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2021中山市高二期末统考数学试卷及答案
高二数学试卷（理科）
本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。共150分，考试时刻120分钟。
第I 卷（选择题 共40分）
注意事项：
1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不能够使用运算器。
4、考试终止，将答题卡交回，试卷不用上交。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．不等式25x x ≥的解集是 A ．[0,5]
B ．[5,)+∞
C ．(,0]-∞
D ．(,0][5,)-∞+∞
2．已知一个数列的前四项为2222
1357
,,,24816--
，则它的一个通项公式为 A ．221(1)(2)n
n n -- B ．1221(1)(2)n n n ---
C ．221(1)2n
n n -- D ．1221(1)2
n n
n --- 3．椭圆221625400x y +=的离心率为
A ．3
5
B ．
4
5
C ．
3
4
D ．
1625 4．函数f (x )的导函数'()f x 的图象如右图所示， 则下列说法正确的是
A ．函数()f x 在(2,3)-内单调递增
B ．函数()f x 在(4,0)-内单调递减
C ．函数()f x 在3x =处取极大值
D ．函数()f x 在4x =处取极小值
5．等差数列{}n a 的前n 项和12...n n S a a a =+++， 若1031S =，20122S =，则40S =
A ．182
B ．242
C ．273
D ．484
6．长为3.5m 的木棒斜靠在石堤旁，木棒的一端在离堤足1.4m 的地面上，另一端在沿堤上2.8m 的地点，堤对地面的倾斜角为α，则坡度值tan α等于 A ．231 B ．5
16 C ．
231
D ．
115
7．已知0,0a b >>，且1a b +=，则11
ab a b
++的最小值是 A ．2
B ．22
C ．17
4
D ．8
8．已知p ：函数2()1f x x mx =++有两个零点， q ：x R ?∈，244(2)10x m x +-+>．若
p q ∨为真，p q ∧为假，则实数m 的取值范畴为
A ．(,2)[3,)-∞-+∞
B ．(,2)(1,2][3,)-∞-+∞
C ．(1,2][3,)+∞
D ．(,2)
(1,2]-∞-
第II 卷（非选择题共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中的横线上） 9．等差数列8，5，2，…的第30项是 .
10．通过点(1,3)A -，同时对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 .
11．当x y 、满足不等式组11y x y x y ≤??
≥-??+≤?
时，目标函数2t x y =+的最小值是 .
12．圆222()()x a y b r -+-=通过原点的一个充要条件是 .
13．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线24y x =上，则那个正三角形
的边长为 .
14．物体沿直线运动过程中，位移s 与时刻t 的关系式是2()3s t t t =+. 我们运算在t 时刻
的邻近区间[,]t t t +?内的平均速度()()
s t t s t v t
+?-=
=? ，
当t ?趋近于0时，平均速度v 趋近于确定的值，即瞬时速度，由此可得到t 时刻的瞬时速度为 .
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
15．（13分）等比数列{}n a 的公比为q ，第8项是第2项与第5项的等差中项. （1）求公比q ；
（2）若{}n a 的前n 项和为n S ，判定396,,S S S 是否成等差数列，并说明理由.
16．（13分）已知某周密仪器生产总成本C （单位：万元）与月产量x （单位：台）的函数关系为1004C x =+，月最高产量为150台，出厂单价p （单位：万元）与月产量x 的函数关系为2
1125801800
p x x =+
-. （1）求月利润L 与产量x 的函数关系式()L x ；
（2）求月产量x 为何值时，月利润()L x 最大？最大月利润是多少？
17．（13分）第四届中国国际航空航天博览会于2010年11月在珠海举行，一次飞行表演中，一架直升飞机在海拔800m 的高度飞行，从空中A 处测出前下方海岛两侧海岸P 、Q 处的俯角分别是45°和30°（如右图所示）. （1）试运算那个海岛的宽度PQ .
（2）若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸P 、Q 处同时测得飞机的仰角为45和30，他们估量P 、Q 两处距离大约为600m ，由此试估算出观测者甲（在P 处）到飞机的直线距离.
18．（14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一直角梯形，其中
,BA AD CD AD ⊥⊥，2,CD AD AB PA ==⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．
（1）试用,,AD AP AB 表示BE ，并判定直线BE 与平面PAD 的位置关系； （2）若BE ⊥平面PCD ，求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值．
19．（14分）已知函数3221
()(2)3f x x ax a a x =-++，a R ∈.
（1）当2a =-时，求()f x 在闭区间[]1,1-上的最大值与最小值；
（2）若线段AB ：()2302y x x =+≤≤与导函数()y f x '=的图像只有一个交点，且交点在线段AB 的内部，试求a 的取值范畴．
20．（13分）过直角坐标平面xOy 中的抛物线()220y px p =>的焦点F 作一条倾斜角为4
π
的直线与抛物线相交于A 、B 两点.
（1）求直线AB 的方程；
（2）试用p 表示A 、B 之间的距离； （3）证明：AOB ∠的大小是与p 无关的定值. 参考公式：()()()222
22
24A A B
B A B A B A B x y x
y x x x x p x x p ??++=+++??
中山市高二级2010—2011学年度第一学期期末统一考试
数学试卷（理科）答案
一、选择题：DDAB DA C B
二、填空题：9. －79； 10. 22
188
y x -=； 11. －3； 12. 222a b r +=；
13. 14. 613t t ++?，61t +.
三、解答题：
15. 解：（1）由题可知，8252a a a =+， ……（1分） 即741112a q a q a q =+， ……（3分）
由于10a q ≠，化简得6321q q =+，即63210q q --=， ……（4分）
解得3
1q =或3
1
2
q =-. 因此1q =或q =. ……（6分）
（2）当1q =时，3191613,9,6S a S a S a ===.
易知396,,S S S 不能构成等差数列. ……（8分）
当q =即3
12
q =-时，31113(1)13(1)11221a q a a S q q q -==+=---，
931119(1)19[1()]11281a q a a S q q q -==--=---，62111
6(1)13[1()]11241a q a a S q q q
-==--=---.（11分）
易知3692S S S +=，因此396,,S S S 能构成等差数列. ……（13分）
16.解：（1）232
1111()(25)(1004)21100801800180080
L x px C x x x x x x x =-=+
--+=-++-，
其中0150x <≤. ……（4分） （2）221111
'()21(1512600)(120)(105)60040600600
L x x x x x x x =-
++=---=--+.…
（6分） 令'()0L x =，解得120x = （105x =-舍）. ……（7分）
当(0,120)x ∈时，'()0L x >；当(120,150]x ∈时，'()0L x <. ……（9分） 因此，当120x =时，()L x 取最大值. …（10分）
因此，月产量为120台时，月利润()L x 最大，最大月利润为(120)1640L =万元.…（13分）
x
z
y
17. 解：（1）在Rt ACP ?中，
tan PC
CAP AC
=∠， 则800tan45800PC =??=. ……（3分） 在Rt ACQ ?中，
tan QC
CAQ AC
=∠， 则800tan 608003QC =??= ……（5分） 因此，8003800PQ QC PC =-=（m ）. ……（6分）
（2）在APQ ?中，600PQ =，30AQP ∠=?，453015PAQ ∠=?-?=?. ……（7分） 依照正弦定理，得
600
sin30sin15PA =
??
， ……（9分） 则600sin30600sin30300(62)sin(4530)sin 45cos30cos45sin3062PA ??
=
==
=?-???-??
-.…（13分）
18. 解：设,AB a PA b ==，建立如图所示空间直角坐标系，
(0,0,0),(,0,0)A B a ，(0,0,)P b ,
(2,2,0),(0,2,0)C a a D a ，(,,)2b
E a a . ……（2分）
（1）(0,,)2b
BE a =，(0,2,0),(0,0,)AD a AP b ==，
因此11
22
BE AD AP =
+， ……（5分） BE ?平面PAD ，//BE ∴平面PAD . ……（7分）
（2）
BE ⊥平面PCD ，BE PC ∴⊥，即0BE PC ?=.
(2,2,)PC a a b =-，2
2
202b BE PC a ∴?=-=，即2b a =. ……（10分）
(0,2,2),(,2,0)PD a a BC a a =-=， ……（11分）
210cos ,225PD BC a a
<>=
=
?， 因此异面直线PD 与BC 10
. ……（14分）
19. 解：（1）当2a =-时，321
()23f x x x =+. ……（1分）
求导得2()4(4)f x x x x x '=+=+. ……（2分） 令()0f x '=，解得：4x =-或0x =． ……（3分）
列表如下： ……（6分）
因此，()f x 在闭区间[]1,1-上的最大值是
7
3
，最小值是0． ……（7分） （2）22()22y f x x ax a a '==-++. ……（8分） 联立方程组2222,
2 3.y x ax a a y x ?=-++?=+?
……（9分）
得()2221230.x a x a a -+++-= ……（10分）
设22()2(1)23g x x a x a a =-+++-，则方程()0g x =在区间()0,2内只有一根, 相当于(0)(2)0g g ?<，即()()
2223230,a a a a +-?--< ……（12分） 解得 31a -<<-或13a <<. ……（14分）
20.解：（1
）焦点(,0)2p F ，过抛物线焦点且倾斜角为4π的直线方程是2p
y x =-. …（3分）
（2）由222
y px
p y x ?=??=-
??22
304p x px ?-+
=23,4A B A B p x x p x x ?+==4A B AB x x p
p ?=++=. ……（8分）
（
3
）2
2
2
22
2222cos 2AO BO AB
x y x y x x y y AOB AO BO
+-+++----∠=
()2
241A B A B p p x x x x -++
=
=
=- ……（12分） ∴AOB ∠的大小是与p 无关的定值. ……（13分）
1题：教材《必修⑤》P76 预备题改编，考查一元二次不等式求解.
2题：教材《必修⑤》P67 2（2）改编，考查写数列通项公式.
3题：教材《选修1-1》P40 例4 改编，考查椭圆几何性质.
4题：教材《选修1-1》P98 第4题改编，考查利用导数研究函数性质.
5题：教材《必修⑤》P44 例2改编，考查等差数列性质及前n项和
6题：教材《必修⑤》P16 习题改编，考查利用余弦定明白得三角形
9题：教材《必修⑤》P38 例1（1）改编，考查等差数列通项公式
10题：教材《选修1-1》P54 A组第6题改编，考查双曲线方程与性质
11题：教材《必修⑤》P91 第1(1)题改编，考查线性规划问题
12题：教材《选修1-1》P12 第4题改编，考查充要条件.
13题：教材《选修1-1》P64 B组第2题改编，考查抛物线方程及性质
14题：教材《选修1-1》P74 导数概念的预备题改编，考查导数概念
15题：教材《必修⑤》P61 第6题改编，考查等差数列、等比数列的通项与前n项和. 16题：教材《选修1-1》P104 第6题改编，考查导数的应用.
17题：教材《必修⑤》P19 第4题改编，考查解三角形.