V. 定态微扰论
1．证明：非简并定态微扰中，基态的能量二级修正永为负。
答：已知，微扰论中，对能量为的态，能量二级修正
如态为基态，最低，在上式的取和中，的任一项均有，故永为负。
2.证明：定态微扰论中，能量的一级近似是总哈密顿算符对零级波因数的平均值．
答：设满足的正交归一化零级波函数以表出。已知。则
正是能量一级近似.
3. 能级简并没有解除的解是否必定是近似解？反之，近似解是否必定是能级简并的？
答：能级简并与波方程的近似解这两个概念的意义是不同的，没有什么直接的关联．我们知道，能级简并主要是由于体系哈密顿量具有某种对称性．只要保持这种对称以那么即使是精确解，其能级也是简并的．如氢原子．如果对称性受到彻底破坏或部分破坏，那么—般说来，简并应当消除或部分消除．应用微扰法求解定态问题时，得到的解一般均是近似解．非简并态微扰的近似解，能级当然是非简并的．简并态微扰法中由于微扰的作用．不管能级简并是否能解除，或解除多少，得到的解一般也是近似解．
4.一维谐振子，其能量算符为 (1)
设此谐振子受到微扰作用
(2)
试求各能级的微扰修正（三级近似），并和精确解比较。
解：的本征函数、本征值记为。如众所周知
（3）
在表象（以为基矢）中，的矩阵元中不等于0的类型为
（4）
因此，不等于0的微扰矩阵元有下列类型：
（5）
（6）
按照非简并态能级三级微扰修正公式，能级的各级微扰修正为：
（7）
（8）
（9）本题显然可以精确求解，因为
令
可以写成
（10）
和式（1）比较，差别在于，因此的本征值为
（11）
因为，将作二项式展开，即得：
（12）
和微扰论结果完全一致。
5. 氢原子处于基态．沿z方向加一个均匀弱电场，视电场为微扰，求电场作用后的基态波函数(一级近似)．能级(二级近似)，平均电矩和电极化系数．(不考虑自旋．)
解：加电场前，基态波函数为
，（波尔半径）（1）
满足能量方程
（2）
其中
视外电场为微扰，微扰作势为
（3）
由于为偶宇称，为奇宇称，所以一级能量修正为0，
(4)
波函数的一级微扰修正满足方程
（5）
除了一个常系数外，即球谐函数，考虑到和都是球对称的，易知必可表示成
(6)
代入（5）式，并计及
其中
由式（5）可得满足的方程
（7）
为边界条件为处，。
用级数解法或试探法，不难求出式（7）的解为
（8）
因此（9）
按照微扰论公式，能级的二级修正为（10）将式（3），（9）代入上式，即得
（11）
利用的具体表示式（1），容易算出
因此 (12)
此即外电场引起的基态能级移动，它和成正比．
电偶极矩算符为，其平均值为
（13） a
根据和的对称性，易得
，，
（14）
原子的极化系数由下式确定：或（15）
由此容易求得（16）。
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1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数? ?? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,) r t 有何 不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如 () H 0的某一能级) 0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ 1 2 ()s z 中， S x 和 S y 的测不准关系( )( )??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量 对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？ 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？ 23、据[a ?，+ a ?]=1，a a N ???+=，n n n N =?，证明：1?-=n n n a 。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。 25、自旋 S = 2 σ ，问 σ是否厄米算符？ σ是否一种角动量算符？ 26、波函数的量纲是否与表象有关？举例说明。
§6.含时微扰论 前面，我们解决的是H ?与t 无关，但不能直接求解，而利用0 2 0V m 2P H ?+=有解析解，并且0 1V V H ?-=较小，通过微扰法求解)r (E )r ()p ?,r (H ?ψψ=的近似结果。有时也能用试探波函数，通过变分来获得。 现在要处理的问题是：体系原处于0H ?的本征态（或叠加），而有一与t 有关的微扰)t (H ?1 附加到该体系。显然，这时体系的能量不是运动常数，其状态并不处于定态（即使1H ?在一段时间中不变），在0H ?的各定态中的几率并不是常数，而是随时间变化的。而且无法获得解析结果。有时附加作用在一段时间之后结束，这时体系处于0 H ?的本征态的几率又不随时间变化。当然，这与作用前的几率已有所不同。也就是，体系可以从一个态以一定几率跃迁到另一态，这称为量子跃迁。这就需要利用含时间的微扰论。总之，含时间的微扰论就是处理体系所处的位势随时间发生变化时，或变化后，体系所处状态发生的变化。 H ?与t 有关，体系原处于)P ?,r (H ?0 ，随t 加一微动)t (V ψψH ?t i =?? , )t (V H ?)t (H ?0 += 因0 H ?不显含t ，而有 )r (E )r (H ?n 0n n 0??= 则 ψψ0 H ?t i =?? 的通解为 ∑-=ψn t iE n n 0n e a )t ,r ( ? 0H 的定态 ∑=n n )t ,r (a ψ t iE n n e )r ()t ,r (?ψ= 而 n a 是常数 ))0,r (),r (())t ,r (),t ,r ((a n n n ψ=ψ=?ψ 不随t 变 当nk n a δ=时，即0t =，处于)r (k ?时
第五章 微扰理论 第一部分：基本概念与基本思想题目 1. 定态微扰理论主要研究什么样的物理体系？ 2. 00//????? 在微扰理论中，中的和各应满足什么条件？H H H H H =+ 3. 讨论无简并微扰理论的适用条件，说明其表达式的物理意义。 4. 何为吸收和发射? 说明自发发射和受激发射? 为什么量子力学无法解释自发发射? 5. 讨论原子中的电子与光的相互作用时,为什么忽略电子和磁场间的相互作用? 6. 与定态微扰理论相比,含时微扰理论所要解决的问题有何不同? 7. 何为Stark 效应? 8. 试述变分法的基本思想及其所解决的问题? 9. 中心力场中电子跃迁选择定则是什么? 第二部分: 基本技能训练题 1. 设氢原子中价电子所受有效作用势为 222 2020 () 014s s s e e a e U r e r r λλπε=--=<≤其中 试用微扰理论求基态能量(准确到一级). 2. 00102030000123100()()**()()()()()?, : H , |||| ,设在表象中的矩阵表示为其中和试用微扰理论求能量本征方程的本征值准确到二级。 H H E a E b a b E E E E a b E ????=??????<<<<
3. 转动惯量为I 电偶极矩为D 的空间转子处于均匀电场ε中，若电场很小，用微扰法计算转子基态能量的二级修正。 4. 设体系未受微扰时只有二个能级E 10及E 20， 现在受到微扰H /作用, 微扰矩阵元为12211122////, ; a,b ,H H a H H b ====都是实数用微扰公式计算能量到二级修正. 5. 基态氢原子处于平行电场中,若电场是均匀的且随时间按指数下降,即 0t -0 t 0e t 0 ( 0 ) τεετ?当当的参数 求经过长时间后氢原子处于2p 态的几率。 6. 粒子处于宽为a 的一维无限深势阱中，若微扰为 /a 0x 2()a x a 2 b H x b ?-≤≤??=??<≤??求粒子能量的一级修正。 7. 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。 8. 用狄拉克符号求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 9. 对于处于宽度为a 的一维无限深势阱中的粒子（质量为m 0），受到微扰 V(x)＝V 0cos (2π/a)x 求体系的能量(准确到二级)。 10. 设在H 0表象中0102()() E a b H b E a ??+= ?+?? （a,b 为实数）
第二章 一维势场中的粒子 §2.2 方 势 一、一维运动 当粒子在势场V (x ,y ,z )中运动时，其 Schrodinger 方程为： 22 [(,,)](,,)(,,)2V x y z x y z E x y z m ψψ-?+= 若势可写成： V (x ,y ,z ) = V 1(x ) + V 2(y ) + V 3(z ) 形式， 2212 [()]()()2x d V x X x E X x m dx -+= 2222 [()]()()2y d V y Y y E Y y m dy -+= 2232 [()]()()2z d V z Z z E Z z m dz -+= ψ(x ,y ,z ) = X (x ) Y (y ) Z (z ) ψ1(x ) x y z E E E E =++ 二、一维无限深势阱 0(0)()(0,) x a V x x x a ?<?? 这是定态问题 一维无限深势阱（0~a ）的求解 解：（1）列出各势域的 S — 方程 22 2 [()]()()2d V x x E x m dx ψψ-+= 20222 2 2202 22()0202()0I I II II III III d m V E dx d mE dx d m V E dx ψψψψψψ?--=???+=???--=?? 00E V << 0()V →∞ ，令k = )(0>k ，β=方程可简化为：22 2 222 222 000I I II II III III d dx d k dx d dx ψβψψψψβψ?-=????+=???-=??
I.波函数与Schrodinger方程 1. 经典波有波函数吗？量子波函数与经典波函数有什么异同？ 答：波函数就其本义而言不是量子力学特有的概念．任何波都有相应的波图执只是习惯上这一术语通常专用于描 述量子态而不常用于经典波．经典波例如沿轴方向传播的平面单色波，波动动量对和的函数——波函数可写为 ，其复指数形式为，波函数给出了传播方向上时刻在点处的振动 状态。经典波的波函数通常称之为：波的表达式或波运动方程．量子力学中，把德布罗意关系 p ＝k 及 E ＝ω代入 上式就得到自由粒子的波函数 ( 自由粒子的波的表达式 ). 经典波与概率狡的唯一共性是叠加相干性。但概率波函数是态函数，而态的叠加与经典波的叠加有着本质的差别．经典波函数描述的是经典波动量对时空变量的函数关系．量子力学中的概率波函数其意义不同于经典物理中的任何物理量．概率波函数虽是态函执但本身不是力学量．态函数给出的也不是物理量间的关系．概率波函数的意义是：由波函效描述微观体系各种力学量的概率分朽．作为一种约定的处理方法，经典波可表为复指数函数形式但只有它的实部才有物理意义．而概率波函数一般应为复函数．非相对论量子力学中，粒子不产生出不泯灭．粒子一定在全空间中出现，导致了概率被函数归一化问题，而经典波则不存征这个问题．概率波函数乘上一常数后，粒子在空间各点出现的相对概率不变．因而，仍描述原来的状态．而经 典波中不同的波幅的波表不同的波动状态，振幅为零的态表示静止态．而量子力学中，振幅处处为零的态表示不存在粒子．另外经典波函数与量子被函数满足各自的、特征不同的波方程． 2 ．波函数的物理意义——微观粒子的状态完全由其被函数描述，这里“完全'的含义是什么？波函数归一化的含义又是什么 ? 答：按照波函数的统计解释波函数统计地描述了体系的量子态．如已知单粒子 ( 不考虑自旋 ) 波函数为， 则不仅可确定粒子的位置概率分布，而且如动员等粒子其他力学且的概率分布也均可通过而完全确定．出于量子理论与经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果．而只要已知体系波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息．从这个意义上着，有关体系的全部信息显然都已包含在波函数中，所以我们此微现粒子的状态完全由其波函数描述，并把波函数称为态函数．非相对论量子力学中粒子不产生、不泯灭．根据波函数的统计解释，在任何时刻，粒子一定在空间出现，所以，在整个空 间中发现粒子是必然事件．概率论中认为必然事件的概率等于 1 ．因而，粒子在整个空间中出现的概率即概率密度对 整个空间积分应等于1 ．式中积分号下的无限大符号表示对整个空间积分．这个条件称为归一化条件．满足归一化条件的波函数称为归一化波函数．显然，平方可积波函数才可以归一化． 3 .证明从单粒子薛定谔方程得出的粒子速度场是非旋的，即求证，其中，为几率密度，为几率流
3. 系综与密度算符 1）纯系综和混合系综 相同的物理体系构成系综，例如由具有自旋的粒子构成的系综。 一个自旋为1/2的粒子的自旋态（方位角,αβ） /2/2(,)(,)(,)cos sin 22i i c c e e ααβ β χαβαβχαβχχχ-++--+-=+=+， 其中,χχ+-是?z s 的本征态， cos(/2)sin(/2) i c c e αββ+-=。 如果所有粒子的自旋都取相同方向，则称体系是极化系统，构成的系综是纯系综。 如果粒子的自旋不在同一方向，则构成的系综叫混合系综。例如自旋向上的粒子数占70％，自旋向下的粒子数占30％，体系是部分极化。一个自旋方向完全随机的系综，其自旋向上，向下的几率各有50％，整的表现是相互抵销，自旋为零，完全没极化。 2）系综平均与态密度算符 系统的力学量平均值 ?A A ααα=， 这里态α是固定的，是量子平均。进入任意表象B ， ,' ?''b b A b b A b b ααα=∑， 对表象的维数求和。 系综平均 [ ]A w A ααα=∑ ， 这里w α是体系处于态α的几率，显然满足归一化条件 1w αα =∑， 是统计平均，求和指标不是对表象的维数，而是对态。例如自旋1/2的粒子构成的系综，自旋表象的维数为2，但不同粒子的自旋态可以有很多取向，求和就是对不同的取向。
[],,','??''''b b b b A w b b A b w b b b A b αααααααα??== ??? ∑∑∑。 定义态密度算符 ?w αα ρ αα=∑， 它在表象B 的矩阵元 '?''bb b w b b αα ρρ αα==∑， []() ,'??????''b b b A b b b A b b A b tr A ρ ρρ==≡∑∑。 这是量子统计力学的基本公式。注意：表象变换不改变矩阵的求迹，上式不依赖于表象的选取。 在连续表象，例如坐标表象，密度算符的矩阵元 *'?''()(')xx x x w x x w x x αααααα ρρααψψ===∑∑ ， 系综平均 []() 3????A tr A d x x A x ρρ==? 。 密度矩阵满足归一化条件 ,,? 1 b b tr w b b w b b w w αααααααα ρ ααα α=====∑∑∑∑完备性条件 态的量子归一化条件 态的统计归一化条件 这里用到了归一化条件1α=和表象的完备性条件1b b b =∑。 设密度算符?ρ的本征态为θ， 22 ?,??ρ θθθρθρθθθθ==＝ 对于纯系综，所有系统都取同一个态n ，
第三章 力学量用算符表达 §3.1 算符的运算规则 一、算符的定义： 算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。 ?Au v = 表示?把函数u 变成 v ， ?就是这种变换的算符。 为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。 二、算符的一般特性 1、线性算符 满足如下运算规律的算符?，称为线性算符 11221122 ???()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。 例如：动量算符?p i =-? ， 单位算符I 是线性算符。 2、算符相等 若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即??A B ψψ=，则算符?和算符?B 相等记为??A B =。 3、算符之和 若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ有：?????()A B A B C ψψψψ+=+=，则???A B C +=称为算符之和。 ????A B B A +=+，??????()()A B C A B C ++=++ 4、算符之积 算符?与?B 之积，记为??AB ，定义为 ????()()AB A B ψψ=?C ψ= ψ是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即????AB BA ≠。 5、对易关系 若????AB BA ≠，则称?与?B 不对易。 若A B B A ????=，则称?与?B 对易。 若算符满足????AB BA =-， 则称?A 和?B 反对易。 例如：算符x , ?x p i x ? =-? 不对易
证明：(1) ?()x xp x i x ψψ?=-? i x x ψ? =-? (2) ?()x p x i x x ψψ?=-? i i x x ψψ?=--? 显然二者结果不相等，所以： ??x x xp p x ≠ ??()x x xp p x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以 ??x x xp p x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足 ??y y yp p y i -= ，??z z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。 ??0??0y y z z xp p x xp p x -=??-=?，??0??0x x z z yp p y yp p y -=??-=?，??0??0x x y y zp p z zp p z -=???-=?? ????0x y y x p p p p -=，????0y z z y p p p p -=，????0z x x z p p p p -= ????0xy yx -=，????0y z z y p p p p -=，????0z x x z p p p p -= 写成通式(概括起来)： ??x p p x i αββααβδ-= (1) ????0x x x x αββα-= ????0p p p p αββα-= 其中,,,x y z αβ=或1,2,3 量子力学中最基本的对易关系。 注意：当?与?B 对易，?B 与?对易，不能推知?与?对易与否。 6、对易括号(对易式) 为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号： ??????[,]A B AB BA ≡- 这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式： ?[,]x p i αβαβδ= 不难证明对易括号满足下列代数恒等式： 1) ????[,][,]A B B A =- 2) ???????[,][,][,]A B C A B A C +=+ 3) ?????????[,][,][,]A BC B A C A B C =+ ，?????????[,][,][,]AB C A B C A C B =+，]?,?[]?,?[B A k B k A = 4) ?????????[,[,]][,[,]][,[,]]0A B C B C A C A B ++= ——称为 Jacobi 恒等式。
量子力学的通俗讲座 一、粒子和波动 我们对粒子和波动的概念来自直接的经验。和粒子有关的经验对象：小到石子大到天上的星星等；和波动有关的经验对象：最常见的例子是水波，还有拨动的琴弦等。但这些还不是物理中所说的模型，物理中所谓粒子和波动是理想化的模型，是我们头脑中抽象的对象。 1.1 粒子的图像 在经典物理中，粒子的概念可进一步抽象为：大小可忽略不计的具有质量的对象，即所谓质点。质量在这里是新概念，我们可将其定义为包含物质量的多少，一个西瓜，比西瓜仔的质量大，因为西瓜里包含的物质的量更大。 为叙述的简介，我们现在可把粒子等同于质点。要描述一个质点的运动状态，我们需要知道其位置和质量（x,m ），这是一个抽象的数学表达。 但我们漏掉了时间，时间也是一个直观的概念，这里我们可把时间描述为一个时钟，我们会发现当指针指到不同位置时，质点的位置可能不同，于是指针的位置就定 义了时刻t 。有了时刻 t ，我们对质点的描述就变成了（x,t,m ），由此可定义速度v ，现在我们对质点运动状态的描述是（x,v,t,m ）。 在日常经验中我们还有相互作用或所谓力的概念，我们在地球上拎起不同质量物体时肌肉的紧张程度是不同的，或者说弹簧秤拎起不同质量物体时弹簧的拉伸程度是不同的。 以上我们对质量、时间、力等的定义都是直观的，是可以操作的。按照以上思路进行研究，最终诞生了牛顿的经典力学。这里我们可简单地用两个公式：F=ma （牛顿第二定律） 和 2 GMm F x （万有引力公式） 来代表牛顿力学。前者是质点的运动方程，用数学的语言说是一个关于位置x 的二阶微分方程，所以只需要知道初始时刻t=0时的位置x 和速度v 即可求出以后任意时刻t 质点所处的位置，即x(t)，我们称之为轨迹。 需要强调的是一旦我们知道t=0时x 和v 的精确值（没任何误差），x(t)的取值也是精确的，即我们得到是对质点未来演化的精确预测，并且这个求 解对t<0也精确成立，这意味着我们还可精确地反演质点的历史。这些结论都是由数学理论严格保证的，即轨迹是一根理想的线。 经典的多粒子系统
量子力学理论处理问题的思路 ① 根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出Schr?dinger 方程； ② 解方程，由边界条件和品优波函数条件确定归一化因子及E n ，求得ψn ； ③ 描绘ψn ， ψn *ψn 等图形，讨论其分布特点； ④ 用力学量算符作用于ψn ，求各个对应状态各种力学量的数值，了解体系的性质； ⑤ 联系实际问题，应用所得结果。 有人认为量子力学的知识很零碎，知识点之间好像很孤立，彼此之间联系不是很紧凑，其实不是这样的，我们可以将量子力学分成好几个小模块来学习的，但是每个模块之间都有一定的联系，都相互支持的，比如算符和表象，表面看二者之间好像不相关，实际上在不同的表象中算符的表示是不一样的：在坐标表象中动 量算符?p 和坐标算符?x 之间的关系是?x p i x ?=-?，在动量表象中它们之间的关系为??x x i p ?=?，所以我们在解答一个题目的时候一定要明确所要解决的问题是在哪个表象下，当然一般情况下都是在坐标表象下的。 这里还有一点建议就是经典力学跟量子力学是相对应的，前者是描述宏观领域中物体的运动规律的理论而后者是反映微观粒子的运动规律的理论，所以量子学中的物理量都可以与经典力学中的物理量相对应：薛定谔方程与运动方程；算符与力学量；表象与参考系，所以我们在解答量子力学问题的时候不要单纯的把它当作一个题目来解决，而是分析一个“有趣”的物理现象！ 针对中科大历年的硕士研究生入学考试，我们可以将量子力学分为六个模块来系统学习：一、薛定谔方程与波函数；二、力学量算符；三、表象；四、定态问题（一维和三维）；五、微扰近似方法；六、自旋，其实前三部分是后三部分的基础，后三部分为具体的研究问题提供方法。所以在以后的学习中我们就从这几部分来学习量子力学，帮助大家将所有的知识系统起来。 第一部分 薛定谔方程与波函数 在经典力学中我们要明确一个物体的运动情况，就需要通过解运动方程得到物体的位移与时间的关系、速度与时间的关系等等，同样的道理，在量子力学中我们要解薛定谔方程，得到粒子的波函数，也就明确了粒子的运动情况，然后再通过对波函数的分析就能得到一系列与之有关的力学量和整个体系的性质。所以说薛定谔方程和波函数是学好量子力学的基础！ 一．波函数（基本假设I ） 在坐标表象中，无自旋的粒子或虽有自旋但不考虑自旋运动的粒子的态，用波函数(,)r t ψ表示，2(,)r t d ψτ表示t 时刻粒子处于空间r 处d τ体积元内的几率，即2(,)r t ψ代表粒子的几率密度。 1. 根据波函数的物理意义，波函数(,)r t ψ应具有的性质为： ⑴有限性－在全空间找到粒子的几率2 (,)r t d ψτ?取有限值，即(,)r t ψ是平方可积的； 粒子在全空间出现的几率和等于1，假如2 (,)1r t d ?τ∞≠?，我们找到一个比例系数
第17讲 第五章 微扰理论 §5.2 简并情况下的定态微扰论—简并微扰理论 零级近似波函数的确定和能级的一级修正 ()()∑==k 1i i 0i 0n C φψ (32-2) 代入()()()()()()()00101n n n n ??H E E H 'ψψ-=- (31-8b ) 式就可以确定()0i C ，并求出()1n E 。即求出波函数的零级近似 ()0n ψ和能量一级修正()1n E 。 具体计算如下： 把(32-2)式代入()()()()()() ()01100??n n n n H E E H ψψ'-=-（31-8b ） 得： ()()()()()()()∑∑=='-=-k i i i k i i i n n n H C C E ψE H 10101100??φφ （32-3） 以*i φ左乘上式两边并对整个空间积分，得： ()()()()()()()∑?∑??=='-=-k 1 i i *0i k 1i i *0i 1n 1n 0n 0*d H ?C d C E d E H ?τφφτφφτψφ 左边=()()( )[]()0d E H ?1n *0n 0=-?τψφ (利用厄米算符的定义式) 定义 ?'='i i *H d H ? τφφ (微扰矩阵元) (32-5) 则 ()() ()0C E H k 1i 0i i 1n i =-' ∑= δ( =1，2，3，…，k ) (32-4) 上式是关于()0i C (i =1,2,3…,k )的齐次线性方程组，它有非零 解（()0i C 不全为0的解）的充要条件为(零解时()00n =ψ，无意 义)： ()()()0121212221112111=-''''-''''-') E H (H H H )E H (H H H )E H (n kk k k k n k n (32-7)
大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分 1能量量子化 辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量 的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,??? 对频率为 的谐振子, 最小能量为: νh =ε 2.波粒二象性 波粒二象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。 德布罗意公式h νmc E ==2 λ h m p ==v 3.波函数及其物理意义 在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程 0),()](2[),(22=-?+??t r r V m t r t i ψψ 粒子的波动性可以用波函数来表示，其 中，振幅 表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。所以， 应该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。 自由粒子的波函数)](exp[Et r p i A k -?=ψ=ψ 波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义 常数因子不确定性设C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。 相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z ) 2 (,,)x y z ψ(,,) c x y z ψαi e C =(,,)i e x y z αψ(,,)x y z ψ
V. 定态微扰论 1．证明：非简并定态微扰中，基态的能量二级修正永为负。 答：已知，微扰论中，对能量为的态，能量二级修正 如态为基态，最低，在上式的取和中，的任一项均有，故永为负。 2.证明：定态微扰论中，能量的一级近似是总哈密顿算符对零级波因数的平均值． 答：设满足的正交归一化零级波函数以表出。已知。则 正是能量一级近似. 3. 能级简并没有解除的解是否必定是近似解？反之，近似解是否必定是能级简并的？ 答：能级简并与波方程的近似解这两个概念的意义是不同的，没有什么直接的关联．我们知道，能级简并主要是由于体系哈密顿量具有某种对称性．只要保持这种对称以那么即使是精确解，其能级也是简并的．如氢原子．如果对称性受到彻底破坏或部分破坏，那么—般说来，简并应当消除或部分消除．应用微扰法求解定态问题时，得到的解一般均是近似解．非简并态微扰的近似解，能级当然是非简并的．简并态微扰法中由于微扰的作用．不管能级简并是否能解除，或解除多少，得到的解一般也是近似解． 4.一维谐振子，其能量算符为 (1) 设此谐振子受到微扰作用 (2) 试求各能级的微扰修正（三级近似），并和精确解比较。 解：的本征函数、本征值记为。如众所周知
（3） 在表象（以为基矢）中，的矩阵元中不等于0的类型为 （4） 因此，不等于0的微扰矩阵元有下列类型： （5） （6） 按照非简并态能级三级微扰修正公式，能级的各级微扰修正为： （7） （8） （9）本题显然可以精确求解，因为
令 可以写成 （10） 和式（1）比较，差别在于，因此的本征值为 （11） 因为，将作二项式展开，即得： （12） 和微扰论结果完全一致。 5. 氢原子处于基态．沿z方向加一个均匀弱电场，视电场为微扰，求电场作用后的基态波函数(一级近似)．能级(二级近似)，平均电矩和电极化系数．(不考虑自旋．) 解：加电场前，基态波函数为 ，（波尔半径）（1） 满足能量方程 （2）
VI. 含时微扰论与量子跃迁 1．定态微扰问题与量子跃迁问题在研究目标与处理方法上有何不同？ 答：定态微扰与量子跃迁，是量子力学中两个不同类型的问题，它们的研究目标与手段都不一样．定态微扰是定态问题，它考虑加入微扰作用之后，如何求出体系总哈密顿量的本征值与本征函数的修正项．其出发点为定态波动方程．量子跃迁问题是考虑体系在微扰作用下，波函数随时间变化的问题，是依据含时波方程 实际计算量子态间跃迁概率的问题．一般说来，这两类问题都需应用近似方法求解． 2．含时微扰在含时情况不同时，对体系产生的效果有何不同？ 答：如果微扰作用平缓稳定，则将产生定态扰动效果，如能级与量子态偏移，简并消除等．如果扰动作用是以淮静态 方式加于体系的(即变化极其缓慢)，将不会产生跃迁效应．相反，若扰动作用时间不长，则只可能发生跃迁而不会发生定态扰功效应．对于一般情况，两种效应都可能发生．这里，扰动时间长短，或变化快慢，是相对体系本身的所谓特征时间 而言的．如对于原子，其特征时间为(秒)。因此人为施加的宏观扰动都可视为定态扰动·(为体系能级间距所对应的角频率)． 3.非相对论量子力学中是如何处理光的吸收和辐射问题的？ 答：在通常量子力学(非相对论量子力学)中，处理光的吸收与辐射问题采用的是半经典方法．这种方法将入射光用经典的电磁被来描述，光与原于(主要与原子中的电子)的相互作用也用经典电动力学的方法来表示．例如将量子电磁体系展开为为电偶极矩．电四极矩、磁偶极矩等多极结构．以电磁波与不同近似的多极结构的相互作用为周期件微扰，以便以后使用量子跃迁方法求出相应的跃迁概率与跃迁速率．由于这种方法综合运用了经典电动力学理论与量子跃迁理论，故称之为半经典方法．这类方法在非相对论量子力学中经常应用． 4.用沿正方向传播的右旋圆偏振光照射原子，造成原子中电子的受激跃迁．求选择定则． 解：右旋偏振光中的电场的旋转方向符合右手螺旋法则．因波长远大于原于半径，可以略去电场的空间变化(相当于 只考虑电偶极跃迁)．如以表示光波电场的振幅，则电场的时间变化为
第四章 量子力学的表述形式 （本章对初学者来讲是难点） 表象：量子力学中态和力学量的具体表示形式。 为了便于理解本章内容，我们先进行一下类比： 矢量（欧几里德空间） 量子力学的态（希尔伯特空间） 基矢),,(321e e e ~三维 本征函数,...),...,,(21n ψψψ~无限维 任意矢展开∑=i i i e A A 任意态展开 ∑=n n n a ψψ ),,(z y x e e e ),...)(),...,(),((21x x x n ψψψ 取不同坐标系 ),,(?θe e e r 取不同表象 ),...)(),...,(),((21p C p C p C n ………. ………. 不同坐标之间可以进行变换 不同表象之间可以进行变换 由此可见，可以类似于矢量A ，将量子力学“几何化”→在矢量空间中建立它的一般形式。 为此，我们将 ① 引进量子力学的矢量空间~希尔伯特空间； ② 给出态和力学量算符在该空间的表示； ③ 建立各种不同表示之间的变换关系。 最后介绍一个典型应用（谐振子的粒子数表象）和量子力学的三种绘景。 4.1希尔伯特空间 狄拉克符号 狄拉克符号“ ”~类比： ),,(z y x A A A 欧氏空间的矢量 A →坐标系中的分量 ),,(?θA A A r ………. )(r ψ →表象下的表示 )(p C ……….
引入狄拉克符号的优点：①运算简洁；②勿需采用具体表象讨论。 一、 希尔伯特空间的矢量 定义：希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间，并且一般 是无限维的。 1、线性：①c b a =+；②a b λ=。 2、完备性：∑=n n n a a 。 3、内积空间： 引入与右矢空间相互共轭的左矢空间 ∑ ==? +n n n a a a a * ; )(:。 定义内积：==* a b b a 复数，0≥a a 。 1=a a ~归一化；b a b a ,~0=正交； m n n m δ=~正交归一；)(x x x x '-='δ~连续谱的正交归一。 二、 量子体系的态用希尔伯特空间的矢量表示 （此属“符号问题”，仅作简要介绍，主要由学生自己通过练习来熟悉符号） 1、态矢符合线性空间的要求：?λψψψψ=+=21。 2、任意态矢可用一组完备的基矢展开： nm m n n n n f f f a δψ==∑, 。 ∑∑ =→====n n n n m mn n n m n m n f a a a f f a f a ψδψ? 。 3、态可以求内积： ??==dx x x dx x x )(,)(??ψψ ~ 以}{x 为基， 其中 ??ψψx x x x ==)()(。 取ψ的左矢：?=dx x x )(*ψψ，有内积 ????='''='''=dx x x dx x d x x x x x d x x dx x x )()()()()()(***?ψ?ψ?ψ?ψ 上式已利用了连续谱的正交归一性)(x x x x '-='δ。 三、 希尔伯特空间的算符 算符 ψ?F F =: 1、算符对左矢的作用： F b 存在，其意义（定义）为 )()(a F b a F a F ==。
II.力学量与算符 1.量子力学中与力学量有关的基本假设有哪些？ 关于力学量及其表示，量子力学有三条基本假定： (1)有关量子体系运动的每一个力学量都可以用一个线性厄密算符来表示． (2)对于该力学量的测量值，必定是相应的线性厄米算符的本征值之一． (3)如果体系处于态，该态可按算符的本征态展开 那么在态中，测量力学量取值的概率正比于展开系数的模的平方． 以上三条假定，共同给出了关于力学量的完整概念． 可见，在量子力学中，力学量与态是相对独立的概念。而力学量算待与其数值也有不同含义．在经典物理中，力学量可由运动状态完全确定，不必引入算符表示．并且，力学量与其数值也是一体的概念． 2. 量子力学为什么要用算符表示力学量 ? 用算符表示力学量，是由于量子体系所固有的波粒二象性所要求的．这正是量子力学处理方法上的基本特点之一．我们知道，表示量子态的波函数是一种概率波．因此，即使在确定的量子态中，也并非各种力学量都有完全确定区而是一般地表现为不同数值的统计分布．这就注定了经典力学量的表示方法 (可由运动状态完全决定)不再适用，因此需要寻求新的表示方法． 我们从力学量平均值的表示式出发，来说明引入算符的必要性．如果体系处于态中，则它的位置平均值为 类似地，它的动量平均位也可表示为
但是要求出第二个积分，必须将表示为的函数．然而这是办不到的．因为按不确定关系的表示是无意义的，因此不能直接在坐标表象中按上式求动量平均值．我们可先在动量表象中求出动量平均值，再转换到坐标表象中去． 利用有 可见，若在坐标表象中计算动量平均值，那么动量矢量恰与算符相当，实际上，任何一个力学量在自身表象(连续谱)中计算其平均值，都与一个特定的算符相当，这就自然地引入了算符表示的概念． 用算符表示力学量的问题还可以从另一角度来说明．我们知道量子力学中，力学与力学量之间的关系，从其数值是否能同时确定来考虑，有相互对易与不对易两种，而经典力学量之间都是对易的，因此经典力学量的表示方法不能适用于量子力学．然而在数学中，算符与算符之间一般并不满足交换律．也就是存在不对易的情形．因此用算符表示力学量是适当的． 3.什么是算符的本征值和本征函数？它们有什么物理意义？ 含有算符的方程 称为的本征值方程, 为的一个本征值，而则称为的属于本征值的本征函数． 如果算符代表一个力学量，上述概念物理意义如下： 当体系处于的本征态时，测量的数值是确定的，恒等于，并且根据本章开头列出的假设，当体系处于任意态时，
量子力学中微扰理论的简单论述
摘要：在量子力学中，由于体系的哈密顿函数算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数。因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就什么重要。常用的近似方法有微扰法、变分法、半经典近似和绝热近似等，不同的近似方法有不同的实用范围，在下文中将讨论分立谱的微扰理论。对于体系的不含时的哈密顿函数的分立谱的的微扰理论可以分为非简并定态微扰理论和简并定态微扰理论。 关键词：近似方法；非简并定态微扰理论；简并定态微扰理论
目录 1 非简并定态微扰论 (1) 2 简并定态微扰论 (8) 2.1理论简述： (8) 2.2简并定态微扰论的讨论 (10) (11) 11
v .. . .. 0 引言 微扰理论是量子力学的重要的理论。对于中等复杂度的哈密顿量，很难找到其薛定谔方程的精确解。我们所知道的就只有几个量子模型有精确解，像氢原子、量子谐振子、与箱归一化粒子。这些量子模型都太过理想化，无法适当地描述大多数的量子系统。应用微扰理论，可以将这些理想的量子模型的精确解，用来生成一系列更复杂的量子系统的解答。 量子力学的微扰理论引用一些数学的微扰理论的近似方法。当遇到比较复杂的量子系统时，这些方法试着将复杂的量子系统简单化或理想化，变成为有精确解的量子系统，再应用理想化的量子系统的精确解，来解析复杂的量子系统。基本的方法是，从一个简单的量子系统开始，这简单的系统必须有精确解，在这简单系统的哈密顿量里，加上一个很弱的微扰，变成了较复杂系统的哈密顿量。假若这微扰不是很大，复杂系统的许多物理性质（例如，能级，量子态，波函数）可以表达为简单系统的物理性质加上一些修正。这样，从研究比较简单的量子系统所得到的知识，可以进而研究比较复杂的量子系统。 微扰理论可以分为两类，不含时微扰理论与含时微扰理论。不含时微扰理论的微扰哈密顿量不含时间；而含时微扰理论的微扰哈密顿量含时间。 1 非简并定态微扰论 1.1 理论简述 近似方法的精神是从已知的较简单的问题准确解出发，近似地求较复杂的一些问题的解，当然，还希望了解这些求解方法的近似程度，估算出近似解和准确解之间的最大偏离。下面我们将讨论体系在受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能级和波函数所发生的变化。[1] 假设体系的哈密顿量H 不显含t ，定态的薛定谔方程 H E ??=
第8章 自 旋 与 全 同 粒 子 Stern-Gerlach 实验中得到了直接证实。 1、Stern-Gerlach （斯特恩-革拉赫）实验 2、自旋的提出 (1)、每个电子具有自旋角动量s （电子本身固有的，而不是自转而产生的），它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2z s =± ； (2)、每个电子具有自旋磁矩s μ ，它和自旋角动量s 的关系是 s e s mc μ=- ，-e 是电子的电荷，m 是电子的质量 自旋磁矩s μ 在空间任意方向上的投影只能取两个数值： 2sz B e mc μμ=± =± 2B e mc μ= 为玻尔磁子 sz z e s mc μ=-，2lz z e l mc μ=- 电子 s l （1） 无经典对应量 有经典对应量 （2） 2 z s =± 22(1)l l l =+ ，z l m = （3） sz z e s mc μ=- 2lz z e l mc μ=- 回转磁比率 实验证明，除电子外，其他微观粒子也都具有自旋。如原子、中子、μ介子的自旋角动量和电子一样（但自旋磁矩不同），π介子、k 介子的自旋角动量为0（但自旋磁矩不为零），以下除有特殊说明外，我们所讲的自旋都是指电子自旋。 §8.1 电子自旋态与自旋算符 一、自旋算符 通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数 ????(,)F F r p = 而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为s 它是角动量，满足同样的角动量对易关系???s s i s ?= 轨道角动量?l 自旋角动量s ???l l i l ?= ???s s i s ?= ???[,]x y z l l i l = ???[,]x y z s s i s = ???[,]y z x l l i l = ???[,]y z x s s i s = ???[,]z x y l l i l = ???[,]z x y s s i s = 2??[,]0i l l = 2??[,]0i s s = 由于自旋角动量s 在空间任意方向上的投影只能取 ±?/2 两个值， 所以
求解量子力学微扰论的高级修正 贵州师范大学侯天江 摘要:本文从理论上详细求解了非间并定态微扰情况下波函数的三级近似，间并定态情微扰情况下能量至三级波函数至二级修正，最后综合应用上述两种情况的方法来解决氢原子二级斯塔克效应。在很多高校量子力学教材和网络期刊上非间并定态微扰理论已经求解到了能量到二级修正波函数到二级修正，而能量三级修正在部分习题书上已经求解，但波函数三级修正目前为止还未有人求解。间并情况下很大部分书籍由久期方程求解了能量的一级修正，只提及了求解零级波函数的思想，并没有对此理论作出深入讨论。为此，在已有的理论基础之上本章将对微扰论进一步继续发展。 关键词：微扰论;非间并波函数三级修正;间并修正;二级斯塔克效应 Abstract:In this paper, a detailed theory for solving the inter-and non-steady-state wave function under the perturbation of the three-level approximation, and steady-state conditions between the perturbation energy to the three cases, the wave function to two amendments to the comprehensive application of the last two cases above to solve the hydrogen atom Stark effect II. Colleges and universities in many quantum mechanics textbooks and online journals and non-inter-state perturbation theory has been set for solving the energy wave function to the two amendments to the two amendments, and amendments to the energy in the three books have been part of exercises to solve, but the wave function c class so far has not been amended to solve. And is among the majority of cases of books from the equation to solve the energy level of the amendment refers only to the solution of zero-order wave function of thinking, did not conduct an in-depth discussion of the theory. To this end, the existing theory based on perturbation theory in this chapter will continue to develop further.