【研讨题目2】 信号与系统时域分析专题研讨
【目的】
1.研究用离散方法近似计算连续信号的卷积积分；
2.通过分析近似计算卷积积分过程中出现的问题，锻炼学生分析问题和解决问题的能力； 【知识点】
信号时域分析，卷积积分，卷积和 【研讨题目】连续信号卷积积分的数值近似计算 两个连续信号的卷积积分定义为
τττd )()()(-=
?∞
∞
-t h x t y
为了能用数值方法进行计算，需对连续信号进行抽样。记x [k ]=x (k
h [k ]=h (k ),为
进行数值计算所选定的抽样间隔，可以证明连续信号卷积积分可近似的表示为
(Δ)Δ([][])y k x k h k ≈?*
(1)
由式(1)可知，可以利用Matlab 提供的conv 函数近似计算连续信号的卷积积分。 一、(*)理论分析
为了对近似计算的结果进行分析，用解析的方法计算下列卷积积分，推出卷积积分的解析表达式； (1) 时限信号卷积积分
x 1(t )=u (t )-u (t -1)，y 1(t )=x 1(t )*x 1(t );
卷积结果为：y1(t)= x 1(t )*x 1(t )=r(t)-2*r(t-1)+r(t-2) (2) 分段常数信号卷积积分
x 2(t )= x 1(t )+2 x 1(t -1)+ x 1(t -2)，h 2(t )= x 1(t )- x 1(t -1)， y 2(t )=x 2(t )*h 2(t );
卷积结果为：y2(t)= x 2(t )*h 2(t )
=y1(t)+y1(t-1)-y1(t-2)-y1(t-3)
=r(t)-r(t-1)-2*r(t-2)+2*r(t-3)+r(t-4)-r(t-5) (3) 非时限信号卷积积分
x 3(t )=u (t )，h 3(t )=e -t u (t ), y 3(t )=x 3(t )*h 3(t )
卷积结果为：y3= x 3(t )*h 3(t ) =[1-exp(-t)]*u(t) 二、(*)时限信号卷积积分的近似计算
取不同的△值，用Matlab 函数conv 近似计算卷积积分y 1(t )并画出其波形，讨论的取值对计算结果的影响。
上图中，绿线为间隔0.01的结果，蓝线是间隔0.1结果，红线为实际结果，由此可见：时间间隔越小，与实际结果越接近。
附程序代码：
t1=[0:0.01:5];
t2=[0:0.1:5];
t=[0:0.1:5];
x1=1.*(t1>=0)-1.*(t1>=1);
x2=1.*(t2>=0)-1.*(t2>=1);
y1=convn(x1,x1);
y2=convn(x2,x2);
y=t.*[t>=0]-2*(t-1).*[t>=1]+(t-2).*[t>=2]
N1=length(y1); %length函数取y1的长度%
N2=length(y2);
plot(t,y,'r');
hold on;
plot(0:0.01:(N1-1).*0.01,y1*0.01,'g');
plot(0:0.1:(N2-1).*0.1,y2*0.1,'b');
axis([0 5 0 1])
三、(**)分段常数信号卷积积分的Matlab计算
(1)若x2[k]={1，2 ，1，0; k=0,1,2}, h2[k]= {1，1 ; k=0,1}，计算离散卷积y2[k]=x2[k]*h2[k]；
y2[k]=x2[k]*h2[k]结果如下：
附程序代码：x2=[1,2,1,0];h2=[1,-1];
y2=conv(x2,h2);
N=length(y2);
stem(0:N-1,y2);
axis([0 8 -1 1])
(2)比较y2(t)和y2[k]，你发现了什么？
y
(t)的图像如下：
2
附程序代码：t=[0:0.1:5];
y=t.*[t>=0]-(t-1).*[t>=1]-2*(t-2).*[t>=2]+2*(t-3).*[t>=3]+(t-4).*[t>=4]-(t -5).*[t>=5]
plot(t,y);
hold on;
axis([0 8 -1 1])
y
2
(t)和y2[k]图像比较：
附程序代码：x2=[1,2,1,0];h2=[1,-1];
y2=conv(x2,h2);
t=[0:0.1:5];
y=t.*[t>=0]-(t-1).*[t>=1]-2*(t-2).*[t>=2]+2*(t-3).*[t>=3]+(t-4).*[t>=4]-(t -5).*[t>=5]
N=length(y2);
stem(0:N-1,y2);
hold on;
axis([0 8 -1 1])
plot(t,y);
hold on;
axis([0 8 -1 1])
比较两图可知，y
2(t)与y
2
[t]的卷积积分相似，将y
2
[t]向右平移一个单位后，两
图像波形重合，若在y
2[t]最前面补零，或缩小抽样间隔，即可由y
2
[t]的卷积积分近似
地求解y
2
（t）地卷积积分。
(3)对(2)中发现象进行理论分析，根据理论分析的结果，给出用Matlab函数conv计算卷积积分y2(t) 的方法并画出卷积积分y2(t)的波形；
x
2(t)=u(t)+u(t-1)-u(t-2)-u(t-3),h
2
(t)=u(t)-2u(t-1)+u(t-2)
x
2
[k]={1， 2 ，1， 0; k=0,1,2}, h2[k]= {1，1;k=0,1}
当抽样间隔为0.1时，y
2[t]比y
2
(t)超前一个单位，故在y
2
[t]最前面补零，采用
plot即可画出y
2
(t)的正确波形。另外，由二题研讨可知，将抽样间隔缩小（例如抽样
间隔取0.01），采用plot画图也可以得到y
2
(t)的正确波形。
采用补零的方法画出y2(t)的波形为：
附程序代码：x2=[0,1,2,1,0];h2=[1,-1]; %在x2最前面补零
y2=conv(x2,h2);
N=length(y2);
plot(0:N-1,y2);
axis([0 8 -1 1]
(4)若分段常数的区间宽度不是1，应如何修改算法？
如图，若间隔为0.5时，图像及代码如下：
附程序代码：x2=[1,2,1,0];h2=[1,-1];
y2=conv(x2,h2);
N=length(y2);
stem(0:0.5:(N-1).*0.5,y2); %红体为相比间隔为1的函数修改的部分axis([0 8 -1 1])
(5)完成了分段常数信号卷积积分的分析和计算后，你对y1(t)的近似计算方法有无新的认识？
可以由离散的卷积来近似的计算连续函数的卷积，但是要根据实际函数在0右边的积分的值，来确定离散函数向右偏移的格数，如可以取y1（t）的边界值先进行离散序列的卷积，如在用y2[t]来近似计算y2（t）时，由于y2（t）在0~1时，存在卷积积分的由0逐渐增长，到1时，存在着积分的变化，所以应将离散的图形向右平移一个单位。同时由于连续序列卷积后也是连续的可以将相邻的离散点相连。这样可以较快的计算出y1（t）的近似。
四、(**)非时限信号卷积积分的近似计算
近似计算若卷积积分y3(t)。若出现问题请分析出现问题的原因，并给出一种解决问题的方案；根据提出的方案完成近似计算卷积分的程序；
用近似方法计算y3（t）的代码及结果如下。
当区间长度为20时：
附程序代码：N=0.01;
t=0:0.01:20;
x=1*(t>=0);
y=exp(-t).*(t>=0);
yt=conv(x,y);
subplot(211);
n=0:0.01:40;
plot(n,N*yt);
axis([0 20 0 2]);
xlabel('时间（s）'); ylabel('近似值yt(t)'); subplot(212);
yt1=(1-exp(-t)).*(t>=0); plot(t,yt1);
axis([0 inf 0 2]);
xlabel('时间（s）'); ylabel('真实值yt(t)');
当区间长度为40时：
附程序代码：N=0.01;
t=0:0.01:20;
x=1*(t>=0);
y=exp(-t).*(t>=0);
yt=conv(x,y);
subplot(211);
n=0:0.01:40;
plot(n,N*yt);
axis([0 40 0 2]);
xlabel('时间（s）');
ylabel('近似值yt(t)');
subplot(212);
yt1=(1-exp(-t)).*(t>=0);
plot(t,yt1);
axis([0 inf 0 2]);
xlabel('时间（s）');
ylabel('真实值yt(t)');
出现这种情况的原因：因为conv函数无法计算一个无穷的卷积，题目中虽然是算了exp（-t）的卷积，但是实际取的是（0，20）这个区间内的值，在做卷积的计算过程中，使用matlab对t进行了赋值，在赋值以外的点，被认为时0，所以在t>=0&t<=20这个区间内是没有问题的，但是t一但大于20两者的卷积就会有缺失，计算值就不在准确，t>20的部分就相当于是错误的，没有任何意义。
解决方法：在绘制图形时，将绘制图形的坐标范围限定在t的取值范围之内，或绘制图形后去掉无效值。
五、(***)卷积函数conv函数选项的定义与应用研究
在新版MATLAB中，卷积函数conv提供了选项conv(A, B,’valid’ )，下面将研究conv(A, B,’valid’ )的定义及应用。
（1）读MATLAB提供的关于conv的Help，给出卷积函数conv(A, B,’valid’ )的定义。设计一些简单的实验，验证你给出的定义。你认为这样定义的卷积有何优缺点？
键入“help conv”可知matlab对于valid的定义：
C = CONV(A, B, SHAPE) returns a subsection of the convolution with size
specified by SHAPE:
'valid' - returns only those parts of the convolution
that are computed without the zero-padded edges.
LENGTH(C)is MAX(LENGTH(A)-MAX(0,LENGTH(B)-1),0).
【只返回那些卷积计算无零填充的边缘部分】
接下来利用A=[1 2 3 4 5]和B=[1 2 3]对valid进行研究。
根据计算，A与B的卷积为[1,4,10,16,22,22,15]。用conv和conv-vaild分别计算的结果如下：
结论：由图像可得，在valid模式下，计算卷积只会计算A,B序列完全重合的部分，略去未完全重合的部分。
思考：与conv不同，valid 返回在卷积过程中，未使用边缘补 0 部分进行卷积计算，使得卷积出来的结果具有实际意义。但同时valid有一个显著缺点，即卷积运算时，只会将B翻转与A比较，而不会自动选择短的序列进行翻转，当B的长度大于A时，无法得出卷积结果。
附代码：A=[1 2 3 4 5];
B=[1 2 3 ];
C=conv(A,B);
C1=conv(A,B,'valid');
subplot(211)
stem((1:length(C))-1,C);
axis([-1,10,0,30]);
xlabel('conv(A,B))')
c=length(C)
subplot(212)
stem((1:length(C1))-1,C1);
axis([-1,10,0,30]);
xlabel('conv(A,B,‘valid’)')
c1=length(C1)
附：valid的原理图解：
图（1）图（2）
图（3）图（4）
图（5）图（6）
图（7）图（8）
图（1）~（8）依次为b’序列（b序列翻转后）向右平移0~7个单位长度。观察图像有：图（3）时序列b’开始与序列a有重叠，但是图（3）图（4）两序列尚未完全重合，b’序列均存在未重合部分。在valid模式下，它们因为缺少与之相乘的数，故b’序列未完全重合前不管重合部分，系统全部默认置零。图（5），（6），（7）b’序列与序列a完全重合，这些部分可以计算卷积的值，分别为10，16，22，符合valid图像。而从图（8）开始序列b’最右点移出序列a，两序列不再完全重合，系统再次完全置零。
(2)能否用conv(A, B,’valid’ )完成conv(A, B )？请给出解释，编程验证你的观点。
观察(1)中结果,可以得到conv(A,B,'valid')的返回值长度比conv(A,B)少两倍的length(B)-1,所以其结果是conv(A,B)两端各除去length(B)-1个值所得的结果；
考虑卷积性质,B的’valid’卷积返回值长度应与conv(A,B)相等，数值也应相同，将A两端各补充length(B)-1个0得到A1,得到与conv(A,B)相同的值。
附代码：A=[1 2 3 4 5];
B=[1 2 3];
A1=[zeros(1,length(B)-1),A,zeros(1,length(B)-1)];
C=conv(A,B);
C1=conv(A1,B,'valid');
subplot(211)
stem((1:length(C))-1,C);
axis([-1,10,0,30]);
xlabel('conv(A,B))')
c=length(C)
subplot(212)
stem((1:length(C1))-1,C1);
axis([-1,10,0,30]);
xlabe l('conv(A1,B,‘valid’)')
c1=length(C1)
(3) 探索能否用conv(A, B,’valid’ )解决非时限信号卷积积分的近似计算出现的问题？若行，请给出解决问题的方案及实验结果。若不行，请给出理由。
因函数conv(A1,B,'valid')可削除结果中两端length(y)-1个值,故可以将非时限卷积积分结果的无效值削除；根据卷积性质,只需在x左端插入length(y)-1个0 ,即可削除因t取值有限而造成的无效值而保留有效值。
例如重新计算y3(t)如下：
附代码：t=0:0.01:20;
x=1*(t>=0);
y=exp(-t).*(t>=0);
x1=[zeros(1,length(y)-1),x];
yt=conv(x1,y,'valid');
subplot(211);
plot(N*([1:length(yt)]),N*yt);
axis([0 30 0 2]);
xlabel('Time');
ylabel('近似值yt(t)');
subplot(212);
yr=(1-exp(-t)).*(t>=0);
plot(t,yr);
axis([0 30 0 2]);
xlabel('Time');
ylabel('真实值yr(t)');
(4)关于卷积conv(A, B,’valid’ )的应用，你还有什么见解？欢迎发表新想法，胆要大，不要怕犯错。
建议：因为valid的缺点是必须是前一个序列长于后一个序列所以希望，增加一个判断，比较 A，B长度，若B序列比A长交换A,B序列，其他算法不变，即可得到卷积结果
【温馨提示】
(1) 研讨内容中标注的星号表示难度系数，(*)表示难度系数低，(**)表示难度系数中， (***)表示难度系数高。
【研讨要求】
(1)编写实现上述研讨内容的MATLAB仿真程序，画出程序运行结果图。
(2)结合信号与系统基本原理，对程序运行结果进行分析和讨论。
(3)在研讨过程中，若发现问题，要进行探究，并给出解决问题的方案。
(4)写出在本次研讨中自主学习内容，列出参考文献目录。