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2020年安徽省“江南十校”综合素质检测
理科数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必用毫米黑色签字笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域
内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效
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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z＝(1－a)＋(a2－1)i(i为虚数单位，a>1)，则z在复平面内的对应点所在的象限为
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知集合A＝{x|3x A.(－1，2) B.(2，7) C.(2，＋∞) D.(1，2) 3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为 厘米厘米厘米厘米 4.函数f(x)＝ cos 22 x x x x - + 在[－ 2 π ， 2 π ]上的图象大致为 5.若(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2，x3的系数之和为－10，则实数a的值为 A.－3 B.－2 C.－1 6.已知a ＝log 32，b ＝ln3，c ＝2－ ，则a ，b ，c 的大小关系为 >c>a >b>c >a>b >b>a 7.执行下面的程序框图，则输出S 的值为 A.112- B.2360 C.1120 D.4360 8.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1＋1”问题。它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩。若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为 A. 15 B.13 C.35 D.23 9.已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝ 19，S 3＝7 27 ，则a 1a 2…a n 的最小值为 A.2 427?? ??? B.3 427?? ??? C.4 427?? ??? D.5 427?? ??? 10.已知点P 是双曲线C ：2222 221(0,0,x y a b c a b a b -=>>=+上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为 2 14 c ，则双曲线C 的离心率为 25 3 11.已知f(x)＝1－2cos 2 (ωx ＋ 3 π )(ω>0)。给出下列判断： ①若f(x 1)＝1，f(x 2)＝－1，且|x 1－x 2|min ＝π，则ω＝2； ②存在ω∈(0，2)，使得f(x)的图象右移6 π 个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若f(x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为[4124，47 24)； ④若f(x)在[－6π，4 π ]上单调递增，则ω的取值范围为(0，23]。 其中，判断正确的个数为 12.如图，在平面四边形ABCD 中，满足AB ＝BC ，CD ＝AD ，且AB ＋AD ＝10，BD ＝8，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使PC ＝2，则三棱锥P －BCD 体积的最大值为 2162 D.16 3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知函数f(x)＝lnx ＋x 2 ，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 。 14.若?x 0∈R ，x 02 －2 01x +＋5<0为假，则实数a 的取值范围为 。 15.在直角坐标系xOy 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC |＝10OC 的坐标为 。 16.已知抛物线C ：y 2 ＝4x ，点P 为抛物线C 上一动点，过点P 作圆M ：(x －3)2 ＋y 2 ＝4的切线，切点分别为A ，B ，则线段AB 长度的取值范围为 。 三解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共60分。 17.(本小题满分12分) 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且csinB ＝bsin(3 π －C)3b 。 (1)求角C 的大小； (2)若c 7，a ＋b ＝3，求AB 边上的高。 18.(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB2本小题满分12分) 一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分。 (1)设抛掷4次的得分为X，求变量X的分布列和数学期望。 (2)当游戏得分为n(n∈N*)时，游戏停止，记得n分的概率和为Q n，Q1＝1 2 。 ①求Q2； ②当n∈N*时，记A n＝Q n＋1＋1 2 Q n，B n＝Q n＋1－Q n，证明：数列{A n}为常数列，数列{B n}为等比数 列。 20.(本小题满分12分) 已知椭圆E： 22 22 1(0) x y a b a b +=>>的离心率为 3 2 ，且过点( 73 , 24 )，点P在第一象限，A 为左顶点，B为下顶点，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D。 (1)求椭圆E的标准方程； (2)若CD本小题满分12分) 已知函数f(x)＝lnx－x2＋ax(a∈R)。 (1)若f(x)≤0恒成立，求a的取值范围； (2)设函数f(x)的极值点为x0，当a变化时，点(x0，f(x0)构成曲线M。证明：过原点的任意直线y＝kx与曲线M有且仅有一个公共点。 (二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为()11x m y k m ?=-=-? ??? (m 为参数)，直线l 2的参数方程 2x n n y k =?? ? =+?? (n 为参数)。若直线l 1，l 2的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C 。 (1)求曲线C 的普通方程； (2)以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线l 3的极坐标方程为θ＝α(ρ≥0)，tan α＝43(0<α<2 π )，点Q 为射线l 3与曲线C 的交点，求点Q 的极径。 23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x －1|＋|x ＋2|。 (1)求不等式f(x) (2)若不等式m －x 2 －2x ≤f(x)在R 上恒成立，求实数m 的取值范围。
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