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牛顿环测透镜曲率半径数据处理方法的分析

《现代电子技术》
2010年第
8期总第
319期　t计算机应用技术
ü

牛顿环测透镜曲率半径数据处理方法的分析

李晓莉
(西安石油大学理学院
,陕西西安
710065)

摘　要
:详细介绍用逐差法、线性回归法、加权平均法处理牛顿环测透镜曲率半径数据的方法和过程。比较三种实验数
据处理方法的优缺点
,其中加权平均法既考虑了如何克服实验的系统误差
,又能按照处理原则去对待非等精度测量
,且建立
在数理统计理论基础上。该方法主要是比较相应的权
,进而求出加权平均值
,利用
Matlab软件进行处理
,得出加权平均法为
牛顿环实验数据处理的最佳方法。

关键词
:牛顿环
;逐差法
;线性回归法
;加权平均法
中图分类号
Analysis of Data Processing in Lens Curvature Radius Measured by Newton′
:Q43611 ;TP274 文献标识码
:A 文章编号
:10042373X(2010) 0820141204

s Ring

L I Xiao2li
(School of Science , Xi’an Shiyou University , Xi’an 710065 , China)

Abstract : The methods and procedures of using interative differential method , linear recursive analysis , and weighted
average method to process the data of lens curvature of Newton′s Rings are introduced in detail , three experimental dada pro2
cessing methods are compared. The weighted average method can overcome the experimental systematic distortions , and make
a non precision measurement according to processing priuciple , and build on the basis of mathematical statistical theory. This
method mainly compared the corresponding rights , and then found out the weighted average , used Matlab software process2
ing. It is proved that the weighted average method is optimal for this experiment by theoretic analysis.

Keywords: Newton′s rings; interative differential method; linear recursive analysis; weighted average method

如何利用有限的测量数据
,发挥其最大效用
,选择适当
0　引　言
的数据处理方法和算法
,有效地减少误差
,在实验结果

“牛顿环”是牛顿在
1675年制作天文望远镜时
,偶的分析中就显得非常重要。
然把一个望远镜的物镜放在平板玻璃上发现的。牛顿牛顿环属于用分振幅法产生干涉现象
,它是典型的
环属于用分振幅法产生干涉现象
,亦是典型的等厚干涉等厚干涉条纹。下面以牛顿环干涉实验为例
,对实验数
条纹。它为光的波动提供了重要的实验证据。光的干据分别用逐差法、线性回归法、加权平均法三种方法进
涉现象广泛地应用于科学研究、工业生产和检验技术行分析
,然后比较三种方法的优劣
,并对结果进行讨论。

中
,如利用光的干涉法进行薄膜等厚、微小角度、曲面的
曲率半径等几何量的精密测量
,也普

遍应用检测加工工1　实验部分
件表面的光洁度和平整度及机械零件的内力分布等。1. 1　实验原理

为了获得真实可靠的数据
,需要对实验的全过程进最常见的牛顿环干涉结构如图
1所示
[2] ,把一块曲

行误差控制。如果实验原理、方法和采用的实验装置不
率半径相当大的平凸镜放在一块平板玻璃片上
,在单色
同
,实验结果的精度也不同
,这是因为采用了不同的物
光的垂直照射下
,用读数显微镜可观察到以接触点为中

理模型和实验条件
[1]。即使当实验原理、方法和采用的
心的一系列干涉圆环。其中亮暗环纹交替出现
,随着半

实验装置相同
,如果采用不同的数据处理方法
(如最小
径增大而由稀变密
,直至模糊一片。
二乘法、逐差法等
),也会带来精度不同的结果
,这是因
为采用了不同的数学模型。甚至对同一组实验数据采
设入射单色光的波长为
λ,第
k级干涉条纹的半径

用同一种数据处理方法
,如果处理方式不同
,其精度也
为
rk ,该处空气膜的厚度为
e,通过数学推导
,产生明暗

会有很大的不同
,这是因为采用了不同的算法。因此
,环的干涉条件为
[3] :
明条纹
:

收稿日期
:2009212217 δk= 2ek +λ/ 2 =kλ,　k= 1 ,2 ,3 , .
(1)

. 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. https://www.doczj.com/doc/a27736231.html,

科学计算与信息处理李晓莉
:牛顿环测透镜曲率半径数据处理方法的分析

暗条纹
:
δk= 2ek +λ/ 2 =(2 k+ 1)λ,　k= 1 ,2 ,3 , .
(2)

根据图
1的几何关系可知
, R2 =r 2
k +(R-ek) 2 ,则

r 2
k= 2ekR-e 2
k,R为透镜的曲率半径。由于
R
近似表示为
:

ek =r 2
k/ (2 R) (3)

将式
(3)代入式
(1)、式
(2)中
,则
:
明环半径
:
r 2
k =(2 k-1) R(λ/ 2),　k= 1 ,2 ,3 , .
(4)
暗环半径
:

m ek ,上式
r 2
k =kλR,　k= 1 ,2 ,3 , .

(5)
31. 409
8 31. 534
9 31. 654
7 25. 426
32. 659
20 32. 746
21
24. 106 44. 984
若用两个暗环或明环半径和的平方差进行计算
,可
以消除因附加光程差产生的误差
,这时第
m环暗环半
径为
r 2
m =mλR,第
n环明环半径为
r 2
n=nλR,两式相减
得曲率半径为
:

22 D2 D2

rm-rn m-n

R= (6)

(m-n)λ
=
4 (m-n)λ

式中
: D为牛顿环直径。所以实验中只要测量出
第
m环和第
n环的直径
,根据上式就可以算出透镜的
曲率半径
R。

图
1　牛顿环装置

1. 2　实验数据分析
实验中测量牛顿环干涉条纹的数据记录如表
1
所示。

表
1　牛顿环干涉条纹的原始测量数据

k

30 5 10 15 20 25
D左
/ mm 30. 522 31. 278 31. 880 32. 385 32. 832 33. 240

D右
/ mm 2

6. 321 25. 557 24. 962 24. 469 24. 019 23. 612

下面分别用逐差法、线性回归法和加权平均法对实
验中测量牛顿环干涉条纹的数据进行分析。

1. 2. 1　逐差法
由于牛顿环装置中玻璃接触处的弹性形变会引起
系统误差
,因而不能直接用牛顿环的直径
D( k)计算平凸
透镜的曲率半径。可以假设干涉条纹为均匀分布
,采用
逐差法
,在计算机上利用
Matlab软件中的数值插值法

处理实验数据
,处理结果如表
2所示。

表
2　采用逐差法分析实验数据

kD左
/ mm D右
/ mm kD左
/ mm D右
/ mm D2( k + 15) -D2( k) / mm2

1 30. 522 26. 321 14 32. 192 24. 659 45. 015
2 30. 688 26. 152 15 32. 290 24. 563 45. 058
3 30. 847 25. 991 16 32. 385 24. 469 45. 056
4 30. 998 25. 839 17 32. 478 24. 376 45. 058
5 31. 141 25. 694 18 32. 569
24. 195
24. 285 45. 056
6 31. 278
25. 557 19
45. 026
25. 302 32. 832 24. 019 44. 939
25. 184 22 32. 916 23. 934 44. 899
10 31. 769 25. 071 23 32. 999 23. 850 44. 869
11 31. 880 24. 962 24 33. 081 23. 769 44. 850
12 31. 987 24. 858 25 33. 161 23. 689 44. 843
13 32. 091 24. 757 26 33. 240 23. 612 44. 840

注
:光源为钠光灯
λ= 589. 3 nm
算术平均值的标准偏差为
:
σ[D2
( k+15)-D2
(k)] = 0. 019 mm2
则曲率半径的平均值为
:

D2 D2

( k+15) -(k)

R1 == 1 271. 0 mm

4 mλ
相对标准偏差为
:

σR1 σ[D2
(k+m) -D2
(m) ]

== 0. 04 %,

D2

R1 (k+m) -D2
( m)

平凸透镜的曲率半径的标准偏差为
:
σR1 = 0. 5 mm
所以实验结果为
:
R1 =R1 ±σR1 =(1 271. 0 ±0. 5) mm

1. 2. 2　线性回归法
根据牛顿环实验的基本原理
,设第
m条暗纹的干
涉级次为
(m+j) ,则
D2
k= 4 Rλ(m+j) ,可以看出
D2
k与
m成线性关系
,只要测量得到各
m级
(自变量
x)所对应
的
D2
k(应变量
y) ,用最小二乘法拟合线性函数
(直线
)
可以得到
[ 4 ]:y =A+Bx。

所以要确定
R,只需要确定系数
B即可
,依据最小
二乘法处理实验数据
,数据整理后用
Matlab软件计算
线性拟合系数
B为[5 ]:

n Σ(xiyi) -xi yi

Σ∑

i ii

B= = 2. 999 0 mmn Σx 2
i-( Σx i) 2

ii

式中
: xi =m,yi =D2
m。

为了检验直线拟合的好坏
,并确定测量的不确定
度
,求出相关系数
[6] :

. 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. https://www.doczj.com/doc/a27736231.html,

于D左( k) , D右( k)只做单次测量,其精度为仪器精度,而读
数装置最小刻度为0. 01 mm ,则有σ= 0. 01 mm =
于D左( k) , D右( k)只做单次测量,其精度为仪器精度,而读
数装置最小刻度为0. 01 mm ,则有σ= 0. 01 mm =
《现代电子技术》
2010年第
8期总第
319期　t计算机应用技术
ü

xy -xy

r= = 0. 999 984 57

2 )

(x 2 -x 2 ) ( y 2

-y
平凸透镜的曲率半径为
:

R2 = B/ (4 mλ)= 1 272. 7 mm
相对不确定度为
:

u( R2 ) u(B) 1/r2 -1 ur ( R2 )= ==

= 0. 000 8

R2 B n-2
平凸透镜的曲率半径的不确定度为
:
u( R2 )= 0. 000 8 ×1 272. 7 = 1. 0 mm
所以实验结果为
:

R2 = R2 ±u( R2 ) = (1 272. 7 ±1. 0) mm
1. 2. 3　加权平均法
实验中,牛顿环的直径为D( k) = D左( k) -D右( k)
中D左( k) , D右( k)是第k级牛顿环左、右两端位置坐标。
标准偏差为:
σy = Σ11
i = 1
( y -yi ) 2 / ( n -1) Σ11
i = 1
ωi = 0. 078 mm2
从而得曲率半径的平均值为:
R3 = y/ (4 mλ) = 1 271. 1 mm
相对标准偏差为:
σR3
R3
=
σy
y
= 0. 02 %
则实验结果的测量精度为:
σR3 = 0. 2 mm= R3 ±σR3 = (1 271. 1 ±0. 2) mm
对于实验数据分别用逐差法、线性回归法和加权平
D左
(k) =D右
(k) ,由误差传递知牛顿环直径的测量精
度为
[7] :
σ2 = σD2+D2= 2σ2 (7)

D( k) 左
( k) 右
( k)

从而
m个相邻牛顿环直径平方差的测量精度为
:

2

σ[D2
(k+m) -D2
(k)] =[σD2
(k+m) ]2 +[σD2
(k) ]
2 D22 D2

= σ(k+m) +σ( k)

22

= 4 D2
( k+m)σD( k+11)+ 4 D2
( k)σD( k)

= 8σ2 [D2
(k+m) + D2
(k)] (8)
所以
:

2 D2

σ[D2
(k+m) -(k)] = 0. 000 8[D2
(k+m) + D2
(k)] (9)

令
yk =D2
(k+m) -D2
(k) ,相应的权
[ 8 ]为ωk= σ2 (
1
yk)
,

采用加权平均法分析测量数据如表
3所示。

表
3　加权平均法分析实验数据

k
y k
/ mm2
精度
/ mm2
权ωk
/ mm -2 ωk y k
y -y k
/ mm2
ωk ( y -y k) 2
/ mm2
1 45. 015 0. 064 2 15. 56 700. 62 -0. 071 2 0. 078 9
2 45. 058 0. 069 0 14. 50 653. 21 -0. 114 8 0. 190 9
3 45. 056 0. 073 8 13. 56 610. 75 -0. 112 3 0. 171 1
4 45. 026 0. 078 6 12. 72 572. 84 -0. 082 6 0. 086 8
5 44. 984 0. 083 5 11. 98 539. 01 -0. 040 9 0. 020 0
6 44. 939 0. 088 3 11. 32 508. 83 0. 004 3 0. 000 2
7 44. 899 0. 093 2 10. 73 481. 86 0. 044 9 0. 021 6
8 44. 869 0. 098 0 10. 20 457. 73 0. 074 5 0. 056 6
9 44. 850 0. 102 9 9. 72 436. 05 0. 093 4 0. 084 9
10 44. 843 0. 107 7 9. 29 416. 51 0. 100 8 0. 094 4
11 44. 840 0. 112 4 8. 89 398. 77 0. 103 8 0. 095 8

计算可得加权平均值为
:

11

11

y=

ωiyi / Σωi= 44. 957 mm2

∑

i= 1

i= 1

均法进行处理后
,实验结果可分别表示为
:
逐差法
:
R1 =R1 ±σR1 =(1 271. 0 ±0. 5) mm
线性回归法
:
R2 =R2 ±σR2 =(1 272. 7 ±1. 0) mm
加权平均法
:

R3 =R3 ±σR3 =(1 271. 1 ±0. 2) mm
下面对这三种数据处理方法进行检验
,选择最优的
数据处理方法
,检验方法较多
,现选择采用
t分布
检验
[9] :

x1 -x2

t=

(10)
(n1 -1)σ21+ (n2 -1)σ22

(1/n1 + 1/n2 )

ν

式中
: n1和
n2分别为凸透镜球面的上、下两面的折射

率
,由于凸透镜球面周围都为空气薄膜
,故
n1 =n2 ,则
令ν
=n1 +n2 -2 = 2 (n -1),从而有
:

t = [(R1 -R2 )]/ (σ2 R1 +σ2 R2 )(11)
方法
1与方法
2比较计算
,可得
: t1 =0.350;方法
2
与方法
3比较计算
,可得
: t2 = 0. 340。

若取显著水平
σ=10 %,则置信率
p =90 %,ν=18 ,
查
t分布表可得
[10 ] tζ
= 1. 734 ,则| t1| =0.354<1.734,
| t2| =0.340<1.734。

若取
σ= 50 %,则
p = 50%,ν= 18,查表得
tζ
=

0.688 ,则| t1| =0.354<0.688,| t2| =0.340<0.688。
通过上面分析可以看出三种数据处理方法有如下
特点
:

(1)逐差法主要是围绕如何克服实验的系统误差
来进行的
,是建立在算术计算的基础上
,但并不满足非
等精度测量实验数据处理的条件
,而牛顿环干涉实验是
非等精度测量
,故逐差法对于牛顿环实验来说并不是
一种理想的数据处理方法。
. 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. https://www.doczj.com/doc/a27736231.html,

,其
由
所以实验结果为:
R3
1. 3　实验结果与讨论

科学计算与信息处理
李晓莉
:牛顿环测透镜曲率半径数据处理方法的分析

(2)线性回归法主要是为了避免非等精度测量的
困难
,但未考虑该次实验中的系统误差
,所以线性回归
法对于牛顿环实验来说也不是理想的数据处理方法。
(3)加权平均法既考虑了如何克服实验的系统误
差
,又能按照处理原则去对待非等精度测量
,且建立在
数理统计理论基础上
,所以加权平均法是处理牛顿环实
验数据的最佳方法。
2　结　语

本文对牛顿环实验数据分别采用逐差法、线性回归
法和加权平均法进行分析。逐差法在牛顿环干涉实验
中是一种常用的实验处理方法,其原理简单且便于理
解,对它的实验原理不用再做过多的叙述但由于逐差
处理的最佳方法。
参　考　文　献
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实验并不是一种理想的实验处理方法
法不满足非等精度测量实验数据的条件,而牛顿环干涉
实验就是一种非等精度测量,故该方法对于牛顿环干涉
;线性回归法先利
用数值插值法对实验数据进行处理
,再利用最小二乘法
将实验数据拟合成一条直线函数
,最后用
Matlab软件
计算出线性拟

合系数
B及相关系数
r,进而算出凸透镜
的曲率半径
R和测量的相对不确定度
;加权平均值法
主要是比较相应的权
,进而求出加权平均值
,利用
Mat2
lab软件处理较为方便
,在优化模型中应用较广。经过
分析与讨论可知应用加权平均值法为牛顿环实验数据

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作者简介
:李晓莉　女
,1981年出生
,满族
,辽宁抚顺人
,硕士研究生
,助理工程师。研究方向为光学。

(上接第
140页)

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作者简介
:李宏梅　女
,1984年出生
,河北衡水