绵阳南山中学高2018届高三“二诊”热身考试
数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合M Z =，{}
220N x x x =--<，则M N =I （ ） A ．{}1,2 B ．{}1,0- C ．{}0,1 D ．{}1,2- 2．已知i 是虚数单位，复数()2
2i +的共轭复数虚部为（ ） A ．4i B ．-4 C ．3 D ．4
3．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ） A ．100 B ．150 C ．200 D ．250
4．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的2a =，则输入的,a b 可能是（ ）
A ．15,18
B ．14,18
C ．12,18
D ．9,18
5．已知0b >，直线()
2120b x ay +++=与直线2
10x b y --=互相垂直，则ab 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．22 D ．36．在ABC ?中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()3
222113
f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，则sin 23B π??
-
??
?
的最小值是（ ） A ．0 B ．32-
C ．32
D ．-1 7．某学校需要把6名实习老师安排到,,A B C 三个班级去听课，每个班级安排2名老师，已知甲不能安排到A 班，乙和丙不能安排到同一班级，则安排方案的种数有（ ） A ． 24 B ．36 C ．48 D ．72 8．以下四个命题中：
①某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布()
2100,N σ，已知
()801000.40P ξ<≤=，若按成绩分层抽样的方式抽取100分试卷进行分析，则应从120分以上（包括
120分）的试卷中抽取15分；
②已知命题:p x ?∈R ，sin 1x ≤，则:p x ??∈R ，sin 1x >；
③在[]4,3-上随机取一个数m ，能使函数()222f x x mx =++在R 上有零点的概率为
37
； ④在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，用分层抽样的20名男乘客中有5名晕机，12名女乘客中有8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用独立性检验，有97%以上的把握认为与性别有关. 其中真命题的序号为（ ）
A ．①②③
B ．②③④
C ．①②④
D ．①③④
()2P k k ≥
0.15 0.1 0.05 0.025 0k
2.072
2.706
3.841
5.024
x y 零件数x （个） 10 20 30 加工时间y （分钟）
21
30
39
现已求得上表数据的线性回归方程???y
bx a =+中的?b 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（ ）
A ．84分钟
B ．94分钟
C ．102分钟
D ．112分钟
10．若圆2
2
44100x y x y ++--=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）
A ．23,23??-+??
B ．23,32??---??
C ．23,23??--+??
D ．23,23??---??
11．如图，12,F F 分别是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过()
17,0F -的直线l 与双曲线
分别交于点,A B ，若2ABF ?为等边三角形，则双曲线的方程为（ ）
A ．22551728x y -=
B ．2216x y -=
C ．22
16y x -= D ．22551287x y -=
12．已知函数()()()2ln ln f x ax x x x x =+--，有三个不同的零点，（其中123x x x <<），则
2
312123ln ln ln 111x x x x x x ??
????---
? ?
??
?????
的值为（ ） A ．1a - B ．1a - C ．-1 D ．1
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13
．已知9
a x ?- ?的展开式中，3
x 的系数为94，则a = ． 14．在一场比赛中，某篮球队的11名队员共有9名队员上场比赛，其得分的茎叶图如图所示，从上述得分超过10分的队员中任取2名，则这2名队员的得分之和超过35分的概率为 ．
15．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1
sin cos sin cos 3
a A C c A A c +=
，D 是AC 的
中点，且cos B =
，BD =ABC ?的最短边的边长为 ． 16．在平面直角坐标系Oxy 中，O 为坐标原点，点()()0,4,0,2A B ，平面向量,,OA OB OC u u r u u u r u u u r
满足：
(
)()
20OC OA OC OB -?-=uuu r uu r uuu r uu u r ，则对任意0t <的实数和任意满足条件的向量OC uuu r ，
()11ln 142OC t OA t OB -?---????
?uuu r uu r uu u r 的最小值 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，735S =，且2511,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若n T 为数列11n n a a +?
??
???
的前n 项和，且存在n ∈*
N ，使得10n n T a λ+-≥成立，求λ的取值范围.
18． “中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[)20,30，[)30,40，[)40,50，
[)50,60，[)60,70，[]70,80后得到如图所示的频率分布直方图.问：
（1）估计在40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数； （2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；
（3）若从年龄在[)20,40的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[)30,40的人数X 的分布列及数学期望.
19． 已知函数(
)()f x x ωφ=+0,2
2π
πωφ<
?
?
>-≤ ??
?
的图象关于直线3
x π
=
对称，且图象上相邻
两个最高点的距离为π. （1）求ω和φ的值； （2
）若2263f αππα???
=<<
??????
，求3cos 2πα??
+ ???
得值. 20．如图，已知抛物线2
1:4C y x =的焦点为F ，椭圆2C 的中心在原点，F 为其右焦点，点M 为曲线1C 和
2C 在第一象限的交点，且52
MF =
. （1）求椭圆2C 的标准方程；
（2）设,A B 为抛物线1C 上的两个动点，且使得线段AB 的中点D 在直线y x =上，()3,2P 为定点，求
PAB ?面积的最大值
.
21．已知函数()ln 3f x a x bx =--（a ∈R 且0a ≠） （1）若a b =，求函数()f x 的单调区间；
（2）当1a =时，设()()3g x f x =+，若()g x 有两个相异零点12,x x ，求证：12ln ln 2x x +>. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,11,2
x y t ?=????=+??（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的方程为43sin 12cos ρθθρ
=--，定点()6,0M ，点N 是曲线1C 上的
动点，Q 为MN 的中点.
（1）求点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）已知直线l 与x 轴的交点为P ，与曲线2C 的交点为,A B ，若AB 的中点为D ，求PD 的长. 23．选修4-5：不等式选讲
已知函数()2222f x x x =+--，x ∈R . （1）求不等式()3f x ≤的解集； （2）若方程
()
2
f x a x +=有三个实数根，求实数a 的取值范围.
绵阳南山中学高2018届高三“二诊”热身考试
参考答案
一、选择题
1-5:CBABB 6-10:DCBCB 11、12：CD 二、填空题 13．4 14．3
10
15
．
三、解答题
17．解：（1）由题意可得()()()1
2
1
1176735,2410,a d a d a d a d ??+=???+=++?即12135,2.
a d d a d +=??=? 又因为0d ≠，所以12,
1.a d =??
=?
所以1n a n =+.
（2）因为
()()111111212
n n a a n n n n +==-++++，所以 111111
233412n T n n =
-+-++-=++L ()
112222n n n -
=++. 因为存在n ∈*N ，使得10n n T a λ--≥成立，所以存在n ∈*
N ，使得
()
()2022n
n n λ-+≥+成立，
即存在n ∈*
N ，使得()
2
22n n T n ≤
+成立.
又
()
2
111
4416222424n n n n n n =
?≤????+++++ ? ?
????
（当且仅当2n =时取等号）.
所以116λ≤
，即实数λ的取值范围是1,16?
?-∞ ??
?.
18．解：（1）由频率分布直方图知年龄在[)40,70的频率为()0.0200.0300.025100.75++?=， 所以40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数为400.7530?=. （2）40名读书者年龄的平均数为
250.05350.1450.2550.3?+?+?+?650.25750.154+?+?=.
设中位数为x ，则()0.005100.01100.02100.03500.5x ?+?+?+?-= 解得55x =，即40名读书者年龄的中位数为55. （3）年龄在[)20,30的读书者有0.00510402??=人， 年龄在[)30,40的读书者有0.0110404??=人， 所以X 的所有可能取值是0,1,2，
()20
242
41
015C C P X C ===， ()1124248
115C C P X C ===，
()02242
46
215
C C P X C ===， X 的分布列如下：
数学期望10121515153
EX =?
+?+?=. 19．解：（1）因为()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以()f x 的最小正周期T π=，从而22T
π
ω==. 又因为()f x 的图象关于直线3
x π
=对称，
所以23
2
k π
π
φπ
?+=+
，k ∈Z ，即6
k π
φπ=-
+，k ∈Z ，
由2
2
π
π
φ-
≤<
，得0k =，所以6
π
φ=-
.
（2）由（1），得()26f x x π?
?=
- ??
?，
所以2
226
f
ααπ
????
=?-=
? ?
????
，即
1
sin
64
π
α??
-=
?
??
.
由
2
63
ππ
α
<<，得0
62
ππ
α
<-<
，所以cos
6
π
α??
-==
?
??
4
=，因此
3
cos sin sin sin cos
26666
πππππ
αααα
??
??????
+==-+=-+
? ? ?
??
??????
?
?
11
cos sin
6642428
ππ
α??
-=?+=
?
??
.
20．解：（1）设椭圆
1
C的方程为()
22
22
10
x y
a b
a b
+=>>，半焦距为c，
由已知得，点()
1,0
F，则1
c=，
设点()()
0000
,0,0
M x y x y
>>，
由抛物线的定义，得：
5
1
2
MF x
=+=，
则
3
2
x=.
从而
y==
，所以点
3
2
M
?
?
，
设点E为椭圆的左焦点，则()
1,0
E-
，
7
2
ME==，
根据椭圆定义，得
75
26
22
a ME MF
=+=+=，则3
a=.
从而2228
b a c
=-=，所以椭圆
2
C的标准方程是
22
1
98
x y
+=.
（2）设点(),
D m n，()
11
,
A x y，()
22
,
B x y，则2
11
4
y x
=，2
22
4
y x
=，
两式相减，得()
22
1212
4
y y x x
-=-，即12
1212
4
y y
x x y y
-
=
-+
因为D为线段AB的中点，则122
y y m
+=，
所以直线AB的斜率
12
442
2
k
y y m m
===
+
，
从而直线AB的方程为()
2
y m x m
m
-=-，
即2
220
x my m m
-+-=，
联立2
222202240x my m m y my m m ?-+-=??-+-=??，得22
2240y my m m -+-=，
则122y y m +=，2
1224y y m m =-.
所以
12AB y y =-=
=设点P 到直线AB 的距离为d ，
则d =
，所以21642PAB S AB d m m ?=
=-+ 由2
40m m ->，得04m <<
， t =，则()2
366022
2
PAB t t t t S t ?--=
=<≤.
设()()26022t t f t t -=<≤，则()2
632
t f t -'=
. 由()0f t '
>，得0t <<
从而()
f t 在(
上是增函数，在2??上是减函数，
所以
(
)max f t f
==，
故
PAB ?面积的最大值为21．解：（1）由()ln 3f x a x ax =--知()()
1a x f x x
-'=
当0a >时，函数()f x 的单调增区间是()0,1，单调减区间是()1,+∞， 当0a <时，函数()f x 的单调增区间是()1,+∞，单调减区间是()0,1. （2）()ln g x x bx =-，设()g x 的两个相异零点为12,x x ， 设120x x >>，
∵()10g x =，()20g x =， ∴11ln 0x bx -=，22ln 0x bx -=，
∴()1212ln ln x x b x x -=-，()1212ln ln x x b x x +=+. 要证12ln ln 2x x +>，即证()122b x x +>， 即
121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即()121212
2ln x x x x x x ->+， 设1
21x t x =
>上式转化为()()21ln 11
t t t t ->>+.
设()
()
21 ln
1
t
g t t
t -
=-
+，∴()
()
()
2
2
1
1
t
g
t
t t
-
'=>
+
，∴()
g t在()
1,+∞上单调递增，
∴()()10
g t g
>=，∴
()
21
ln
1
t
t
t
-
>
+
，∴
12
ln ln2
x x
+>.
22．解：（1）由题意知，曲线
1
C的直角坐标方程为221243360
x y x y
++-+=.
设点()
,
N x y
''，()
,
Q x y，由中点坐标公式得
26
2
x x
y y
'=-
?
?'
=
?
，
代入221243360
x y x y
++-+=中，得点Q的轨迹
2
C的直角坐标方程为()2
233
x y
+-=. （2）P的坐标为()3,0，设l的参数方程为
3
3,
2
1
,
2
x t
y t
?
=-
??
?
?=
??
，（t为参数）代入曲线2C的直角坐标方程得：()
23330
t t
-++=，
设点,,
A B D对应的参数分别为
123
,,
t t t，
则
12
33
t t+=+，
12
3
t t=，12
3
33
22
t t
PD t
++
===.
23．解：（1）原不等式等价于
1
43
x<-
?
?
-≤
?
或
11
43
x
x
-≤≤
?
?
≤
?
或
1
43
x>
?
?
≤
?
，
得1
x<-或
3
1
4
x
-≤≤
∴不等式()3
f x≤的解集为
3
,
4
??
-∞
?
??
.
（2）由方程
()
2
f x
a x
+=可变形为11
a x x x
=+--+，
令()11
h x x x x
=+--+
2,1,
,11,
2,1,
x x
x x
x x
+<-
?
?
=--≤≤
?
?->
?
，作出图象如下：
于是由题意可得11
a
-<<.