f(0++-=20
4π-2+=-2π2.
注：由当x=2π时，有
f(x)= -π2
+∑∞
=??
????????????? ??-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4
=-π2
+∑∞
=1n n
21]-[(-1)n
4=-π2-8∑∞
=+0n 2
1)(2n 1=-2π2. 可求得∑∞
=+0
n 2
1)(2n 1
=8π2.
例3：在电子技术中经常用到矩形波，用傅里叶级数展开后，就可以将巨形波看成一系列不同频率的简庇振动的叠加，在电工学中称为谐波分析。设f(x)的周期为2π的矩形波函数(如图)，在[-π, π)上表达式
为f(x)= πx 0 4π 0x 0 0x π- 4π
-???
?
???<<=<≤，，，，求该矩形波函数的傅里叶展开式. 解：∵f(x)在(-π,π)上是奇函数，
∴a 0=?ππ-f(x)π1dx=0，a n =nx cos f(x)π
1π
π-?dx=0；
b n =
?ππ-f(x)sinnx π1dx=?π0sinnx 4ππ2dx=2n
1[1-(-1)n ]， 当x ≠k π, k=0,±1,±2,…时，f(x)=∑
∞
=-1
n 1-2n 1)x
sin(2n ；
当x= k π, k=0,±1,±2,…时，级数每一项都是0，∴收敛于0.
习题
1、在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数：
(1)f(x)=x ，①(-π,π); ②(0,2π)；(2)f(x)=x 2，①(-π,π); ②(0,2π)； (3)f(x)= π，
x 0bx ，
0x π-ax ，??
?<<≤<.(a ≠b, a ≠0, b ≠0). 解：(1)函数f 及其延拓后的函数按段光滑，可以展开成傅里叶级数. ①∵xcosnx 是(-π,π)上的奇函数，∴a n =0, n=0,1,2,…
又b n =?ππ-xsinnx π1dx=-?+ππ-π
π-cosnx n π
1|xcosnx n π1dx=n 2(-1)1n +, n=1,2,….
∴在(-π, π)上，f(x)=2∑∞
=+1
n 1
n n
sinnx
(-1). ②a 0=?2π0f(x)π1dx=?2π
0x π
1dx=2π. 当n ≥1时，
a n =nx cos f(x)π12π0?dx=?2π0xcosnx π1dx=?-2π02π
0sinnx n π
1|xsinnx n π1dx=0.
b n =
?2π0f(x)sinnx π1dx=?2π0xsinnx π1dx=-?+2π02π
0cosnx n π1|xcosnx n π1dx=-n
2. ∴在(0,2π)上，f(x)= π-2∑
∞
=1
n n sinnx
. (2)函数f 及其延拓后的函数按段光滑，可以展开成傅里叶级数. ①a 0=
?ππ-f(x)π1dx=?ππ-2x π1dx=3
2π2
. 当n ≥1时， a n =nx cos f(x)π1ππ-?dx=?ππ-2cosnx x π1dx=?-ππ-π
π-2xsinnx n π
2|sinnx x n π1dx=2n n 4(-1).
f(x)sinnx 是(-π,π)上的奇函数，∴b n =
?π
π-f(x)sinnx π
1dx=0. ∴在(-π, π)上，f(x)=31π2+4∑∞
=1
n 2n n cosnx
(-1).
②a 0=
?2π0f(x)π1dx=?2π02x π1dx=3
8π2
. 当n ≥1时， a n =nx cos f(x)π12π0?dx=?2π02cosnx x π1dx=?-2π02π
02xsinnx n π2|sinnx x n π1dx=2n
4.
b n =
?2π0f(x)sinnx π1dx=?2π02sinnx x π1dx=-?+2π02π
02xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=-n
4π. ∴在(0,2π)上，f(x)=34π2+4∑∞
=???
?
?-1n 2
n πsinnx n cosnx . (3)函数f 及其延拓后的函数按段光滑，可以展开成傅里叶级数. a 0=
?ππ-f(x)π1dx=?π0bx π1dx+?0π-ax π1dx=2
π
(b-a). 当n ≥1时， a n =nx cos f(x)π1ππ-?dx=?π0bxcosnx π1dx+?0
π-axcosnx π
1dx
=?π0xcosnx πa -b dx=π
n a -b 2[(-1)n
-1] b n =
?ππ-f(x)sinnx π1dx=?π0bxsinnx π1dx+?0π-axsinnx π1dx =n
a b +(-1)n+1
. ∴在(-π, π)上，f(x)=4π(b-a)+∑∞
=???1n 2π
n a -b [(-1)n -1]cosnx-(-1)
n ???+sinnx n a
b .
2、设f 是以2π为周期的可积函数，证明对任何实数c ，有
a n =nx cos f(x)π12πc c ?+dx=?π
π-f(x)cosnx π
1dx , n=0,1,2,…；
b n =
sinnx f(x)π12πc c ?+dx=?π
π-f(x)sinnx π
1dx, n=0,1,2,…. 证：nx cos f(x )2π
c c ?+dx=nx cos f(x )πc
?-dx+nx cos f(x )ππ
-?dx+nx cos f(x )π
2c π
?
+dx.
令t=x+2π，则nx cos f(x )π
c ?-dx=) 2n π-nt cos() 2π-f(t π
2πc ?+dt=-nx cos f(x )π
2c π?+dx.
∴nx cos f(x )2π
c c
?+dx=nx cos f(x )π
π
-?dx ，从而有
a n =nx cos f(x)π12πc c ?+dx=?π
π-f(x)cosnx π
1dx , n=0,1,2,…；
同理可证：b n =sinnx f(x)π12πc c ?+dx=?π
π-f(x)sinnx π
1dx, n=0,1,2,….
3、把函数f(x)= πx 0 4
π
0x π- 4π
-?????<≤<<，，
展开成傅里叶级数，并由它推出： (1)4π=1-31+51-71+…；(2)3π=1+51-71-111+131+17
1
+…；
(3)
6π3=1-51+71-111+131-17
1
+…. 解：函数f 及其延拓后的函数按段光滑，可以展开成傅里叶级数.
∵xcosnx 是(-π,π)上的奇函数，∴a n =0, n=0,1,2,… 又b n =
?ππ-f(x)sinnx π1dx=?-0π-sinnx 4ππ1dx+sinnx 4ππ1π0?dx =2n
1[(-1)n+1
+1]. ∴在(-π, π)上，f(x)=∑∞=++1n 1
n ]1[(-1)n sinnx 21=∑
∞
=++0
n 12n 1)x sin(2n . (1)当x=2π时，f(2π)=4π=∑∞=++0n 12n 2π
1)
sin(2n =∑∞
=+0n n 12n (-1)=1-31+51-71+….
(2)∵4π=1-31+51-71+…=(1+51-71-111+131+171+…)+(-31+91-15
1
+…)
=(1+51-71-111+131+171+…)-∑∞=+0n n 12n (-1)31=(1+51-71-111+131+171+…)- 12π；
∴3π
=4π+
12π=1+51-71-111+131+17
1
+…. (3)当x=3π时，f(3π)=4π=∑
∞
=++0
n 12n 3π
1)
sin(2n =23(1-51+71-111+131-17
1+…)；
∴6π3=1-51+71-111+131-17
1
+….
4、设函数f(x)满足条件f(x+π)=-f(x)，试问此函数在(-π,π)上的傅里叶级数具有什么特性.
解：若f 在(-π,π)上存在傅里叶级数，则f 按段光滑. 记t=x+π，则
a n =?ππ-f(x)cosnx π1dx=-nx cos π)f(x π10π-?+dx+nx cos f(x)π
1π
0?dx ；
=-
π)-n(t cos f(t)π1π0?dt+nx cos f(x)π
1π
0?dx =-nt cos f(t)(-1)π1π0n
?dt+nx cos f(x)π
1π0?dx =[1-(-1)n ]
nx cos f(x)π
1π
0?dx, n=0,1,2,…；
∴a 2n =0, n=0,1,2,…；同理可得：b 2n =0, n=1,2,…； ∴f 在(-π,π)上的傅里叶级数的特性为：a 2n =b 2n =0, n=1,2,….
5、设函数f(x)满足条件f(x+π)=f(x)，试问此函数在(-π,π)上的傅里叶级数具有什么特性.
解：若f 在(-π,π)上存在傅里叶级数，则f 按段光滑. 记t=x+π，则
a n =?ππ-f(x)cosnx π1dx=nx cos π)f(x π10π-?+dx+nx cos f(x)π
1π
0?dx ；
=
π)-n(t cos f(t)π1π0?dt+nx cos f(x)π
1π0?dx =nt cos f(t)(-1)π1π0n
?dt+nx cos f(x)π
1π0?dx =[1+(-1)n ]
nx cos f(x)π
1π
0?dx, n=0,1,2,…； ∴a 2n-1=0, n=1,2,…；同理可得：b 2n-1=0, n=1,2,…；
∴f 在(-π,π)上的傅里叶级数的特性为：a 2n-1=b 2n-1=0, n=1,2,….
6、试证函数系cosnx, n=0,1,2,…和sinnx, n=1,2,…都是[0,π]上的正交函数系，但它们合起来的三角函数列：
1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…, cosnx, sinnx,…不是[0,π]上的正交函数系. 证：∵?π
0nx cos cosmx dx=2
1
[?+π0n)x cos(m dx+?π
0n)x -cos(m dx] =
)n m (21+sin(m+n)x|π0+)
n m (21-sin(m-n)x|π
0=0, m ≠n ；
又当n=0时，?π
02
nx cos dx=?π
0dx dx=π≠0
当n=1,2,…时，?π
2
nx cos dx=?+π01)nx 2(cos 21dx=2
π
≠0，
∴三角函数系cosnx, n=0,1,2,…中，任何两个不相同的函数的乘积在[0,π]上的积分都为0，而任一函数的平方在[0,π]上的积分都不为0， ∴cosnx, n=0,1,2,…是[0,π]上的正交函数系.
同理可证：sinnx, n=1,2,…也是[0,π]上的正交函数系. 但对三角函数列：1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…, cosnx, sinnx,…
∵??π
0x sin 1dx=-cosx|π
0=2≠0，∴它不是[0,π]上的正交函数系.
7、求下列函数的傅里叶级数展开式： (1)f(x)=
2
x
-π, 0 解：(1)函数f 及其延拓后的函数按段光滑，可以展开成傅里叶级数. a 0=?2π0f(x)π1dx=?2π02 x -ππ1dx=0. 当n ≥1时， a n = nx cos 2x -ππ12π0?dx=2π 0|sinnx 2n πx -πdx+?2π0sinnx 2n π 1dx =0. b n =sinnx 2x -ππ12π0?dx =-2π0|cosnx 2n πx -π-?2π0cosnx 2n π1dx =n 1, ∴在(0, 2π)上，f(x)=2x -π=∑∞=1 n n sinnx . (2)函数f 及其延拓后的函数按段光滑，可以展开成傅里叶级数. 函数等价于f(x)= πx 0 2x sin 20x π- 2x sin 2-?? ?? ? ≤≤<≤，，， ∴a 0=-?0π-2x sin 2π1dx+?π02 x sin 2π1dx= ? π 2x sin π22dx=π 2 4. 当n ≥1时， a n =-?0π-cosnx 2x sin 2π1dx+?π0cosnx 2 x sin 2π1dx= ? π cosnx 2 x sin π22dx =x n 21sin π2π0???? ??+dx+x n 21sin π2π0??? ? ??-dx =- π0|x n 21cos n)π21(22??? ??++-π |x n 21cos n)π21(22??? ??--=)πn 41(242 -. b n =- ?0π-sinnx 2x sin 2π1dx+?π0sinnx 2 x sin 2π1dx=0. ∴在(-π, π)上，f(x)=x cos 1-=π22+∑∞=-1 n 2 )πn 41(2 4. 当x=±π时， 该傅里叶级数收敛于 2 0) πf(0)πf(+±+-±=222+=2=f(±π), ∴在[-π, π]上，f(x)=x cos 1-=π22+∑∞=-1 n 2 )πn 41(2 4. (3)函数f 及其延拓后的函数按段光滑，可以展开成傅里叶级数. ①a 0=?2π02c)+bx +(ax π1dx=3 8 a π2+2 b π+2c. 当n ≥1时， a n = nx cos c)+bx +(ax π 12π02?dx =nx cos x πa 2π02?dx+nx cos x πb 2π0?dx+?2π 0nx cos π c dx =- sinnx x n π2a 2π0?dx+?2π0sinnx n πb dx=2π 02|xcosnx πn 2a =2n 4a . b n =sinnx c)+bx +(ax π 12π 02?dx = sinnx x πa 2π02?dx+sinnx x πb 2π0?dx+?2π 0sinnx πc dx =- 2π02|cosnx x n πa -2π0|xcosnx n πb =-n 2b 4a π+. ∴在(0, 2π)上，f(x)=ax 2 +bx+c =34a π2+b π+c+∑∞ = ??1n 2n 4a cosnx-??? +sinnx n 2b 4a π. ②a 0=?ππ-2c)+bx +(ax π1dx=3 2 a π2 +2c. 当n ≥1时， a n = nx cos c)+bx +(ax π 1ππ-2?dx =nx cos x πa ππ-2?dx+nx cos x πb ππ-?dx+?π π-nx cos π c dx =- sinnx x n π2a ππ-?dx+?ππ-sinnx n πb dx=π π-2|xcosnx πn 2a =(-1)n 2n 4a . b n = sinnx c)+bx +(ax π 1ππ-2?dx =sinnx x πa ππ-2?dx+sinnx x πb ππ-?dx+?ππ-sinnx πc dx=-ππ-|xcosnx n πb =-(-1)n n 2b . ∴在(-π, π)上，f(x) =ax 2 +bx+c =31a π2 +c +∑∞ = ??1n 2 n n 4a (-1)cosnx-??? ?sinnx n 2b (-1)n . (4)函数f 及其延拓后的函数按段光滑，可以展开成傅里叶级数. a 0=?ππ--x x 2e +e π1dx=π 2sh π . 当n ≥1时， a n =?ππ--x x nx cos 2e +e π1dx=?ππ-x nx cos e 2π1dx+?ππ -x -nx cos e 2π1dx=(-1)n 1)π(n 2nsh π 2+. b n =?ππ --x x sinnx 2 e +e π1dx=0. ∴在(-π, π)上，f(x) =chx=π sh π+∑∞=+1n 2n 1n n (-1)π2sh πcosnx. (5)函数f 及其延拓后的函数按段光滑，可以展开成傅里叶级数. a 0=?ππ--x x 2e -e π1dx=0. 当n ≥1时，a n =?ππ --x x nx cos 2 e -e π1dx=0. b n =?ππ--x x sinnx 2e -e π1dx=?ππ-x sinnx e 2π1dx+?ππ-x -sinnx e 2π 1dx=(-1)n+11)π(n 2nsh π 2+. ∴在(-π, π)上，f(x) =shx=∑∞=++1n 21n 1 n n (-1)π2sh πsinnx. 8、求函数f(x)= 12 1 (3x 2-6πx+2π2), 0 1 . 解：根据第7题第(3)小题的结论，有： 在(0, 2π)上，f(x)=31π2-21π2+61π2+∑∞=1n 2n 1cosnx=∑∞ =1n 2n 1 cosnx. 当x=0时，该傅里叶级数收敛于20)f(00)f(0-++=6π2. ∴6π2=∑2n 1 . 9、设f 为[-π,π]上的光滑函数，且f(-π)=f(π). a n ,b n 为f 的傅里叶系数，a ’n ,b ’n 为f 的导函数f ’的傅里叶系数. 证明：a ’0=0, a ’n =nb n , b ’n =-na n ,(n=1,2,…). 证：∵f 为[-π,π]上的光滑函数，∴f 在[-π,π]上有连续的导函数f ’. a ’0=?'ππ-(x)f π1dx=ππ-|f(x)π1=π 1 [f(π)-f(-π)]=0. a ’n = nx cos (x)f π1ππ-?'dx=π π-|f(x)cosnx π1+sinnx f(x)π n ππ-?dx=nb n ,(n=1,2,…). b ’n =sinnx (x)f π1ππ-?'dx=π π-|f(x)sinnx π1-cosnx f(x)π n ππ-?dx=-na n ,(n=1,2,…). 10、证明：若三角级数2a 0+∑∞ =1n n n sinnx )b +cosnx (a 中的系数a n ,b n 满足： |}b n ||a n {|sup n 3n 3n ，≤M ，M 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函 数具有连续的导函数. 证：∵|}b n ||a n {|sup n 3n 3n ，≤M ，∴|a n |≤ 3n M , |b n |≤3 n M ； ∴|a n cosnx+b n sinnx|≤|a n cosnx|+|b n sinnx|≤|a n |+|b n |≤3n 2M ； 又级数∑ ∞ =1 n 3n 2M 收敛，根据比较原则， 2a 0+∑∞ =1 n n n sinnx )b +cosnx (a 绝对收敛敛，且一致收敛. 记S(x)=2a 0+∑∞ =1 n n n sinnx )b +cosnx (a ，则 S ’(x)=∑∞='1 n n n )sinnx b +cosnx (a =∑∞ =1 n n n sinnx )na -cosnx (nb . ∵|nb n cosnx-na n sinnx|≤|nb n |+|na n |≤2n 2M ，又级数∑∞ =1n 2n 2M 收敛， 根据优级数原则，∑∞ =1 n n n sinnx )na -cosnx (nb 一致收敛. 又根据连续性定理，∑∞ =1 n n n sinnx )na -cosnx (nb 的和函数连续，得证! 傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T 上满足狄里克莱条件：1o )(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T - 上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2= ， ),2,1,0(,cos )(2 22Λ==?-n dt t n t f T a T T n ω， （2） ),3,2,1(,sin )(2 22 Λ==?-n dt t n t f T b T T n ω， （3） 根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为 ∑∞=--?? ????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ? ???++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令 dt t f T c T T ?-=22 0)(1 Λ,3,2,1,)(1 ]sin )[cos (1 sin )(1cos )(1222 2222 22==-=-=-=????-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a c T T t jn T T T T T T n n n ωωωωω Λ,3,2,1,)(1 22 ==?--n dt e t f T c T T t jn n ω 综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子 Λ,2,1,0,)(1 22 ±±==?--n dt e t f T c T T t jn n ω， （5） 傅里叶级数通俗解析-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 傅里叶级数 本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数代表的物理含义。 1.完备正交函数集 要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。如果n个函数 ,…构成一个函数集，若这些函数在区间上满足 如果是复数集，那么正交条件是 为函数的共轭复函数。 有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。比如三角函数集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。 先证明三角函数集： 设，,把代入(1)得 当n时 = = =0 (n,m=1,2,3,…,n) 当n=m时 = = 再证两个都是正弦的情况 设，,把代入(1)得 当n时 = = =0 (n,m=1,2,3,…,n) 当n=m时 = = 最后证明两个是不同名的三角函数的情况 设，,把代入(1)得 = = =0 (n,m为任意整数) 因为两个三角函数相乘只有以上三种情况：两个皆为余弦函数相乘；两个皆为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。至于三角函数集的完备性可以从n，m的取值为任意整数可以得出，三角函数集是完备正交函数集。证毕。 由于三角函数集是完备正交函数集，而根据欧拉公式，我们容易联想到复指数函数集是否也是完备正交函数集呢。 接着是复指数函数集的证明 设，,则把代入(2)得 当n时，根据欧拉公式 = =0 (n,m=1,2,3,…,n) 当n=m时， =1 (n,m=1,2,3,…,n) 所以，复指数函数集也是正交函数集。因为n，m的取值范围是所有整数，所以复指数函数集是完备的正交函数集。 明明是讨论傅里叶级数，为什么第一部分在阐述完备正交函数集呢。因为，在自然界中，没有规则的信号，比如说找一个正弦信号，是完全不可能找到的。有的是一堆杂乱的信号，无规律的波形。我们要研究它，基本的思想是把它拆分，分解成一个一个有规律的可研究的波形，这些波形能用数学表达式准确表达出来。 把一个复杂的信号分解的过程，可以理解成用已知的可以准确表达的函数表示他，比如一个复杂的信号把它分解，就是 其中，…是我们所熟悉的函数， 比如二次函数，一次函数，三角函数，指数函数等等。我们的任务就是求出所分解出来的函数，以及前方的系数n，然后对其研究。那么怎么求呢。完备正交函数集给了我们提供了一种方法。完备正交函数集就像是空间直角坐标系，集合里面的每一个元素相当于坐标系的一条轴，我们知道空间直角坐标系只有3条轴，3条轴，足够表示空间上所有点的位置，不需要再多一条，但是如果只有两条轴，又不能准确地表达立体空间上所有的点，所以3条就是完备的。对于一个函数集的完备性也可以这么理解，表达任意一个周期信号只需要用不多于函数集里面元素的函数就可以表达清楚。再说其正交性，所谓正交，就是函数集里两个不同函数之乘积的积分为0，正交性可以理解成函数集内任意两函数不相关。 既然三角函数集和复指数函数集是完备的正交函数集，那么用其中的一种函数集都可以表达周期信号。 用复指数函数集来表示一个复杂信号： = 其中，(n=1,2,3,…,n)。 用三角函数集表示一个复杂信号： 傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06 Heinrich · 6 个月前 作者：韩昊知乎：Heinrich 微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事 谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。 转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。 我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者…… 这篇文章的核心思想就是： 要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生 上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。 ——————————————以上是定场诗—————————————— 下面进入正题： 抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多…… p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。 一、什么是频域 从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。 先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子： 在你的理解中，一段音乐是什么呢？ 傅里叶级数的数学推导 首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年，死于1830年。 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式： 不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程： １、把一个周期函数表示成三角级数： 首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为： f(x)=A sin(ωt+ψ) 这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。 然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦 傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述 ——老师不会这么讲，书上也不会讲很多人学信号与系统、数字信号处理学了几年，关于傅里叶级数和傅里叶变换可能还是一知半解，只能套用公式，根本不理解为什么要这么算，也就是有什么实际含义——可以说，几乎所有信号与系统里面的数学公式都是有实实在在的物理含义的！那么，什么是傅里叶变换，它是怎样一种变换，具体有怎么变换，有没有确切一点或者形象一点的物理解释呢？下面笔者将尝试将自己的理解比较本质和形象地讲出来，形式是思考探讨渐进的模式，也就是我自己的思考过程，希望对大家有所帮助。 首先，要知道傅里叶变换是一种变换，准确点说是投影。傅里叶变换的投影问题，一直想不明白那一系列的正交函数集，到底是什么样一个函数集合，或者说是怎么样的一个空间。所谓三角傅里叶级数当成谐波分析的时候很好理解——同一个时间轴，也就是说同一个维度的分解和叠加，肯定没错，也很实用。但是要是从投影（或者说变换）的角度来说，怎么解释呢？这一系列正弦余弦的函数，在一个区间内，是一个完备的正交函数集，每一个函数所带的系数（或者叫权重），就是原函数在这个函数的方向上的一个投影（说方向不准确，但找不到其他的词）。那么，原函数到底是一个什么样的函数，和各正交基函数又是怎样的一种关系呢？这个投影又是怎么投的呢？三维或者二维空间，一个矢量在各正交基的投影很好理解，那么，傅里 叶变换的正交基函数，也是这样一种相互垂直的关系么？？？投影也是取余弦值么？ 这可以很容易地想清，我们只用余弦或者只用正弦就可以，如cos(2pi*nf0)系列，显然每两个函数图像之间不可能是垂直关系，相反可以看出这是在同一个维度里面的！所以上面两个答案是否定的。 那么，到底是怎么正交、怎么投影的呢。出现这个问题，是因为开始看书的时候我看得太粗心太浅显，没有认真透彻地理解函数正交的含义，没想到那才是最重要最根本的，从那里面再深刻理解一下，问题就迎刃而解。 函数正交和矢量正交完全不一样，是两个概念。函数正交是两个函数，一个不变另一个取共轭值然后逐点相乘再求积分的结果，积分就涉及到一个区间，这也很重要。如果满足：当这两个函数不同时，积分值为0；当两函数相同，积分值不为0。那么这两个函数在这个区间上正交。现在再回过头去看正弦或者余弦函数序列，在各个周期内，都满足上述条件，在正弦和余弦函数之间同样满足，所以这些函数是正交的。至于完备，很明显看出，不去证明了。 第一个问题解决了，现在看怎么去投影了。为更易于理解，我们取指数傅里叶变换为例。众所周知exp(jwt)表示的是一个圆周，我们用来作傅里叶变换的因子，正是这个形式（exp(-jwt)），这里我们还要理解一下傅里叶变换和傅里叶级数的区别，前者求的是复指数傅里叶级数的系数，即每个正交函数的系数（权重），复指数傅里叶级数的正交函数集正是exp(jwt)，所以求系数刚好乘以一个共轭 傅立叶级数(Fourier Series) 推导 终于还是在外国人的教材上看到了原来傅立叶级数是大大的有道理的。 这本书名字叫做 对于C=D=0这样的平凡解，我们当然不感兴趣，所以我们还是让βl=nπ A和B是一些确定的常数，这些解的和仍然是一个解，所以任意的有限和是原方程的一个解 呵呵，到此为止，看到傅立叶级数了。接下的任务就是计算A和B。 幸好，我们有以下规律 于是，有以下推导 (2) 有了这个公式以后，方程（1）的解才算是完全地得到了。 接下来，人们自然会想，那么什么样的函数才可以用傅立叶级数来表示呢？经过近一个世纪的争论，才惊讶地知道原来所有函数都可以表示为傅立叶级数（这句 傅里叶级数 本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数代表的物理含义。 1.完备正交函数集 要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。如果n个函数 φ1t,φ2t,…,φn t构成一个函数集，若这些函数在区间t1,t2上满足 φi tφj t t2 t1dt= 0 ,i≠j K i ,i=j(1) 如果是复数集，那么正交条件是 φi tφj?t t2 t1dt= 0 ,i≠j K i ,i=j(2) φj?t为函数φj t的共轭复函数。 有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。比如三角函数集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。 先证明三角函数集： 设φn t=cos nωt，φm t=cos mωt,把φn t，φm t代入(1)得 φi tφj t t0+T t0dt=cos nωt cos mωt dt t0+T t0 当n≠m时 =1 2 cos n+mωt+cos n?mωt t0+T t0 dt =1 2sin n+mωt (n+m)ω +sin n?mωt (n?m)ωt t0+T =0 (n,m=1,2,3,…,n≠m) 当n=m时 =1 2 cos2nωt t0+T t0 dt =T 2 再证两个都是正弦的情况 设φn t=sin nωt，φm t=sin mωt,把φn t，φm t代入(1)得 φi tφj t t0+T t0dt=sin nωt sin mωt dt t0+T t0 当n≠m时 =1 2 cos n+mωt?cos n?mωt t0+T t0 dt =1 2sin n+mωt (n+m)ω ?sin n?mωt (n?m)ωt t0+T =0 (n,m=1,2,3,…,n≠m) 当n=m时 =1 2 cos2nωt t0+T t0 dt =T 2 最后证明两个是不同名的三角函数的情况 设φn t=cos nωt，φm t=sin mωt,把φn t，φm t代入(1)得 φi tφj t t0+T t0dt=cos nωt sin mωt dt t0+T t0 =1 2 sin n+mωt?sin n?mωt t0+T t0 dt =1 2 ?cos n+mωt (n+m)ω +cos n?mωt (n?m)ωt t0+T =0 (n,m为任意整数) 因为两个三角函数相乘只有以上三种情况：两个皆为余弦函数相乘；两个皆为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。至于三角函数集的完备性可以从n，m的取值为任意整数可以得出，三角函数集是完备正交函数集。证毕。 由于三角函数集是完备正交函数集，而根据欧拉公式，我们容易联想到复指数函数集是否也是完备正交函数集呢。 接着是复指数函数集的证明 设φn t=?jnωt，φm t=?jmωt,则φj?t=??jmωt把φn t，φj?t代入(2)得 φi tφj?t t0+T t0dt=?jnωt t0+T t0 ??jmωt dt =?j(n?m)ωt t0+T t0 dt 当n≠m时，根据欧拉公式 =cos n?mωt+j sin?(n?m)ωt t0+T t0 dt =sin n?mωt n?mω?j cos?(n?m)ωt n?mωt t0+T =0 (n,m=1,2,3,…,n≠m) 傅里叶级数的推导 傅里叶级数的推导 2016年12月14日09:27:47 傅里叶级数的数学推导 首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年，死于1830年。 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式： 不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程： １、把一个周期函数表示成三角级数： 首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为： f(x)=A sin(ωt+ψ) 这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。 然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想） 这里，t是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n，且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍，即n）、有不同的初相角（即ψ），当然还有一项常数项（即A0）。要命的是，这个n是从1到无穷大，也就是是一个无穷级数。 应该说，傅里叶是一个天才，想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为，式子右边一大堆的函数，其实都是最简单的正弦函数，有利于后续的分析和计算。当然，这个式能否成立，关键是级数中的每一项都有一个未知系数，如A0、An等，如果能把这些系数求出来，那么5式就可以成立。当然在5式中，唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数，上式就可以成立，也能计算了。 于是乎，傅里叶首先对式5作如下变形： 这样，公式５就可以写成如下公式６的形式： 这个公式６就是通常形式的三角级数，接下来的任务就是要把各项系数an和bn 及a0用已知函数f(t)来表达出来。 ２、三角函数的正交性： 傅里叶级数的数学推导 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式： 不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程： １、把一个周期函数表示成三角级数： 首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为： f(x)=A sin(ωt+ψ) 这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。 然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想） 这里，t是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n，且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍，即n）、有不同的初相角（即ψ），当然还有一项常数项（即A0）。要命的是，这个n是从1到无穷大，也就是是一个无穷级数。 应该说，傅里叶是一个天才，想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为，式子右边一大堆的函数，其实都是最简单的正弦函数，有利于后续的分析和计算。当然，这个式能否成立，关键是级数中的每一项都有一个未知系数，如A0、An等，如果能把这些系数求出来，那么5式就可以成立。当然在5式中，唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数，上式就可以成立，也能计算了。 于是乎，傅里叶首先对式5作如下变形： 这样，公式５就可以写成如下公式６的形式： 这个公式６就是通常形式的三角级数，接下来的任务就是要把各项系数an和bn及a0用已知函数f(t)来表达出来。 ２、三角函数的正交性： 傅里叶级数的数学推 导 傅里叶级数的数学推导 首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年，死于1830年。 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式： 不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin 和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程： １、把一个周期函数表示成三角级数： 首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为：f(x)=A sin(ωt+ψ) 这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。 然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想） 这里，t是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n，且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍，即n）、有不同的初相角（即 第15章 傅里叶级数 § 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中 1 ()n n n f x a x ∞ ==∑，可视为()f x 经函数系 21, , , , , n x x x 线性表出而得．不妨称 2 {1,,,,,}n x x x 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数 系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系 函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx 称为三角函数系．其有下 面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零． 对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:，定义两个函数的内积 为 (),()()()d b n m n m a u x u x u x u x x =??， 如果 0 (),() 0 n m l m n u x u x m n ≠=?=? ≠?，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交系． 由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x ππ π π --=?=?=??； sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n ππ π-=?=?=? ≠??； cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n ππ π-=?=?=? ≠??； sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x ππ -=?=? ； 2 1, 11d 2x ππ π -==?， 所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数 ()01 cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 称为三角级数，其中011,,, ,,,n n a a b a b 为常数 2 以2π为周期的傅里叶级数 周期信号的傅里叶级数分析 连续时间LTI 系统的时域分析: 以冲激函数为基本信号 系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积 傅立叶分析 以正弦函数或复指数函数作为基本信号 系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分; 周期信号: 定义在区间 (,)-∞∞ ，每隔一定时间 T ，按相同 规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为 f (t )=f ( t +m T ) 其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。 t ()t f 1 1 -T 2 /T 0 周期信号的特点： （1） 它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，时 间范围为(,)-∞∞ （2） 如果将周期信号第一个周期内的函数写成 ，则周期信 号 ()f t 可以写成 0()() n f t f t nT ∞ =-∞ = -∑ （3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有 ()()()a T b T T a b f t dt f t dt f t dt ++= =? ? ? 1. 三角形式的傅立叶级数 周期信号 f t () ，周期为1T ，角频率 11122T f π πω= = 该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。 []∑∞ =++ =++++++++=1 1 1 011121211110)sin()cos(...)sin()cos(... )2sin()2cos()sin()cos()(n n n n n t n b t n a a t n b t n a t b t a t b t a a t f ωωωωωωωω 式中各正、余弦函数的系数 n n b a , 称为傅立叶系数,函数通过它可以完全表示。 傅立叶系数公式如下 傅里叶级数（Fourier Series ） 引言 正弦函数是一种常见而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数 就是一个以ωπ 2为周期的函数。其中y 表示动点的位置，t 表示时间，A 为振幅，ω为 角频率，?为初相。 但在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦的周期函数，它们反映了较复杂的周期运动，我们也想将这些周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。具体地说，将周期为)2(ωπ =T 的周期函数用一系列以T 为周期的正弦函数 )sin(n n t n A ?ω+组成的级数来表示，记为 其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ?都是常数。 将周期函数按上述方式展开，它的物理意义就是把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。在电工学上，这种展开称为谐波分析。其中常数项0A 称为 )(t f 的直流分量；)sin(11?ω+t A 称为一次谐波（又叫做基波） ；而)2sin(22?ω+t A ， )3sin(33?ω+t A 依次称为二次谐波，三次谐波，等等。 为了下面讨论方便起见，我们将正弦函数)sin(n n t n A ?ω+按三角公式变形，得 t n A t n A t n A n n n n n n ω?ω??ωsin cos cos sin )sin(+=+， 令x t A b A a A a n n n n n n ====ω??,cos ,sin ,2 00，则上式等号右端的级数就可以改写成 这个式子就称为周期函数的傅里叶级数。 1.函数能展开成傅里叶级数的条件 （1） 函数)(x f 须为周期函数； （2） 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；（如果0x 是函数)(x f 的间断点，但 左极限)0(0-x f 及右极限)0(0+x f 都存在，那么0x 称为函数)(x f 的第一类间断点） （3） 在一个周期内至多只有有限个极值点。 傅里叶变换的通俗解释 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998 傅里叶变换的通俗解释作者：韩昊（德国斯图加特大学通信与信息工程专业硕士生） 提要：这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗会死吗）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。 ———以上是开场白，下面进入正题： 抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多…… 一、啥叫频域 从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间 不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。 先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子： 在你的理解中，一段音乐是什么呢 这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的： 好的！下课，同学们再见。 是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。 现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。 将以上两图简化： 时域： 频域： 在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。 所以，你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。 抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第 傅里叶级数的推导 2016年12月14日09:27:47 傅里叶级数的数学推导 首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年，死于1830年。 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式： 不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程： １、把一个周期函数表示成三角级数： 首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为： f(x)=A sin(ωt+ψ) 这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。 然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想） 这里，t是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n，且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍，即n）、有不同的初相角（即ψ），当然还有一项常数项（即A0）。要命的是，这个n是从1到无穷大，也就是是一个无穷级数。 应该说，傅里叶是一个天才，想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为，式子右边一大堆的函数，其实都是最简单的正弦函数，有利于后续的分析和计算。当然，这个式能否成立，关键是级数中的每一项都有一个未知系数，如A0、An等，如果能把这些系数求出来，那么5式就可以成立。当然在5式中，唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数，上式就可以成立，也能计算了。 于是乎，傅里叶首先对式5作如下变形： 这样，公式５就可以写成如下公式６的形式： 这个公式６就是通常形式的三角级数，接下来的任务就是要把各项系数an和bn 及a0用已知函数f(t)来表达出来。 ２、三角函数的正交性： 第15章 傅里叶级数 §15.1 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中 1 ()n n n f x a x ∞ ==∑，可视为()f x 经函数系 21, , , , , n x x x L L 线性表出而得．不妨称 2{1,,,,,}n x x x L L 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系 函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx L L 称为三角函数系．其有下面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零． 对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L ，定义两个函数的内积为 (),()()()d b n m n m a u x u x u x u x x =??， 如果 0 (),() 0 n m l m n u x u x m n ≠=?=? ≠?，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L 为正交系． 由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x ππ π π --=?=?=??； sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x π π -=?=? ； 2 1, 11d 2x ππ π -==?， 所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数 ()01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 称为三角级数，其中011,,,,,,n n a a b a b L L 为常数 傅里叶级数课程及习题讲 解 Prepared on 22 November 2020 第15章 傅里叶级数 § 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中 1()n n n f x a x ∞ ==∑，可视为()f x 经函数系 21, , , , , n x x x 线性表出而得．不妨称2 {1,,, ,,}n x x x 为基，则不同的基就有不同的级数．今 用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系 函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx 称为三角函数系．其有下面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零． 对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:，定义两个函数的内积为 (),()()()d b n m n m a u x u x u x u x x =??， 如果 0 (),() 0 n m l m n u x u x m n ≠=?=? ≠?，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交 系． 由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x π π π π --=?=?=??； sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠??； sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x π π -=?=? ； 2 1, 11d 2x ππ π -==?， 所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数 ()01 cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 称为三角级数，其中011,,, ,,,n n a a b a b 为常数傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换
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