2018届广东省六校第三次联考
文科数学 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数())1ln(21
++=-=
x x
x f 的定义域为( ) A ．()∞+，2 B ．()()+∞-,22,1 C ．()2,1- D ．(]2,1- 2.如果复数i
bi
212+-（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )
A ．-6
B ．
32 C ．3
2
- D ．2 3.高考结束后，同学聚会上，某同学从《爱你一万年》，《非你莫属》，《两只老虎》，《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未选取的概率为( ) A ．
31 B ．21 C ．32 D ．6
5
4.圆()4222
=+-y x 关于直线x y 3
3
=
对称的圆的方程是( ) A ．()()
413
2
2
=-+-y x B ．()(
)
42
22
2=-+-y x
C. ()422
2=-+y x D ．()()
43
12
2
=-+-y x
5.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )
A ．2
B ．
29 C. 2
3
D ．3
6.已知()()θ-=θ-π+??
?
??θ+πsin cos 32sin ，则=θ+θθ2cos cos sin ( ) A ．
51 B ．52 C. 53 D ．5
5 7.实数y x 、满足??
?
?
?≥-+≤000
c y x y x ，且y x -的最大值不小于1，则实数c 的取值范围是( ) A ．1-≤c B ．1-≥c C.2-≤c D ．2-≥c 8.函数()x x x f cos =的导函数)('x f 在区间[]ππ-,上的图象大致是( )
A ．
B ．
C. D ．
9.三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC 且ABC PA ?=,2是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面，积为( ) A ．
3
4π
B ．π4 C.π8 D ．π20 10.自主招生联盟成行于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟，在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果：
①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟
③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟斯不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟
根据上述调查结果，下列结论错误的是( )
A ．没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生
B ．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多 C.报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟 D ．报考“京派”
联盟的考生也报考了“北约”联盟 11.设2016
2017
2017
2016
2017
1log ,log ,2016
===c b a ，则c b a ,,的大小关系为( )
A ．c b a >>
B ．b c a >> C. c a b >> D ．a b c >>
12.已知双曲线()0,01:22
22>>=-b a b
y a x E ，点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限
内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足FQ PF 3=，若b OP =，则E 的离心率为( )
A ．2
B ．3 C. 2 D ．5
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若向量,()
⊥-==,2,2，则向量与的夹角等于 ． 14.执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为 ．
15.已知函数()x f y =在点()()22f ，处的切线方程为12-=x y ，则函数())(2
x f x x g +=在
点()()22g ，处的切线方程为 ．
16.已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且3,5,4,2====DA CD BC AB ，则平面四边形ABCD 面积的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()
*∈-=N n n n S n ,22 (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设()()
,11222?????--+n n b n a a b n
()()()
*∈=-=N k k n k n 212，求数列{}n b 的前n 2项和n T 2. 18. 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ,D BC AB ,⊥为AC 的中点，
3,21===BC AB A A .
(1)求证：//1AB 平面D BC 1； (2)求四棱锥D C AA B 11-的体积
.
19.随着社会的发展，终身学习成为必要，工人知识要更新，学习培训必不可少，现某工厂有工人1000名，其中250名工人参加短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B 类工人），从该工厂的工人中共抽查了100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）得到A 类工人生产能力的茎叶图（左图），B 类工人生产能力的频率分布直方图（右图）
.
(1)问A 类、B 类工人各抽查了多少工人，并求出直方图中的x ；
(2)求A 类工人生产能力的中位数，并估计B 类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)若规定生产能力在[]150130
，内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面的22?
列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关.
能力与培训时间列联表
参考数据：
参考公式：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.
20. 已知动点M 到定点()0,1F 的距离比M 到定直线2-=x 的距离小1. (1)求点M 的轨迹C 的方程；
(2)过点F 任意作互相垂直的两条直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点B A ,和N K ,.设线段
KN AB ,的中点分别为Q P ,，求证：直线PQ 恒过一个定点.
21. 已知函数())1(ln 122+-++-=x x a x x x f （其中R a ∈,且a 为常数）. (1)若对于任意的()+∞∈,1x ，都有()0>x f 成立，求a 的取值范围；
(2)在(Ⅰ)的条件下，若方程()01=++a x f 在(]2,0∈x 上有且只有一个实根，求a 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为t t
y t x (54
2532??
??
?+-=-为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θ=θρtan cos . (1) 求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
(2) 若1C 与2C 交于B A ,两点，点P 的极坐标为??
?
?
?
π-422，，求
PB PA 11+的值. 23.选修4-5：不等式选讲
设函数()()0122>++-=a x a x x f ，()2+=x x g . (Ⅰ)当1=a 时，求不等式()()x g x f ≤的解集； (Ⅱ)若()()x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
2018 届广东省六校第三次联考 文科数学参考答案与评分标准
一、选择题
1-5: CCBDD 6-10:CAACD 11、12：AB 二、填空题 13.
4
π
14. 30 15. 056=--y x 16.302 三、解答题
17.解：(1)当2≥n 时，()()[]
n n n n n S S a n n n 22112222
2
1-=-----=-=-
()21≥-=n n a n ，
当1=n 时，由21112-=S 得01=a ， 显然当1=n 时上式也适合， ∴n a n -=1 (2)∵
()()()2
1
1221122+-
=+=--+n n n n a a n n ， ∴()()n n n b b b b b b T 24212312+++++++=-
()
????????? ??+-++??
? ??-+??? ??-++++=--22121
614141212222220n n n
221214
11411+-+-?
??
??-n n
2
21
4134611+-
??? ???-=n n
.
18.
解：(1)证明：连接C B 1，设C B 1与1BC 相较于点O ，连接OD ， ∵四边形11B BCC 是平行四边形，∴点O 为C B 1的中点. ∵D 为AC 的中点，∴OD 为C AB 1?的中位线， ∴1//AB OD .
∵?OD 平面D BC 1，?1AB 平面D BC 1, ∴//1AB 平面D BC 1.
(2)解法1:∵⊥1AA 平面?1,AA ABC 平面C C AA 11，
∴平面⊥ABC 平面C C AA 11，且平面 ABC 平面AC C C AA =11. 作AC BE ⊥,垂足为E ，则⊥BE 平面C C AA 11， ∵3,21===BC BB AB , 在ABC Rt ?中，139422=+=+=
BC AB AC ,13
6
=?=
AC BC AB BE ,
∴四棱锥D C AA B 11-的体积()BE AA AD C A V ??+?=
1112
1
31 313
62132361=???=. ∴四棱锥D C AA B 11-的体积为3.
解法2：⊥1AA 平面?AB ABC ,平面ABC ,∴AB AA ⊥1. ∵11//AA BB ,∴AB BB ⊥1. ∵D B BB BC BC AB =⊥1, , ∴⊥AB 平面C C BB 11.
取BC 的中点E ,连接DE ,则AB DE AB DE 2
1
,//=,∴⊥DE 平面C C BB 11. 三棱柱111C B A ABC -的体积为62
1
1=???=AA BC AB V , 则
23
1
2131,16121311111111111==????===????=--V B A BB C B V V DE CC BC V C BB A BCC D .
而D C AA B C BB A BCC D V V V V 111111---++=, ∴D C AA B V 11216-++=. ∴311=-D C AA B V . ∴四棱锥D C AA B 11-的体积为3.
19.解：（1）由茎叶图知A 类工人中抽查人数为25名, ∴B 类工人中应抽查7525100=-名.
由频率分布直方图得()1=10x)+0.048+0.02+0.008?，得024.0=x . (2)由茎叶图知A 类工人生产能力的中位数为 122
由(1)及频率分布直方图，估计B 类工人生产能力的平均数为
133.8100.024********.013510020.012510008.0115=??=??+??+??=θ
(3)由(1)及所给数据得能力与培训的22?列联表，
由上表得()828.10733.1262
3875257501006238752554172181002
2>≈????=????-??=
k 因此,可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关. 20.解：(1)由题意可知：动点M 到定点()0,1F 的距离等于M 到定直线1-=x 的距离，根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹C 是抛物线. ∵2=p ，∴ 抛物线方程为：x y 42=
(2)设B A ,两点坐标分别为()()2211,,,y x y x ，则点P 的坐标为???
??++2,2
2121y y x x .
由题意可设直线1l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，
由()
???-==142x k y x
y 得0)42(2222=++-k x k x k . ()
01616442242
2>+=-+=?k k k .
因为直线1l 与曲线C 于B A ,两点，所以()k
x x k y y k x x 4
2,422
121221=-+=++=+， 所以点P 的坐标为??
? ??
+
k k 2,212
. 由题知，直线2l 的斜率为k
1-
，同理可得点Q 的坐标为()
k k 2,212
-+. 当1±≠k 时，有222121k k +≠+，此时直线PQ 的斜率2
221212122k k k k
k
k k PQ -=--++=. 所以，直线PQ 的方程为()
2
2
2112k x k
k k y ---=+， 整理得()032
=--+y k x yk .
于是，直线PQ 恒过定点()0,3E ；
当1±=k 时，直线PQ 的方程为3=x ，也过点()0,3E .
综上所述，直线PQ 恒过定点()0,3E . 21.解(1)()()x
a x x x
a x x f --=
-+-=21)11()1(2)('
当2≤a 时，∵0)('>x f 对于()+∞∈,1x 恒成立，∴)(x f 在()∞+，1上单调递增 ∴()0)1(=>f x f ，此时命题成立； 当2>a 时，∵)(x f 在???
??21a ，上单调递减,在??
?
??+∞,2a 上单调递增， ∴当??
?
??∈2,
1a x 时，有0)1()(= (2)依题意(]2,∞-∈a ，设1)()(++=a x f x g . 原题即为若)(x g 在(]20， 上有且只有一个零点,求a 的取值范围. 显然函数()x g 与()x f 的单调性是一致的. ①当0≤a 时,因为函数)(x g 在区间()10，上递减，(]21，上递增， 所以()x g 在(]20， 上的最小值为1)1(+=a g ， 由于0111122 22>+-??? ??-=??? ??e a e e g ，要使()x g 在(]20， 上有且只有一个零点, 需满足()01=g 或()02 ln 2 - 上单调递增，0 且() 02ln 22)2(,024 148 4 >+=<--= -g e e e g ， 所以此时()x g 在(]20， 上有且只有一个零点； ③当20< 20a ，上单调递增,在?? ? ??1,2a 上单调递减,在 (]21， 上单调递增, 又因为()011>+=a g ，所以当?? ? ??∈2,2a x 时，总有()0>x g ， ∵2122+<<+a e a a ∴022ln )2(2 2222222 ? ??+++??????+-=???? ??++++a e a a e e e g a a a a a a a a ， 所以()x g 在??? ?? 20a ，上必有零点,又因为()x g 在?? ? ??20a ，上单调递增, 从而当20< ln 2 -