2019-2020学年广西贵港市平南县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题都给出标号为（A）、（B）、（C）、（D）的四个选项，其中只有一个是正确的．
1．如果，那么x的值是（）
A．B．C．D．
2．一元二次方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）=0的一般形式是（）
A．x2﹣5x+5=0 B．x2+5x﹣5=0 C．x2+5x+5=0 D．x2+5=0
3．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（）
A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定
4．如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB=8cm，则圆心O到弦AB的距离是（）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
5．如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，那么图形所在平面内，可作为旋转中心的点个数（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．已知二次函数y=﹣x2﹣x+1，当自变量x取m时，对应的函数值大于0，设自变量分别取m﹣3，m+3时对应的函数值为y1，y2，则下列判断正确的是（）
A．y1＜0，y2＜0 B．y1＜0，y2＞0 C．y1＞0，y2＜0 D．y1＞0，y2＞0
7．将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为（）
A．y=﹣2（x+1）2﹣2 B．y=﹣2（x+1）2﹣4 C．y=﹣2（x﹣1）2﹣2 D．y=﹣2（x﹣1）2﹣4
8．为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V（m3）一定的污水处理池，池的底面积S（m2）与其深度h（m）满足关系式：V=Sh（V≠0），则S关于h的函数图象大致是（）
A．B．C．D．
9．口袋中放有3只红球和11只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取一只球，取得黄球的可能性的大小是（）
A．B．C．D．
10．下列选项中，函数y=对应的图象为（）
A．B．C．D．
11．如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（）
A．1条B．2条C．3条D．4条
12．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM 交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）
A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
13．已知△ABC∽△DEF，如果∠A=75°，∠B=25°，则∠F=．
14．若m是关于x的方程x2+nx+m=0的根，且m≠0，则m+n= ．
15．把5本书分别放进3个抽屉，其中有一个抽屉放进了3本书，这是个事件．16．已知y与x﹣1成反比例，且当x=3时，y=2，则y关于x的函数关系式为．
17．某市新建成的一批楼房都是8层，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化．已知点（x，y）都在一个二次函数的图象上（如图），则6楼房子的价格为元/平方米．
18．一列数x1，x2，x3，…，其中x1=，x n=（n为不小于2的整数），则x2015= ．
三、解答题：本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．如图，在平面直角坐标系xoy中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
（2）写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）．
A1
B1
C1．
20．已知y﹣2与x成反比例，且当x=2时，y=4，求y与x之间的函数关系式．
21．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，求DC的长．
22．一个袋中有3张形状大小完全相同的卡片，编号为1，2，3，先任取一张，将其编号记为m，再从剩下的两张中任取一张，将其编号记为n．
（1）请用树状图或者列表法，表示事件发生的所有可能情况；
（2）求关于x的方程x2+mx+n=0有两个不相等实数根的概率．
23．某电器厂五月份生产液晶电视5000台，因市场销售业绩不佳，产品严重积压，以致六月份的产量减少了10%，后调整定价，并在电视台做广告，结果销量持续攀升，于是该厂从七月份起产量开始上升，八月份达到6480台，那么该厂七、八月份的产量平均增长率是多少？
24．在平面直角坐标系内，已知点A（0，6），点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t=2秒时，求四边形OPQB的面积；
（3）当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
25．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，DA⊥AB，DO及DO的延长线与⊙O分别相交于点E、F，EB与CF相交于点G．
（1）求证：DA=DC；
（2）⊙O的半径为3，AC=，求GC的长．
26．如图，已知抛物线的对称轴为直线l：x=4，且与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究在此抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；
（3）以AB为直径作⊙M，过点C作直线CE与⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．
2019-2020学年广西贵港市平南县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题都给出标号为（A）、（B）、（C）、（D）的四个选项，其中只有一个是正确的．
1．如果，那么x的值是（）
A．B．C．D．
【考点】比例的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据比例的性质，对原式化简得x=，故答案选择C．
【解答】解：∵，
∴3x=5×2，
∴x=．
故选D．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练运用比例的基本性质、掌握比例式和等式的转化是解题的关键．
2．一元二次方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）=0的一般形式是（）
A．x2﹣5x+5=0 B．x2+5x﹣5=0 C．x2+5x+5=0 D．x2+5=0
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：一元二次方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）=0的一般形式是x2﹣5x+5=0．故选A．
【点评】去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
3．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（）
A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定
【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
【专题】计算题．
【分析】先求出方程的根，再根据三角形三边关系确定是否符合题意，然后求解．
【解答】解：∵方程x2﹣6x+8=0的解是x=2或4，
（1）当2为腰，4为底时，2+2=4不能构成三角形；
（2）当4为腰，2为底时，4，4，2能构成等腰三角形，周长=4+4+2=10．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和分情况讨论的思想，注意根据三角形的三边关系确定是否能构成三角形，不可盲目讨论．
4．如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB=8cm，则圆心O到弦AB的距离是（）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】过点D作OD⊥AB于点D，根据垂径定理求出AD的长，再根据勾股定理得出OD的值即可．【解答】解：过点D作OD⊥AB于点D．
∵AB=8cm，
∴AD=AB=4cm，
∴OD===3cm．
故选C．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5．如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，那么图形所在平面内，可作为旋转中心的点个数（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】旋转的性质．
【专题】分类讨论．
【分析】分别以C，D，CD的中点为旋转中心进行旋转，都可以使正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF 重合．
【解答】解：以C为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，可得到正方形CDEF；
以D为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，可得到正方形CDEF；
以CD的中点为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，可得到正方形CDEF；
故选C．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
6．已知二次函数y=﹣x2﹣x+1，当自变量x取m时，对应的函数值大于0，设自变量分别取m﹣3，m+3时对应的函数值为y1，y2，则下列判断正确的是（）
A．y1＜0，y2＜0B．y1＜0，y2＞0 C．y1＞0，y2＜0 D．y1＞0，y2＞0
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】求出二次函数与x轴的交点坐标，从而确定出m的取值范围，再根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：令y=0，则﹣x2﹣x+1=0，
整理得，2x2+3x﹣2=0，
解得x1=﹣2，x2=，
所以，二次函数与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（，0），
所以，﹣2＜m＜，
∵m﹣3，m+3时对应的函数值为y1，y2，
∴y1＜0，y2＜0．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点问题，求出函数图象与x轴的交点并确定出m的取值范围是解题的关键．
7．将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为（）
A．y=﹣2（x+1）2﹣2 B．y=﹣2（x+1）2﹣4 C．y=﹣2（x﹣1）2﹣2 D．y=﹣2（x﹣1）2﹣4
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】数形结合．
【分析】先确定抛物线的顶点坐标为（0，1），根据点平移的规律，点（0，1）向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（1，﹣2），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y=﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），点（0，1）向右平移1个单位，再向下平移3个单位后所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y=﹣2（x﹣1）2﹣2．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8．为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V（m3）一定的污水处理池，池的底面积S（m2）与其深度h（m）满足关系式：V=Sh（V≠0），则S关于h的函数图象大致是（）
A．B．C．D．
【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象．
【专题】压轴题．
【分析】先根据V=Sh得出S关于h的函数解析式，再根据反比例函数的性质解答，注意深度h的取值范围．
【解答】解：∵V=Sh（V为不等于0的常数），
∴S=（h≠0），S是h的反比例函数．
依据反比例函数的图象和性质可知，图象为反比例函数在第一象限内的部分．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用和反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
9．口袋中放有3只红球和11只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取一只球，取得黄球的可能性的大小是（）
A．B．C．D．
【考点】可能性的大小．
【专题】计算题．
【分析】计算出取得黄球的概率即可．
【解答】解：取得黄球的概率==，
所以随机从口袋中任取一只球，取得黄球的可能性的大小．
故选A．
【点评】本题考查了可能性的大小：通过比较概率的大小确定可能性的大小．
10．下列选项中，函数y=对应的图象为（）
A．B．C．D．
【考点】反比例函数的图象．
【分析】根据x的取值范围讨论函数的图象的位置后即可确定正确的选项．
【解答】解：∵y=中x≠0，
∴当x＞0时，y＞0，此时图象位于第一象限；
当x＜0时，y＞0，此时图象位于第二象限．
故选A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象，解题的关键是根据自变量的取值范围确定函数的图象的具体位置，难度不大．
11．如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【考点】相似三角形的判定．
【分析】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．
【解答】解：由于△ABC是直角三角形，
过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，
所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，
过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．解题时，运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．
12．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM 交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）
A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】计算题．
【分析】连接EM，根据已知可得△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA，根据相似比从而不难得到答案．【解答】解：连接EM，
CE：CD=CM：CA=1：3
∴EM平行于AD
∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA
∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3
∴AH=（3﹣）ME，
∴AH：ME=12：5
∴HG：GM=AH：EM=12：5
设GM=5k，GH=12k，
∵BH：HM=3：2=BH：17k
∴BH=K，
∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10
故选D．
【点评】此题主要考查相似三角形的性质的理解及运用．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
13．已知△ABC∽△DEF，如果∠A=75°，∠B=25°，则∠F=80°．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】由∠A=75°，∠B=25°，即可求得∠C的度数，然后由△ABC∽△DEF，根据相似三角形的对应角相等，即可求得答案．
【解答】解：∵∠A=75°，∠B=25°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=80°，
∵△ABC∽△DEF，
∴∠F=∠C=80°．
故答案为：80°．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应角相等定理的应用是解此题的关键．
14．若m是关于x的方程x2+nx+m=0的根，且m≠0，则m+n= ﹣1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】将m代入x2+nx+m=0，得m2+nm+m=0，再适当变形整理即可．
【解答】解：把m代入x2+nx+m=0，得m2+nm+m=0，
∴m（m+n+1）=0，
又∵m≠0，∴m+n+1=0，
∴m+n=﹣1．
【点评】本题考查综合运用所给已知条件处理问题的能力．
15．把5本书分别放进3个抽屉，其中有一个抽屉放进了3本书，这是个不确定事件．
【考点】随机事件．
【专题】分类讨论．
【分析】列举出所有可能发生的情况，然后根据事件的可能性判断相应类型即可．
【解答】解：把5本书分别放进3个抽屉，所有可能发生的结果有0、0、5；0、1、4；0，2，3；1，1，3；1，2，2这5种，其中有一个抽屉放进了3本书，可能发生，也可能不发生，是不确定事件．故答案为不确定．
【点评】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．确定事件包括必然事件和不可能事件．理解概念是解决这类基础题的主要方法．
必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
16．已知y与x﹣1成反比例，且当x=3时，y=2，则y关于x的函数关系式为y=．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式．
【分析】先设y=，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．
【解答】解：设y与x﹣1的关系式为y=，
当x=3时，y=2，
∴2=，
解得k=4，
∴关于x的函数关系式为y=．
故答案为：y=．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，属于中考的常见题型，同学们要熟练掌握．
17．某市新建成的一批楼房都是8层，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化．已知点（x，y）都在一个二次函数的图象上（如图），则6楼房子的价格为5080 元/平方米．
【考点】二次函数的应用．
【分析】先根据函数图象和二次函数的解析式运用待定系数法求出函数的解析式是关键．
【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2+5200，由函数图象，得
5080=a（2﹣4）2+5200，
解得：a=﹣30，
∴y=﹣30（x﹣4）2+5200，
当x=6时，
y=5080．
故答案为：5080．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，由自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
18．一列数x1，x2，x3，…，其中x1=，x n=（n为不小于2的整数），则x2015= 2 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】根据表达式求出前几个数不难发现，每三个数为一个循环组依次循环，用2015除以3，根据商和余数的情况确定a2015的值即可．
【解答】解：根据题意得，x2==2，
x3==﹣1，
x4==，
…，
依此类推，每三个数为一个循环组依次循环，
∵2015÷3=671…2，
∴x2015是第672个循环组的第2个数，与x2相同，
即x2015=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查数字的变化规律，计算并观察出每三个数为一个循环组依次循环是解题的关键．
三、解答题：本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．如图，在平面直角坐标系xoy中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
（2）写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）．
A1（﹣1，2）
B1（﹣3，1）
C1（2，﹣1）．
【考点】作图-轴对称变换；点的坐标．
【专题】作图题．
【分析】（1）利用轴对称性质，作出A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，顺次连接A1B1、B1C1、C1A1，即得到关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）根据点关于y轴对称的性质，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可求出A1、B1、C1各点的坐标．
【解答】解：（1）所作图形如下所示：
（2）A1，B1，C1的坐标分别为：（﹣1，2），（﹣3，1），（2，﹣1）．
故答案为：（﹣1，2），（﹣3，1），（2，﹣1）．
【点评】本题主要考查了轴对称变换作图，难度不大，注意作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，基本作法是：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．
20．已知y﹣2与x成反比例，且当x=2时，y=4，求y与x之间的函数关系式．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式．
【分析】由题意变量y﹣2与x成反比例，设出函数的解析式，利用待定系数法进行求解．
【解答】解：∵变量y﹣2与x成反比例，
∴可设y﹣2=，
∵x=2时，y=4，
∴k=2×2=4，
∴y与x之间的函数关系式是y=2．
【点评】此题考查反比例函数的性质，及用待定系数法求函数的解析式，是一道基础题．
21．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，求DC的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得=，再根据AD：DE=3：5，AE=8，可得AD、DE的
长，根据比例的性质，可得答案．
【解答】解：∵∠C=∠E，∠ADC=∠BDE，
∴△ADC∽△BDE，
∴=，
又∵AD：DE=3：5，AE=8，
∴AD=3，DE=5，
∵BD=4，
∴=，即．
∴DC=．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质，比例的性质．
22．一个袋中有3张形状大小完全相同的卡片，编号为1，2，3，先任取一张，将其编号记为m，再从剩下的两张中任取一张，将其编号记为n．
（1）请用树状图或者列表法，表示事件发生的所有可能情况；
（2）求关于x的方程x2+mx+n=0有两个不相等实数根的概率．
【考点】列表法与树状图法；根的判别式．
【专题】作图题；数形结合．
【分析】（1）2步实验，第一步是3种情况，第2步是2种情况，据此列举出所有情况即可；
（2）找到使△＞0的m，n的组数占总情况数的多少即可．
【解答】解：（1）依题意画出树状图（或列表）如下
（2）当m2﹣4n＞0时，关于x的方程x2+mx+n=0有两个不相等实数根，而使得m2﹣4n＞0的
m，n有2组，即（3，1）和（3，2）．
则关于x的方程x2+mx+n=0有两个不相等实数根的概率是．
∴P（有两个不等实根）=．
【点评】考查概率问题；找到关于x的方程x2+mx+n=0有两个不相等实数根的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
23．某电器厂五月份生产液晶电视5000台，因市场销售业绩不佳，产品严重积压，以致六月份的产量减少了10%，后调整定价，并在电视台做广告，结果销量持续攀升，于是该厂从七月份起产量开始上升，八月份达到6480台，那么该厂七、八月份的产量平均增长率是多少？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】根据6月份的产量=5月份的产量×（1﹣10%），6月份的产量×（1+增长率）2=8月份的产量，把相关数值代入求解即可．
【解答】解：设该厂七．八月份的产量平均增长率为x，
依题意，列方程得5000×（1﹣10%）（1+x）2=6480．
解得：x1=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该厂七．八月份的产量平均增长率是20%．
【点评】考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
24．在平面直角坐标系内，已知点A（0，6），点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t=2秒时，求四边形OPQB的面积；
（3）当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）根据直线经过点A、B，利用待定系数法求出函数的解析式；
（2）过点Q作QM⊥OA于M，由△AMQ∽△AOB求出QM的值，求出四边形OPQB的面积；
（3）以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似，分△APQ∽△AOB和△AQP∽△AOB两种情况讨论，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出t的值．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
将点A（0，6）、点B（8，0）代入得，
，
解得，，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6；
（2）过点Q作QM⊥OA于M，
当t=2秒时，AP=2，AQ=AB﹣BQ=6，
在Rt△OAB中，OA=6，OB=8，
由勾股定理可得，AB=10，
∵∠AOB=90°，QM⊥OA，
∴△AMQ∽△AOB，
∴=，即=，
解得，QM=，
∴△APQ的面积=×AP×QM=，
∴四边形OPQB的面积=△AOB的面积﹣△APQ的面积=；
（3）由题意得，AO=6，BO=8，AB=10，AP=t，AQ=10﹣2t，
当△APQ∽△AOB时， =，即=，
解得，t=；
当△APQ∽△ABO时， =，即=，
解得，t=，
因此，t=或t=时，以点A．P．Q为顶点的三角形与△AOB相似．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及一次函数解析式的确定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
25．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，DA⊥AB，DO及DO的延长线与⊙O分别相交于点E、F，EB与CF相交于点G．
（1）求证：DA=DC；
（2）⊙O的半径为3，AC=，求GC的长．
【考点】切线的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，AB⊥DA，可得AD是⊙O的切线，又由DC是⊙O切线，根据切线长定理即可求得答案；
（2）由勾股定理求出EG、CF、BC长，根据△BGC∽△FGE求出===，则CG=CF；利用勾股
定理求出CF的长，则CG的长度可求得．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AB⊥DA，
∴AD是⊙O的切线，
∵DC是⊙O切线，
∴DA=DC．
（2）解：由切线长定理得：DO垂直平方AC，
∵AC=，
∴AM=，
在RT△MAO中，OM===，
∴EM=3﹣=，
在RT△EMC中，CE==，
∵EF是直径，
∴∠ECF=90°，
∴CF===，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC===，
∵∠GCB=∠GEF，∠GFE=∠GBC，（圆周角定理）
∴△BGC∽△FGE，
∴===，
∵CF=CG+GF， =，
∴CG=CF=×=．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，相似三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，综合性比较强，难度偏大．
26．如图，已知抛物线的对称轴为直线l：x=4，且与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究在此抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；
（3）以AB为直径作⊙M，过点C作直线CE与⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用顶点式，根据待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）线段BC的长即为AP+CP的最小值；
（3）连接ME，根据CE是⊙M的切线得到ME⊥CE，∠CEM=90°，从而证得△COD≌△MED，设OD=x，在RT△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得点D的坐标，然后利用待定系数法确定线段CE的解析式即可．
【解答】解：（1）如图1，由题意，设抛物线的解析式为：y=a（x﹣4）2+k（a≠0）
∵抛物线经过A（2，0）、C（0，2）．
∴，
解得：a=，．
∴，
即：．
令y=0，得x2﹣8x+12=0，
即（x﹣2）（x﹣6）=0，
∴x1=2，x2=6．
∴抛物线与x轴另﹣交于点B（6，0）．
（2）存在．
如本题图2，连接CB交l于点P，则点P即是使AP+CP的值最小的点．
∵A、B关于l对称，
∴AP=BP，
∴AP+C P=CB，即AP+CP的最小值为BC．
∵OB=6，OC=2，
∴．
∴AP+CP的最小值为；
（3）如图3，连接ME，
∵CE是⊙M的切线，
∴ME⊥CE，∠CEM=90°，
由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE．
在△COD与△MED中，
，
∴△COD≌△MED（AAS），
∴OD=DE，DC=DM，
设OD=x，则CD=DM=OM﹣OD=4﹣x，
则在Rt△C OD中，
又∵OD2+OC2=CD2，
∴x2+22=（4﹣x）2，
解得，
∴D（，0），
设直线CE的解析式为y=mx+b，
∵直线CE过C（0，2）、D（，0）两点，
∴，
解方程组得：．
∴直线CE的解析式为y=．
【点评】本题考查了二次函数的综合知识以及利用轴对称求最短路径和待定系数法求一次函数和二次函数解析式等知识，利用数形结合得出D点坐标是解题关键．