关于应力应变状态问题（含组合变形） 2009年10月29日星期四 应力应变状态重点公式： 基本公式：ατασσσσσα2sin 2cos 22 xy y x y x --+ += ατασσσσσα2sin 2cos 2 2 90xy y x y x +-- += +ο ατασστα2cos 2sin 2 xy y x +-= y x xy σστα-- =22tan ()2 2 max 4212 xy y x y x τσσσσσ+-++= ()22 min 42 12 xy y x y x τσσ σσσ+-- += 应力圆的绘制及其应用：①、强调单元体的面与应力圆上的点一一对应关系。即：点面 对应，转向相同，转角两倍。②、确定任意斜截面上的应力；②、确定主应力的大小和方向；③、三向应力圆的绘制及其应用。 广义胡可定律及其公式： (){}z y x x E σσμσε+-=1 G xy xy τγ= (){}x z y y E σσμσε+-=1 G yz yz τγ= (){}y x z z E σσμσε+-= 1 G zx zx τγ= (){}32111 σσμσε+-= E ；(){}13221σσμσε+-=E ；(){}21331σσμσε+-=E 习题：P255 7.7、7.9、7.10、7.12、7.14、7.19、7.26、7.27、7.28、7.37、
四种常用强度理论： 最大拉应力理论（第一强度理论）[]σσ≤1 最大伸长线应变理论（第二强度理论）()[]σσσμσ≤+-321 最大切应力理论（第三强度理论）[]σσσ≤-31 畸变能密度理论（第四强度理论） ()()()[] []σσσσσσσ≤-+-+-2132322212 1 01、十、图示为一平面应力状态下的单元体。试证明任意互相垂直截面上的正应力之和为常数。即：ο90++=+αασσσσy x 或min max σσσσ+=+y x 。（7分）（2009吉大） 02、4、已知平面应力状态如图（应力单位MPa ），试计算主应力大小及方位，在图上标出主应力方位。（15分）（2009北工大） 题二.4图 03、5、已知铸铁构件上危险点的应力状态如图3-5所示。若铸铁拉伸许用应力[σ]+= 30MPa ，试校核该点处的强度。（15分）（2008华南理工）
在ABAQUS 中对应力的部分理解 1、三维空间中任一点应力有6个分量yz xz xy z y ,,,σσσσσσ，，x ，在ABAQUS 中分别对应S11，S22，S33，S12，S13，S23。 2、一般情况下，通过该点的任意截面上有正应力及其剪应力作用。但有一些特殊截面，在这些截面上仅有正应力作用，而无剪应力作用。称这些无剪应力作用的面为主截面，其上的正应力为主应力，主截面的法线叫主轴，主截面为互相正交。主应力分别以321,,σσσ表示，按代数值排列（有正负号）为321σσσ≥≥。其中321,,σσσ在ABAQUS 中分别对应Max. Principal 、Mid. Principal 、Min. Principal ，这三个量在任何坐标系统下都是不变量。 可利用最大主应力判断一些情况：比如混凝土的开裂，若最大主应力（拉应力）大于混凝土的抗拉强度，则认为混凝土开裂，同时通过显示最大主应力的法线方向，可以大致表示出裂缝的开裂方向等。 利用最小主应力，可以查看实体中残余压应力的大小等。 3、弹塑性材料的屈服准则 3.1、Mises 屈服准则 22 13232 2 212)()()(S σ σσσσ σσ=-+-+- 其中s σ为材料的初始屈服应力。 在三维空间中屈服面为椭圆柱面；在二维空间中屈服面为椭圆。 Mises 等效应力的定义为：(牵扯到张量知识) 其中 S 为偏应力张量，其表达式为 其中为应力， I 为单位矩阵，p 为等效压应力（定义如下）： , 也就是我们常见的 )(31z y x p σσ σ ++= 。 还可以具体表达为： 其中 , , 为偏应力张量（反应塑 性变形形状的变化）。 q 在ABAQUS 中对应 Mises ，它有6个分量（随坐标定义的不同而变化）S11，S22，S33，S12，S13，S23 3.2、Trasca 屈服准则 主应力间的最大差值=2k
1.局部应力应变分析法、名义应力疲劳设计法、疲劳可靠性设计法、损伤容限设计法 2.磨损、腐蚀、断裂 3.交变应力水平低、脆性断裂、损伤积累过程、断口在宏观和微观上有特征 4.表面应力水平比内部高、表面晶体束缚少，易发生滑移、表面易发生环境介质腐蚀、表面的加工痕迹或划痕会降低零件疲劳强度 5.材料在循环应力、应变作用下，某点或某些点发生局部永久性结构变形，在经过一定循环次数后产生裂纹或发生断裂的过程。 6.外加应力水平和标准试样疲劳寿命之间关系的曲线 7.疲劳寿命无穷大时的中值疲劳强度 8.在各级应力水平下的疲劳寿命分布曲线上可靠度相等的点连成曲线就能得到给定可靠度的一组SN曲线 9.理论应力:局部应力与名义应力的比值Kt=6t/6n 10.在应力集中和终加工相同的情况下，尺寸为d的零件的极限寿命与标准直径试样的极限寿命的比值 11.史密斯图、海夫图、等寿命图（相同寿命时在不同应力下的疲劳极限间关系的线图） 12.线性积累损伤理论： 13.载荷随时间变化的历程应力随时间变化的历程 14.零件的疲劳破损都是从应变集中部位最大局部应变处开始的 裂纹萌生以前，一般都会产生塑性变形 塑性变形是裂纹萌生和扩展的先决条件 零件的疲劳强度和寿命由应变集中部位的最大局部应力应变决定 15参数应力（名义应力）应变（局部应变） 特征应力疲劳应变疲劳 范围104-105-5*106 103-104-105 寿命总寿命裂纹形成寿命 曲线SN曲线古德曼曲线EN曲线，循环应力应变曲线 变形弹性变形应力应变成正比塑性变形较大 16真实应力 17材料在循环载荷作用下的应力应变响应循环应力应变曲线 18循环硬化：应力幅6a为常数，应变幅Ea随着循环次数增加而减少，最后趋于稳定 循环软化：应变幅Ea为常数，应力幅6a随着循环次数增加而逐渐减少 19.漫森四点：应变寿命曲线的弹性线上取2点，塑性线上取2点，通用斜率法 20.雨流法：Y方向为时间，X方向为应力大小 21.在循环加载作用下应力应变响应称为循环应力应变曲线 在循环加载作用下应力应变轨迹线称为应力应变迟滞回线 件加载拉伸到A卸载到O加载压缩到B加载拉伸到C（与A重合）形成的环线 22.损伤容限设计：以断裂力学理论为基础 以无损检测技术和断裂韧性与疲劳裂纹扩展速率的测定技术为手段 以有初始缺陷的寿命估算为中心 以断裂控制为保障 确保零件在使用期内能够安全使用的一种疲劳计算方法 23.应力强度因子：K是度量裂纹端部应力场强弱程度的一个参数 24.断裂韧度：应力强度因子的临界值，发生脆断时的应力强度因子。 25.性能、可靠性（规定条件规定时间完成规定功能）、维修性指标（规定条件时间程序方法恢复到规定状态） 26.广义可靠性=狭义可靠性（不可维修产品的可靠性）+可维修性 27.故障和失效（产品不能完成其规定功能的状态） 28.可靠度（规定条件时间完成规定功能的概率）
ABAQUS 中定义真实应力和真实应变 在ABAQUS 中必须用真实应力和真实应变定义塑性.ABAQUS 需要这些值并对应地在输入文件中解释这些数据。 然而，大多数实验数据常常是用名义应力和名义应变值给出的。这时，必须应用公式将塑性材料的名义应力（变）转为真实应力（变）。 考虑塑性变形的不可压缩性，真实应力与名义应力间的关系为： 00l A lA =， 当前面积与原始面积的关系为： 00l A A l = 将A 的定义代入到真实应力的定义式中，得到： 00 ()nom F F l l A A l l σσ=== 其中0 l l 也可以写为1nom ε+。 这样就给出了真实应力和名义应力、名义应变之间的关系： (1)nom nom σσε=+ 真实应变和名义应变间的关系很少用到，名义应变推导如下： 0001nom l l l l l ε-= =- 上式各加1，然后求自然对数，就得到了二者的关系： ln(1)nom εε=+ ABAQUS 中的*PLASTIC 选项定义了大部分金属的后屈服特性。ABAQUS 用连接给定数据点的一系列直线来逼近材料光滑的应力－应变曲线。可以用任意多的数据点来逼近实际的材料性质;所以，有可能非常逼真地模拟材料的真实性质。在*PLASTIC 选项中的数据将材料的真实屈服应力定义为真实塑性应变的函数。选项的第一个数据定义材料的初始屈服应力，因此，塑性应变值应该为零。 在用来定义塑性性能的材料实验数据中，提供的应变不仅包含材料的塑性应变，而是包括材料的总体应变。所以必须将总体应变分解为弹性和塑性应变分量。弹性应变等于真实应力与杨氏模量的比值，从总体应变中减去弹性应变，就得到了塑性应变，其关系为： /pl t el t E ε εεεσ=-=- 其中pl ε是真实塑性应变，t ε是总体真实应变，el ε是真实弹性应变。
一、应力与应变 1、应力 在连续介质力学里，应力定义为单位面积所承受的作用力。 通常的术语“应力”实际上是一个叫做“应力张量” (stress tensor)的二阶张量。 概略地说，应力描述了连续介质内部之间通过力（而且是通过近距离接触作用力）进行相互作用的强度。 具体说，如果我们把连续介质用一张假想的光滑曲面把它一分为二，那么被分开的这两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。 很显然，即使在保持连续介质的物理状态不变的前提下，这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同，所以，必须用一个不依赖于假想曲面的物理量来描述连续介质内部的相互作用的状态。 对于连续介质来说，担当此任的就是应力张量，简称为应力。 2、应变 应变在力学中定义为一微小材料元素承受应力时所产生的单位长度变形量。因此是一个无量纲的物理量。 在直杆模型中，除了长度方向由长度改变量除以原长而得“线形变”，另外，还定义了压缩时以截面边长（或直径）改变量除以原边长（或直径）而得的“横向应变”。 对大多数材料，横向应变的绝对值约为线应变的绝对值的三分之一至四分之一，二者之比的绝对值称作“泊松系数”。 3、本构关系 应力与应变的关系我们叫本构关系（物理方程）。E σε=（应力=弹性模量*应变） 4、许用应力（allowable stress ） 机械设计或工程结构设计中允许零件或构件承受的最大应力值。要判定零件或构件受载后的工作应力过高或过低，需要预先确定一个衡量的标准，这个标准就是许用应力。 凡是零件或构件中的工作应力不超过许用应力时，这个零件或构件在运转中是安全的，否则就是不安全的。 许用应力等于考虑各种影响因素后经适当修正的材料的失效应力除以安全系数。 失效应力为：静强度设计中用屈服极限（yield limit ）或强度极限（strength limit ）；疲劳强度设计中用疲劳极限（fatigue limit ）。 5、许用应力、失效应力及安全系数之间关系 塑性材料（大多数结构钢和铝合金）以屈服极限为基准，除以安全系数后得许用应力，即[]()/ 1.5~2.5s n n σσ==。（许用应力=屈服极限/安全系数） 脆性材料（铸铁和高强钢）以强度极限为基准，除以安全系数后得许用应力， 即[]()/2~5b n n σσ==。（许用应力=强度极限/安全系数） 表3机床静力学分析结果总结
在 ABAQUS 中必须用真实应力和真实应变定义塑性.ABAQUS 需要这些值并对应地在 输入文件中解释这些数据。 然而，大多数实验数据常常是用名义应力和名义应变值给出的。这时，必须应用公式将 塑性材料的名义应力（变）转为真实应力（变）。 考虑塑性变形的不可压缩性，真实应力与名义应力间的关系为： l A = lA ， 当前面积与原始面积的关系为： A = A 0 l 0 将A 的定义代入到真实应力的定义式中，得到： F = A 其中 也可以写为1+ nom 。 l 0 这样就给出了真实应力和名义应力、名义应变之间的关系： =nom (1+nom ) 真实应变和名义应变间的关系很少用到，名义应变推导如下： 上式各加 1，然后求自然对数，就得到了二者的关系： =ln （1+nom ） ABAQUS 中的*PLASTIC 选项定义了大部分金属的后屈服特性。ABAQUS 用连接给定 数据点的一系列直线来逼近材料光滑的应力－应变曲线。可以用任意多的数据点来逼近实际 的材料性质;所以，有可能非常逼真地模拟材料的真实性质。在*PLASTIC 选项中的数据将 材料的真实屈服应力定义为真实塑性应变的函数。选项的第一个数据定义材料的初始屈服应 力，因此，塑性应变值应该为零。 在用来定义塑性性能的材料实验数据中，提供的应变不仅包含材料的塑性应变，而是包 括材料的总体应变。所以必须将总体应变分解为弹性和塑性应变分量。弹性应变等于真实应 力与杨氏模量的比值，从总体应变中减去弹性应变，就得到了塑性应变，其关系为： pl = t -el =t -/E 其中pl 是真实塑性应变，t 是总体真实应变，el 是真实弹性应变。 Fl A l 0 nom l - l 0 l l 0l 0
天然气管道穿孔局部应力应变分析 发表时间：2020-03-24T09:49:13.023Z 来源：《文化时代》2020年1期作者：张益 [导读] 本文主要以X70天然气管道为研究对象，针对穿孔管道的局部力学特性进行分析，通过模拟针对穿孔管道的局部等效应力和塑性应变分布状况进行分析。 中国石油天然气管道公司中原输油气分公司山东省德州市 253000 摘要：本文主要以X70天然气管道为研究对象，针对穿孔管道的局部力学特性进行分析，通过模拟针对穿孔管道的局部等效应力和塑性应变分布状况进行分析。 关键词：天然气管道；穿孔；局部应力；应变 引言 天然气是一种高效的清洁能源，目前在生产生活中的应用非常广泛，而管道运输是天然气输送的主要方式，这种推广方式具有安全、高效的特征。天然气管道在长期运行过程中不可避免的会受到腐蚀作用影响，腐蚀深度不断增加会最终导致天然气管道出现穿孔现象，进而引发天然气泄漏，造成不可挽回的后果。 1 天然气管道穿孔模型 1.1穿孔实验模型 天然气管道在出现腐蚀现象后，随着时间的不断推移，发生腐蚀的位置会逐渐扩散，最终会形成穿孔。本次实验中选择的天然气穿孔管道内壁直径达到20mm，外壁直径为6mm[1]。 1.2穿孔有限元模型 以上述天然气穿孔管道模型为基础，充分利用Solid185单元来建立起从内向外以及从外向内两种穿孔管道模型，将管道利用自由网格进行划分，并针对发生穿孔位置附近的管道进行网格加密，并在此基础上对网格质量进行多次性的改善。 1.3材料模型 本次研究中主要选取了X70管线钢天然气管道为模型，这种天然气管道材质本身的弹性模量达到了210Gpa，柏松比达到0.3。该管材具备了一定的连续屈服特征，而且没有明显的屈服平台，针对建立模型进行多线推动强化，以此来描述管道本身的弹塑性[2]。 2 内压对最大应力-应变的影响最大 2.1 应力-应变随内压变化分析 为了能够针对天然气管道穿孔在不同的压力状况下局部位置的应力以及应变分布状况进行全面分析。针对天然气管道内壁施加了一个压力为25.0MPa的内压，与此同时设置了50个子部，也就是说，每一个子部增加表示内压升高了0.5MPa，针对每一个子部的最终计算结果进行详细统计之后就能够最终得出不同压力状况下天然气管道的应力-应变分布状况。在针对天然气管道穿孔局部最大等效应力、塑性应变变化趋势进行分析，为了能够对其变化状况进行更加清晰的展示，以16.0MPa为基点将所有应变数据划分成两组，并分别绘制曲线。 针对最终绘制出的曲线进行分析后可以知道，在最大等效应力、塑性应变变化方面内外穿孔相似度非常高，当内压上升到5.0MPa的情况下，最大应力增长趋势趋于缓慢。而与穿孔位置距离较远的位置开始出现塑性应变时，内压达到了16.0MPa，而此时，天然气管道发生穿孔的位置，最大应力、应变增长速度开始明显变大。 之所以出现这种现象是因为只有穿孔位置周围的天然气管道进入了塑性区，其他部分天然气管道管壁仍然处在弹性阶段，而天然气管道的弹性性能对塑性区塑性流动会产生一定的限制作用，导致塑性区实际产生的应变并不明显，而随着整个管道大部分位置进入塑性区之后，穿孔位置附近实际产生的塑性流动受到了限制作用也逐渐减小，在此基础上使得应变出现了明显增加现象。 随着内压的进一步增加，达到19.5MPa的时候，穿孔位置的最大应力达到了极限强度，因此开始逐渐趋于稳定。内压进一步增长到20.0MPa的情况下，内外穿孔位置附近最大塑性硬件呈现出指数倍的增长，在这种情况下天然气管道非常容易出现开裂现象。而管道穿孔之后，内压与正常运行压力相比较要小很多，因此要想达到20.0MPa比较困难，因此常温状态下通常不会出现开裂问题。 2.2 应力应变云图分析 在针对不同压力条件下穿孔局部应力应变云图技术分析可以知道，在穿孔位置的外壁边缘出现了应力-应变最大值，而且在天然气管道的径向方向上分布着较大的应力-应变。 当天然气管道内压达到16.0MPa的情况下，整个天然气管壁开始出现屈服现象，当内压进一步缓慢增加的时候，天然气管道关键部位最大应力应变出现了快速的增加现象，穿孔位置周边较大的应变分布范围也在迅速扩大；当内压达到19.0MPa的情况下，应变值超过0.026的分布范围外边缘与穿孔位置的距离已经非常远；当内压进一步增加，达到20.0MPa的时候，天然气管道的绝大部分管壁的应变值已经超过了0.026，沿着厚度方向天然气管道应变值分布在0.077~0.231和范围内[3]，由此也可以知道，天然气管道的穿孔开裂首先会从关键点开始，对沿着管壁的厚度方向逐渐形成贯穿性裂纹。 3 管道各参数对最大附近应变影响分析 3.1 穿孔尺寸影响 当天然气内压在20.0MPa情况下，分析最大应变于穿孔半径的关系趋势可以发现，随着穿孔孔径的逐渐增加，最大应变值在逐渐减小，当穿孔孔径超过一定数值的时候，最大塑性应变波动呈现出复杂化。这主要是因为，当穿孔半径相对比较小的时候，仅仅在穿孔的外壁边缘位置出现最大塑性应变，而当其超过某一个数值时，发生最大塑性应变的位置也会逐渐向着中间移动，这样就导致应变值的变化更加复杂。 3.2 管道壁厚对最大塑性硬件影响 天然气管道的壁厚对管道本身承载能力的影响非常大，因此天然气管道穿孔局部应力-应变分布状况也必然会受到管道壁厚的巨大影响。针对内压为20.0MPa情况下不同管道壁厚下最大应变与和穿孔距离较远位置的应变变化趋势分析可以知道。在壁厚不断增加的情况下，穿孔局部最大促进应变会出现明显下降，而且与距离穿孔位置较远位置的管壁应变变化状况相比较，穿孔局部实际发生的最大促进应
屈服点应力应变的定义：纤维拉伸曲线上“虎克区”和屈服区的转变点称为屈服点，所对应的应力和应变分别称为屈服点应力和屈服点应变。试验表明：当纤维或纱线超过屈服点后，将产生较高比例的塑性变形，它们的力学性质将其较大变化，所以在纺织品加工和纺织使用过程中，确定和掌握纤维或纱线的屈服点很重要。 运算过程（如图4-3所示）：根据屈服点的概念知在曲线上从O 点到断裂点C 点做连线，应力应变曲线上离这条线最远的一点即为屈服点。利用点到直线的距离自然可以求出。 因为直线OC 为一次函数，所以点到直线的为距离d=21k y kx +-，其中m m E P k =首先利用点到直线的公式距离求得=di 21k P kE i i +-，再利用一次循环就可以求出最大 的dmax 为AB ，则A 点为屈服点，它所对应的应力为屈服应力，应变为屈服应变。 f σ σ 图4-3屈服点的点到直线最大距离求法 4.2.3 初始模量 初始模量的定义：纺织纤维或纱线应力——应变曲线起始一段较直部分伸直延长线上的应力应变之比。其物理含义是材料初始拉伸弹性成分最多时的应力应变关系。它表征在小负荷的条件下，纤维或纱线承抵抗变形能力的大小，是衡量纤维或纱线刚性的指标。 纺织纤维或纱线的初始模量与纺织制品的耐磨、耐疲劳、耐冲击、手感、悬垂性、起拱变形性等关系密切。许多纺织品多半是在小变形条件下工作的，因此，初始模量是力学性能中的重要指标。 （a ）利用屈服点法：连接原点O 到屈服点A 作辅助线，求取曲线上从原点开始到屈服点的区域内曲线上距离辅助线最远的一点记为F 点，这是就是纤维（纱线）伸直后真正开始拉伸的点，连接F 点到屈服点A ，这条直线的斜率记为
§3－3机械零件的应力应变分析 一、拉（压）杆应力应变分析 （一）应力分析 前面应用截面法，可以求得任意截面上内力的总和，现在进一步分析横截面上的应力情况，首先研究该截面上的内力分布规律，内力是由于杆受外力后产生变形而引起的，我们首先通过实验观察杆受力后的变形现象，并根据现象做出假设和推论；然后进行理论分析，得出截面上的内力分布规律，最后 确定应力的大小和方向。 现取一等直杆，拉压变形前在其表面上画垂直于杆轴的直线和（图3-28）。拉伸变形后，发现 和仍为直线，且仍垂直于轴线，只是分别平行地移动至和。于是，我们可以作出如下假设： 直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面。根据这个“平面假设”可知，杆件在它的任意两个横截面之间的伸长变形是均匀的。又因材料是均匀连续的，所以杆件横截面上的内力是均匀分布的，即在横截面上各点处的正应力都相等。若杆的轴力为，横截面积为,,于是得： ???????????????????????? (3－2) 这就是拉杆横截面上正应力的计算公式。当为压力时，它同样可用 于压应力计算。规定拉应力为正，压应力为负。 例3－3? 图3-29（a）为一变截面拉压杆件，其受力情况如图示，试确定其危险截面。 解? 运用截面法求各段内力，作轴力图[图3-29（b）]： 段：????????? 段： 段：???????? 段： 根据内力计算应力，则得： 段：????????? 段：
段： 最大应力所在的截面称为危险截面。由计算可知，段和段为 危险截面。 （二）、拉（压）杆的变形 杆件受轴向拉力时，纵向尺寸要伸长，而横向尺寸将缩小；当受轴 向压力时，则纵向尺寸要缩短，而横向尺寸将增大。 设拉杆原长为，横截面面积为(图3-30)。在轴向拉力P作用下， 长度由变为，杆件在轴线方向的伸长为, 。 实验表明，工程上使用的大多数材料都有一个弹性阶段，在此阶段范围内，轴向拉压杆件的伸长或缩短量，与轴力和杆长成正比，与横截面积成反比。即，引入比例常数则得到： ??????????????????? （3－3） 这就是计算拉伸（或压缩）变形的公式，称为胡克定律。比例常数称为材料的弹性模量，它表征材料抵抗弹性变形的性质，其数值随材料的不同而异。几种常用材料的值已列入表3－1中。从公式（3－3）可以看出，乘积越大，杆件的拉伸（或压缩）变形越小，所以称为杆件的抗拉（压） 刚度。 上式改写为： 其中，而表示杆件单位长度的伸长或缩短，称为线应变(简称应变)，即。是一个无 量纲的量，规定伸长为正，缩短为负。 则（3－3）式可改写为：????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????? （3-4）式（3-17）表示，在弹性范围内，正应力与线应变成正比。这一关系通常称为单向胡克定律。 杆件在拉伸（或压缩）时，横向也有变形。设拉杆原来的横向尺寸为，变形后为（图3-30），则 横向应变为： 实验指出，当应力不超过比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值是一个常数。即 称为横向变形系数或泊松比，是一个无量纲的量。和弹性模量E一样，泊松比也是材料固有的弹 性常数。 因为当杆件轴向伸长时，横向缩小；而轴向缩短时，横向增大，所以和符号是相反的。
应力的定义[指南] 应力的定义 当材料在外力作用下不能产生位移时，它的几何形状和尺寸将发生变化，这种形变称为应变(Strain)。材料发生形变时内部产生了大小相等但方向相反的反作用力抵抗外力，定义单位面积上的这种反作用力为应力(Stress)。或物体由于外因(受力、湿度变化等)而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并力图使物体从变形后的位置回复到变形前的位置。在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力(Stress)。按照应力和应变的方向关系，可以将应力分为正应力σ 和切应力τ，正应力的方向与应变方向平行，而切应力的方向与应变垂直。按照载荷(Load)作用的形式不同，应力又可以分为拉伸压缩应力、弯曲应力和扭转应力。 应力的分类 同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。应力会随着外力的增加而增长，对于某一种材料，应力的增长是有限度的，超过这一限度，材料就要破坏。对某种材料来说，应力可能达到的这个限度称为该种材料的极限应力。极限应力值要通过材料的力学试验来测定。将测定的极限应力作适当降低，规定出材料能安全工作的应力最大值，这就是许用应力。材料要想安全使用，在使用时其内的应力应低于它的极限应力，否则材料就会在使用时发生破坏。 有些材料在工作时，其所受的外力不随时间而变化，这时其内部的应力大小不变，称为静应力;还有一些材料，其所受的外力随时间呈周期性变化，这时内部的应力也随时间呈周期性变化，称为交变应力。材料在交变应力作用下发生的破坏称为疲劳破坏。通常材料承受的交变应力远小于其静载下的强度极限时，破坏就可能发生。另外材料会由于截面尺寸改变而引起应力的局部增大，这种现象称为应力集
岩石力学－第三讲：弹性力学基础（一、应力应变分析） 教学备忘录
大多数物质在受到外力时发生变形，在外力撤除后又能恢复到原来的形状。我们把物质的这种性质称之为弹性。弹性是岩石力学的基础，外力和相应的变形间呈线性关系是最简单的情况。当在外力的作用下，物质发生的变形足够小，那么这种关系几乎总是线性的。因此，线弹性是所有弹性问题的基础。1.1介绍了固体物质的线弹性特性。 在实际情况下，线弹性的有效区域经常被超越。1.1中介绍了一些岩石非线性行为的一般特征。在石油工程岩石力学中，更多的兴趣集中在那些具有有效孔隙和渗透性的岩石上。固体材料的弹性理论不能完全描述这种介质，因此，应该引入多孔弹性的概念。岩石的弹性反应也可能是与时间相关的，因此，介质的变形也是随着时间而变化的，甚至在外力不变的情况下也是这样。1.3节和1.4节分别介绍了多孔物质的弹性特性和随时间变化效应。 1.1 线性弹性理论 弹性理论建立在应力和应变这两个概念之上，在1.1.1和1.1.2节中对应力和应变分别做了介绍。1.1.3节和1.1.4节分别介绍了各向同性介质和各向异性介质应力和应变之间的线性本构方程 1.1.1 应力 考虑图1.1所示（见多媒体）的情况，一个重物加在柱子的顶部。由于重物的重量，一个作用力施加在柱子上，同时柱子会产生一个大小相等、方向相反的力。而柱子本身支撑在地面上，因此，施加在柱子顶部的作用力必然会通过柱子的任意横截面。 a)处横截面的区域如A 所示。如果施加在横截面上的力为F ，则该截面处的应力σ定义为： A F = σ （1.1） 应力经常用Pa(=Pascal=N/m 2 )、 bar 、atmosphere 、 psi(=lb/sq.inch.)或 dynes/cm 2 等单位来表示。在理论计算中，国际单位Pa 是最合适的单位，而其它单位大多应用于工程计算。 应力符号σ不仅表示受力面的物理性质，而且已经依照惯例进行了定义。在岩石力学中，符号惯例规定：压应力为正。历史原因在于：岩石力学涉及到的应力几乎都是压应力。当符号惯例被一直使用时并没有引发问题，但是，记住一些其它科学，包括弹性力学使用相反的符号惯例是重要的。 正如公式（1.1）所表明的那样，应力被一个力和一个截面（或通常来说是一个平面）所定义，力是被施加的。看看b)处的截面，施加在截面上的力等于施加在截面a)处的力（忽略柱子本身的重量）。然而，b)处横截面的区域A ′明显小于A 。因此，b)处的应力σ′＝F/A ′大于a)处的应力，即在受力试件中，应力随位置变化而变化。我们可以将a)处截面分为无数个小单元ΔA ，总力F 的一个无限小单元力ΔF 施加在这个小单元ΔA 上（图1.2）。不同的小单元，力ΔF 也不同。设想一小单元i ，其包含一点P 。当其面积Δai 趋近于零时，点P 处的应力被定义为Δfi/Δai 的极限，即： i i A A F i ??=→?lim σ （1.2）
全应力-应变曲线 测量岩石的应力应变曲线一般可以有两中试验机：一种是，柔性试验机，使用这种试验机测量时，容易发发生“岩爆”现象，导致试验中不能得到峰值以后的应力应变信息。另种是，刚性试验机，这种试验机刚度比较高，有“让压”的特点，就不会有“岩爆”现象发生，可以得到全应力-应变曲线用以研究岩石破裂的性质。 刚度矩阵的物理意义： 单元刚度矩阵的物理意义，一句话概括说来就是各个节点在广义力的作用下节点的位移变化量。 强度是零件的抗应力程度，反映的是什么时候断裂，破损等 刚度反映的是变形大小，就是零件受力后的变形。 刚度矩阵和柔度矩阵的物理意义: 一般将刚度矩阵记为[D]，柔度矩阵为[C]，二者互为逆矩阵。 [C]矩阵中任一元素Cij的物理意义为：当微小单元体上仅作用有j方向的单位应力增加，而其他方向无应力增量时，i方向的应变增量分量就等于Cij。 [D]矩阵中任一元素Dij的物理意义为：要使微小单元体只在j方向发生单位应变，而其他方向不允许发生应变，则必须造成某种应力组合，在这种应力组合中，i方向应力分量为Dij。 对于各向异性材料，[D]和[C]都是非对称矩阵，从机理上来说是合理的，然而它给数学模型带来复杂性，也增加了有限元计算的困难。从工程实用的角度来考虑，往往忽略这种非对称性，而处理为对称矩阵。 物理概念：杨氏模量和泊松比 在弹性范围内大多数材料服从虎克定律，即变形与受力成正比。纵向应力与纵向应变的比例常数就是材料的弹性模量E，也叫杨氏模量。而横向应变与纵向应变之比值称为泊松比μ，也叫横向变性系数，它是反映材料横向变形的弹性常数。 杨氏模量(Young's modulus)是表征在弹性限度内物质材料抗拉或抗压的物理量，它是沿纵向的弹性模量。1807年因英国医生兼物理学家托马斯·杨(Thomas
本章应力和应变分析与强度理论重点、难点、考点 本章重点是应力状态分析，要掌握二向应力状态下斜截面上的应力、主应力、主平面方位及最大切应力的计算。能够用广义胡克定律求解应力和应变关系。理解强度理论的概念，能够
按材料可能发生的破坏形式，选择适当的强度理论。 难点主要有 ① 主平面方位的判断。当由解析法求主平面方位时，结果有两个相差 90 ”的方位角，一般不容易直接判断出它们分别对应哪一个主应力，除去直接将两个方位角代人式中验算确定的方法外，最简明直观的方法是利用应力圆判定，即使用应力圆草图。还可约定y x σσ≥，则两个方位中绝对值较小的角度对应max σ所在平面。 ② 最大切应力。无论何种应力状态，最大切应力均为2/)(31max σστ-=，而由式（ 7 一 l ）中第二式取导数0d d =α τα得到的切应力只是单元体的极值切应力，也称为面内最大切应力，它仅对垂直于Oxy 坐标平面的方向而言。面内最大切应力不一定是一点的所有方位面中切应力的最大值，在解题时要特别注意，不要掉人“陷阱”中。 本章主要考点： ① 建立一点应力状态的概念，能够准确地从构件中截取单元体。 ② 二向应力状态下求解主应力、主平面方位，并会用主单元体表示。会计算任意斜截面上的应力分量。 ③ 计算单元体的最大切应力。 ④ 广义胡克定律的应用。 ⑤ 能够选择适当的强度理论进行复杂应力状态下的强度计算，会分析简单强度破坏问题的原因。 本章习题大致可分为四类： ( l ）从构件中截取单元体这类题一般沿构件截面截取一正六面体，根据轴力、弯矩判断横截面上的正应力方向，由扭矩、剪力判断切应力方向，单元体其他侧面上的应力分量由力平衡和切应力互等定理画完整。特别是当单元体包括构件表面（自由面）时，其上应力分量为零。 ( 2 ）复杂应力状态分析一般考题都不限制采用哪一种方法解题，故最好采用应力圆分析，它常常能快速而有效地解决一些复杂的问题。 ( 3 ）广义胡克定律的应用在求解应力与应变关系的题目中，不论构件的受力状态，均采用广义胡克定律，即可避免产生不必要的错误，因为广义胡克定律中包含了其他形式的胡克定律。 ( 4 ）强度理论的应用对分析破坏原因的概念题，一般先分析危险点的应力状态，根据应力状态和材料性质，判断可能发生哪种类型的破坏，并选择相应的强度理论加以解释。计算题一般为组合变形构件的强度分析（详见第 8 章）与薄壁容器的强度分析，薄壁容器可利用平衡条件求出横截面与纵向截面上的正应力，由于容器的对称性，两平面上无切应力，故该应力即为主应力，并选择第三或第四强度理论进行强度计算。
第8章典型习题解析 1. 试画出下图所示简支梁A 点处的原始单元体。 图8.1 解：（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。截取出的单元体如图(d)所示。 (2)分析单元体各面上的应力: A 点偏右横截面的正应力和切应力如图(b)、(c)所示，将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为： z M y I σ= b I QS z z *= τ 由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A 点单元体如图(d)。 2.图(a)所示的单元体,试求（1）图示斜截面上的应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。 解：（1）求斜截面上的正应力 ?30－σ和切应力?30－τ
由公式 MPa 5.64)60sin()60()60cos(2100 5021005030-=?---?---++-= ?-σ MPa 95.34)60cos()60()60sin(2100 5030=?--+?---= ?-τ （2）求主方向及主应力 8 .010050120 22tan -=----=-- =y x x σστα ?-=66.382α ?=? -=67.7033.1921αα 最大主应力在第一象限中，对应的角度为 070.67α=?，主应力的大小为 1 5010050100cos(270.67)(60)sin(270.67)121.0MPa 22σ= ??--??=－＋－－＋ 由 y x σσσσαα+＝＋2 1 可解出 2 1 (50)100(121.0)71.0MPa x y ασσσσ=+=-+-=-－ 因有一个为零的主应力，因此 )33.19(MPa 0.7133?--＝第三主方向＝ασ 画出主单元体如图8.2(b)。 （3）主切应力作用面的法线方向 25 .1120100 502tan =---= 'α ?='34.512α ?='? ='67.11567.2521αα 主切应力为 ' 2 ' 1 MPa 04.96)34.51cos()60()34.51sin(2100 50ααττ-=-=?-+?--= 此两截面上的正应力为 MPa 0.25)34.51sin()60()34.51cos(2100 502100501 =?--?--++-= 'ασ MPa 0.25)34.231sin()60()34.231cos(2100 502100502 =?--?--++-= 'ασ 主切应力单元体如图所示。
弹性模量 开放分类：基本物理概念工程力学物理学自然科学 “弹性模量”的一般定义是：应力除以应变，即弹性变形区的应力－应变曲线的斜率：其中λ 是弹性模量，【stress应力】是引起受力区变形的力，【strain应变】是应力引起的变化与 物体原始状态的比，通俗的讲对弹性体施加一个外界作用，弹性体会发生形状的改变称为“应 变”。材料在弹性变形阶段，其应力和应变成正比例关系（即胡克定律），其比例系数称为 弹性模量。弹性模量的单位是达因每平方厘米。“弹性模量”是描述物质弹性的一个物理量， 是一个总称，包括“杨氏模量”、“剪切模量”、“体积模量”等。所以，“弹性模量”和“体积模量” 是包含关系。 编辑摘要 基本信息编辑信息模块 中文名：弹性模量其他外文名：Elastic Modulus 定义：应力除以应变类型：定律 定义/弹性模量编辑 混凝土弹性模量测定仪图册 弹性模量modulusofelasticity，又称弹性系数，杨氏模量。 弹性材料的一种最重要、最具特征的力学性质。是物体变形难易程度的表征。用E表示。
定义为理想材料在小形变时应力与相应的应变之比。 根据不同的受力情况，分别有相应的拉伸弹性模量(杨氏模量)、剪切弹性模量(刚性模量)、体积弹性模量等。它是一个材料常数，表征材料抵抗弹性变形的能力，其数值大小反映该材料弹性变形的难易程度。 对一般材料而言，该值比较稳定，但就高聚物而言则对温度和加载速率等条件的依赖性较明显。 对于有些材料在弹性范围内应力-应变曲线不符合直线关系的，则可根据需要可以取切线弹性模量、割线弹性模量等人为定义的办法来代替它的弹性模量值。 线应变/弹性模量编辑 弹性模量图册 对一根细杆施加一个拉力F，这个拉力除以杆的截面积S，称为“线应力”，杆的伸长量dL 除以原长L，称为“线应变”。线应力除以线应变就等于杨氏模量E=( F/S)/(dL/L) 剪切应变： 对一块弹性体施加一个侧向的力f（通常是摩擦力），弹性体会由方形变成菱形，这个形变的角度a称为“剪切应变”，相应的力f除以受力面积S称为“剪切应力”。剪切应力除以剪切应变就等于剪切模量G=( f/S)/a 体积应变/弹性模量编辑 对弹性体施加一个整体的压强p，这个压强称为“体积应力”，弹性体的体积减少量(-dV)除以原来的体积V称为“体积应变”，体积应力除以体积应变就等于体积模量: K=P/(-dV/V) 在不易引起混淆时，一般金属材料的弹性模量就是指杨氏模量，即正弹性模量。 单位：E（弹性模量）兆帕（MPa） 意义/弹性模量编辑 弹性模量是工程材料重要的性能参数，从宏观角度来说，弹性模量是衡量物体抵抗弹性变形能力大小的尺度，从微观角度来说，则是原子、离子或分子之间键合强度的反映。凡影响键
Project2 坝体的有限元建模与应力应变分析 计算分析模型如图2-1 所示, 习题文件名: dam 。 图2－1 坝体的计算分析模型 选择单元类型Solid Quad 4node 42 Options… →select K3: Plane Strain 定义材料参数EX:2.1e11, PRXY:0.3 模型施加约束 ? 分别给下底边和竖直的纵边施加x 和y 方向的约束 ? 给斜边施加x 方向的分布载荷： ANSYS 命令菜单栏: Parameters →Functions →Define/Edit →1) 在下方的下拉列表框内选择x ,作为设置的变量；2) 在Result 窗口中出现{X},写入所施加的载荷函数：1000*{X}； 3) File>Save(文件扩展名：func) →返回：Parameters →Functions →Read from file ：将需要的.func 文件打开，任给一个参数名，它表示随之将施加的载荷→OK →ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Pressure →On Lines →拾取斜边；OK →在下拉列表框中，选择：Existing table →OK →选择需要的载荷参数名→OK 单元控制 纵边20等分；上下底边15等分 结果显示 ANSYS Main Menu: General Postproc →Plot Results →Deformed Shape… → select Def + Undeformed →OK (back to Plot Results window)→Contour Plot →Nodal Solu… →select: DOF solution, UX,UY, Def + Undeformed , Stress ,SX,SY,SZ, Def + Undeformed →OK
1.应力 物体由于外因（受力、湿度、温度场变化等）而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并试图使物体从变形后的位置恢复到变形前的位置。 在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。 应力仪或者应变仪是来测定物体由于内应力的仪器。一般通过采集应变片的信号，而转化为电信号进行分析和测量。 方法是：将应变片贴在被测定物上，使其随着被测定物的应变一起伸缩，这样里面的金属箔材就随着应变伸长或缩短。很多金属在机械性地伸长或缩短时其电阻会随之变化。应变片就是应用这个原理，通过测量电阻的变化而对应变进行测定。一般应变片的敏感栅使用的是铜铬合金，其电阻变化率为常数，与应变成正比例关系。 通过惠斯通电桥，便可以将这种电阻的比例关系转化为电压。然后不同的仪器，可以将这种电压的变化转化成可以测量的数据。 对于应力仪或者应变仪，关键的指标有：测试精度，采样速度，测试可以支持的通道数，动态范围，支持的应变片型号等。并且，应力仪所配套的软件也至关重要，需要能够实时显示，实时分析，实时记录等各种功能，高端的软件还具有各种信号处理能力。另外，有一些仪器是通过光谱，膜片等原理设计的。 应力的单位：应力的单位是Pa，简称帕（这是为了纪念法国科学家帕斯卡Blaise· pascal而命名的），即牛顿/平方米（N/ ㎡）。 2.应变 物体在受到外力作用下会产生一定的变形，变形的程度称应变。应变有正应变（线应变），切应变（角应变）及体应变。正应变公式为 ，式中l是变形的前长度，Δl是其变形后的伸长量。 应变单位：应变是形变量与原来尺寸的比值，用ε表示，即ε=ΔL/L，无量纲，常用百分数表示。 3.弹性模量 一般地讲，对弹性体施加一个外界作用，弹性体会发生形状的改变（称为“应变”），“弹性模量”的一般定义是：应力除以应变。 材料在弹性变形阶段，其应力和应变成正比例关系（即符合胡克定律），其比例系数称为弹性模量。又称杨氏模量，弹性材料的一种最重要、最具特征的力学性质，是物体弹性变形难易程度的表征，用E表示。定义为理想材料有小形变时应力与相应的应变之比。E以ζ单位面积上承受的力表示，单位为N/m^2。