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第五篇解析几何
专题05 解析几何中的与三角形面积相关的问题
【典例1】【山东省临沂市2019届高三模拟考试】已知椭圆C：()
22
22
10
x y
a b
a b
+=>>，且与抛物线2y x
=交于M，N两点，OMN
?（O为坐标原点）的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点）1F，2F为左、右焦点，2
AF的延长线与椭圆交于B点，AO 的延长线与椭圆交于C点，求ABC
?面积的最大值．
【思路引导】
(1)由题意求得a,b,c的值即可确定椭圆方程；
(2)分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和均值不等
26 / 26
26 / 26
式即可确定三角形面积的最大值. 【详解】
（1）椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>与抛物线2y x =交于M ，N 两点，
可设(M x
，(,N x ， ∵OMN ?
的面积为
∴=2x =
，∴M
，(2,N ，
由已知得22222242
1c a
a b a b c ?=
???+=??=+???
，解得a =2b =，2c =，
∴椭圆C 的方程为22
184
x y +=.
（2）①当直线AB
的斜率不存在时，不妨取A
，(2,B
，(2,C -，故
1
42
ABC ?=?=；
②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，
联立方程22(2)18
4y k x x y =-???+=??，化简得()2222
218880k x k x k +-+-=，
则(
)(
)(
)
2
2
2
2
64421883210k k k k ?=-+-=+>，
2122
821k x x k +=+，2122
8821
k x x k -?=+，
||AB =
=
2
2
1
21
k
k
+
=
+
，
点O到直线20
kx y k
--=
的距离d==，
因为O是线段AC的中点，所以点C到直线AB
的距离为2d=，
∴
1
||2
2
ABC
S AB d
?
=
?
2
2
11
221
k
k
??
+
=? ?
+
?
?
=
∵
()
()
()
()
2222
22
222
11
211
k k k k
k k k
++
=
??
+++
??
()
()
22
22
11
4
41
k k
k k
+
=
+
，又22
1
k k
≠+
，所以等号不成立.
∴
ABC
S
?
=<
综上，ABC
?面积的最大值为.
【典例2】【辽宁省大连市2019届高三第二次模拟考试】已知抛物线C:x2=2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2交于点M.
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅰ）若l1⊥l2，求△MAB面积的最小值.
【思路引导】
(Ⅰ)根据抛物线的性质即可得到结果；(Ⅰ)由直线垂直可构造出斜率关系，得到x1x2=?4，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得m；联立两切线方程，可用k表示出M，代入点到直线距离公式，从而得到关于面积的函数关系式，求得所求最值.
【详解】
(Ⅰ)由题意知，抛物线焦点为：(0,p
2
)，准线方程为：y=?p
2
焦点到准线的距离为2，即p=2.
(Ⅰ)抛物线的方程为x2=4y，即y=1
4
x2，所以y′=1
2
x
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
26 / 26
26 / 26
l 1:y ?
x 1
24
=
x 12
(x ?x 1) l 2:y ?
x 2
24
=
x 22
(x ?x 2)
由于l 1⊥l 2，所以x
1
2?
x 22
=?1，即x 1x 2=?4
设直线l 方程为y =kx +m ，与抛物线方程联立，得 {y =kx +m x 2=4y
所以x 2?4kx ?4m =0 Δ=16k 2+16m >0，x 1+x 2=4k,x 1x 2=?4m =?4，所以m =1 即l:y =kx +1
联立方程{y =x
12x ?x 1
2
4y =x 22x ?x 224 得：{x =2k y =?1
，即：M (2k,?1) M 点到直线l 的距离d =
√1+k 2
=
2√1+k 2
|AB |=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2?4x 1x 2]=4(1+k 2)
所以S =1
2×4(1+k 2)×
2√1+k 2
=4(1+k 2)3
2≥4
当k =0时，ΔMAB 面积取得最小值4
【典例3】【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查】已知椭圆E ：x 2
a 2+
y 2b 2
=1(a >b >0)的
左焦点为F (?1,0)，且过点A(1,√2
2)，O 为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅰ）点B 为椭圆E 上的动点，过点F 作平行于OB 的直线l 交椭圆于C ，D 两点，求ΔBCD 面积的取值范围． 【思路引导】
（Ⅰ）根据题意可得，c =1，且|AF |+|AF ′|=2√2=2a ，从而得到椭圆E 的方程；
（Ⅰ）讨论直线CD 的斜率，当直线CD 的斜率存在时，设直线CD 的方程为y =k(x +1)(k ≠0)．联立方程利用韦达定理表示S ΔACD =1
2×|CD |d ，求出函数的值域，即可得到 ΔBCD 面积的取值范围． 【详解】 解法一：
（Ⅰ）依题意得，左焦点F(?1,0)，则右焦点F ′(1,0) 即c =1，且|AF|+|AF ′|=2√2=2a
26 / 26
则a =√2
得b 2=a 2?c 2=1 椭圆方程为
x 22
+y 2=1
（Ⅰ）当直线CD 的斜率不存在时，|CD|=√2， 此时S ΔBCD =1
2
×√2×1=√2
2
．
当直线CD 的斜率存在时，设直线CD 的方程为y =k(x +1)(k ≠0)． 由{y =k(x +1),x 2+2y 2=1,
消去y 得： (1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2?2=0． 显然Δ>0，
设C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)， 则{x 1+x 2=?4k 2
1+2k 2,
x 1·x 2=2k 2?2
1+2k
2,
故|CD|=√1+k 2?|x 1?x 2| =√1+k 2?√?4k 21+2k 2
2?4×
2k 2?21+2k 2
=√1+k 2?√8k 2+8
(
1+2k 2)2
， =
2√2(1+k 2)
1+2k 2
． 因为CD //AB ，
所以点A 到直线CD 的距离即为点O 到直线CD 的距离d =√1+k 2
，
所以S ΔACD =1
2×|CD |d =√2(1+k 2)1+2k 2×√1+k 2=
√2|k|?√1+k 2
1+2k 2
=√2√(1+k 2)k 2(
1+2k 2)2
=
√2
2√4k 4+4k 24k 4+4k 2+1
， =
√2
2
√1?1
(
1+2k 2)2
，
因为1+2k 2>1，所以0<1
(1+2k 2)2<1， 所以0
2
．
综上，S ΔACD ∈(0,√2
2
] ．
【典例4】【广东省汕头市潮南区2020届联考】已知抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 垂直
26 / 26
于x 轴的直线与抛物线C 相交于,A B 两点，抛物线C 在,A B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)设,M N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足OM ON OA OB k k k k ?=?，求OMN ?面积的取
值范围. 【思路引导】
（1）求出,A B 坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，得到切线与x 轴的交点，利用三角形的面积列方程解出p ，从而可得结果；（2）计算4OA OB k k ?=-，设出MN 方程，求出MN 与x 轴的交点，联立方程组，根据韦达定理及弦长公式可得M N y y -，得出OMN ?面积S 关于t 的函数，从而可得函数的最值. 【详解】 (1)依题意得
，
由，得，
∴抛物线在
处的切线斜率为，
由抛物线
的对称性，知抛物线
在
处的切线斜率为，
抛物线在A 处的切线方程为,
令y=0,得, ∴S=，解得.
∴抛物线
的方程为
. (2)由已知可得
， 设则，∴.
令直线的方程为
，
联立方程组
消去得
，
26 / 26
则，
∵
，∴
.
∴直线MN 过定点（1，0）, ∴.
∵，
∴.
综上所示，
面积的取值范围是
.
【典例5】【广西柳州高级中学2020届月考】已知椭圆()22
122:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、
2F ,椭圆的离心率为
1
2
,过椭圆1C 的左焦点1F ,且斜率为1的直线l ,与以右焦点2F 为圆心,
的圆2C 相切.
（1）求椭圆1C 的标准方程;
（2）线段MN 是椭圆1C 过右焦点2F 的弦,且22MF F N λ=,求1MF N ?的面积的最大值以及取最大值时实数
λ的值.
【思路引导】
（1）设()1,0F c -,()()2,00F c c >,可得:直线l 的方程为:y x c =+,即0x y c -+=,直线l 与圆2C 相切,圆心
2F 到直线l
的距离为d =
=解得1c =,结合已知,即可求得答案.
（2）将直线MN 的方程与椭圆方程联立,求得112121
2
MF N S F F y y ?=??-,结合导数知识,即可求得答案. 【详解】
（1）设()1,0F c -,()()2,00F c c >, 直线l 斜率为1,且过椭圆1C 的左焦点1F .
∴直线l 的方程为:y x c =+,即0x y c -+=.
26 / 26
直线l 与圆2C 相切,
∴圆心2F 到直线l
的距离为d =
=
解得1c =.
椭圆1C 的离心率为12,即112
e e a a ===, 解得:2a =,
根据:222413b a c =-=-=
∴椭圆1C 的方程为22143
x y +=. （2）由（1）得()11,0F -,()21,0F ,
22MF F N λ=
∴直线MN 的斜率不为0,
∴设直线MN 的方程为:()1x ty t R =+∈,
将直线MN 的方程与椭圆方程联立可得:221
14
3x ty x y =+??
?+=??消掉y
可得:(
)2
2
43690t
y
ty ++-=,
()223636430t t ?=++>恒成立,
设()11,M x y ,()22,N x y , 则1y ,2y 是上述方程的两个不等根, 根据韦达定理可得:
122
643t y y t
-∴+=
+,1229
43y y t -=+. 1MF N ∴?的面积:112121
2
MF N S F F y y ?=??-
12121
22
y y y y =??-=-
26 / 26
=
==
m =,则m 1≥,221t m =-,
∴223431t m +=+
可得:12
1231
MF N
m
S
m =?
+. 令()()2131
m
f m m m =
≥+
∴()()
2
2
2
13031m f m m
-'=
<+恒成立,
∴函数()f m 在[)1,+∞上为减函数,故()f m 的最大值为:()114
f =, ∴1MF N ?的面积的最大值为1
1234
?
=, 当且仅当1m =,即0t =时取最大值,
此时直线MN 的方程为1x =,即直线MN 垂直于x 轴, 此时22MF F N =,即1λ=.
综上所述,1MF N ?的面积的最大值3,1λ=时1MF N ?的面积的最大.
【典例6】【安徽省芜湖市2019届高三模拟考试】设曲线C: x 2=2py(p >0)，点F 为C 的焦点，过点F 作斜率为1的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点A ，B 的横坐标的倒数和为-1. （1）求曲线C 的标准方程；
（2）过焦点F 作斜率为k 的直线l ′交曲线C 于M ，N 两点，分别以点M ，N 为切点作曲线C 的切线相交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，求三角形MNQ 面积的最小值. 【思路引导】
（1）设直线l 的方程，与抛物线联立，由点A ，B 的横坐标的倒数和为-1，结合韦达定理代入求值即可；（2）设l ′的方程为y =kx +1，与抛物线联立求得|MN|,求过M,N 的切线方程求得Q(2k,0),利用点到线的距离求点Q 到直线/的距离为d Q =2√k 2+1
，利用S ΔQMN =12|MN|?d Q =1
2
×4(1+k 2)2√k 2+1
=2(2k 2+1)√k 2+1求
解即可
26 / 26
【详解】
（1）由题意可知：F(0,p 2)，故可设直线l 的方程为y ?p 2=x ?0即x ?y +p
2=0 联立方程{x 2=2py
x ?y +p
2=0
可得x 2?2px ?p 2=0∴{Δ=4p 2+4p 2>0x A +x B =2p x A ?x B =?p 2
由题意知：1x A
+1x B
=?1，即x A +x B
x A
?x B
=?1，即2p
?p 2=?1，得p =2.
∴曲线C 的标准方程为x 2=4y .
（2）由题意知直线l ′的斜率是存在的，故设l ′的方程为y =kx +1， 设l ′与曲线C 相交于点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2) (x 1≠x 2)
联立方程{x 2
=4y y =kx +1
可得x 2?4kx ?4=0∴{Δ=16k 2+16>0
x 1+x 2=4k x 1?x 2=?4
∴|MN|=√(1+k 2)(16k 2+16)=4(k 2+1). 由x 2=4y ，得y =1
4x 2. ∴y ′=1
2x .
∴k MP =1
2x 1，∴l MP : y ?y 1=1
2x 1(x ?x 1)……① ∴k NP =1
2x 2，∴l NP : y ?y 2=1
2x 2(x ?x 2)……② 上述两式相减得：x P =
x 1+x 22
=2k ，∴x Q =2k .∴点Q 坐标为(2k,0).
∴点Q 到直线l 的距离为d Q =
22.∴S ΔQMN =1
2|MN|?d Q =1
2
×4(1+k 2)2√k 2+1
=2(2k 2+1)√k 2+1
又∵k ∈R ，∴k 2?0.易知当k 2=0时，S ΔQMN 的面积最小，且为2， 即(S ΔQMN )min =2.
【典例7】【河北省石家庄市2019届高中毕业班模拟考试】在平面直角坐标系中，()2,0A -，()2,0B ，设直线AC 、BC 的斜率分别为1k 、2k 且121
2
k k ?=- ， （1）求点C 的轨迹E 的方程；
（2）过()
F 作直线MN 交轨迹E 于M 、N 两点，若MAB △的面积是NAB △面积的2倍，求直线MN 的方程．
26 / 26
【思路引导】
（1）由题意，设(),C x y ，得到12
y k x =
+，22y k x =-，根据1212k k =-，即可求解椭圆的标准方程；
（2
）设直线:MN x my =1212,y y y y +，再由2MAB
NAB
S S
=，得
到122y y =-，列出关于m 的方程，即可求解． 【详解】
（1）由题意，设(),C x y ，则12
y k x =
+，22y
k x =-，
又由21221
42
y k k x ==--，整理得22142x y +=，
由点,,A B C 不共线，所以0y ≠，所以点C 的轨迹方程为22
1(0)42
x y y +=≠.
（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，
易知直线MN 不与x
轴重合，设直线:MN x my =
联立方程组2214
2x my x y ?=-??+=??，整理得得(
)22
220m y +--=，
易知>0?
，且122
2
y y m +=+，122202y y m -=<+ 由2MAB
NAB
S
S
=，故122y y =，即122y y =-，
从而()2
21
212212
2141
222
y y y y m y y m y y +-==++=-+， 解得2
27
m =
，即m =，
所以直线MN
的方程为07x y -
+=
或07
x y ++=． 【典例8】【福建省泉州市2019届普通高中毕业班第二次质量检查】已知抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点,A B 在C 上，F 为线段AB 的中点，4AB =.
26 / 26
（1）求C 的方程；
（2）过F 的直线l 与C 交于,M N 两点.若C 上仅存在三个点(1,2,3)i K i =，使得i MNK △的面积等于16，求l 的方程. 【思路引导】
(1)利用对称性或者中点得出方程.(2) 设l 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程利用韦达定理得出弦长,利用导数求出切点坐标,求出点线距3,利用面积是16确定直线.或者建立所以关于m 的方程
(
)
221
141116
2
4
k m ?+=-+=恰有三个不同实根，
即2114m km --=恰有三个不同实根，求出直线方程. 【详解】
解法1：（1）由抛物线的对称性，可知AB ∥x 轴， 且,A B 的坐标分别为2,,2,22p p ?
???
- ? ?????
， 所以422
p p =?
，解得2p =，故C 的方程为2
4x y =.
（2）如图，作与l 平行且与C 相切的直线'l ，切点为K .由题意，可知MNK 的面积等于16. 设l 的方程为1y kx =+， 方程2
4x y =可化为214y x =
，则1
'2
y x =， 令'y k =，解得2x k =，将2x k =代入24x y =，得2
y k =，故(
)2
2,K k k
，
所以K 到l
的距离d =
=
26 / 26
由24,1,
x y y kx ?=?=+?消去y ，得2440x kx --=， 从而12124,4x x k x x +==-， 所以
()
241MN k =
=+，
故MNK 的面积
(21
212
MN d k ?=+
从而
(22116k +=，
解得k
=
k =
所以
l 的方程为1y
=+或1y =+.
解法2：（1）设()()0000,,','A x y B x y ，则2
002x py =，200'2'x py =，
因为F 为AB 的中点，所以00'0x x +=，00'y y p +=，
故00'2p
y y ==
，从而02AB x =，故02x =， 所以422
p
p =?，解得2p =，
故C 的方程为2
4x y =.
（2）直线l 斜率显然存在，设直线l 的方程为1y kx =+.
由24,1,
x y y kx ?=?=+?消去y ，得2440x kx --=， 设()()1122,,,M x y N x y ，则12124,4x x k x x +==-，
所以()
241MN k =
=+，
点K 在C 上，设点21,4K m m ??
???
，则点K 到直线l
的距离d =
MNK 的面积等于16，
所以关于m 的方程
26 / 26
(
)
221
141116
2
4
k m ?+=-+=恰有三个不同实根，
即
2114m km --=恰有三个不同实根， 所以2m k =，
(
)2
2122114k k k k -?-=+=，
解得k =
k =
所以l
的方程为1y =+
或1y =+.
1. 【福建省龙岩市（漳州市)2019届高三5月月考】已知离心率为12的椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右
焦点与抛物线2
:2(0)E y px p =>的焦点F 重合，且点F 到E 的准线的距离为2. （1）求C 的方程；
（2）若直线l 与C 交于,M N 两点，与E 交于,A B 两点，且4OA OB ?=-（O 为坐标原点），求MNF ?面积的最大值. 【思路引导】
(1)先求P,再列a,b,c 的方程组求解即可（2）设l 的方程为x my n =+ ，与抛物线联立将4OA
OB 坐
标化代入韦达定理解得n=2，利用31||||22
MNF S MF y =△≤
即可求解； 【详解】
（1）因为点x 到E 的准线的距离为2，所以2p =，(1,0)F ，
由2
22
1,
1,2,
c c a a b c =?
??
=??=+??解得2,a b =???
=??
26 / 26
所以C 的方程为22
143
x y +=
（2）解法一.由（1）知抛物线E 的方程为2
4y x =.
要使直线l 与抛物线E 交于两点，则直线l 的斜率不为0，可设l 的方程为x my n =+， 由2
,4,
x my n y x =+??
=?得2
440y my n --= 所以2
(4)160m n ?=-+>，得20m n +>.
设()()1122,,,A x y B x y 则1212
4,
4,y y m y y n +=??
=-? 所以22
22
2121212()16441616
y y y y n x x n =?===，
因为4OA OB
，所以12124x x y y +=-，
所以244n n -=-，所以2n =， 所以直线l 的方程为2x my =+， 所以直线l 过椭圆C 的右顶点(2,0)，
不妨设(2,0)M 33(,)N x y
，3y ，且3y ≠0，
所以31||||2MNF S MF y =
△
当且仅当3y =
max ()MNF S =
△ 2. 【天津市河北区2019届高三一模】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅰ）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，
且在直线2:0l x y -+=上存在点M ，使得MPQ 为等边三角形，求直线1l 的方程． 【思路引导】
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（Ⅰ）列a,b,c 的方程组求解即可求得方程；（Ⅰ）当1l 的斜率k=0时符合题意；当1l 的斜率k ≠0时，设直线
1:,l y kx =与椭圆联立，求得P ，Q 坐标，进而求得PO ，设直线1l 的中垂线方程：1
y x k
=-,求其与2l 的交点M,由
MPQ 为等边三角形,
得到MO =解方程求得k 值即可 【详解】
（Ⅰ
）由题222
22
411a b c e a a b c ?+=??
?==??=+???
解得
a=
,∴椭圆C 的方程为22
182x y
+=
（Ⅰ）由题，当1l 的斜率k=0时，此时
直线2l :x y 0-+=与y 轴的交点（0
，满足题意；
当1l 的斜率k ≠0时，设直线1:,l y kx =与椭圆联立2218
2y kx
x y =???+=?
?得()2214k x +=8,2
2
814x k =+,设P （00x y ，）,则Q （00x y --，）
,
222002288 ,,1414k x y PO k k ∴==∴==++又PQ 的垂直平分线方程为1y x k =-
，由10
y x k x y ?=-???-+
=?
，解得1x y k ?=????=
?+?
, M ,11k k ??∴- ? ?++??,
MO ∴=
, ∵
MPQ 为等边三角形,MO ∴=
=
解
得k=0(舍去)，k=
23, ∴直线1l 的方程为y=23
x 综上可知，直线1l 的方程为y=0或y=2
3
x
3. 【山东省淄博市2020届模拟】已知点A ，B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，三角形ABM 的两条边AM ，
BM 所在直线的斜率之积是3
4
-
。 （I ）求点M 的轨迹方程：
26 / 26
（II ）设直线AM 方程为()20x my m =-≠，直线l 方程为2x =，直线AM 交l 于P 点，点P ，Q 关于x 轴对称，直线MQ 与x 轴相交于点D 。若APD ?
面积为m 的值。 【思路引导】
(1)本题可以先将点M 的坐标设出，然后写出直线AM 的斜率与直线BM 的斜率,最后根据AM 、BM 所在直线的斜率之积是34
-
即可列出算式并通过计算得出结果； (2)首先可以联立直线AM 的方程与直线l 的方程，得出点P Q 、两点的坐标，然后联立直线AM 的方程与点M 的轨迹方程得出M 点坐标并写出直线MQ 的方程，最后求出D 点坐标并根据三角形面积公式计算出
m 的值。
【详解】
（1）设点M 的坐标为(),x y ，因为点A B 、的坐标分别为()20-，
、()20，， 所以直线AM 的斜率()22AM y k x x =
≠-+，直线BM 的斜率()22
BM y
k x x =≠-， 由题目可知3224y y x x ?=-+-，化简得点M 的轨迹方程()22
1243
x y x +=≠±； （2）直线AM 的方程为()20x my m =-≠，与直线l 的方程2x =联立，
可得点42,P m ?? ???，故42,Q m ??- ??
?.
将2x my =-与22143
x y +=联立，消去x ，整理得()
22
34120m y my +-=，
解得0y =，或2
1234m
y m =+，根据题目可知点2226812,3434m m M m m ??- ?++??
， 由42,Q m ??- ???可得直线MQ 的方程为()22
21246842203434m
m x y m m m m ??-????+---+= ? ? ?++??????， 令0y =，解得22
64
32m x m -=+，故2264032m D m ??- ?+??
，， 所以22
22
641223232
m m AD m m -=+=++，APD ?的面积为22224112423232m m m m m ??=++
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又因为APD ?
的面积为
，故
2
2432
m m =+
整理得2
320m m -+=
，解得m =
m =。 4. 【天津市新华中学2019届高三下学期第八次统练】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>
其短轴的端点分别为,,||2A B AB =，且直线,AM BM 分别与椭圆C 交于,E F 两点，其中点1,2M m ?
? ???
，满足0m ≠
，且m ≠ （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅰ）若BME 面积是AMF △面积的5倍，求m 的值.
【思路引导】
（Ⅰ）由题意得到关于a,b,c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；
（Ⅰ）由题意得到直线AM,BM 的方程，联立直线方程与椭圆方程，求得点E,F 的坐标结合题意即可得到关于m 的方程，解方程即可确定m 的值. 【详解】
（Ⅰ
）由题意可得：222
222c e a AB b a b c ?==???
==??=+?
??
，解得：222413a b c ?=?=??=?，
椭圆的方程为2
214
x y += .
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（Ⅰ）()()10,1,0,1,,2A B M m ??
- ???
且0m ≠， ∴直线AM 的斜率为112k m =-
，直线BM 的斜率为232k m
=， ∴直线AM 的方程为112y x m =-+，直线BM 的方程为3
12y x m =-，由22
1,411,
2x y y x m ?+=????=-+??
得()
2
2140m
x mx +-=，
∴240,1
m
x x m ==
+，
∴22
241,11m m E m m ??
- ?++?
?. 由2
21,431,2x y y x m ?+=????=-??
得()
22
9120m x mx +-=， ∴2120,9
m
x x m ==
+，
∴222129,99m m F m m ??
- ?++??
.
∵11sin sin 22
AMF BME S MA MF AMF S MB ME BME ??=
∠=∠，，AMF BME ∠=∠， 5AMF
BME
S
S
=，
∴5MA MF MB ME =，
∴
5MA MB ME
MF
=
∴22
541219m m m m
m m m m =
--++ ∵0m ≠
，且m ≠
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∴整理方程得21m =， ∴1m =±为所求.
5．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试】已知椭圆C:
x 2a 2
+y 2
b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(1,0)，离
心率为√22
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设过点F 的直线l 交椭园C 于M ，N 两点，若△OMN （O 为坐标原点）的面积为2
3，求直线l 的方程. 【思路引导】
（1）根据题意，得到c,a ，进而求出b 2，即可得到椭圆方程；
（2）先由题意设直线l 的方程为x =my +1，联立直线与椭圆方程，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，由韦达定理，根据ΔOMN 的面积S =1
2|OF‖y 2?y 1|=1
2，求出m ，即可得出结果. 【详解】
（1）由题意可知c =1， 离心率c
a
=√2
2，所以a =√2
所以b 2=a 2?c 2=1 所以椭圆C 的方程为
x 22
+y 2=1，
（2）由题意可以设直线l 的方程为x =my +1， 由{x 2
2+y 2=1x =my +1
得(m 2+2)y 2+2my ?1=0， Δ=4m 2+4(m 2+2)=8(m 2+1)>0
设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)
所以，y 1+y 2=?2m m 2+2，y 1y 2=?1
m 2+2.
所以ΔOMN 的面积S =12|OF‖y 2?y 1|=1
2创√(y 2+y 1)2?4y 2y 1
=12√(?2m m 2+2)2+4m 2+2=√2√m 2+1m 2+2
因为ΔOMN 的面积为2
3，所以√m 2
+1m 2
+2
=√2
3
.