2019-2020学年四川省成都市高二上学期期末数学（理）试题
一、单选题
1．某同学在7天内每天阅读课外书籍的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图所示，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数。则该同学这7天每天阅读课外书籍的时间（单位：分钟）的中位数为（ ）
A ．72
B ．74
C ．75
D ．76
【答案】B
【解析】根据茎叶图中的数据，按照从小到大的顺序一一列举出来，即可得解． 【详解】
解：根据茎叶图可知，阅读课外书籍的时间分别为：60、61、62、74、76、80、
80
其中中位数为：74 故选：B 【点睛】
本题考查茎叶图的应用，属于基础题.
2．命题“x R ?∈，220x x ++>”的否定是（ ） A ．0x R ?∈，2
0020x x ++? B ．0x R ?∈，2
0020x x ++< C ．0x R ?∈，20020x x ++> D ．x R ?∈，220x x ++≤
【答案】A
【解析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果判断即可． 【详解】
解：命题“x R ?∈，220x x ++>”为全称命题，故其否定为：0x R ?∈，2
0020x x ++?. 故选：A 【点睛】
本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属于基础题．
3．双曲线2
2
19y x -=的渐近线方程为（ ）
A ．19
y x =± B ．1
3y x =± C ．3y x =±
D ．9y x =±
【答案】C
【解析】令双曲线方程的右边为0，两侧开方，整理后就得到双曲线的渐近线方程． 【详解】
解：Q 双曲线标准方程为2
2
19
y x -=，
其渐近线方程是2
2
09
y x -=， 整理得3y x =±． 故选：C ． 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．
4．在空间直角坐标系Oxyz 中，y 轴上一点M 到点P （1，0，2）和点Q （1，-3，1）的距离相等，则点M 的坐标为( A ．（0，-2，0） B ．（0，-1，0） C ．（0，1，0） D ．（0，2，0）
【答案】B
【解析】根据题意，设出点M 的坐标，利用||||MP MC =，求出M 的坐标． 【详解】
解：根据题意，设点(0M ，y ，0)， ||||MP MQ =Q ，
∴
即225611y y y +=++，
1y \=-， ∴点()0,1,0M -．
故选：B ． 【点睛】
本题考查了空间直角坐标系中两点间的距离公式的应用问题，属于基础题． 5．圆22(3)(4)16x y +++=与圆224x y +=的位置关系为（ ） A ．相离
B ．内切
C ．外切
D ．相交
【答案】D
【解析】由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出． 【详解】
解：圆2
2
(3)(4)16x y +++=的圆心()3,4C --，半径4r =；
圆2
2
4x y +=的圆心()0,0M ，半径2R =．
∴22(30)(40)5--+--=，4265R r +=+=>．4225R r -=-=<
∴两圆相交．
故选：D ． 【点睛】
本题考查了判断两圆的位置关系的方法，属于基础题．
6．如图是统计某样本数据得到的频率分布直方图.已知该样本容量为300，根据此样本的频率分布直方图，估计样本数据落在[10，18）内的频数为（ ）
A ．36
B ．48
C ．120
D ．144
【答案】D
【解析】首先计算出频率，再由样本容量为300，即可求出频数. 【详解】
解：样本数据落在[)10,18包括两段[)10,14和[)14,18 其频率为()0.090.0340.48+?= 又样本容量为300 故频数为3000.48144?= 故选：D 【点睛】
本题考查频率直方图的应用，属于基础题.
7．若m 为实数，则“12m <<”是“曲线C ：22
12
x y m m +=-表示双曲线”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不
必要条件 【答案】A
【解析】根据方程表示双曲线求出m 的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
解：若方程22
12
x y m m +
=-表示双曲线， 则(2)0m m -<，得02m <<，
由12m <<可以得到02m <<，故充分性成立； 由02m <<推不出12m <<，故必要性不成立；
则“12m <<”是“方程22
12
x y m m +
=-表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线方程的特点求出m 的取值范围 是解决本题的关键．
8．某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于15分钟的概率是（ ） A ．
23
B ．
13
C ．
14
D ．
34
【答案】C 【解析】【详解】
想听电台整点报时，时间不多于15分钟的概率可理解为:
一条线段长为60，其中听到整点报时的时间不多于15分钟为线段长为15． 则由几何概型，化为线段比得：151
604
p =
=,故选C. 9．某校学生会为了解高二年级600名学生课余时间参加中华传统文化活动的情况（每名学生最多参加7场）.随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：
则以下四个结论中正确的是（ ） A ．表中m 的数值为10
B ．估计该年级参加中华传统文化活动场数不高于2场的学生约为108人
C ．估计该年级参加中华传统文化活动场数不低于4场的学生约为216人
D ．若采用系统抽样方法进行调查，从该校高二600名学生中抽取容量为30的样本，则分段间隔为15 【答案】C
【解析】根据系统抽样的定义分别进行判断即可． 【详解】
解：8%10%20%26%18%%4%2%1m +++++++=，得12m =，故A 错误， 活动次数不高于2场的学生约(8%10%20%)600168++?=，即约为168人，故B 错误， 参加传统文化活动次数不低于4场的学生为(18%12%4%2%)600216+++?=人，故
C 是正确的；
D 中的分段间隔应为6003020÷=，故D 错误， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，结合系统抽样的定义进行判断是解决本题的关键．
10．设点A （4，5），抛物线28x y =的焦点为F ，P 为抛物线上与直线AF 不共线的一
点，则△PAF 周长的最小值为（ ） A ．18 B ．13
C ．12
D ．7
【答案】C
【解析】根据抛物线的定义可知1PF PP =，则
11PAF C AF AP PF AF AP PP AF AA ?=++=++≥+即可得解.
【详解】
解：因为抛物线2
8x y =，故焦点()0,2F 准线方程为：2y =-，过P 作1PP 垂直与准
线交准线于1P ，过A 作1AA 垂直与准线交准线于1A
根据抛物线的定义可知1PF PP =
()4,5A Q
()2
24525AF ∴=+-=()1527AA =--=
115712PAF C AF AP PF AF AP PP AF AA ?=++=++≥+=+=
故选：C
【点睛】
本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
11．某中学在每年的春节后都会组织高一学生参加植树活动.为保证树苗的质量，在植树前都会对树苗进行检测.现从某种树苗中随机抽测了10株树苗，测量出的高度i x （i =1，2，3，…，10）（单位：厘米）分别为37，21，31，20，29，19，32，23，25，33.计算出抽测的这10株树苗高度的平均值27x =，将这10株树苗的高度i x 依次输入程序框图进行运算，则输出的S 的值为（ ）
A ．25
B ．27
C ．35
D ．37
【答案】C
【解析】根据流程图的含义可知S 表示10株树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量，根据方差公式解之可得S ． 【详解】 解：由27x =，
由程序框图看出，程序所执行的是求这组数据的方差， 所以，这组数据的方差为： 22221
[(1927)(2027)(2127)(2327)10
S =
-+-+-+-+ 222222(2527)(2927)(3127)(3227)(3327)(3727)]35-+-+-+-+-+-=． 故选：C 【点睛】
本题考查程序流程图的理解，方差的计算，属于基础题.
12．设椭圆C ：22
2149x y b
+=（0
与椭圆C 相交于M ，N 两点若212=MF F F ，且174||MF MN =，则椭圆C 的短轴长为（ ） A ．5 B ．26C ．10
D ．6
【答案】D
【解析】设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，可设1||4MF t =，1||3NF t =，运用椭圆的定义，
可得21||2||143NF a NF t =-=-，21||||2MF MF a +=，即有2414c t +=，取1MF 的中点K ，
连接2KF ，则2KF MN ⊥，由勾股定理，解得a ，c ， 【详解】
解：因为椭圆22
2149x y b
+=，
7a ∴=，设1(,0)F c -，2(,0)F c ，212||||2MF F F c ==，
174||MF MN =Q
113||4||MF NF ∴=，可设1||4MF t =，1||3NF t =，
由椭圆的定义可得21||14||143NF NF t =-=-， 21||||14MF MF +=，即有2414c t +=，
即27c t +=，①
取1MF 的中点K ，连接2KF ，则2KF MN ⊥， 由勾股定理可得222222||||||||MF MK NF NK -=-， 即为()2
22242(143)25c t t t -=--②
由①②解得15t c =??
=?，或7
0c t =??=?
（舍去）， 又222c a b =-
2227524b ∴=-=
b ∴=
2b ∴=故选：D ．
【点睛】
本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于中档题．
二、填空题
13．一支田径队共有运动员112人，其中有男运动员64人，女运动员48人.采用分层抽样的方法从这支田径队中抽出一个容量为28的样本，则抽出的样本中女运动员的人数为________.
【答案】12
【解析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
【详解】
解：用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则样本中女运动员
的人数为
48
2812 112
?=，
故答案为：12．
【点睛】
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，属于基础题．14．同时掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数之和为5的概率是．
【答案】
【解析】【详解】
列表如下：
从列表中可以看出，所有可能出现的结果共有36种，这些结果出现的可能性相等． ∵点数的和为5的结果共有4种：（1，4），（2，3），（4，1），（3，2） ∴点数的和为5的概率P==
故答案为
15．某射击运动员在一次训练中连续射击了两次。设命题p ：第一次射击击中目标，命题q ：第二次射击击中目标，命题r ：两次都没有击中目标.用p ，q 及逻辑联结词“或”，“且”，“非”（或∨，∧，?）表示命题r 为________. 【答案】()()p q ?∧?或()p q ?∨
【解析】根据已知中，命题p 是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，进而可以表示出两次都没有击中目标． 【详解】
解：据题，两次都没有击中目标，即第一次射击没有击中目标，且第二次射击没有击中目标.可以表示为：()()p q ?∧?， 故答案为：()()p q ?∧?． 【点睛】
本题重点考查了事件的表示方法，对于逻辑联接词的理解与把握，属于基础题．
16．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（a >0，b >0）的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在
双曲线C 的右支上，且15PF a =，点Q 是12PF
F △内一点，且满足121233QPF QPF PF F S S S ==V V V ，（S 表示三角形的面积），12F PF ∠的角平分线与直线x =a
相交于点M ，且12QM FF λ=u u u u r u u u r
（R λ∈），则双曲线C 的离心率为______. 【答案】2
【解析】设双曲线的右顶点为E ，12PF F △的内切圆与1F P ，2PF ，12F F 相切的切点分别为A 、B 、D ，根据切线长定理可得
1212122F P F P F A F B F D F D a -=-=-=，又122EF EF a -=，所以D 与E 重
合，从而12PF F △的内切圆的圆心在直线x a =上，
从而根据121212PF F MPF MPF MF F S S S S ????=++，21213PF F QF F S S =V V ，求得a 、c 的关系，即可得到离心率. 【详解】
解：设双曲线的右顶点为E ，由双曲线的定义知，在双曲线22
221x y a b
-=右支上
15PF a =
23PF a ∴=
121233QPF QPF PF F S S S ==V V V Q
1212121
3
QPF QPF QF F PF F S S S S ∴===V V V V
设12PF F △的内切圆与1F P ，2PF ，12F F 相切的切点分别为A 、B 、D
1212122F P F P F A F B F D F D a ∴-=-=-=
又122EF EF a -=，所以D 与E 重合，从而12PF F △的内切圆的圆心在直线x a =上， 所以M 是12PF F △的内心，设12PF F △的内切圆的半径为r
12
QM FF λ=u u u u r u u u r
Q 所以12//QM F F
()()()1212121212111
53282222
PF F MPF MPF MF F S S S S PF PF F F a a c r a c r ????=++=
++=++=+又112
21211
33622
PF F QF F S S F F r cr =?=?=V V
()1
822
162a c r cr =+∴?即2c a = 则2c
e a
==
故答案为：2
【点睛】
本题考查双曲线的定义，双曲线的简单几何性质，属于难题.
三、解答题
17．一个不透明的箱子中装有大小形状相同的5个小球，其中2个白球标号分别为1A ，2A ，3个红球标号分别为1B ，2B ，3B ，现从箱子中随机地一次取出两个球.
（1）求取出的两个球都是白球的概率； （2）求取出的两个球至少有一个是白球的概率. 【答案】（1）1
10
（2）
710
【解析】（1）用列举法能求出从中摸两个球，即可求出取出的两个球都是白球的概率． （2）由（1）列出至少有一个是白球的基本事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】
解：（1）从装有5个球的箱子中任意取出两个小球包含的基本事件有
{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B ，共10种情况.
记“取出的两个球都是白球”为事件D .
易知事件D 包含的基本事件有{}12,A A ，共1种情况. ∴1
()10
P D =
.
（2）记“取出的两个球至少有一个是白球”为事件E .易知事件E 包含的基本事件有
{}12,A A ，{}11,A B ，12,}A B ?，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B ，共7种
情况. ∴7
()10
P E =. 【点睛】
本题考查古典概型的概率计算问题，属于基础题.
18．已知动点P 到点M （-3，0）的距离是点P 到坐标原点O 的距离的2倍，记动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；
（2）若直线10x y -+=与曲线C 相交于A ，B 两点，求AB 的值. 【答案】（1）2
2
(1)4x y -+=
（2）【解析】（1）设动点坐标，由几何条件转化为代数方程即可； （2）求出圆心到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长. 【详解】
解：（1）设(),P x y .由题，知||2||PM PO =
= ∴2233690x y x +--=.
∴曲线C 的方程为22(1)4x y -+=.
（2）由题，曲线C 的圆心()1,0到直线10x y -+=的距离为
=
∴AB ==【点睛】
本题考查求动点的轨迹方程，直线与圆相交弦长的计算，属于基础题.
19．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（a >b >0）的左，右焦点分别为1F ，2F ，12F F =经过点1F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，2ABF V 的周长为8.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）经过椭圆C 上的一点Q 作斜率为1k ，2k （10k ≠，20k ≠）的两条直线分别与椭圆C 相交于异于Q 点的M ，N 两点。若M ，N 关于坐标原点对称，求12k k 的值.
【答案】（1）2
214
x y +=
（2）14
-
【解析】（1）依题意可得122F F c =，24ABF C a =V ，即可求出a 、c 的值，即可得出椭圆方程.
（2）利用点差法，设()11,M x y ，()00,Q x y ，则()11,N x y --代入椭圆方程，两式作差变形即可. 【详解】
解：（1）
∵12F F =
∴c =
.
∵2ABF V 的周长为8， ∴48a =，2a =. ∵222a b c =+，∴1b =.
∴椭圆C 的方程为2214
x y +=.
（2）设()11,M x y ，()00,Q x y ，∴()11,N x y --，01x x ≠±，01y y ≠±.
∴221114x y +=，22
0014
x y +=.
两式相减，得2
222
0110044
x x y y -+-=.
∵01x x ≠±，01y y ≠±，∴
101010101
4
y y y y x x x x -+?=--+.
∴10101210101
4
y y y y k k x x x x ---=?=----.
【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程，以及点差法的应用，属于基础题.
20．
某学校高一数学兴趣小组对学生每周平均体育锻炼小时数与体育成绩优秀（体育成绩满分100分，不低于85分称优秀）人数之间的关系进行分析研究，他们从本校初二，初三，高一，高二，高三年级各随机抽取了40名学生，记录并整理了这些学生周平均体育锻炼小时数与体育成绩优秀人数，得到如下数据表：
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.
（1）若选取的是初三，高一，高二的3组数据，请根据这3组数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+$$$；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过1，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得到的线性回归方程是否可靠？ 参考数据：
3
1
1126133212261014i i
i x y
==?+?+?=∑，3
22221
111312434i i x ==++=∑.
参考公式：()()()
1
1
2
22
1
1
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nxy
b
x x x
nx ====---==
--∑∑∑∑$，a y bx =-$$.
【答案】（1）?38y
x =- （2）可靠
【解析】（1）根据条件计算出x 、y ，从而求出b
$，$a ，即可求出回归方程.
（2）代入回归方程计算可得. 【详解】 解：（1）∵111312
123
x ++=
=，
263226283
y ++==.
3
1
3
2
22
1
310143122810141008
3434312434432
3i i
i i
i x y xy
b
x
x ==--??-==
==-?--∑∑$. $283128a
y bx =-=-?=-$. ∴y 关于x 的线性回归方程为$38y x =-.
（2）当14x =时，$314834y =?-=，|3435|1-=. 当9x =时，$39819y =?-=，|1919|0-=. 由此分析，（1）中得到的线性回归方程是可靠的. 【点睛】
本题考查回归方程的计算以及其应用，属于基础题.
21．已知动圆M 与直线2x =-相切，且与圆22(3)1x y -+=外切，记动圆M 的圆心轨迹为曲线C .
（1）求曲线C 的方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且36OA OB ?=-u u u r u u u r
（O 为坐标原点），证明直线l 经过定点H ，并求出H 点的坐标. 【答案】（1）212y x = （2）H （6,0），证明见解析
【解析】（1）根据抛物线的定义即可求解；
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为x ty m =+，联立方程，消去x ，列出
韦达定理，根据36OA OB ?=-u u u r u u u r
即可得到方程，解得.
【详解】
解：（1）因为已知动圆M 与直线2x =-相切，且与圆2
2
(3)1x y -+=外切， 所以动圆M 的圆心到点()3,0的距离与动圆M 的圆心到直线3x =-的距离相等.
∴动圆M 的圆心的轨迹是以()3,0为焦点的抛物线. ∴曲线C 的方程212y x =.
（2）∵直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，∴直线l 的斜率不为0. 设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为x ty m =+. 由2
12x ty m y x
=+??
=?，消去x ，得2
12120y ty m --=. ∴2144480t m ?=+>，即230t m +>.
∴1212y y m =-，22212
12144
y y x x m ==.
∵36OA OB ?=-u u u r u u u r
，∴121236x x y y +=-. ∴212360m m -+=. ∴6m =，满足20t m +>. ∴直线l 的方程为6ty x +=. ∴直线l 过定点H （6,0）. 【点睛】
本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的应用，属于基础题.
22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为中心，以坐标轴为对称轴的帮圆C 经过点M
（2，1），N ?
.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）经过点M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆C 相交于异于M 点的A ，B 两点，当△AMB 面积取得最大值时，求直线AB 的方程.
【答案】（1）22
182
x y +=
（2）12y x =
+1
2
y x =【解析】（1）设椭圆C 的方程为2
2
1mx ny +=（0m >，0n >，m n ≠）. 根据椭圆过,M N 两点，代入得到方程组，解得.
（2）由直线AM ，BM ，AB 的斜率存在，故.设它们的斜率分别为1k ，2k ，k .
设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为y kx m =+.联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由12121211
022
y y k k x x --+=
+=--.即()12122(12)4(1)0kx x m k x x m +--+--=. 即可解得1
2
k =
，或12m k =-.分别代入检验，再用弦长公式及点到直线的距离公式，表示出三角形的面积，利用基本不等式求最值. 【详解】
解：（1）设椭圆C 的方程为2
2
1mx ny +=（0m >，0n >，m n ≠）. ∵点()2,1M 和
N 2?
-???
在椭圆C 上， ∴413
212m n m n +=???+=??.解得18
12m n ?=????=??
. ∴椭圆C 的标准方程为22
182
x y +=.
（2）∵点A ，B 为椭圆上异于M 的两点，且直线AM ，BM 的倾斜角互补， ∴直线AM ，BM ，AB 的斜率存在.设它们的斜率分别为1k ，2k ，k . 设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为y kx m =+. ∴12121211022
y y k k x x --+=
+=--. ∴()12122(12)4(1)0kx x m k x x m +--+--=.
由22
182x y y kx m ?+=???=+?
，消去y ，得()()
222
418420k x kmx m +++-=. 由(
)22
16820k m
?=+->，得2
282k
m +>.
∴122841km x x k -+=+，()
212242
41
m x x k -=+. ∴(
)2224282(12)4(1)041
41
m km k
m k m k k --+----=++.
∴244120k k km m -++-=. ∴(21)(21)0k k m -+-=. ∴1
2
k =
，或12m k =-. ∵点A ，B 为椭圆上异于M 的两点，
∴当12m k =-时，直线AB 的方程为(2)1y k x =-+，不合题意，舍去. ∴直线AB 的斜率为
1
2
.
∵
||AB =M 到直线AB 的距离为d =，
∴AMB ?的面积为1
||||22
S AB d m =
=.
当且仅当||m =时，AMB ?的面积取得最大值，此时m =
∵m =1
2
k =
满足2282k m +>.
∴直线AB 的方程为12y x =+1
2
y x =. 【点睛】
本题考查椭圆的标准方程的计算，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.