地球物理反演理论
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地球物理反演理论
一、解释下列概念
1.分辨矩阵
数据分辨矩阵描述了使用估计的模型参数得到的数据预测值与数据观测值的拟合程度,可以表示为[][]pre est g obs g obs obs d Gm G G d GG d Nd --====,其中，方阵g N GG -=称为数据分辨矩阵。它不是数据的函数, 而仅仅是数据核G(它体现了模型及实验的几何特征)以及对问题所施加的任何先验信息的函数。
模型分辨矩阵是数据核和对问题所附加的先验信息的函数，与数据的真实值无关，可以表示为()()est g obs g true g ture ture m G d G Gm G G m Rm ---====，其中R 称为模型分辨矩阵。
２．协方差
模型参数的协方差取决于数据的协方差以及由数据误差映射成模型参数误差的方式。其映射只是数据核和其广义逆的函数， 而与数据本身无关。 在地球物理反演问题中,许多问题属于混定形式。在这种情况下，既要保证模型参数的高分辨率, 又要得到很小的模型协方差是不可能的,两者不可兼得,只
有采取折衷的办法。可以通过选择一个使分辨率展布与方差大小加权之和取极小的广义逆来研究这一问题：
()(1)(cov )u aspread R size m α+-
如果令加权参数α接近1,那么广义逆的模型分辨矩阵将具有很小的展布,但是模型参数将具有很大的方差。而如果令α接近0,那么模型参数将具有相对较小的方差， 但是其分辨率将具有很大的展布。
3.适定与不适定问题
适定问题是指满足下列三个要求的问题：①解是存在的；②解是惟一的；③解连续依赖于定解条件。这三个要求中,只要有一个不满足，则称之为不适定问题
4．正则化
用一组与原不适定问题相“邻近”的适定问题的解去逼近原问题的解,这种方法称为正则化方法。对于方程c Gm d =,若其是不稳定的,则可以表述为()T T c G G I m G d α+=，其中α称为正则参数,其正则解为1()T T c m G G I G d α-=+。这种方法叫做正则化方法。
5.多解性
由于观测数据并非无限,以及观测数据具有误差，使解具有多解性。
6.稳定性
反演问题就是从数据空间到模型空间的映射问题,如果数据空间有一个小范围的变化，相应于模型空间存在一个大范围的变化,则成这种映射或反演是不稳定的。实践证明,地球物理学中的反演问题都是不稳定的，只是严重程度不同罢了。
二、从最速下降法、共轭梯度法、牛顿法、Ｌ－ｂfg ｓ方法、阻尼最小二乘法和广义逆等地球物理反演方法中选取不少于4种方法,简述各自的特点和适用性。
1．最速下降法有称梯度法，就是从一个初始模型出发,沿负梯度方向搜索目标函数极小点的一种最优化方法，在用该方法进行反演时,一是要有一个出发点——初始模型,初始模型越选在极小点附近,反演越容易成功和收敛；二是要沿一个正确的方向——负梯度方向;三是要一个合适的步长,步长不能太小，也不能太大，太小反演收敛的速度降低，太大使反演不稳定，甚至不会收敛。一般来说，从任意初始模型出发进行搜索,最速下降法均会收敛,开始（远离极小点处）收敛速度快，往后越接近极小点处收敛越慢，尤其是在极小点附近，收敛很慢。此时，要向真正的极小点前进一点,都需要经过多次迭代。
2.共轭梯度法:采用共轭方向去搜索极小点,必须在第一步搜索时取最速下降方向,否则就不能在有限的迭代中达到极小点。共轭梯度法正是基于这种思想对函数极小点进行逐步探测的。共轭梯度法的基本思想是把共轭性与最速下降方法相结合,利用已知点处的梯度构造一组共轭方向，沿着这组方向而不是负梯度方向去搜索目标函数极小点，根据共轭方向的性质，共轭梯度法具有二次终止性。理论上对于二次正定函数共轭梯度法经有限步迭代必达到极小点。但对于一般函数,尤其是通过泰勒级数展开后得到近似二次型函数,通过有限次迭代不一定能达到极小点。
３．牛顿法和前面的最速下降法都是非约束反演法，即在反演迭代过程中不加任何先验信息对质进行约束。牛顿法不仅利用了梯度,而且利用了目标函数的
曲率，即二阶偏导数,在极小点附近收敛比最速下降法要快。该方法的不足之处在于，计算时间长,且当初始模型远离全局极小时,收敛速度很慢。因而,在实际应用中,最速下降法和下面的牛顿法相互配合，取长补短，以达到既能保证收敛又能加速迭代速度的目的。
4.阻尼最小二乘算法:用最小二乘法进行迭代时,校正向量的步长较大,若初始值选择合适，能很快收敛,但其收敛性很不稳定,若初始值选择不合适,易于发散。最速下降法则相反,它沿最速下降方向搜索,可以保证收敛,但步长太小,收敛很慢。阻尼最小二乘法是在两种方法之间取某种折衷,力图以最大的步长,同时又靠近最速下降方向,以保证稳定收敛,并加快收敛速度。这种方法又称马奎特法。
三、推导建立共轭梯度法及预条件共轭梯度方法反演的公式，讨论其收敛性。
推导:设(0)b 为任意给定的初始点，在(0)b 处我们取()b Φ的梯度(0)g ,即第一次搜索向量
(0)(0)p g =-
再从(0)b 出发,沿(0)p 方向找出()x Φ的极小点
(1)(0)(0)(0)b b t p =+
设()b Φ在(1)b 处的梯度为(1)g ,显然有(1)(0)0T
g g =。利用(1)g 和(0)p 构造第二次搜索方向
(1)(1)(0)0p g p β=-+ （1) 这里要求(1)p 与(0)p 是关于Q 共轭的，即(1)(0)0T
p Qp =，用(0)Qp 右乘(1）转置后的两边得 (1)(0)(1)(0)(0)(0)00T T T
p Qp g Qp p Qp β=-+= （2）
则有 (1)(0)
0(0)(0)T T g Qp p Qp β= (3)
从()k p 点出发，沿()k p 方向找出()b Φ的极小点
(1)()()()k k k k b b t p +=+
进一步取(1)k p +为
(1)(1)()k k k k p g p β++=-+ (4）
当
(1)()
()()T T k k k k k g Qp p Qp β+= (0,2,,1)k n =- (５）
时，即构造出n 个共轭向量(0)p 、(1)p 、…、(1)n p -。可以证明，对Q 为正定的极小问题,有
2(1)(1)(1)22()()()2T
T k k k k k k k g g g
g g g
β+++== （６)
()()
()()()T T k k k k k g g t p Qp = (7)
共轭梯度法的计算步骤：
（1）给定初始点(0)p ，允许误差0ε>,令ｋ＝0;
（2)计算()k g ,若()
2k g ε<,则停止计算，得点*()k b b =，否则进行下一步；
(３)构造搜索方向，令
()()(1)1k k k k p g p β--=-+
其中,当k=１时,10k β-=,0k ββ=，当0k >时,有
2(1)
2
2()
2k k k g g β+=
(４) (1)()()()k k k k b b t p +=+,求出步长
2()()2()()T k k k k g t p Qp =
并确定新点(1)k b +，返回第(2）步。 特点：采用共轭方向去搜索极小点， 必须在第一步搜索时取最速下降方向，否则就不能在有限的迭代中达到极小点。共轭梯度法正是基于这种思想对函数极小点进行逐步探测的。每次迭代的共轭方向()k p 通常不是预先给定的, 而是在迭代过程中逐步确定产生的。
共轭梯度法的基本思想是把共轭性与最速下降方法相结合,利用已知点处的梯度构造一组共轭方向，沿着这组方向而不是负梯度方向去搜索目标函数极小点，根据共轭方向的性质,共轭梯度法具有二次终止性。
四、简述遗传算法或模拟退火反演的基本原理。
遗传算法基于生物系统的自然选择原理和自然遗传机制。它模拟自然界中的生命进化过程,在人工系统中解决复杂的、特定目标的非线性反演问题。
遗传算法从随机选择的一组模型群体开始。通过“选择”、“交换”和“变异”三个基本步骤组成的转移过程,得到新的模型群体(其中的许多成员可能与上一代群体中的成员相同)；简单地重复这一过程直至模型群体变得“一致”为止。所谓群体“一致”，意即群体目标函数(或后验概率)的方差或标准偏差很小,或者群体目标函数(或后验概率)的均值接近于群体中目标函数(或后验概率)的最大值。具体的过程如下：
(1）参数编码。通常遗传算法对模型参数的二进制编码进行工作，所以遗传算法的首要步骤是对模型参数进行二进制编码。
(2）初始模型群体的产生。初始模型群体是随机产生的。显然,初始模型群体中的个体在模型空间中分布得越均匀越好,最好是模型空间中的各代表区域中均有成员。
（3)选择。选择是产生新的模型群体的过程中的第一步。它从群体中挑选模
型配成对(亲本)以进行交换。
（4)交换。交换是遗传算法的“繁殖”过程,是遗传算法的内在力。
(5）变异。变异是对偶然的(按较低的变异概率随机选择的)后代中的一个或多个随机选择的基因作随机摄动。
(6)更新。经过“交换”和“变异”，产生出新的子本模型。
（7）收敛。模型群体经过多次选择、交换和变异之后,群体大小不变，但群体的平均目标函数（或后验概率）值逐渐变大（若反演问题是求极大值对应的解)，直至最后都聚集在模型空间中一个小范围内为止。
六、以地震勘探为例,任选取一种反演算法简述层析成像的基本意义和计算过程。
地震层析成像（seiｓｍic tomogｒａphy）是指利用大量地震观测数据反演研究区域三维结构的一种方法，是典型的地球物理反演问题。层析成像技术能以图像的方式直观清晰地显示地下物质结构的属性,所以这种方法一产生就受到了极大关注,被广泛应用于内部地球物理和地球动力学、能源勘探开发、工程和灾害地质、金属矿勘探等领域。
地震层析成像反演方法可以分为两类：第一类是基于算子的线性或拟线性反演方法;另一类是基于模型的完全非线性反演方法，又称为“随机反演方法”。
以井间地震初至波走时层析成像为例,初至波旅行时层析成像最终归结为求解层析方程组，一般该方程组是对于每个网格慢度的一个大型、稀疏的非线性方程组。解决此问题的关键是将非线性问题线性化。因此，首先给定步长将模型离散化,也就是网格剖分,一般分成三角形网格、正方形网格、或者长方形网格,每个网格又叫一个像素,然后给定初始像素的慢度,依据线性插值计算每条射线的初至波旅行时和射线的传播路径，把求出的射线初至波旅行时与观测的初至波旅行时作差来反演每个像素慢度的修正量,依据结果再修改模型,重复以上过程，
直至理论初至走时与实际拾取初至走时的误差达到误差限,最后获得的慢度便是层析反演的成果。
七、（选作)简述地震全波形反演的基本原理。
全波形反演方法利用叠前地震波场的运动学和动力学信息重建地层结构,具有揭示复杂地质背景下构造与储层物性的潜力。在地震资料处理中，全波形反演的目标是利用野外采集所得地震记录的振幅、相位等信息恢复得到地下介质的物性参数模型。全波形反演理论的实现是利用一种非线性优化算法将初始模
型对应的理论地震波场与采集得到的观测地震波场之差所表示的目标函数极小化，从而不断更新速度模型，最终获得精确的地下介质速度分布情况。因此，该方法主要包括三个部分:首先,基于已知的初始速度模型，通过波动方程正演模拟获得理论地震波场；其次,基于理论地震波场与观测地震波场之间的波场残差，构建目标函数;最后,选择一种优化算法对该反问题进行求解。这些因素共同决定了全波形反演的精度、稳定性和收敛性等,因此，选择合适的正演模拟算法、目标函数类型以及最优化算法对全波形反演的应用至关重要。