第二章 随机变量及其分布习题
一 、填空题
1. 设随机变量ξ的分布律为N
a
K P =
=)(ξ（K=1,2, N ）,则常数=a 。 2. 盒内有5个零件，其中2件次品，从中任取3件，用ξ表示取出的次品数，则ξ的概率
分布为 。
3.设)(x F 是离散型随机变量的分布函数，若______)(==b P ξ，则
)()()(a F b F b a P -=<<ξ成立。
4.设离散型随机变量ξ的分布函数为 ?
?≥+<≤-<≤--<=2
2132
1110)(x b a x a x a
x x F ，且2
1)2(=
=ξP ，则___________________,______,
的分布律为ξ==b a
5. 设连续型随机变量ξ的概率密度为???
??≤>=-0
0)(2x x ke
x f x
则 ____)2(____,)2(____,)21(___,=<===≤<=ξξξP P P k
6. 设5个晶体管中有2个次品，3个正品，如果每次从中任取1个进行测试，测试后的产品不放回，直到把2个次品都找到为止，则需要进行的测试次数ξ是一个随机变量，则
________)2(______,)5(=≤==ξξP P
7. 设随机变量ξ的概率密度为8
)1(2)(--=x ke
x f （+∞<<∞-x ），则=k 。
8. 两个随机变量ηξ，相互独立的充要条件是______
9. 设连续型随机变量ξ的概率密度为??
?<≥=-0
)(x x e x f x
，则ξ的函数ξη=的概率密度________)(=y η? 10. 设随机变量ξ的概率密度为
??
?>><<=其他
)
0,0(,10)(k b x kx x f b
，
且________________,,75.0)2
1
(===>
b k P 则ξ 二 、选择题
1 .k
k p x P 2
)(=
=ξ)2,1( =k 为一随机变量ξ的分布律的必要条件是（ ） （A ）k x 非负 （B ）k x 为整数
（C ）20≤≤k p （D ）2≥k p 2 . 若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度，则（ ）一定成立
（A ）)(x f 的定义域为[0，1] （B ）)(x f 的值域为[0，1] (C) )(x f 非负
(D) )(x f 在）
，（∞∞-内连续 3.如果)(x F 是（ ），则)(x F 一定不可以是连续型随机变量的分布函数（ ） （A ）非负函数 （B ）连续函数 （C ）有界函数 （D ）单调减少函数 4.下列函数中，（ ）可以作为连续型随机变量的分布函数
(A))(x F = ??
?≥<0
1
0x x e x
（B ）G(x)= ??
?≥<-0
1
0x x e x
(C)=Φ)(x ???≥-<010
x e
x x
(D) H(x)= ???≥+<-0
100
x e
x x
5 . 设）（ηξ, 的联合概率密度为???
??≤+=其他
11
),(22y x y x f π
则ηξ与为（ ）的随机变量
（A ）独立同分布 （B ）独立不同分布
（C ）不独立同分布 （D ）不独立也不同分布
三、计算题
1. 掷两颗骰子，用ξ表示点数之和，求ξ的概率分布。
2. 抛掷一枚硬币，直到出现“正面朝上”为止，求抛掷次数的分布律。
3. 已知随机变量ξ只能取 1-，0，1，2，相应的概率为c 21，c 43，c 85
，c
167， 求c 的值，并计算)1(<ξP 。
4. 设连续型随机变量ξ的概率密度为??????
?≥<≤<=2
2041
0)(x x x ke x f x
求（1）系数k （2）ξ的分布函数 (3) {
}1≤ξP ,{}1=ξP ,{}21<<ξP 5. 设连续型随机变量ξ的分布函数为??
???≥<<≤=2
12000)(3
x x Ax
x x F
求（1）系数A ；（2）P {}10<<ξ，P {
}25.1≤<ξ，P {}32≤≤ξ 6. 设连续型随机变量ξ的概率密度为??
?
??<≤-<≤=其他02
1210)(x x x Ax x f
求（1）系数A (2)ξ的分布函数F(x) (3) P {}10|5.15.0≤≤≤<ξξ
7某种型号的电灯泡使用时间（单位：小时）为一随机变量ξ，其概率密度为
??
?
??≤>=-0
0050001)(5000x x e
x f x
求3个这种型号的电灯泡使用了1000小时后至少有2个仍可继续使用的概率 8.甲和乙两名篮球运动员各投篮3次，如果甲的命中率为0.7，乙的命中率为0.6，用ηξ,分别表示甲和乙投篮命中的次数，求ηξ,的分布律及（ηξ,）的联合分布律 9. 已知离散型随机变量ξ的分布律为ξ -3 -1 0 1 3 5
P
121 61 31 121 92 9
1
求：（1）121-=ξη的分布律； （2）2
2ξη=的分布律。
10. 设ξ的概率密度为??
?<<=其他0
102)(x x x f ξ求ξ
η-=e 的概率密度)(y η?
四、证明题
已知ηξ,为相互独立的随机变量，ηξ,的概率函数为
),2,1,0,10()1()()(n k p p p C k P k P k
n k k n =<<-====-ηξ 求证：)22,1,0()
1()(22n k p p C k P k
n k k n =-==+-ηξ 五、附加题
设离散型随机变量ξ的分布函数为 ?
?≥+<≤-<≤--<=2
2132
1110)(x b a x a x a
x x F ，
且2
1
)2(=
=ξp ，求 a , b , 以及ξ的分布律。 一、 填空题：
1. 设（Y X ,）的分布律为
则=??????
≤≤
21,21Y X P ，{}=≥1X P ，=????
??
<21X P 。 2.
?
?
?>>--=--其它
,00
,0),1)(1(),(32y x e e y x F y x 则分布密度函数
=),(y x f . 。
3.已知（Y X ,）~??
??
?
≤≤+=其它
,04,0),
sin(),(π
y x y x C y x f 则=C 。
4. 设（Y X ,）的分布律为
X 与Y 独立，则=α ，=β 。
二、选择题：
1. 设随机变量（Y X ,）的密度函数为?
??<<<<=其它,01
0,10,1),(y x y x f 则概率
{}6.0,5.0< A. 0.5 B. 0.3 C. 8 7 D. 0.4 2. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布为 X 0 1 Y 0 1 P 31 32 P 31 3 2 则下列式子正确的是（ ）。 A. Y X = B. {}1==Y X P C. {}9 5 = =Y X P D. {}0==Y X P 3. 设随机变量X 与Y 相互独立,且),(~2 11σμN X ，),(~2 22σμN Y ，则Y X Z += 仍具 正态分布，且有（ ）。 A. ),(~2 22 11σσμ+N Z B. ),(~2121σσμμ+N Z C. ),(~2 22 121σσμμ+N Z D. ),(~2 22 121σσμμ++N Z 4. 设X 与Y 是相互独立的两个随机变量,它们的分布函数分别为)(x F X 、)(y F Y ，则 ),max(Y X Z =的分布函数为（ ） 。 A. {})(),(m ax )(z F z F z F Y X Z = B. {} )(,)(max )(z F z F z F Y X Z = C. )()()(z F z F z F Y X Z = D. 都不是 三、计算题： 1． 设箱内有6个零件，其中一、二、三等品各为1、2、3个，从中任意取出3件，用X 和Y 分别表示取出的一等品和二等品数，试求),(Y X 的联合概率及边缘概率分布。 2． 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次中出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的 次数，求),(Y X 的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。 3． 二维随机变量),(Y X 共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1）, (2,-1) , (2,0) ,(2,2) , (3,1) , (3,2) , 并且),(Y X 取得它们的概率相同，求),(Y X 的联合分布。 4．设),(Y X 的联合分布密度为? ? ?≥≥=+-其它 ,00 ,0,),()(y x Ce y x f y x 试求：（1）常数C ；（2）)10,10(<<< 5． 随机变量),(Y X 的分布密度?? ?<<<<=其它 , 00,10, 3),(x y x x y x f 求（1）X 与Y 的边缘分布密度； （2）条件分布密度，问X 与Y 是否独立。 6．设二维随机变量),(Y X 的密度函数为?????≤≤≤≤+=其它 ,02 0,10, 3 1),(2y x xy x y x f ， （1）求关于X 和关于Y 的边缘密度函数，并判断X 和Y 是否相互独立？（2）求 {}1≥+Y X P 7． 已知二维随机变量服从D ＝{} 10),(<< ???? ?? <<<<210,210Y X P 。 8． 离散型随机变量),(Y X 有如下概率分布： X Y 0 1 2 0 0.1 0.2 0.3 1 0 0.1 0.2 2 0 0 0.1 (1) 求边缘概率分布； (2) 求2=Y 时X 的条件分布； (3) 检验随机变量X 与Y 是否独立。 9． 设X 和Y 是两个相互独立的二维随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概 率密度为??? ??≤>=-0 , 00, 21)(2y y e y f y Y ，（1）求X 和Y 的联合概率密度；（2）求 {}1<+Y X P 。 10． 设二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为 (1) 求常数k ；（2）求X ＋Y 的概率分布；（3）求{}Y X ,m ax 的概率分布 四、证明题： 二维随机变量),(Y X 在单位圆上服从均匀分布，证明：随机变量X ，Y 不相互独立。 五、附加题： 设随机变量 ),(Y X 联合密度函数为???+∞ <<<=-其它, 00,),(y x xe y x f y 求Y X Z +=的密度函数。 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 一、选择题、填空题 1．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤－2)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 2．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为 c ，a 、b 、c ∈(0,1)，且无其他得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1， 则ab 的最大值为 ( ) A.148 B.124 C.1 12 D.16 3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( ) A ．100 B ．200 C ．300 D ．400 4．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为： 则q 等于( ) A ．1 B ．1±22 C ．1－2 2 D ．1＋ 2 2 5．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝k )＝c k (k ＋1)，k ＝1,2,3,4，其中c 是常数，则P (12 独立同分布随机变量序列的顺序统计方法 设有限长度离散随机变量序列12,,...,n x x x ，对其按从小到大的顺序排列，得到新的随机序列12,,...,n y y y ，满足：12...n y y y ≤≤≤；假设12,,...,n x x x 是独立同分布的连续取值型随机变量，每个变量的概率分布函数及概率密度分布函数分别为(),()F x f x 。 (1)求(1)k y k n ≤≤的概率密度分布函数()k y f y 解：k y 在y 处无穷小邻域取值的概率()k y f y dy 可以等效为这样一些事件发生的概率之 和：12,,...,n x x x 这n 个随机变量中有任意一个在y 处无穷小邻域取值，而剩余的n -1个随机变量中有任意k -1个的取值小于等于y ，对应的另外n -k 个变量的取值大于等于y 事件的个数(变量的组合数)为111n n k -???? ???-???? ，每个事件的概率为1[()]()[1()]k n k f y dy F y F y ---，则 11()()()[1()]11k k n k y n n f y dy f y dyF y F y k ---????=- ???-???? => 1!()()[1()]() (1)(1)!()! k k n k y n f y F y F y f y k n k n k --= -≤≤-- (2)求随机变量,(1)k l y y k l n ≤<≤的联合概率密度分布函数(,)k l y y f u v 解：(,) ()k l y y k l <在平面上的点(,) ()u v v u ≥处无穷小邻域取值的概率 随机变量及其分布知识点汇总 知识点一 离散型随机变量及其分布列 （一）、离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????，X 取每一个值 (1,2,,)i x i n =???的概率()i i P X x p ==，则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1,2,,i P i n =???≥ （2）121n p p p ++???+= 1．两点分布 如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为： (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== 则随机变量X 的概率分布列如下： {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注意：超几何分布的模型是不放回抽样 知识点二 条件概率与事件的独立性 （一）、条件概率 一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称() (|)() P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+ （二）、相互独立事件 设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即 ()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。 ()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =. 注意：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生； (2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响. （三）、n 次独立重复试验 1．一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 在n 次独立重复试验中，记i A 是“第i 次试验的结果”，显然， 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ???=??? “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注意: 独立重复试验模型满足以下三方面特征 第一：每次试验是在同样条件下进行； 第二：各次试验中的事件是相互独立的； 第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. 2．n 次独立重复试验的公式： n A X A p n A k 一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为 ()(1),0,1,2,...,.(1)k k n k k k n k n n P X k C p p C p q k n q p --==-===-其中，而称p 为成功 数学学科自习卷（二） 一、选择题 1．将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个６点”，则条件概率()P A B ，() P B A 分别是（ ） A.6091，12 B.12，6091 C.518，6091 D.91216，12 2．设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为 A ．73 B ．53 C ．5 D ．3 3．已知随机变量ξ～)2,3(2N ，若23ξη=+,则D η= A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 4 4．同时拋掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（ ） A ．20 B ．25 C. 30 D ．40 5． 甲乙两人进行乒乓球比赛, 约定每局胜者得1分, 负者得0分, 比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止, 设甲在每局中获胜的概率为 23,乙在每局中获胜的概率为13 ,且各局胜负相互独立, 则比赛停止时已打局数ξ的期望()E ξ为（ ） A ．24181 B ．26681 C ．27481 D ．670243 6．现在有10奖券，82元的，25元的，某人从中随机无放回地抽取3奖券,则此人得奖金额的数学期望为（ ） A ．6 B ．395 C ．415 D ．9 7．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，,,(0,1)a b c ∈，且无其它得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为 （ ） A ．148 B ．124 C ．112 D ．16 8．位于数轴原点的一只电子兔沿着数轴按下列规则移动：电子兔每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为 23，向右移动的概率为13，则电子兔移动五次后位于点(1,0)-的概率是 （ ） A ．4243 B ．8243 C ．40243 D ．80243 第二章 随机变量及其分布 复习 一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 3、分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为：ΛΛ,,,,21i x x x ξ取每一个值),2,1(Λ=i x 的概率p x P ==)(，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 典型例题： 1、随机变量ξ的分布列为(),1,2,3(1) c P k k k k ξ== =+……，则P(13)____ξ≤≤= 2、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为1 7 ，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一 球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用ξ表示取球的次数。（1）求ξ的分布列（2）求甲取到白球的的概率 3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求X 的分布列。 4 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5 ． （1）请将上面的列联表补充完整； （2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率． (参考公式：2 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++) 简单随机变量之和与正态分布 本文将笼统，随意的讲解，为什么多随机变量之和可以认为服从正态分布。 首先我们建立一个简单的随机变量之和的模型。假设我们手里有一枚硬币，我们认定硬币的正面为1，反面为0，那么抛一次硬币的情况就是0或1且他们的概率都是50%。如果我不写概率也是写概率的比例，那么这个比例可以写为1：1。现在我们抛两次硬币，那么这个结果有四种，00，01，10，11。相信你知道我在说什么。那么正同我们提到的，我们要的是随机变量之和，所以我们有0，1，2。且他们的比例可以很容易的得到，是1：2：1。那么如果抛三次硬币呢？可能的结果就是0，1，2，3，而他们的比例是1：3：3：1。也许你已经发现这个规律了，也许你没有，但我会告诉你的。假如你抛2N次硬币，并且求和，那么其结果就是0，1，2……2N，共2N+1种可能。这2N+1种可能的比例服从组合数C2N i。你可以代入刚才抛三次的情况，C30：C31：C32：C33就是我们得到的1：3：3：1。至于为什么这个比例符合组合数，抛两次硬币那里举了个例子，就不重复了。这里简单的定义以下，每个随机变量称作X i他们的和称作Y，也就是： 2N Y=∑X i 1 （为什么突然变成了抛2N次而不是抛N次，因为我想保证我抛的是偶数次，这样Y的均值就是N了，你会发现抛两次的时候，Y的均值就是1，但是如果你抛三次，Y的均值就会是1.5，我想避免这个小数。） 所以接下来我们就要说明，组合数的分布规律为什么就成了正态分布。那么首先，你相信这个结论吗?让我们从抛多次到抛少次，来看一下正态分布和这个组合数分布到底有多像。 从Y的取值范围你也能猜出，这里分别是N取5，10，15，20的情况，实际上除了N 取5，也就是抛10次的时候，你还能看得清楚红线和蓝线，当N取10也就是抛20次以后，两线其实非常吻合了。你还可以看一下他们之间的误差，其峰值也是逐渐减小的。 第七周多维随机变量，独立性 7.4独立随机变量期望和方差的性质 独立随机变量乘积的期望的性质： Y X ,独立，则()()() Y E X E XY E =以离散型随机变量为例，设二元随机变量(),X Y 的联合分布列() ,i j P X x Y y ==已知，则()()(),i j i j P X x Y y P X x P Y y ====?=， () 1,2,,; 1,2,,i m j n == ()() 11,m n i j i j i j E XY x y P X x Y y =====∑∑()() 11 m n i j i j i j x y P X x P Y y =====∑∑()() 1 1 m n i i j j i j x P X x y P Y y =====∑∑()() E X E Y =***********************************************************************独立随机变量和的方差的性质： Y X ,独立，则()()() Y Var X Var Y X Var +=+()()() 2 2 Var X Y E X Y E X Y ??+=+-+?? ()222E X XY Y =++()()()()22 2E X E X E Y E Y ??-++? ? ()()()()2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()()()22E XY E X E Y +-()()()() 2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()() Var X Var Y =+若12,,,n X X X 相互独立，且都存在方差，则()() 121 n m k k Var X X X Var X =+++=∑ ***********************************************************************利用独立的0-1分布求和计算二项分布随机变量()~,X b n p 期望和方差 我们在推导二项分布随机变量的方差时，已经利用了独立随机变量和的方差等于方差 “随机变量及其分布”简介 北京师范大学数学科学院李勇 随机变量是研究随机现象的重要工具之一，他建立了连接随机现象和实数空间的一座桥梁，使得我们可以借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质，从而可以建立起应用到不同领域的概率模型，如二项分布模型、超几何分布模型、正态分布模型等。 在本章中将通过具体实例，帮助学生理解取有限值的离散型随机变量及其分布列、均值、方差的概念，理解超几何分布和二项分布的模型并能解决简单的实际问题，使学生认识分布列对于刻画随机现象的重要性，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。 一、内容与要求 1. 随机变量及其分布的概念。 通过具体实例使学生理解随机变量及其分布列的概念，认识随机变量及其分布对于刻画随机现象的重要性。要求学生会用随机变量表达简单的随机事件，并会用分布列来计算这类事件的概率。 2.超几何分布模型及其应用。 通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 3. 二项分布模型及其应用。 通过具体实例使学生了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验和二项分布模型，并能解决一些简单的实际问题。 4.离散随机变量的均值与方差。 通过实例使学生理解离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。 5.正态分布模型。 借助直观使学生认识正态分布曲线的特点及含义。 二、内容安排及说明 1.全章共安排了4个小节，教学约需12课时，具体内容和课时分配如下（仅供参考）： 2．1 离散型随机变量及其分布列约3课时 2．2 二项分布及其应用约4课时 2．3 离散型随机变量的均值与方差约3课时 2．4 正态分布约1课时 小结约1课时 2. 本章知识框图 3.对内容安排的说明。 研究一个随机现象，可以借助于随机变量，而分布描述了随机变量取值的概率分布规律。二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型．为了使学生能够更好地理解它们，并能用来解决一些实际问题，教科书在内容安排上作了如下考虑： (1) 为学生把注意力集中在随机变量的基本概念和方法的理解上，通过取有限个不同 值的随机变量为载体介绍这些概念，以便他们能更好的应用这些概念解决实际问 题。例如，如何定义随机变量来描述所感兴趣的随机事件；一个具体的随机变量都 能表达什么样的事件，如何表达这些事件；如何用分布列来表达随机事件发生的概 率等。 (2) 介绍超几何分布模型及其应用，其目的是 i. 让学生了解它的广泛应用背景，并使学生能够应用该分布设计一些能够丰富学生课外 随机变量及其分布知识点整理 一、离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =???的概率()i i P X x p ==，则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1 ,2,,i P i n =???≥ （2）121n p p p ++???+= 1．两点分布 如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为： (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注：超几何分布的模型是不放回抽样 二、条件概率 一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称()(|)() P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+ 三、相互独立事件 设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概 2-3随机变量及其分布 -- HW) T数字特征11 …. --- L-W Array「(两点分布〕 5店殊分布列)--憊几何分祠 -(二项分利 十［并件相互独立性)一価立重复试劇 5J ~(条件概率) ”、r<正态分布密度曲绚 f正态分布)一 要点归纳 一、离散型随机变量及其分布列 1.⑴随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关 系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示?在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量?通常用字母X, Y, E, n等表示. (2) 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随 机变量. (3) 离散型随机变量的分布列： 一般地，若离散型随机变量 X可能取的不同值为X i, X2…，X i，…X n，X取每一个值X i(i = 1，2，…，n)的概率 P(X= X)= p i，以表格的形式表示如下： X的分布列.有时为了简单起见，也用等式P(X = X i) = p i， i = 1，2，…，n表示X的分布列. (4)离散型随机变量的分布列的性质： ①P i>0，i = 1，2，…，n； n ②P i = 1. i = 1 (5)常见的分布列： 两点分布：如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，则 称X 服从两点分布，并称p = P(X = 1)为成功概率. 两点分布又称 0- 1分布，伯努利分布. 超几何分布：一般地，在含有 M 件次品的N 件产品中，任取 X 件次品，则事件｛X = k ｝发生的概率为 P(X = 其中 m= min ｛ M , n ｝，且 n W N , M < N , n , M , N € N *.如 果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布. 2 .二项分布及其应用 (1)条件概率：一般地，设 A 和B 是两个事件，且 P(A)>0, p / AB) 称P(BA) = P ((A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生 的条件概率.P(B|A)读作A 发生的条件下B 发生的概率. ⑵条件概率的性质： ① 0 < P(BA)< 1； ② 必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0; ③ 如果 B 和C 是两个互斥事件，则 P(B U C|A)= P(B|A) + P(C|A). (3) 事件的相互独立性：设 A, B 为两个事件，如果 P(AB)= P(A)P(B)，则 称事件 A 与事件B 相互独立?如果事件 A 与B 相互独立，那么 A 与-,-与B ,-与-也都相互独立. (4) 独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的 n 次试 验称为n 次独立重复试验. c M c N-/i c N k = 0, 1, 2, ,m,即 n 件，其中恰有 k)= 圆梦教育中心 随机变量及其分布知识点整理 一、离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =???的概率 ()i i P X x p ==，则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1,2,,i P i n =???≥ （2）121n p p p ++???+= 1．两点分布 则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为： (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注：超几何分布的模型是不放回抽样 二、条件概率 一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称() (|)() P AB P B A P A = 为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+U 三、相互独立事件 设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =. Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software https://www.doczj.com/doc/a6542129.html, For evaluation only. 一、单项选择题 1 ，那么下列结论正确的是 （）A B C D.以上都不正确 2设X与Y相互独立，X 0—1分布，Y 0—1分布，则方程 t 有相同实根的概率为 （A（B（C （D 3．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 则k的值必为 （A（B（C （D 4．设（X，Y）的联合密度函数为 （A （B（C（D 5．设随机变量X与Y相互独立，而且X服从标准正态分布N（0，1），Y服从二项分布B（n，p），0 二、填空题 2 若（X ，Y ）的联合密度 ， 3 4 ，则 且区域 5 。 6 . 7 =? ∞+∞ -)(x f X . 8 如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是 ；若X 与Y 相互独立，则=α ，=β . 9 设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z . 10、 设 ( 、 ) 的 联 合 分 布 函 数 为 ()()()()?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =_____。 11设X 服从参数为1的泊松分布，Y 服从参数为2的泊松分布，而且X 与Y 相互独立，则 (max(,)0)_______. (min(,)0)_______.P X Y P X Y ≠=≠= 12 设X 与Y 相互独立，均服从[1，3]上的均匀分布，记(),A X a =≤(),B Y a => 7 ()9 P A B ?= 且，则a=_______. 13 二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为 221()21sin sin (,)(,),2x y x y f x y e x y π -++= -∞<<+∞ 则两个边缘密度为_________. 三．解答题 1 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2,从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X , Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求 ( X , Y ) 的分布律与分布函数. 2．箱子里装有12件产品，其中2件是次品，每次从箱子里任取一件产品，共取2次，定义随机变量12,X X 如下： 图 6-2 正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。当n→∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态分布曲线的方程： f(x)= （6.16 ） 式中： x —所研究的变数； f(x) —某一定值 x 出现的函数值，一般称为概率密度函数（由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某一区间的概率，不能计算变量取某一值，即某一点时的概率，所以用“概率密度”一词以与概率相区分），相当于曲线 x 值的纵轴高度； p —常数，等于 3.14 159 ……； e —常数，等于 2.71828 ……；μ为总体参数，是所研究总体的平均数，不同的正态总体具有不同的μ，但对某一定总体的μ是一个常数；δ也为总体参数，表示所研究总体的标准差，不同的正态总体具有不同的δ，但对某一定总体的δ是一个常数。 上述公式表示随机变数 x 的分布叫作正态分布，记作 N( μ , δ2 ) ，读作“具平均数为μ，方差为δ 2 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态曲线，形状见图 6-2 。 （二）正态分布的特性 1 、正态分布曲线是以 x= μ为对称轴，向左右两侧作对称分布。因的数值无论正负，只要其绝对值相等，代入公式（ 6.16 ）所得的 f(x) 是相等的，即在平均数μ的左方或右方，只要距离相等，其 f(x) 就相等，因此其分布是对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于μ点上。 2 、正态分布曲线有一个高峰。随机变数 x 的取值范围为（ - ∞，+ ∞ ），在（ - ∞ ，μ）正态曲线随 x 的增大而上升，；当 x= μ时， f(x) 最大；在（μ，+ ∞ ）曲线随 x 的增大而下降。 3 、正态曲线在︱x-μ︱=1 δ处有拐点。曲线向左右两侧伸展，当x →± ∞ 时，f(x) →0 ，但 f(x) 值恒不等于零，曲线是以 x 轴为渐进线，所以曲线全距从 -∞到+ ∞。 4 、正态曲线是由μ和δ两个参数来确定的，其中μ确定曲线在 x 轴上的位置 [ 图 6-3] ，δ确定它的变异程度 [ 图 6-4] 。μ和δ不同时，就会有不同的曲线位置和变异程度。所以，正态分布曲线不只是一条曲线，而是一系列曲线。任何一条特定的正态曲线只有在其μ和δ确定以后才能确定。 5 、正态分布曲线是二项分布的极限曲线，二项分布的总概率等于 1 ，正态分布与 x 轴之间的总概率（所研究总体的全部变量出现的概率总和）或总面积也应该是等于 1 。而变量 x 出现在任两个定值 x1到x2(x1≠x2)之间的概率，等于这两个定值之间的面积占总面积的成数或百分比。正态曲线的任何两个定值间的概率或面积，完全由曲线的μ和δ确定。常用的理论面积或概率如下： 区间μ ± 1 δ面积或概率 =0.6826 μ ± 2 δ =0.9545 μ ± 3 δ=0.9973 μ± 1.960δ=0.9500 μ ±2.576 δ =0.9900 3.1多维随机变量及其分布 教学目标：本节讲解的是多维随机变量及其分布.通过本节的教学，要求学生正确理解多维随机变量及其分布，掌握多维随机变量及其分布的计算方法，运用定义和性质解决有关问题. 教学重点：多维随机变量及其分布的定义与性质. 教学难点：多维随机变量及其分布的证明与计算. 二维随机变量 定义1 设E 是随机试验，则由定义在E 的样板空间Ω上的随机变量X 与Y 构成的有序对),(Y X 称为二维随机变量（或二维随机向量）。 定义2 对任意实数y x ,，二元函数 },{)}(){(),(y Y x X P y Y x X P y x F ≤≤≡≤≤= 称为二维随机变量),(Y X 的分布函数，或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。 若把二维随机变量),(Y X 看成平面上随机点),(Y X 的坐标，则分布函数 ),(y x F 就表示随机点落在以点),(y x 为顶点的左下方的无限矩形域内的概率。 ),(),(),(),(},{111221222121y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P +--=≤<≤< 分布函数具有以下基本性质： （1）1),(0≤≤y x F ，且 对任意固定的y ，0),(=-∞y F ， 对任意固定的x ，0),(=-∞x F ， 0),(=-∞-∞F ，1),(=∞∞F 。 （2）),(y x F 分别是x 和y 的不减函数。 （3）),(),0(y x F y x F =+，),()0,(y x F y x F =+，即),(y x F 关于x 或y 均右连续。 （4）若2121,y y x x <<，则 0),(),(),(),(11122122≥+--y x F y x F y x F y x F 如果二维随机变量),(Y X 可能取的值是有限对或可列无限对，则称),(Y X 是二维离散型随机变量。),(Y X 的分布律或X 和Y 的联合分布律为 ij j i p y Y x X P ===},{， ,2,1,=j i 。 其中 ij p 满足 （1） ; 0≥ij p （2） 111 =∑∑∞=∞ =i j ij p 。 X 和Y 的联合分布律也可用表格表示： ij j j j i i i p p p y p p p y p p p y x x x X Y 2122212212111121\ X 和Y 的联合分布函数为 ∑∑≤≤= x x y y ij i j p y x F ),(。 【例1】吴书p.66.例1。 一箱子装有5件产品，其中2件正品，3件次品．每次从中取1件产品检验质量，不放回地抽取，连续抽取两次．定义随机变量X 和Y 如下： 试求),(Y X 的分布律和分布函数。 解 10X ?=? ?，第一次取到次品，第一次取到正品10Y ?=? ?，第二次取到次品 ，第二次取到正品 正态分布的数学期望与方差 正态分布： 密度函数为：分布函数为 的分布称为正态分布，记为N(a, σ2). 密度函数为： 或者 称为n元正态分布。其中B是n阶正定对称矩阵，a是任意实值行向量。 称N(0,1)的正态分布为标准正态分布。 （1）验证是概率函数（正值且积分为1） （2）基本性质： （3）二元正态分布： 其中， 二元正态分布的边际分布仍是正态分布： 二元正态分布的条件分布仍是正态分布： 即（其均值是x的线性函数） 其中r可证明是二元正态分布的相关系数。 （4）矩，对标准正态随机变量，有 （5）正态分布的特征函数 多元正态分布 （1）验证其符合概率函数要求（应用B为正定矩阵，L为非奇异阵，然后进行向量线性变换） （2）n元正态分布结论 a) 其特征函数为： b) 的任一子向量,m≤n 也服从正态分布，分布为其中，为保留B 的第，…行及列所得的m阶矩阵。 表明：多元正态分布的边际分布还是正态分布 c) a,B分别是随机向量的数学期望及协方差矩阵，即 表明：n元正态分布由它的前面二阶矩完全确定 d) 相互独立的充要条件是它们两两不相关 e) 若，为的子向量，其中是，的协方差矩阵，则是，相应分量的协方差构成的相互协方差矩阵。则相互独立的充要条件为＝0 f) 服从n元正态分布N(a,b)的充要条件是它的任何一个线性组合服 从一元正态分布 表明：可以通过一元分布来研究多元正态分布 g) 服从n元正态分布N(a,b),C为任意的m×n阶矩阵，则服从m元正态分布 表明：正态变量在线性变换下还是正态变量，这个性质简称正态变量的线性变换不变性 推论：服从n元正态分布N(a,b)，则存在一个正交变化U，使得是一个具有独立正态分布分量的随机向量，他的数学期望为Ua，而他的方差分量是B的特征值。 条件分布 若服从n元正态分布N(a,b)，，则在给定下，的分布还是正态分布，其条件数学期望： (称为关于的回归) 其条件方差为： （与无关） 随机变量及其分布列与独 立性检验练习题附答案 It was last revised on January 2, 2021 数学学科自习卷（二） 一、选择题 1．将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个６点”，则条件概率()P A B ，()P B A 分别是（ ） A. 6091，12 B.12，6091 C.518，6091 D.91216，12 2．设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为 A ．73 B ．5 3 C ．5 D ．3 3．已知随机变量ξ～)2,3(2N ，若23ξη=+,则D η= A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 4 4．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（ ） A ．20 B ．25 C. 30 D ．40 5． 甲乙两人进行乒乓球比赛, 约定每局胜者得1分, 负者得0分, 比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止, 设甲在每局中获胜的概率为 2 3 ,乙在每局中获胜的概率为1 3,且各局胜负相互独立, 则比赛停止时已打局数ξ的期望()E ξ为（ ） A ．24181 B ．26681 C ．27481 D ．670243 6．现在有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机无放回地抽取3张奖券,则此人得奖金额的数学期望为（ ） A ．6 B ． 395 C ．41 5 D ．9 7．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，,,(0,1)a b c ∈，且无其它得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为 （ ） A ． 148 B ． 124 C ． 112 D ．16 8．位于数轴原点的一只电子兔沿着数轴按下列规则移动：电子兔每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为23，向右移动的概率为1 3 ，则电子兔移动五次后位于点(1,0)-的概率是 （ ） A ． 4243 B ．8243 C ．40 243 D ． 80 243 二、填空题 9．已知55104)1()1()1)(2(++???+++=-+x a x a a x x ，则=++531a a a ______. 10．乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_____________________. 11．设ξ是离散型随机变量， 21 (),()33P a P b ξξ==== ，且a b <，又42 ,39E D ξξ== ，则a b +的值为______ _． 12．某车站每天8:009:00,9:0010:00--都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 到站的时刻 8：10 9：10 8：30 9：30 8：50 9：50 概率 一旅客8：20到站，则它候车时间的数学期望为＿＿＿＿＿＿＿。（精确到分） 三、解答题 1、随机变量独立同分布的概念 随机变量X1和X2独立，是指X1的取值不影响X2的取值，X2的取值也不影响X1的取值。随机变量X1和X2同分布，意味着X1和X2具有相同的分布形状和相同的分布参数，对离散型随机变量具有相同的概率函数，对连续型随机变量具有相同的概率密度函数，有着相同的分布函数，相同的均值、方差与标准差。 反之，若随机变量X1和X2是同类型分布，且分布参数全相同，则X1和X2一定同分布。 一般来说，在相同条件下，进行两次独立试验，则这两次实验结果所对应的随机变量是独立同分布的。 比如，将一枚质地均匀的硬币抛掷两次，设X1为第一次抛掷硬币的结果，X2为第二次抛掷硬币的结果。显然，第一次抛掷硬币的结果对第二次的结果没有影响，反之亦然，故X1和X2相互独立。 同时，X1和X2都只有两种试验结果：正面朝上和背面朝上，以0代表正面朝上，1代表背面朝上，则 P(X1=0)=P(X2=0)=0.5, P(X1=1)=P(X2=1)=0.5, 故X1和X2是独立同分布的随机变量。 随机变量独立同分布的特性可以推广到三个或更多个随机变量。 2、独立同正态分布（定理1） 3、独立同分布（定理2——中心极限定理） 当的分布对称时，只要n 5，那么，近似效果就比较理想；当的分布非对称时，要求n 值较大，一般n 30近似效果较理想。 这个定理表明：无论随机变量服从何种分布，可能是离散分布，也可能是连续分布，连续分布可能是正态分布，也可能是非正态分布，只要独立同分布随机变量的个数n较大，那么，随机变量之和的分布、随机变量均值X-的分布都可以近似为正态分布。这一结论意义深远。 4、标准误 统计学中把均值X-的标准差称为均值的标准误，记为，无论是正态还是非正态，均值X-的标准误都有 SEM随着n的增加而减少。 常常对一个零件的质量特性只观测一次，就用该观测结果去估计过程输出的质量特性。这里建议一种简单有效的减少测量系统误差的方法。对同一个零件的质量特性作两次或更多次重复测量，用其观测结果的平均值去估计过程输出的质量特性，就可以减少标准差。当然，这不是回避使用更精确量具的理由，而是一种提高现有量具精度的简易方法，多次测量值的平均值要比单次测量值更精确。 第二章 随机变量及其数字特征 一、教学要求 1. 理解随机变量的概念，掌握离散型和连续型随机变量的描述方法，理解概率分布列和概率密度函数的概念和性质； 2. 理解分布函数的概念和性质，会利用概率分布计算有关事件的概率； 3. 会利用分布函数计算离散和连续随机变量函数的数字特征； 4. 熟练掌握退化分布、两点分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布和正态分布、指数分布、均匀分布等常用概率分布及其数字特征的计算和相关概率的求解； 5. 应用公式会求简单随机变量函数的概率分布及数字特征。 二、重点与难点 本章的重点是随机变量概率分布及其性质，常见的几种分布，随机变量函数的分布、数学期望和方差的计算；难点是随机变量函数的分布及数学期望的计算。 §2.1 随机变量及其分布 一、 随机变量 1．引入随机变量的必要性 1）在随机现象中，有很大一部分问题与数值发生关系。如：产品检验问题中，抽样中 出现的废品数；在车间供电问题中某时刻正在工作的车床数；在电讯中，某段时间的话务量等等。 2）有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。如： 掷硬币问题中，记出现正面时为“1”，出现反面时为“0”。 注：这些例子中，试验的 结果能用一个数字X 来表示，这个数X 是随着试验的结果的不同而变化的，也即它是样本点的一个函数，这种量以后称为随机变量。 2．引例 先看一个具体的例子: 例1 袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数． 我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为 ()()()()()()()()()()123124125134135145234235245345?? ? ??? Ω=? ??? ??? ? ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 我们记取出的黑球数为 X ，则 X 的可能取值为1，2，3．因此， X 是一个变量． 但是， X 取什么值依赖于试验结果，即 X 的取值带有随机性，所以，我们称 X 为随机变量．离散型随机变量与正态分布
独立同分布随机变量序列的顺序统计方法(2019)
随机变量及其分布知识点汇总
随机变量及其分布列与独立性检验练习题附答案
随机变量及其分布考点总结
简单随机变量之和与正态分布
独立随机变量期望和方差的性质
“随机变量及其分布”简介
随机变量及其分布知识点整理
选修2-3随机变量及其分布知识点总结典型例题
随机变量及其分布知识点总结
正态分布概率公式(部分)
图 62正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。 n 当 →∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态 分布曲线的方程：
fx= （61 ） () .6
式中： x—所研究的变数； fx —某一定值 x出现的函数值，一般称为概率 () 密度函数 （由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某 一区间的概率， 不能计算变量取某一值， 即某一点时的概率， 所以用 “概率密度” 一词以与概率相区分），相当于曲线 x值的纵轴高度； p—常数，等于 31 .4 19……； e— 常数，等于 2788……； μ 为总体参数，是所研究总体 5 .12 的平均数， 不同的正态总体具有不同的 μ ， 但对某一定总体的 μ 是一个常数； δ 也为总体参数， 表示所研究总体的标准差， 不同的正态总体具有不同的 δ ， 但对某一定总体的 δ 是一个常数。 上述公式表示随机变数 x的分布叫作正态分布， 记作 N μ ,δ2 )， “具 ( 读作 2 平均数为 μ，方差为 δ 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态 曲线，形状见图 62。 （二）正态分布的特性
1、正态分布曲线是以 x μ 为对称轴，向左右两侧作对称分布。因 =
的
数值无论正负， 只要其绝对值相等， 代入公式 61 ） （ .6 所得的 fx 是相等的， () 即在平均数 μ 的左方或右方，只要距离相等，其 fx 就相等，因此其分布是 () 对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于 μ 点上。二维随机变量及其分布题目
正态分布概率公式(部分)
1多维随机变量及其联合分布
正态分布的数学期望与方差
随机变量及其分布列与独立性检验练习题附答案
随机变量独立同分布的概念
第二章-随机变量的分布及数字特征
相关主题
文本预览