圆和圆的位置关系
教学目标 (一)教学知识点 1．了解圆与圆之间的几种位置关系． 2．了解两圆外切、内切与两圆圆心距 d、半径 R 和 r 的数量关系的联系． (二)能力训练要求 1．经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力． 2．通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动 手操作能力． (三)情感与价值观要求 1．通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数 学的严谨性以及数学结论的确定性． 2．经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思 维． 教学重点 探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距 d、半 径 R 和 r 的数量关系的联系． 教学难点 探索两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距 d、半径 R 和 r 的数量关系的过程． 教学方法 教师讲解与学生合作交流探索法 教具准备 投影片三张 第一张：(记作§3．6A) 第二张：(记作§3．6B) 第三张：(记作§3．6C) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在 圆外三种；还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交．它们的位 置关系都有三种． 今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是 也是三种呢？没有调查就没有发言权．下面我们就来进行有关探讨． Ⅱ．新课讲解 一、想一想 [师]大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢？ [生]如自行车的两个车轮间的位置关系；车轮轮胎的两个边界圆间的位置关 系；用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等． [师]很好，现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多．下面我们就来讨 论这些位置关系分别是什么． 二、探索圆和圆的位置关系 在一张透明纸上作一个⊙O． 再在另一张透明纸上作一个与⊙O1 半径不等的 ⊙O2．把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1 与⊙O2 有几种位置 关系？ [师]请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流． [生]我总结出共有五种位置关系，如下图：
[师]大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点 吗？从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑． [生]如图：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆 的外部； (2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的
外部； (3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有 的在另一个圆的内部； (4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2 上的点在⊙O1 的内部； (5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2 上的点都在⊙O1 的内部． [师]总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中 有相同类型吗？ [生]外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点；相交有两个公 共点． [师]因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种． 经过大家的讨论我们可知： 投影片(§3．6A) (1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考 虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．
?外离 (2)如果只从公共点的个数来考虑分三种： 相离、 相切、 相交， 并且相离 ? ， ?内含
?外切 相切 ? ?内切 ．
三、例题讲解 投影片(§3．6B) 两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示(点 O，O＇是圆心)，分 隔两个肥皂泡的肥皂膜 PQ 成一条直线，TP、NP 分别为两圆的切线，求∠TPN 的大小．
分析：因为两个圆大小相同，所以半径 OP＝O＇P＝OO＇，又 TP、NP 分 别为两圆的切线，所以 PT⊥OP，PN⊥O＇P，即∠OPT＝∠O＇PN＝90°，所
以∠TPN 等于 360°减去∠OPT＋∠O＇PN＋∠OPO＇即可． 解：∵OP＝OO＇＝PO＇， ∴△PO＇O 是一个等边三角形． ∴∠OPO＇＝60°． 又∵TP 与 NP 分别为两圆的切线， ∴∠TPO＝∠NPO＇＝90°． ∴∠TPN＝360°－2×90°－60°＝120°． 四、想一想 如图(1)，⊙O1 与⊙O2 外切，这个图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴 是什么？切点与对称轴有什么位置关系？如果⊙O1 与⊙O2 内切呢？〔如图(2)〕
[师]我们知道圆是轴对称图形，对称轴是任一直径所在的直线，两个圆是否 也组成一个轴对称图形呢？这就要看切点 T 是否在连接两个圆心的直线上， 下面 我们用反证法来证明．反证法的步骤有三步：第一步是假设结论不成立；第二步 是根据假设推出和已知条件或定理相矛盾的结论；第三步是证明假设错误，则原 来的结论成立． 证明：假设切点 T 不在 O1O2 上． 因为圆是轴对称图形，所以 T 关于 O1O2 的对称点 T＇也是两圆的公共点， 这与已知条件⊙O1 和⊙O2 相切矛盾，因此假设不成立． 则 T 在 O1O2 上． 由此可知图(1)是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线，切点与对称轴的位 置关系是切点在对称轴上． 在图(2)中应有同样的结论． 通过上面的讨论，我们可以得出结论：两圆相内切或外切时，两圆的连心线 一定经过切点，图(1)和图(2)都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线． 五、议一议
投影片(§3．6C) 设两圆的半径分别为 R 和 r． (1)当两圆外切时，两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d 与 R 和 r 具有怎样的 关系？反之当 d 与 R 和 r 满足这一关系时，这两个圆一定外切吗？ (2)当两圆内切时(R＞r)，圆心距 d 与 R 和 r 具有怎样的关系？反之，当 d 与 R 和 r 满足这一关系时，这两个圆一定内切吗？ [师]如图，请大家互相交流．
[生]在图(1)中，两圆相外切，切点是 A．因为切点 A 在连心线 O1O2 上，所 以 O1O2＝O1A＋O2A＝R＋r，即 d＝R＋r；反之，当 d＝R＋r 时，说明圆心距等 于两圆半径之和，O1、A、O2 在一条直线上，所以⊙O1 与⊙O2 只有一个交点 A， 即⊙O1 与⊙O2 外切． 在图(2)中，⊙O1 与⊙O2 相内切，切点是 B．因为切点 B 在连心线 O1O2 上， 所以 O1O2＝O1B－O2B，即 d＝R－r；反之，当 d＝R－r 时，圆心距等于两半径 之差，即 O1O2＝O1B－O2B，说明 O1、O2、B 在一条直线上，B 既在⊙O1 上，又 在⊙O2 上，所以⊙O1 与⊙O2 内切． [师]由此可知，当两圆相外切时，有 d＝R＋r，反过来，当 d＝R＋r 时，两 圆相外切，即两圆相外切 ? d＝R＋r． 当两圆相内切时，有 d＝R－r，反过来，当 d＝R－r 时，两圆相内切，即两 圆相内切 ? d＝R－r． Ⅲ．课堂练习 随堂练习 Ⅳ．课时小结 本节课学习了如下内容： 1．探索圆和圆的五种位置关系； 2．讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和
对称轴的位置关系； 3．探讨在两圆外切或内切时，圆心距 d 与 R 和 r 之间的关系． Ⅴ．课后作业 习题 3．9 Ⅵ．活动与探究 已知图中各圆两两相切，⊙O 的半径为 2R，⊙O1、⊙O2 的半径为 R，求⊙ O3 的半径．
分析：根据两圆相外切连心线的长为两半径之和，如果设⊙O3 的半径为 r， 则 O1O3＝O2O3＝R＋r， 连接 OO3 就有 OO3⊥O1O2， 所以 OO2O3 构成了直角三角 形，利用勾股定理可求得⊙O3 的半径 r． 解：连接 O2O3、OO3， ∴∠O2OO3＝90°，OO3＝2R－r， O2O3＝R＋r，OO2＝R． ∴(R＋r)2＝(2R－r)2＋R2． ∴r＝
2 R． 3
板书设计 §3．6 一、1．想一想 2．探索圆和圆的位置关系 3．例题讲解 4．想一想 5．议一议 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 圆和圆的位置关系