第1节集合
考试要求 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算
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知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
表示关系文字语言
符号语
言
集合间的基本关系
相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A?B 真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少
有一个元素不是A中的元素
A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
集合的并集集合的交集集合的补集
符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为?U A
图形表示
集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}
(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(?U A)＝?，A∪(?U A)＝U，?U(?U A)＝A.
[常用结论与微点提醒]
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
2.子集的传递性：A?B，B?C?A?C.
3.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集，应时刻关注对于空集的讨论.
4.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??U A??U B.
5.?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)，?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B).
诊断自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.()
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.()
(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()
(4)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立.()
解析(1)错误.空集只有一个子集.
(2)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y
＝x 2＋1上的点集.
(3)错误.当x ＝1时，不满足集合中元素的互异性. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(新教材必修第一册P7练习1(1)改编)若集合P ＝{x ∈N |x ≤ 2 021}，a ＝22，则( ) A.a ∈P B.{a }∈P C.{a }?P
D.a ?P
解析 因为a ＝22不是自然数，而集合P 是不大于 2 021的自然数构成的集合，所以a ?P ，只有D 正确. 答案 D
3.(老教材必修1P11讲解引申)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R 且y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________.
解析 集合A 表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B 表示直线y ＝x 上的点，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点? ????22，22，? ????－22，－22，则
A ∩
B 中有两个元素. 答案 2
4.(2019·全国Ⅲ卷)已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∩B ＝( ) A.{－1，0，1} B.{0，1} C.{－1，1}
D.{0，1，2}
解析 因为B ＝{x |x 2≤1|}＝{x |－1≤x ≤1}，又A ＝{－1，0，1，2}，所以A ∩B ＝{－1，0，1}. 答案 A
5.(2019·全国Ⅱ卷改编)已知集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x <2}，全集U ＝R ，则 (?U A )∪B ＝( ) A.(－1，＋∞) B.(－∞，2) C.(－1，2)
D.?
解析 易知?U A ＝{x |x ≤－1}，B ＝{x |x <2}.
∴(?U A )∪B ＝{x |x <2}. 答案 B
6.(2020·汉中调研)已知集合M ＝{x |0 B.8 C.7 D.6 解析 因为M ∩N ＝{x |0 考点一 集合的基本概念 【例1】 (1)定义P ⊙Q ＝? ??? ??z |z ＝y x ＋x y ，x ∈P ，y ∈Q ，已知P ＝{0，－2}，Q ＝{1， 2}，则P ⊙Q ＝( ) A.{1，－1} B.{1，－1，0} C.? ?????1，－1，－34 D.? ????? －1，－34 (2)设集合A ＝{x |(x －a )2<1}，且2∈A ，3?A ，则实数a 的取值范围为________. 解析 (1)由定义，当x ＝0时，z ＝1， 当x ＝－2时，z ＝1－2＋－21＝－1或z ＝2－2－1＝－3 4. 因此 P ⊙Q ＝???? ??1，－1，－34. (2)由题意得???（2－a ）2<1，（3－a ）2