向量的加法运算讲义 姓名
一.向量的加法运算
（1）几何加法 （2）代数加法
二.向量加法的运算律 三.向量加法运算的模长公式
四.向量加法运算的应用
1.若向量a 表示向东走1km ，向量b 表示向南走1km ，则向量a b +表示（ ）
A.向东南走2km
B.向东南走2km
C.向东北走2km
D.向东北走2km
2.AO OB OC CA BO ++++等于（ ）
A.AB
B.0
C.BC
D.AC
3.化简()AB MB BO OM +++
4.已知正方形ABCD 的边长等于1，设,,AB a BC b AC c ===，求作向量a b c ++，并计算|a b c ++|
5.点D 、E 、F 分别是ΔABC 三边AB 、AC 、BC 的中点，求证：
（1）AB BF AC CF +=+；
（2）0FA EB DC ++=
6.若三个向量,,a b c 恰能首尾相接构成一个三角形，则a b c ++=
7.正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（ ）
A.0
B.BE
C.AD
D.CF
8.已知P 为ΔABC 所在平面内一点，当PA PB PC +=时，点P 位于ΔABC （ ）
A.AB 边上
B.BC 边上
C.内部
D.外部
9.设P 为ΔABC 所在平面内一点，2BC BA BP +=，则（ ）
A.0PA PB +=
B.0PC PA +=
C.0PB PC +=
D.0PA PB PC ++=
10.已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是ΔABC 内一点，若0OA OB OC ++=，求证：O 是ΔABC 的重心
11.向量,a b 均为非零向量，下列说法不正确的是（ ）
A.向量a 与b 反向，且||||a b >，则向量a b +与a 的方向相同
B.向量a 与b 反向，且||||a b <，则向量a b +与a 的方向相同
C.向量a 与b 同向，则向量a b +与a 的方向相同
D.向量a 与b 同向，则向量a b +与b 的方向相同
向量的减法运算
一.向量的减法运算
（1）几何减法 （2）代数减法
二.向量减法运算的模长公式
三.向量减法运算的应用
1.已知正方形ABCD 的边长等于1，设,,AB a BC b AC c ===，求作下列向量：
（1）a b c -+，并求||a b c -+；
（2）a b c --，并求||a b c --.
2.化简：（1）AB AD DC --；（2）()()AB CD AC BD ---
3.在ABCD 中，若||||AB AD AB AD +=-，则边AB 与边AD 所夹的角=
4.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，16||2=BC ，||||AC AB AC AB -=+，则||AM 等于（
） A.8 B.4 C.2 D.1
5.若||8,||5OA OB ==，则AB 的取值范围是（ ）
A.[3,8]
B.(3,8)
C.[3,13]
D.(3,13)
6.已知||,||()OA a OB b a b ==>，||AB 的取值范围是[5,15]，则,a b 的值分别为
7.对于不等式||||||||||a b a b a b -≤+≤+给出下列四个结论：
①不等式左端的不等号“≤”只能在0a b ==时取等号“=”；
②不等式左端的不等号“≤”只能在,a b 均为非零向量且不共线时取不等号“<”；
③不等式右端的不等号“≤”只能在,a b 均为非零向量且同向共线时取等号“=”；
④不等式右端的不等号“≤”只能在,a b 均为非零向量且不共线时取不等号“<”
其中正确的结论有（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.4个
练习一 选择题： 1．如图，等腰梯形两腰上的向量、是( ) (A)相等的向量(B)模相等的向量(C)方向相反的向量(D)方向相同的向量2．如图，在菱形中，可以用同一条有向线段表示的向量是( ). 第2题 (A)和(B)和(C)和(D)和 3．如图，，－＋等于( ). (A) (B) (C) (D) 4．如图，在中，－＋等于( ) (A) (B) (C) (D) 填空题： 5．如图，正六边形，为中心，图中所示向量中： (1)与相等的向量有__________； (2)与相等的向量有__________； 6．＝_________；
7．化简 (1)＋＋—_____________； (2)____________； (3)＋＋＝_____________； (4)－＋＝_____________； 解答题： 8．已知向量、，求作＋，－. 9．河水自西向东流，流速为3 m/s，轮船垂直水流方向以18.7 km/h的速度向北航行，求轮船的实际航速. 答案、提示和解答： 1．B．2．B．3．C．4．B. 5．(1)，；(2). 6．0. 7．(1)0；(2)；(3)；(4)0.8．略. 9．设＝“向东方向，3 m/s”，＝“向东方向，18.7 km/h”≈“向北方向，5.19 m/s”，如图，适当选取比例尺，作
＝＝“向东3 m/s” ＝＝“向北，5.19 m/s”， ＝＋＝＋. ｜｜＝ 与夹角的余弦值为，则与夹角为60°. 所以轮船的实际航速为东偏北60°，6 m/s. 练习二 选择题： 1．如图，梯形，其中｜｜＝｜｜，相等的向量是( ). (A)与(B)与(C)与(D)与 2．已知如图，、分别是与的中点，、、、、、中,相等的向量共有( ). (A)1组(B)2组(C)3组(D)4组
向量的加法与减法练习 基础卷（15分钟） 一、选择题 1．下列命题： （1）如果非零向量与的方向相同或相反，那么，的方向必与 ，之一的方向相同。 （2）△ABC中，必有 （3）若，则A，B，C为一个三角形的三个顶点。 （4）若，均为非零向量，则与一定相等。 其中真命题的个数为（） A．0 B．1 C．2 D．3 2．给出下列3个向量等式： （1）（2）（3）。其中正确的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 3．在△ABC中，设（） A． B． C． D． 4．已知ABCD是平行四边形，O为平面上任一点。设，则（） A． B． C． D．
二、填空题 5．。 6．（1）； （2）。 提高卷（30分钟） 一、选择题 1．有下列3个不等式 （1）（2）（3）其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3 2．化简以下各式： （1）；（2）；（3）；（4）。结果为零的向量的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知，，则的取值范围是（） A．[3，17] B．（3，17） C．[3，10] D．（3，10） 4．下列命题中，正确的是（） A．单位向量都共线 B． C．若，则 D．且 5．已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别为，，，则向量等于（） A． B．
C． D． 6．在平行四边形ABCD中，若，则必有（） A． B．或 C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形 7．若O是△ABC内一点，，则O是△ABC的（） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 二、填空题 8．△ABC中，，则。 9．向量，满足，，则的最大值为： ______，的最小值为：_____。 10．如图5—4，用两根绳子把重10kg的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°，则A和B处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）分别是_______。 三、解答题 11．一辆汽车向东行驶30km，然后改变方向向北行驶30km，求汽车行驶的路程及两次位移的和。 12．设表示，“向北走20km，”表示“向南走10km”，表示“向东走20km”， 表示“向西走10km”，说明下列向量的意义： （1）；（2）；（3）；（4）
2012届高考数学一轮复习教案51向量的概念向量的加法与减 法
第五章平面向量 ●网络体系总览 ?Skip Record If...? ●考点目标定位 1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念. 2.掌握向量的加法与减法的运算律及运算法则. 3.掌握实数与向量的积的运算律及运算法则. 4.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. ●复习方略指南 向量是数学中的重要概念，它广泛应用于生产实践和科学研究中，其重要性逐渐加强.从近几年高考试题可以看出，主要考查平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量的数量积、图形的平移等基本概念、运算及简单应用.随着新教材的逐步推广、使用，“平面向量”将会成为命题的热点，一般选择题、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其运算律.本单元试题的常见类型有： （1）与“定比分点”有关的试题； （2）平面向量的加减法运算及其几何意义； （3）平面向量的数量积及运算律，平面向量的坐标运算，用向量的知识解决几何问题； （4）正、余弦定理的应用. 复习本章时要注意： （1）向量具有大小和方向两个要素.用线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量. （2）共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础. （3）向量的加、减、数乘积是向量的线性运算，其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直. （4）向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律. （5）要注意向量在几何、三角、物理学中的应用. （6）平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点，复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力.
练习内容：22.7平面向量 22.8平面向量的加法 22.9平面向量的减法 姓名 学号 成绩 一、选择题 (每小题3分，共18分) 1．在四边形ABCD 中，AB DC =，且||||AB BC =，那么四边形ABCD 为 ( ) A 、平行四边形 B 、菱形 C 、长方形 D 、正方形 2．四边形ABCD 中，若向量AB 与CD 是平行向量，则四边形ABCD ( ) A 、是平行四边形 B 、是梯形 C 、是平行四边形或梯形 D 、不是平行四边形，也不是梯形 3．设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是 ( ) A 、a 与b 的长度必相等 B 、a ∥b C 、a 与b 一定不相等 D 、a 是b 的相反向量 4．下列说法中不正确的是 ( ) A 、零向量是没有方向的向量 B 、零向量的方向是任意的 C 、零向量与任一向量平行 D 、零向量只能与零向量相等 5．下列四式不能化简为AD 的是 ( ) A 、()A B CD B C ++ B 、()()A D MB BC CM +++ C 、A D AD BM +- D 、OC AO CD ++ 6．下列说法中，正确的有 ( ) ① 若a b =±，则a ∥b ② 若a ∥b ，则a b =± ③ 若a b =±，则||||a b = ④ 若||||a b =，则a b =± A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
二、填空题 (每小题4分，共40分) 7．规定了方向的线段叫做 8．向量是既有大小、又有 的量，可以用 线段表示 9．AB BA + = ；a a - = 第10题到15题的图 10．平行四边形ABCD 中，与AB 相等的向量有 11．平行四边形ABCD 中，与AB 相反的向量有 12．平行四边形ABCD 中，与AB 平行的向量有 13．平行四边形ABCD 中，与AO 相等的向量有 14．平行四边形ABCD 中，与AO 相反的向量有 15．平行四边形ABCD 中，与AO 平行的向量有 16．设a 表示“向东走1km ”，b ”，则a b +表示 三、简答题 (每小题6分，共24分) 17．判断下列命题是否为真命题 (1)★ AB BC DC AD +-= ( ) (2)★ 向量b 的长度记作||b ( ) (3)★ 用两个字母表示有向线段，起点字母与终点字母随便哪个写在前面无所谓 ( ) 18．判断命题“若a b =，则a 与b 是平行向量”是否是真命题。若是真命题，请说明理由；若是假命题，请举反例；并写出此命题的逆命题 D
向量的加法与减法 综合训练卷（120分钟，满分150分） 一、选择题（每题5分，共60分） 1 .下列命题中，正确的是（） C.才二农=卞卩？ D.若方"马且正,则方“三 —■- __^&. 2 .化简以下各式：（1）嵌曲+阪；（2）朋一也+班；（3）OA-DD十疝；」+」 (4) 「“「?」—。结果为零向量的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.若|< |CD |,且应|二！5,则1曲I的值是（） A .必小于5 B .必大于10 C.有可能为0 D .不可能为0 4.若屈=3,1乩|=5,则阿的取值范围是（） A . [3 , 8] B . （3, 8）C. [3 , 13] D . （3, 13） 5.在平行四边形ABCD中，若卜「讣'：'?-卜,则必有（） A . ABCD是菱形 B . ABCD是梯形 C . ABCD是正方形 D . ABCD是矩形 6.把所有单位向量的起点平移到同一点P,各向量终 点的集合构成什么图形（A .点P B .过点P的一条直线 C.过点P的一条射线D .以点P为圆心，1为半径的圆 7.下列有关零向量的说法正确的是（） A .零向量是无长度，无方向的向量B.零向量是无长度，有方向的向量 C.零向量是有长度，无方向的向量 D .零向量是有长度，有方向的向量 8 .已知丽，同丁,则匠一而的取值范围是（） A . [2 , 12] B . （2, 12） C . [2 , 7] D . （2, 7） 9.“谢昭CA=O”是“ A , B , C是三角形三个顶点的”的（） A .充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D .既不充分又不必要条件 10 .已知两个向量鱼，^ ,则下列说法正确的是（） A .向量可以比较大小 B .向量不可以比较大小，但是模可以比较大小 是共线向量时，可以比较大小 D.当自，11两个向量中，有一个是零向量时，可以比较大小 11.一艘船从A点出发以2?3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流
向量加减法练习 一、选择题（5×12=60分） 1．下列说法中错误．．的是（ ） A ．零向量是没有方向的 B .零向量的长度为0 C ．零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 2．设21,e e 是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ） A ．21e e = B ．21//e e C ．21e e -= D ．12e e =u u r u u r 3．下列判断正确的是 ( ) A.若向量AB u u u r 与CD uuu r 是共线向量，则A,B,C,D 四点共线； B.单位向量都相等； C.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同； D.模为0的向量的方向是不确定的。 4．若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）． A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ． EF OF OE =--u u u r u u u r u u u r C ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D ．EF OF O E =-u u u r u u u r u u u r 5．已知向量→ a 表示“向东航行1km ”，向量→ b 表示“向南航行1km ”，则向量a b +r r 表示（ ） A ．向东南航行2km B ．向东南航行2km C ．向东北航行2km D ．向东北航行2km 6．如图1，D ，E ，F 分别是?ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r r B ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r r C ．0A D C E C F +-=u u u r u u u r u u u r r D ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r 7．化简下列各式结果是AB 的是( ) A. MB MN AM +- B. CF BF AC +- C. CB DC AB +- D. BC FC AB +- 8．设O 是正△ABC 的中心，则向量AO u u u r ，BO uuu r ，CO uuu r 是（ ）
教案序号授课班级授课时间年月日授课班级授课时间年月日授课班级授课时间年月日授课班级授课时间年月日授课班级授课时间年月日 课时 1 授课形式复习课 授课章节 名称 §7.2平面向量的加法、减法和数乘向量 内容分析 本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如推广的思想、类比的思想、数形结合的思想等，同时充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值。 学情分析学生已经学过平面向量的知识，为本课内容的学习做了铺垫。 教学目标 进一步巩固向量的加法运算性质，向量的减法运算性质教学重点向量的加法与减法的意义与几何运算 教学难点向量的加法与减法的意义与几何运算
教学资源 分析 多媒体、尺规课外作业 板书设计 平面向量基本定理 一、复习引入 二、讲解范例 例1： 例2： 教学后记
课堂教学安排 教学程序时间分配教学内容与师生互动 教学方法 设计意图 导入2min 新授33min 一、复习： 1?向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量2?向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 二、讲解范例 例一、设a表示“向东走3km”，b 表示“向北走3km”， 则a + b表示向东北走2 3km 解：OB= OA+AB； 2 3 3 32 2= + = OB(km) 例二、 例三、试用向量方法证明：对角线互 相平分的四边形是平行四边 形。 证：由向量加法法则： AB= AO+OB, DC= DO+OC 由已知：AO=OC, DO=OB ∴AB=DC即AB与CD 平行且相等 ∴ABCD为平行四边形 B a+b b O a A
2.2.1 向量的加法运算及其几何意义 教学目标： 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学法： 数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、设置情景：
复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 情景设置： （1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （4）船速为，水速为，则两速度和：AC BC =+ 二、探索研究： １、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 . ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”） 如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=，规定： a + 0-= 0 + a A B C A B C A B C A B C a+b a+b a a b b a ｂ ｂ ａa
1.【题目】已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求：(1)－；(2)＋2； (3)－. 【考点】平面向量加法、减法的坐标运算法则 【解析】∵A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)． ∴＝(0,6)－(2，－4)＝(－2,10)， ＝(－8,10)－(2，－4)＝(－10,14)， ＝(－8,10)－(0,6)＝(－8,4)． ∴(1)－＝(－2,10)－(－10,14)＝(8，－4)． (2)＋2＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)． (3)－＝(－8,4)－(－10,14)＝(－3，－3)． 【答案】(1)－＝(8，－4) (2)＋2＝(－18,18) (3)－＝(－3，－3) 【难度】基础题 【题型】解答题 【来源】 2.【题目】已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c. 【考点】平面向量加法、减法的坐标运算法则 【解析】设c＝xa＋yb，则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1) ＝(－2x＋3y,3x＋y)， ∴解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b. 【答案】c＝－2a＋2b. 【难度】基础题 【题型】解答题 【来源】 3.【题目】已知a＝(10，－5)，b＝(3,2)，c＝(－2,2)，试用b，c表示a. 【考点】平面向量加法、减法的坐标运算法则 【解析】设a＝λb＋μc (λ，μ∈R)， 则(10，－5)＝λ(3,2)＋μ(－2,2)＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ)． ∴，解得，∴a＝b－ c. 【答案】a＝b－ c
【难度】基础题 【题型】解答题 【来源】 4.【题目】已知?ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，求顶点D的坐标． 【考点】平面向量加法、减法的坐标运算法则 【解析】设D(x，y)．则＝(4,1)，＝(5－x,6－y)， 由＝得，∴.∴顶点D的坐标为(1,5)． 【答案】（1,5） 【难度】基础题 【题型】解答题 【来源】 5.【题目】已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标． 【考点】平面向量加法、减法的坐标运算法则 【解析】不妨设A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，第四个顶点为D(x，y)． 则A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形． (1)当平行四边形为ABCD时，＝，∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)， ∴∴∴D(0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，－3)； (3)当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6,15)． 综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15). 【答案】(0，－1) (2，－3) (6,15). 【难度】中档题 【题型】解答题 【来源】 6.【题目】已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是() A. B. C．(－8,1) D.(8,1) 【考点】平面向量加法、减法的坐标运算法则 【解析】＝－＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1)，
第2课时 向量的加法与减法 1.理解向量加法的含义,掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,会用向量加法的交换律与结合律进行向量运算. 2.掌握向量的减法运算,并理解其几何意义,会作两个向量的差向量.理解相反向量的概念及向量加法与减法的逆运算关系. 3.经历向量的概念、法则的建构过程,通过观察、实验、类比、归纳等方法培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.向量的运算能反映出一些物理规律,从而加深学科之间的联系,提高应用能力. 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输,一艘船从长江南岸出发,以大小为v 1的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度向东,且大小为v 2(v 1>v 2),那么船的实际速度的大小和方向怎么求呢 ? 问题1:相反向量及其性质,向量的加、减法运算. 的运算,叫作向量的加法,两个向量的和是向量(简称 ); 长度相同、方向相反的两个向量互为相反向量,a 与 互为相反向量,-(-a )= ; 零向量的相反向量是 ; 任一向量与它的相反向量的和是 ,a+(-a )= ; 如果a 、b 互为相反向量,则a= ,b= ,a+b= ; 向量a 加上b 的相反向量,叫作a 与b 的差,即a-b=a+ ,求两个向量差的运算叫作向量的 . 问题2:向量加法法则. (1)三角形法则 如图,在平面内任取一点A ,作错误！未找到引用源。=a ,错误！未找到引用源。=b ,连接AC ,则错误！未找到引用源。=a+b.这种求向量和的方法,叫向量加法的三角形法则,它的特点是首尾相连,即从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段. (2)平行四边形法则 如图,在平面内任取一点A ,作错误！未找到引用源。=a ,错误！未找到引用源。=b ,以AB 、AD 为边作平行四边形
课题：向量的加法与减法（1） 教学目的： ⑴掌握向量加法的定义 ⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量 ⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算 教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量. 教学难点：向量的加法和减法的定义的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB； ④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|. 3.零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的 ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 4.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 5.相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. （1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ； （2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关 ．．．．．．．．．．. 6.共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上. （1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； （2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 7.对向量概念的理解 AB的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘. 向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，
课题：向量的加法与减法（一） 教案目标： ⑴掌握向量加法的定义 ⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量 ⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算。 教案重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量. 教案难点：向量的加法和减法的定义的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教案过程： 一、复习引入： 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 3.零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作。的方向是任意的。 ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 4.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 5.相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. （1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ； （2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段 来表示，并且与有向线段的起点无关 ．．．．．．．．．．. 6.共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上. （1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； （2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 7.对向量概念的理解
的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个 要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘. 向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段。 二、讲解新课： 1． 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。 如图，已知向量 、 。在平面内任取一点 ，作 ， ， 则向量 叫做与的和，记作 ，即 特殊情况： (1) B B A 对于零向量与任一向量，有
《平面向量的加法》教案 课题名称：平面向量的加法 教材版本：苏教版《中职数学基础模块—*下册》 年级：______________ 高一 ___________ 撰写教师：_____________ 徐艳__________ 一、理解课程要求 教材分析： (1)地位和作用 《平面向量的加法》是苏教版《中职数学基础模块*下册》第七章平面向量第二节平面向量的加法、减法和数乘向量的第1课时，主要内容为向量加法的 三角形法则和运算律?向量的加法是向量线性运算中最基本的一种运算，既是对平面向量这一章第一节向量概念的巩固和应用，也是向量运算的起始课，为后继学习向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量和立体几何中有很普遍的应用?因此，本节学习起着承上启下的作用? (2)教学内容及教材处理 教材是从两岸直航前后飞机发生的位移作为问题情境引入，让学生结合对平面向量概念的理解感受不同方式的位移对结果的影响，初步体会向量相加的概念，引发思考，引出新知?同时让学生知道数学源于生活并能解决生活中实际问题，更容易激发学习兴趣和激情? 教学目标： (1)知识目标 ①理解向量加法的含义，学会用代数符号表示两个向量的和向量； ②掌握向量加法的三角形法则，学会求作两个向量的和；
③掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算? (2)能力目标 ①经历向量加法的概念、三角形法则的建构过程； ②通过探究、思考、交流、解决问题等方式锻炼培养学生的逻辑思维能力、运算能力?⑶情感目标 努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态. 二、分析学生背景 (1)认知分析：学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础. ⑵能力分析：学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，主要培养学生分析问题和处理问题的能力. (3)情感分析:职高学生的数学基础相对较差，学生对数学学习尚有一定兴趣。所以在教学中应因势利导，引导学生积极参与探究，指导学生合作互动，讨论交流? 教法学法：在教学时，主要运用问题情境教学法、启发式教学法和多媒体辅助教学法.在学法上，引导学生采用以“小组合作、自主探究以及练习法. 三、选择媒体资源 媒体资源1 名称：—两岸直航视频 _____________________ 媒体格式：—avr ___________________________ 媒体资源2 名称： _________ 《爱的直航》_____________ 媒体格式： ______ MP3—
课题：§2从位移的合成到向量的加法 ---平面向量加法与减法 三维目标： 1.知识与技能 （1）掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则做几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用 它们进行向量计算. （2）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量 （3）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义. （4）初步体会数形结合在向量解题中的应用. 2.过程与方法 教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. 3.情感态度与价值观 重点与难点: 重点：向量加法的概念和向量加法的法则及运算律. 难点：向量的减法转化为加法的运算. 教学方法： (1)自主性学习+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情 况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学过程 【创设情境】 一、提出课题：向量是否能进行运算？
1． 某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：?→?AB +?→?BC =?→ ?AC 2． 若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：?→?AB +?→?BC =?→ ?AC 3． 某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：?→?AB +?→?BC =?→ ?AC 4． 船速为，水速为， 则两速度和：?→ ?AB +?→ ?BC =?→ ?AC 提出课题：向量的加法 【探究新知】 1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则： 强调： ① “向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 ②可以推广到n 个向量连加 ③a a a =+=+00 ④不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 例题讲评 例1、已知向量、，求作向量+ 作法：在平面内取一点， A B C A B C A B C A A B B C C O A a a a b b b a + b a +b a a b b b a a b
课题：向量的加法与减法（2） 教学目的： ⑴了解相反向量的概念； ⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图. 教学难点：对向量减法定义的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向. 2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 3.零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0的方向是任意的 ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 4.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量. 7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应） 8．向量加法的交换律：a+b=b+a 9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 二、讲解新课：向量的减法 1．用“相反向量”定义向量的减法： 1?“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量记作-a 2?规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量a + (-a) = 0
向量概念加减法2基础练习 一、选择题 1．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式①｜｜＞｜｜；②∥； b，其中正确的有（） ③｜a｜＞0；④｜b｜=±1 2．四边形ABCD中，若向量AB与CD是共线向量，则四边形ABCD（） A．是平行四边形B．是梯形 C．是平行四边形或梯形D．不是平行四边形，也不是梯形 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（） A．一条线段B．一个圆面C．圆上的一群弧立点D．一个圆4．若a，b是两个不平行的非零向量，并且a∥c, b∥c，则向量c等于（）A．B．C．D．不存在 5．向量（+）+（+）+化简后等于（） A． B． C． D． 6．a、b为非零向量，且｜a+b｜=｜a｜+｜b｜则（） A．a∥b且a、b方向相同B．a=b C．a=-b D．以上都不对7．化简（-）+（-）的结果是（） A．B． C．D． 8．在四边形ABCD中，=+，则（） A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形C．ABCD是正方形D．ABCD是平行四边形9．已知正方形ABCD的边长为1， =,=, =,则｜++｜为（）A．0 B．3 C．2D．22 10．下列四式不能化简为AD的是（） A．（AB+CD）+ BC B．（AD+MB）+（BC+CM） C．+-D．-+
a 11．设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是（ ） A ． 与的长度必相等 B ． ∥ C ．与一定不相等 D ． 是的相反向量 12．如果两非零向量、满足：｜｜＞｜｜,那么与反向,则（ ） A ．｜+｜=｜｜-｜｜ B ．｜-｜=｜｜-｜｜ C ．｜a -b ｜=｜b ｜-｜a ｜ D ．｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜ 二、判断题 1．向量与是两平行向量．（ ） 2．若是单位向量，也是单位向量，则=．（ ） 3．长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不 是单位向量．（ ） 4．与任一向量都平行的向量为向量．（ ） 5．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形．（ ） 7．设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍．（ ） 9．在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆．（ ） 10．凡模相等且平行的两向量均相等．（ ） 三、填空题 1．已知四边形ABCD 中，= 21,且｜｜=｜｜,则四边形ABCD 的形状是 ． 2．已知=,=, =,=,=,则+++= ． 3．已知向量a 、b 的模分别为3，4，则｜a -b ｜的取值范围为 ． 4．已知｜OA ｜=4,｜OB ｜=8,∠AOB=60°,则｜AB ｜= ． 5． =“向东走4km ”,=“向南走3km ”,则｜+｜= ． 四、解答题 1.作图。已知 求作（1）b a （利用向量加法的三角形法 则和 四边形法则）
《向量减法的运算及几何意义》教学反思 育英高中胡阁 参加本届教学比武大赛，我十分投入，备课时不但想怎么教，我更多是思考：学生怎么学？怎么能让学生活动起来，参与进来？怎样设计活动？一开始利用动画，引入物理中位移的合成和力的合成与分解，温故向量加法的三角形法则和平行四边形法则。动手与思考结合形成主动学习主动接受，我设计了三个探究，让学生共同合作，共同解决问题。有一点遗憾是在处理小结时由于学生回答问题偏差太大导致太过仓促，显得结束潦草。 教材分析：《向量减法运算及其几何意义》是必修四第二章第二节的教学内容，重点内容是向量减法的三角形法则。本节课是学习平面向量基本慨念之后一节比较重要的课，向量的加减法更是后续学习的铺垫，向量加减法是线性运算中最基本、最重要的运算。加法运算，减法运算，数乘向量运算都可以归结为加法运算，所以本节课在今后的空间向量与立体几何中有着举足轻重的地位。 学情分析：学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量的定义，知道向量可以自由移动，更重要的是已经学习了加法运算及其几何意义，这是学习本节内容的基础。学生对数的运算了如指掌，但是对于向量的加减法运算，学生可能不明白向量加减的道理，为此，我在案例设计中，首先以动画回顾位移、力的合成，让学生体验向量加法的实际含义，明确向量
加法就是物理中学过的矢量的合成，在此基础上归纳总结向量加法的三角形法则，平行四边形法则。在此之后提出相反向量的定义及向量的减法定义。通过定义，把向量的减法运算转化为加法运算。这样起到了承上启下，轻松引入的作用。 本节课教学环节严谨，学案课前预习——课件动画引入——合作探究（三个探究问题）——个体展示——例题精讲——课堂练习——课堂小结。在整个教学环节中，合作讨论让整个课堂更活跃了，更增加了课堂趣味性。还有课后练习展示答案，可以很清楚的掌握全班同学对本节课所学知识的掌握情况，从而调整课下和下一节的辅导和教学。唯一不足的是，温故知新的三角形法则和平行四边形法则求向量的和让学生上讲台板演可能更好，这里处理的不够细腻。总体说这节课比较成功，主要有以下几个亮点。 1、形式上，黑板与多媒体结合有效防止视觉疲劳，动手与思考结合形成主动学习主动接受，老师给予与书本探究结合有利于课后复习和作业。 2、教学方法采用多媒体教学，动画效果非常逼真，三角形法则和平行四边形法则做差的几何画法让学生得到了感性和理性的认识。
一、选择题 1、下列说法正确的有 ( )个. ①零向量是没有方向的向量,②零向量的方向是任意的,③零向量与任一向量共线,④零向量只能与零 向量共线. A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 2、下列物理量中，不能称为向量的有( )个. ①质量①速度①位移①力①加速度①路程 A．0 B．1 C．2 D．3 3、已知正方形ABCD的边长为1, = a, = b, = c,则| a+b+c|等于（） A．0 B．3 C．2 D．22 4、在平行四边形ABCD中，设= a, = b，= c, = d,则下列不等式中不正确的是 （）A．a+b=c B．a－b=d C．b－a=d D．c－d=b－d 5、①ABC中,D,E,F分别是AB、BC、CD的中点,则－等于（） A．B．C．D． 6、如图.点M是①ABC的重心,则MA+MB－MC为（） C．4 D．4 7、在正六边形ABCDEF中,不与向量相等的是（）
A ． + B ．－ C ． + D ．+ 8、a =－b 是|a | = |b |的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 二、填空题： 9、化简： + + + + = ______. 10、若a =“向东走8公里”，b =“向北走8公里”，则| a + b |=___,a +b 的方向是_ ____. 11、已知D 、E 、F 分别是①ABC 中BC 、CA 、AB 上的点,且= 31 , =31 , = 3 1,设 = a , = b ,则 = __________. 12、向量a,b 满足：|a |=2,|a +b |=3,|a －b |=3,则|b |=_____. 三、解答题： 13、如图在正六边形ABCDEF 中，已知： = a , = b ,试用a 、b 表示向量 , , ， . 14、如图：若G 点是①ABC 的重心，求证： + + = 0 .
学习目的： 1.理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义； 2.理解向量的几何表示，会用字母表示向量； 3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系； 4.通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力. 5．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量； 6．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算； 7．明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量； 8．在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明； 9．通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识． 学习容: 向量这部分知识是新容，但我们已经接触过了.同学们在物理的课程学习过矢量的概念，它与我们要学的向量是一致的（知识是相通的），即使在数学中，前一段我们学习三角函数线时讲过有向线段，实际上向量就是用有向线段表示的.
学习难点: 向量的加法运算 一、向量的概念 向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段表示，其中A为起点，B为终点，显然表示不同的向量；有向线段的长度表示向量的大小，用| |表示，显然，既有向线段的起、终点决定向量的方向，有向线段的长度决定向量的大小. 注意:向量的长度| |又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量. 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量. 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量可经过平移的过程重合在一起，既可用一个有向线段表示，而与起点无关. 二、向量的加法 1．向量加法的平行四边形法则 平行四边形ABCD中，向量的和为 .记作: . 2．向量加法的三角形法则 根据向量相等的定义有: ，既在ΔADC中，，首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点. 规定:零向量与向量的和等于 .