导数在研究函数中的应用
一、教学目标：
知识与技能：
1．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．
2．掌握函数极值的判定及求法．
3．掌握函数在某一点取得极值的条件．
过程与方法：
通过具体函数和函数图形的分析形成极值的概念，并探究出运用导数求极值的方法；
情感、态度与价值：
让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.
二、教学重点、难点
重点：掌握函数极值的判定及求法．
难点：掌握函数在某一点取得极值的条件．
三、教学模式与教法、学法
教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．
教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．
“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.
“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.
学法：突出探究、发现与交流．
四、教学过程
（一）温故知新
在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题？又如何求出这些值？这就是本节我们要研究的主要内容．
解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.
（二）探究新知
探究点一函数的极值与导数的关系
思考1如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？
y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？
结论 思考1中点d 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (d )叫做函数y ＝f (x )的极小值；点e 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (e )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 思考2 函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？
答 函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个．
思考3 若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明．
答 可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点．可导函数f (x )在x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x 0两侧f ′(x )的符号不同．
例如，函数f (x )＝x 3可导，且在x ＝0处满足f ′(0)＝0，但由于当x <0和x >0时均有f ′(x )>0，所以x ＝0不是函数f (x )＝x 3的极值点．
思考4 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有 个极小值点． 【答案】 1
例1 求函数f (x )＝1
3
x 3－4x ＋4的极值．
解 f ′(x )＝x 2－4.解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 由f ′(x )>0，得x <－2或x >2；由f ′(x )<0，得－2 x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 单调递增 283 单调递减 －43 单调递增 由表可知：当x ＝－2时，f (x )有极大值f (－2)＝28 3； 当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－4 3 . 反思与感悟 求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根； (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值． 跟踪训练1 求函数f (x )＝3 x ＋3ln x 的极值． 解 函数f (x )＝3 x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3x －1 x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ f (x ) 单调递减 3 单调递增 因此，当x ＝1时，f (x )探究点二 利用函数极值确定参数的值 思考 已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？ 例2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． 解 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ， 所以????? f ′－1＝0，f －1＝0，即????? 3－6a ＋b ＝0， －1＋3a －b ＋a 2＝0. 解之得????? a ＝1，b ＝3或????? a ＝2， b ＝9. 当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数；当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数， 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9. 反思与感悟 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性． 跟踪训练2 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值； (2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． 解 (1)∵f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ，∴f ′(x )＝a x ＋2bx ＋1. 由极值点的必要条件可知：f ′(1)＝f ′(2)＝0， ∴a ＋2b ＋1＝0且a 2＋4b ＋1＝0，解方程组得，a ＝－23，b ＝－1 6. (2)由(1)可知f (x )＝－23ln x －1 6 x 2＋x ， 且函数f (x )＝－23ln x －1 6x 2＋x 的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝－23x －1－1 3x ＋1＝－x －1x －23x . 当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0； 所以，x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点． 探究点三 函数极值的综合应用 例3 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间和极值； (2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围． 所以，f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2)． 当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42；当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2. (2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如图所示． 所以，当5－42＜a ＜5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点， 即方程f (x )＝a 有三个不同的实根． 反思与感悟用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数． 跟踪训练3若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围． f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是单调增函数．f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k， f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.要使函数f(x)只有一个零点， 只需4＋k<0或－4＋k>0(如图所示) 或 即k<－4或k>4.∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)． （三）当堂达标 1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B. 2．函数y＝1＋3x－x3有() A．极小值－2，极大值2 B．极小值－2，极大值3 C．极小值－1，极大值1 D．极小值－1，极大值3 【答案】 D ∴当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3. 3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点() A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】 A 【解析】 由f ′(x )的图象可知，函数f (x )在区间(a ，b )内，先增，再减，再增，最后再减， 故函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极小值点． 4．下列函数中，x ＝0是极值点的是( ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝cos 2x C ．y ＝tan x －x D ．y ＝1 x 【答案】 B 【解析】 y ＝cos 2x ＝1＋cos2x 2，y ′＝－sin2x ，x ＝0是y ′＝0的根且在x ＝0附近，y ′左正右负， ∴x ＝0是函数的极大值点． 5．求下列函数的极值： f (x )＝ x 3－2 2x －1 2； 【解析】 函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． ∵f ′(x )＝ x －22x ＋1 2x －13 ，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － ＋ 0 ＋ f (x ) 单调递增 －38 单调递减 单调递增 3 单调递增 故当x ＝－1时，函数有极大值，并且极大值为f (－1)＝－3 8 ，无极小值． 6．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，在x ＝1和x ＝－1处有极值，且f (1)＝－1，求a 、b 、c 的值，并求出相应的极值． 又f (1)＝－1，则有a ＋b ＋c ＝－1， 此时函数的表达式为f (x )＝12x 3－32x .∴f ′(x )＝32x 2－3 2 . 令f ′(x )＝0，得x ＝±1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 极大值1 极小值－1 五、小结
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