2014年全国高中数学联赛江苏赛区
复赛参考答案与评分细则
一试
一、填空题（本题满分64分，每小题8分）
1．在△ABC中，若c cos B＝12，b sin C＝5，则c＝．
答案：13．
解：根据正弦定理，得c sin B＝b sin C＝5，所以c2＝(c cos B)2＋(c sin B)2＝132，从而c＝13．
2．函数f(x)＝x＋
1
(x+1)3＋1(x＞0)，则函数取得最小值时，所对应的x值是．
答案：43－1．
解：由f(x)＝x＋
1
(x+1)3＋1＝
1
3(x＋1)＋
1
3(x＋1)＋
1
3(x＋1)＋
1
(x+1)3≥4
4
(
1
3)
3，
等号当且仅当1
3(x＋1)＝
1
(x+1)3，即x＝
43－1．（本题也可求导）
3．对于任意的实数a∈(－2，4]，都有x2－ax＋9＞0成立，则实数x的取值范围为．答案：R．
解：当a∈(－2，4]时，△＝a2－36＜0，故x2－ax＋9＞0恒成立，
从而x的取值范围是R．
4．已知等比数列{a n}的公比为q，前n项和S n＞0（n＝1，2，3，…），则q的取值范围是．答案：(－1，0)∪(0，＋∞)．
解：因为S n＞0（n＝1，2，3，…），所以a1＞0．
当q＝1，S n＝na1＞0成立．
当q≠1，S n＝a1(1－q n)
1－q
＞0（n＝1，2，3，…）恒成立，
所以q∈(－1，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)．
综上q的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．
5．已知5件产品中有3件合格品，2件次品．每次任取一个检验，检验后不再放回，恰好经过3次检验找出2件次品的概率为．
答案：3 10．
解：恰好3次找出2件次品，有三种情况：（1）第1次，第3次找出次品；
（2）第2次，第3次找出次品，（3）前三次均为正品．
若第1次，第3次找出次品的25×34×13＝1
10； 若第2次，第3次找出次品的概率35×24×13＝1
10． 若前3次均找出的是正品的概率35×24×13＝1
10，
故恰好经过3次检验找出2件次品的概率为110＋110＋110＝3
10．
6．点A 是椭圆x 2a 2＋y 2
＝1(a ＞1)的上顶点，B 、C 是该椭圆上的另外两点，且△ABC 是以点A
为直角顶点的等腰直角三角形．若满足条件的△ABC 只有一解，则椭圆的离心率的范围为
．
答案：(0，6
3]．
解：设等腰直角三角形的一边所在直线方程为：y ＝kx ＋1(k ＞0)，它与椭圆的另一个交点
B 的横坐标为－2ka 21＋a 2k 2，从而点
C 的横坐标为2ka 2
a 2＋k 2．
由AB ＝AC ，得(1＋k 2
)×
4k 2a 4(1＋a 2k 2)2＝(1＋1k 2)×4k 2a 4
(a 2＋k 2)
2， 化简得：k 3－a 2k 2＋ka 2－1＝0，由题意知，此方程的解只有k ＝1． 而k 3－a 2k 2＋ka 2－1＝(k －1)［k 2－(a 2－1)k ＋1］＝0， 要使上述方程有惟一的正数解k ＝1，则(a 2－1)2－4≤0， 即1＜a ≤
3（a ＝
3时，方程的解惟一）
． 所以其离心率的取值范围是(0，6
3]．
7．方程x ＋2y ＋3z ＝2014的非负整数解(x ，y ，z )的个数为 ．
答案：339024．
解：方程x ＋2y ＝k 的非负整数解(x ，y )个数为［k
2］＋1，
所以，方程x ＋2y ＝2014－3z 的非负整数解的个数为
671∑z =0
{［
2014－3z 2］＋1}＝671∑z =0(1007－2z )＋671∑z =0［z
2
］＋672 ＝672×1007－670×672＋335×336＝339024．
8．计算：2014
∑k =1
[－3＋8k ＋14]＝ ．
答案：40115．
解：令t ＝－3＋8k ＋14
，则k ＝2t 2
＋3t ＋1．
因此[－3＋8k ＋14]＝n 当且仅当2n 2＋3n ＋1≤k ＜2(n ＋1)2＋3(n ＋1)＋1，n ∈N ． 由于2×302＋3×30＋1＝1891，2×312＋3×31＋1＝2016，
所以 2014
∑k =1[－3＋8k ＋14]＝30∑n =1
n [2(n ＋1)2＋3(n ＋1)＋1－(2n 2
＋3n ＋1)]－30 ＝30
∑n =1
(4n 2＋5n )－30
＝4(12＋22＋…＋302)＋5(1＋2＋…＋30)－30＝40115．
二、解答题（本题满分16分）
设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，2S n +1－3S n ＝2a 1，n ∈N *． （1）证明数列{a n }为等比数列；
（2）若a 1，a p (p ≥3)两项均为正整数，且存在正整数m ，使a 1≥m p －
1，a p ≤(m ＋1) p －
1，
求a n ．
解：（1）由题意2S 2－3S 1 =2a 1，得2a 2－3a 1=0．
由a 1≠0，得 a 2a 1
＝3
2．
………………………… 2分
又 2S n +1－3S n ＝2a 1，2S n +2－3S n +1＝2a 1，
得 2a n +2－3a n +1＝0，n ∈N *． 由a 1≠0，得a n +1≠0，故a n +2a n +1
＝3
2．
所以数列{a n }为等比数列． ………………………… 6分
（2）由（1）知a p =a 1×(32p －
1．
因为a 1，a p ∈N *，所以a 1=k ×2p －
1，k ∈N *，
从而a p = k ×3 p －
1．
………………………… 10分
由a 1≥m p －
1，a p ≤(m ＋1) p －
1，
得 k ×2p －
1≥m p －
1，k ×3p －
1≤(m +1) p －
1，
即 m ≤2×p －1
k ，m ＋1≥3×
p －1
k ，
作差得1≥
p －1
k ，即k ≤1，所以k ＝1．
所以 a n ＝2p －
1×(32)n －1．
………………………… 16分
已知动点A ，B 在椭圆x 28＋y 2
4＝1上，且线段AB 的垂直平分线始终过点P (－1，0)． （1）求线段AB 中点M 的轨迹方程；
（2）求线段AB 长度的最大值．
解：（1）设点A ，B 的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点M 的坐标为(x 0，y 0)．
当AB 与x 轴垂直时，线段AB 的中点M 的坐标为(－2，0)． 当AB 与x 轴不垂直时，
因为点A ，B 在椭圆x 28＋y 2
4＝1上，所以x 128＋y 124＝1，x 228＋y 224＝1． 从而
(x 1－x 2)(x 1＋x 2)8＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4＝0，即y 1－y 2x 1－x 2
＝－x 0
2y 0． 因为线段AB 的垂直平分线始终过点P (－1，0)， 所以
y 1－y 2x 1－x 2×y 0
x 0＋1
＝－1，从而x 0＝－2． 即线段AB 中点M 的轨迹方程为x ＝－2，－2＜y ＜2．…………………… 8分 （2）当AB 与x 轴垂直时，AB ＝22．
当AB 与x 轴不垂直时，由（1）知，直线AB 的方程为y －y 0＝1
y 0
(x ＋2)．
…………………… 12分
由???y －y 0＝1
y 0
(x ＋2)，x 2
8＋y 2
4＝1，
得(y 0
2
＋2)x 2＋4(y 02＋2)x ＋2y 04＋8＝0．
所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝2y 04＋8
y 02＋2．
从而AB ＝(1＋1
y 0
2)×[16－4×2y 04＋8y 02＋2])＝
8(y 02＋1)(2－y 02)
y 02＋2
＝22×
－[(y 02＋2)＋
4
y 02
＋2
]＋5，其中－2＜y 0＜2，且y 0≠0， 所以AB ＜22．
所以线段AB 长度的最大值为22．
…………………… 20分
设a ，b ，c ，d 都是整数，p ＝a 2
＋b 2
是素数．如果p |c 2
＋d 2
，证明：c 2＋d 2
p 可以表示为两
个整数的平方和．
证明：因为p | c 2＋d 2，所以c 2＋d 2＝pm ，其中m 为整数． 于是m ＝c 2＋d 2p ＝(c 2＋d 2)(a 2＋b 2)p 2＝(c ＋d i)(c －d i)(a ＋b i)(a －b i)
p 2， 一方面，m ＝(c ＋d i)(c －d i)(a ＋b i)(a －b i)p 2＝(ca －db )2＋(da ＋cb )2
p 2
， （1）
另一方面，m ＝(c ＋d i)(c －d i)(a ＋b i)(a ＋b i)p 2＝(ca ＋db )2＋(da －cb )2
p 2
， （2） …………………………………… 10分
注意到(ca ＋db )(ca －db )＝c 2a 2－d 2b 2
＝(pm －d 2)a 2－d 2b 2 ＝pma 2－d 2(a 2＋b 2) ＝p (ma 2－d 2)．
因为p 是素数，所以ca ＋db 和ca －db 中至少有一个数能被p 整除．
……………………………… 15分
当ca －db 能被p 整除时，令ca －db ＝pt ，t 是整数， 根据（1），因为m 是整数，所以da ＋cb 也被p 整除． 令da ＋cb ＝ps ，s 是整数，则c 2＋d 2
p ＝m ＝t 2＋s 2．
当ca ＋db 能被p 整除时，同理可证：c 2＋d 2
p 也可以表示为两个整数的平方和．
……………………………… 20分