● 消息中包含信息，消息是信息的载体。
信息：信息是对事物运动状态或存在方式的不确定性的描述。
● 通信的过程就是消除不确定性的过程。
● 信息与概率的关系：
● 事件发生的概率越大，该事件包含的信息量越小；
● 如果一个事件发生的概率为1，那么它包含的信息量为0；
● ● 某个消息的不确定性（含有的信息量）可以表示为： ● 信源的平均不确定性：
● 信源发出的消息的统计特性
? 离散信源、连续信源、波形信源
? 有记忆信源和无记忆信源
? 平稳信源和非平稳信源
● 编码器的功能：将消息变成适合信道传输的信号
● 编码器包括：（1）信源编码器（2）信道编码器（3）调制器
● 信源编码器：去除信源消息中的冗余度，提高传输的有效性
● 信道编码器：将信源编码后的符号加上冗余符号，提高传输的可靠性。
● 调制器：
功能：将信道编码后的符号变成适合信道传输的信号
目的： 提高传输效率
● 信道的统计特性
无噪声信道、有噪声信道
离散信道、连续信道、波形信道
有记忆信道和无记忆信道
恒参信道（平稳信道）和随参信道（非平稳信道）
单用户信道和多用户信道
● 信道传输信息的最高速率：信道容量
● 译码器的功能：从接收到的信号中恢复消息。
包括：（1）解调器（2）信道译码器（3）信源译码器
● 提高有效性： （数据压缩）
信源编码：无失真信源编码和限失真信源编码
● 提高可靠性： （可靠传输）
信道编码
● 香农第一定理： 如果编码后的信源序列的编码信息率不小于信源的熵，那么一定
存在一种无失真信源编码方法；否则，不存在这样的一种无失真信源编码方法。 1()log log ()()i i i I x p x p x ==-∑=-=q i i i x p x p X H 1
)
(log )()(
● 香农第二定理：如果信道的信息传输率小于信道容量，那么总可以找到一种
编码方式，使得当编码序列足够长时传输差错任意小；否则，不存在使差错任意小的信道编码方式。
● 香农第三定理：对于任意的失真度 ，只要码字足够长，那么总可以找到
一种编码方法，使编码后的编码信息率 ，而码的平均失真
度 。
● 公理性条件：
(1) 如果p (x 1) < p (x 2)，则I (x 1) > I (x 2)， I (xi )是 p (xi ) 的单调递减函数；
(2) 如果p (xi )=0，则I (xi ) → ∞ ; 如果p (xi )=1，则I (xi ) =0 ;
(3)由两个相对独立的事件所提供的信息量，应等于它们分别提供的信息量之和： I (xi yj )=I (xi )+I (yj )
● 自信息可以从两个方面来理解：
自信息是事件发生前，事件发生的不确定性。
自信息表示事件发生后，事件所包含的信息量。
● 先验概率：信源发出消息 的概率 。
● 后验概率：信宿收到消息 后推测信源发出 的概率，即条件概率 。
●
● 互信息有两方面的含义：
? 表示事件 出现前后关于事件 的不确定性减少的量；
? 事件 出现以后信宿获得的关于事件 的信息量。
● 观察者站在输出端
I (xi ;yj )=log p (xi |yj )–log p (xi )=I (xi ) – I (xi |yj )
? 观察者站在输入端
I (yj ; xi )=log p (yj | xi )–log p (yj )=I (yj ) – I (yj | xi )
● 当后验概率大于先验概率时，互信息为正。
当后验概率小于先验概率时，互信息为负。
当后验概率与先验概率相等时，互信息为零。
任何两个事件之间的互信息不可能大于其中任一事件的自信息
● 例6：居住某地区的女孩中有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高1.6m 以上
的，而女孩中身高1.6m 以上的占总数一半。假如我们得知“身高1.6m 以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？
● 例7：已知信源发出● 求互信息量 和● 消息，它们所含有的信息量也就不同。
● 平均自信息（信息熵/信源熵/香农熵/无条件熵/熵函数/熵） 例2：一信源有6种输出符号，概率分别为P (A )=0.5， P (B )=0.25，P (C )=0.125，
P (D )=P (E )=0.05，
P (F )=0.025。 0D ≥()R D ≥d D ≤i x ()i p x j y i x (|)i j p x y (;)()(|)log ()log (|)
(1,2,,;1,2,,)(|)log ()
i j i i j i i j i j i I x y I x I x y p x p x y i n j m p x y p x =-=-+=?=?=j y i x j y i x 1()[()][log ()]()log ()
n
i i i i i H X E I x E p x p x p x ==-=-∑
)(1;1b a I
1)计算H (X )。
2)求符号序列ABABBA 和FDDFDF 的信息量，并将之与6位符号的信息量期望值相比较。
递增性（递推性
● 例4 ：利用递推性计算熵函数 H(1/3，1/3，1/6，1/6)的值
● 极值性（最大离散熵定理）
定理： 离散无记忆信源输出n 个不同的信息符号，当且仅当各个符号出现概率相等时(即 )，熵最大，即 定义2.4 随机变量X 和Y 的联合分布为p (xiyj )，则这两个随机变量的联合熵定义为： 联合熵表示对于二维随机变量的平均不确定性。
定义2.5 随机变量X 和Y 的条件熵定义为：
条件熵表示已知一个随机变量时，对另一个随机变量的平均不确定性。
例6： 已知 联合概率分布如下，求：H (XY )，H (X ), H (Y ), H (Y|X ), H (X|Y )。
各种熵之间的关系
? H (XY )=H (X )+H (Y|X )=H (Y )+H (X|Y )
? H (X|Y )≤H (X )，H (Y|X )≤H (Y ) ? H (XY )≤H (X )+H (Y )
若X 与Y 统计独立，则H (XY )=H (X )+H (Y )
● 平均互信息的概念
11212,,,,,,)
,,)(,,)n m m n n n n n p q q q q q q p p H p p p -+12111(,,...,)(,,...,)log n H p p p H n n n n ≤=1i p n =∑∑==-=n i m j j i j i y x p y x p XY H 11
)(log )()(∑∑
-=i j i j j i y x p y x p Y X H )
|(log )()|(∑∑-=i i j j j i x y p y x p X Y H )
|(log )()|(????????????????005.00010.005.000010.005.000030.010.000025.0543214321x x x x x y y y y 0.250.400.150.150.05
0.350.350.200.10(;)()(|)()(|)
()()()I X Y H X H X Y H Y H Y X H X H Y H XY =-=-=+-
平均互信息和各类熵的关系:
I (X ;Y )=H (X )-H (X|Y )=H (Y )-H (Y|X )=H (X )+H (Y )-H (XY )
X , Y 互相独立时
定义2：随机变量序列中，对前N 个随机变量的联合熵求平均称为平均符号熵
如果当 时上式极限存在，则 被称为熵率，或极限熵，记为
● 离散平稳无记忆信源的N 次扩展信源的熵等于离散单符号信源熵的N 倍：
对于马氏链 符号间相关性越大，熵越小。
● 熵的相对率 ● 信道的数学模型为{X , P (Y |X ),Y }
二元对称信道输入符号集A ={0,1}, 输出符号集B ={0,1}，r ＝s ＝2．传递概率： 二元删除信道输入符号集A={0,1}，符号输出集B={0,?,1}，r=2, s=3
●
例3已知
信道容量 例4 以二元对称信道。信源的概率空间为 信道矩阵为 求信道容量？ 一个输入对应多个输出 一个输出对应多个输入
输入、输出之间有确定的一一对应关系。
定义1 ： 若信道矩阵P 中每行都是第一行的排列，则称此信道是行对称信道。
定义2：若信道矩阵中每行都是第一行的排列，并且每列都是第一列的排列， 则称之为对称信道。 121()()N N H H X X X N
=X ∞→N lim ()N N H →∞X lim ()N N H H ∞→∞=X ()()()
N H H X NH X ==X 121()()2H H X X H X ∞<<0H H ∞
η=p p p
p ==)1|0()0|0((1|0)(1|1)p p p p ==p p p p ??=????P 1001p p q q -??=??-??P {}()max (;)/P X C I X Y =比特符号??????=??????ωω10)(X P X p p p p ??=??????
P ()()max (;)max ()log p x p x C I X Y H X r ===()()max (;)max ()log p x p x C I X Y H Y s ===()()max (;)max ()log p x p x C I X Y H X r ===
定义3：虽然不是对称信道，但是信道矩阵可以按列分为一些对称的子阵，则称之为准对称信道。
定义4：若r=s，且对于每一个输入符号，正确传输概率都相等，且错误传输概率p 均匀地分配到r-1 个符号，则称此信道为强对称信道或均匀信道。
1、有一个二元对称信道，其信道矩阵如下图所示。设该信道以1500个二元符号/秒的速度传输输入符号。现有一消息序列共有14000个二元符号，并设在这消息中P(0)=P(1)=1/2。问从信息传输的角度来考虑，10秒钟内能否将这消息序列无失真地传送完？ 解答：消息是一个二元序列，且为等概率分布，即P(0)=P(1)=1/2，故信源的熵为H(X)=1(bit/symbol)。则该消息序列含有的信息量＝14000(bit/symbol)。 下面计算该二元对称信道能传输的最大的信息传输速率： 信道传递矩阵为： 信道容量（最大信息传输率）为： C=1-H(P)=1-H(0.98)≈0.8586bit/symbol 得最大信息传输速率为： Rt ≈1500符号/秒× 0.8586比特/符号 ≈1287.9比特/秒 ≈1.288×103比特/秒 此信道10秒钟内能无失真传输得最大信息量＝10× Rt ≈ 1.288×104比特 可见，此信道10秒内能无失真传输得最大信息量小于这消息序列所含有的信息量，故从信息传输的角度来考虑，不可能在10秒钟内将这消息无失真的传送完。 2、若已知信道输入分布为等概率分布，且有如下两个信道，其转移概率矩阵分别为： 试求这两个信道的信道容量，并问这两个信道是否有噪声？ 3 、已知随即变量X 和Y 的联合分布如下所示： 01100.980.020.020.98P ?? =?? ??11112222 1111222212111122221111222200000000000000000000000000000000P P ???????? ????==???? ????????11 2222111 22222log 4(00)1/()log 42/log 8(000000)2/(),H bit symbol H X bit symbol C C H bit symbol H X C =-===>=-==1解答：(1)由信道1的信道矩阵可知为对称信道故C 有熵损失，有噪声。(2)为对称信道，输入为等概率分布时达到信道容量无噪声
《信息论与编码》教学大纲 一课程简介 课程编号：04254002 课程名称：信息论与编码Informatics & Coding 课程类型：基础课必修课 学时：32 学分：2 开课学期：第六学期 开课对象：通信、电子专业 先修课程：概率论与数理统计、信号与系统、随机信号原理。 参考教材：信息论与编码，陈运，周亮，陈新，电子工业出版社，2002年8月 二课程性质、目的与任务 信息论在理论上指出了建立最佳编码、最佳调制和最佳接收方法的最佳系统的理论原则，它对通信体制和通信系统的研究具有指导意义。提高信息传输的可靠性和有效性始终是通信工作所追求的目标。因此，信息论与编码是从事通信、电子系统工程的有关工程技术人员都必须掌握的基本理论知识。 内容提要：本课程包括狭义相对论和提高通信可靠性的差错控制编码理论。信息论所研究的主要问题是在通信系统设计中如何实现有效性和可靠性。 三教学基本内容与基本要求 本课程总学时为32。其中理论教学为28，实验学时为4。 主要的理论教学内容包括：离散信源和连续信源的熵、条件熵、联合熵和平均互信息量的概念及性质；峰值功率受限和平均功率受限下的最大熵定理和连续信源熵的变换；变长码的霍夫曼编码方法，熟悉编码效率和平均码长的计算；最大后验概率准则和最大似然译码准则等。 实验内容主要包括：离散无记忆信道容量的迭代算法，循环码的编译码。 四教学内容与学时分配 第3章离散信源无失真编码
第6章网络信息论 （教学要求：A—熟练掌握；B—掌握；C—了解） 五实习、实验项目及学时分配 1．离散无记忆信道容量的迭代算法2学时 要求用Matlab编写计算离散信道容量的实用程序并调试成功，加深对信道容量的理解。 2．循环码的编译码2学时 要求用Matlab编写程序，用软件完成循环码的编译码算法。 六教学方法与手段 常规教学与多媒体教学相结合。
信息论与编码 《信息论与编码》这门课程给我带了很深刻的感受。信息论是人类在通信工程实践之中总结发展而来的，它主要由通信技术、概率论、随机过程、数理统计等相结合而形成。它主要研究如何提高信息系统的可靠性、有效性、保密性和认证性，以使信息系统最优化。学习这门课程之后，我学到了很多知识，总结之后，主要有以下几个方面： 首先是基本概念。信息是指各个事物运动的状态及状态变化的方式。消息是指包括信息的语言、文字和图像等。信号是消息的物理体现，为了在信道上传输消息，就必须把消息加载到具有某种物理特性的信号上去。信号是信息的载荷子或载体。信息的基本概念在于它的不确定性，任何已确定的事物都不含有信息。信息的特征：（1）接收者在收到信息之前，对其内容是未知的。（2）信息是能使认识主体对某一事物的未知性或不确定性减少的有用知识。（3）信息可以产生，也可以消失，同时信息可以被携带、存储及处理。（4）信息是可以量度的，信息量有多少的差别。编码问题可分解为3类：信源编码、信道编 码、加密编码。= 理论上传输的最少信息量 编码效率实际需要的信息量。 接下来，学习信源，重点研究信源的统计特性和数学模型，以及各类离散信源的信息测度 —熵及其性质，从而引入信息理论的一些基本概念和重要结论。本章内容是香农信息论的基础。重点要掌握离散信源的自信息，信息熵（平均自信息量），条件熵，联合熵的的概念和求法及其它们之间的关系，离散无记忆的扩展信源的信息熵。另外要记住信源的数学模型。通过学习信源与信息熵的基本概念，了解了什么是无记忆信源。信源发出的序列的统计性质与时间的推移无关，是平稳的随机序列。当信源的记忆长度为m+1时，该时刻发出的符号与前m 个符号有关联性，而与更前面的符号无关，这种有记忆信源叫做m 阶马尔可夫信源。若上述条件概率与时间起点无关，则信源输出的符号序列可看成齐次马尔可夫链，这样的信源叫做齐次马尔可夫信源。之后学习了信息熵有关的计算，定义具有概率为 () i p x 的符号i x 的自信息量为：()log ()i i I x p x =-。自信息量具有下列特性：（1） ()1,()0i i p x I x ==（2）()0,()i i p x I x ==∞（3）非负性（4）单调递减性（5）可加 性。信源熵是在平均意义上来表征信源的总体特征，它是信源X 的 函数，一般写成H （X ）。信源熵：()()log ()i i i H X p x p x =-∑，条件熵：(|)(,)log (|) i j i j ij H X Y p x y p x y =-∑联合 熵(|)(,)log (,)i j i j ij H X Y p x y p x y =-∑，联合熵 H(X,Y)与熵H(X)及条件熵H(Y|X)的关系： (,)()(|)()(|)H X Y H X H Y X H X H X Y =+=+。互信息: ,(|)(|)(;)(,)log ()(|)log () () j i j i i j i j i ij i j j j p y x p y x I X Y p x y p x p y x p y p y = = ∑ ∑ 。熵的性质：非负性，对称性，确定 性，极值性。 接下来接触到信道，知道了信道的分类，根据用户数可以分为，单用户和多用户；根
信息论期末总结
● 消息中包含信息，消息是信息的载体。 信息：信息是对事物运动状态或存在方 式的不确定性的描述。 ● 通信的过程就是消除不确定性的过程。 ● 信息与概率的关系： ● 事件发生的概率越大，该事件包含的信息量 越小； ● 如果一个事件发生的概率为1，那么它包含 的信息量为0； ● 两个相互独立事件所提供的信息量应等于 它们各自提供的信息量之和。 ● 某个消息的不确定性（含有的信息量）可以表示为： ● 信源的平均不确定性： ● 信源发出的消息的统计特性 ? 离散信源、连续信源、波形信源 ? 有记忆信源和无记忆信源 1()log log ()() i i i I x p x p x ==-∑=-=q i i i x p x p X H 1)(log )()(
?平稳信源和非平稳信源 ●编码器的功能：将消息变成适合信道传输的 信号 ●编码器包括：（1）信源编码器（2）信道编 码器（3）调制器 ●信源编码器：去除信源消息中的冗余度，提 高传输的有效性 ●信道编码器：将信源编码后的符号加上冗余 符号，提高传输的可靠性。 ●调制器： 功能：将信道编码后的符号变成适合信道传输的信号 目的：提高传输效率 ●信道的统计特性 无噪声信道、有噪声信道 离散信道、连续信道、波形信道 有记忆信道和无记忆信道 恒参信道（平稳信道）和随参信道（非平稳信道）单用户信道和多用户信道 ●信道传输信息的最高速率：信道容量 ●译码器的功能：从接收到的信号中恢复消 息。
包括：（1）解调器（2）信道译码器（3）信源译 码器 ● 提高有效性： （数据压缩） 信源编码：无失真信源编码和限失真信源编码 ● 提高可靠性： （可靠传输） 信道编码 ● 香农第一定理： 如果编码后的信源序列的 编码信息率不小于信源的熵，那么一定存在 一种无失真信源编码方法；否则，不存在这 样的一种无失真信源编码方法。 ● 香农第二定理：如果信道的信息传输 率小于信道容量，那么总可以找到一种编码 方式，使得当编码序列足够长时传输差错任 意小；否则，不存在使差错任意小的信道编 码方式。 ● 香农第三定理：对于任意的失真 度 ，只要码字足够长，那么总可以找 到一种编码方法，使编码后的编码信息 率 ，而码的平均失真 度 。 ● 公理性条件： (1) 如果p (x 1) < p (x 2)，则I (x 1) > I (x 2)， I (xi )0D ≥()R D ≥d D ≤
1. 在无失真的信源中，信源输出由 H (X ) 来度量；在有失真的信源中，信源输出由 R (D ) 来度量。 2. 要使通信系统做到传输信息有效、可靠和保密，必须首先 信源 编码， 然后_____加密____编码，再______信道_____编码，最后送入信道。 3. 带限AWGN 波形信道在平均功率受限条件下信道容量的基本公式，也就是有名的香农公式是log(1)C W SNR =+；当归一化信道容量C/W 趋近于零时，也即信道完全丧失了通信能力，此时E b /N 0为 -1.6 dB ，我们将它称作香农限，是一切编码方式所能达到的理论极限。 4. 保密系统的密钥量越小，密钥熵H (K )就越 小 ，其密文中含有的关于明文的信息量I (M ；C )就越 大 。 5. 已知n ＝7的循环码4 2 ()1g x x x x =+++，则信息位长度k 为 3 ，校验多项式 h(x)= 3 1x x ++ 。 6. 设输入符号表为X ＝{0，1}，输出符号表为Y ＝{0，1}。输入信号的概率分布为p ＝(1/2，1/2)，失真函数为d (0，0) = d (1，1) = 0，d (0，1) =2，d (1，0) = 1，则D min ＝ 0 ，R (D min )＝ 1bit/symbol ，相应的编码器转移概率矩阵[p(y/x )]＝1001?? ???? ；D max ＝ 0.5 ，R (D max )＝ 0 ，相应的编码器转移概率矩阵[p(y/x )]＝1010?? ? ??? 。 7. 已知用户A 的RSA 公开密钥(e,n )=(3,55)，5,11p q ==,则()φn = 40 ，他的秘密密钥(d,n )＝(27,55) 。若用户B 向用户A 发送m =2的加密消息，则该加密后的消息为 8 。 二、判断题 1. 可以用克劳夫特不等式作为唯一可译码存在的判据。 （√ ） 2. 线性码一定包含全零码。 （√ ） 3. 算术编码是一种无失真的分组信源编码，其基本思想是将一定精度数值作为序列的 编码，是以另外一种形式实现的最佳统计匹配编码。 （×） 4. 某一信源，不管它是否输出符号，只要这些符号具有某些概率特性，就有信息量。 （×） 5. 离散平稳有记忆信源符号序列的平均符号熵随着序列长度L 的增大而增大。 （×） 6. 限平均功率最大熵定理指出对于相关矩阵一定的随机矢量X ，当它是正态分布时具 有最大熵。 （√ ） 7. 循环码的码集中的任何一个码字的循环移位仍是码字。 （√ ） 8. 信道容量是信道中能够传输的最小信息量。 （×） 9. 香农信源编码方法在进行编码时不需要预先计算每个码字的长度。 （×） 10. 在已知收码R 的条件下找出可能性最大的发码i C 作为译码估计值，这种译码方 法叫做最佳译码。 （√ ）
信息论与编码 1. 通信系统模型 信源—信源编码—加密—信道编码—信道—信道解码—解密—信源解码—信宿 | | | （加密密钥） 干扰源、窃听者 （解密秘钥） 信源：向通信系统提供消息的人或机器 信宿：接受消息的人或机器 信道：传递消息的通道，也是传送物理信号的设施 干扰源：整个系统中各个干扰的集中反映，表示消息在信道中传输受干扰情况 信源编码： 编码器：把信源发出的消息变换成代码组，同时压缩信源的冗余度，提高通信的有效性 （代码组 = 基带信号；无失真用于离散信源，限失真用于连续信源） 译码器：把信道译码器输出的代码组变换成信宿所需要的消息形式 基本途径：一是使各个符号尽可能互相独立，即解除相关性；二是使各个符号出现的概率尽可能相等，即概率均匀化 信道编码： 编码器：在信源编码器输出的代码组上增加监督码元，使之具有纠错或检错的能力，提高通信的可靠性 译码器：将落在纠检错范围内的错传码元检出或纠正 基本途径：增大码率或频带，即增大所需的信道容量 2. 自信息：()log ()X i i I x P x =-，或()log ()I x P x =- 表示随机事件的不确定度，或随机事件发生后给予观察者的信息量。 条件自信息：//(/)log (/)X Y i j X Y i j I x y P x y =- 联合自信息：(,)log ()XY i j XY i j I x y P x y =- 3. 互信息：;(/) () (;)log log ()()()i j i j X Y i j i i j P x y P x y I x y P x P x P y == 信源的先验概率与信宿收到符号消息后计算信源各消息的后验概率的比值，表示由事件y 发生所得到的关于事件x 的信息量。 4. 信息熵：()()log ()i i i H X p x p x =-∑ 表示信源的平均不确定度，或信源输出的每个信源符号提供的平均信息量，或解除信源不确定度所需的信息量。 条件熵：,(/)()log (/)i j i j i j H X Y P x y P x y =- ∑ 联合熵：,()()log ()i j i j i j H XY P x y P x y =-∑ 5. 平均互信息：,()(;)()log ()() i j i j i j i j p x y I X Y p x y p x p y =∑
信息论与编码期中试题答案 一、（10’）填空题 （1）1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。 （2）必然事件的自信息是0 。 （3）离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的N倍。 （4）对于离散无记忆信源，当信源熵有最大值时，满足条件为__信源符号等概分布_。 （5）若一离散无记忆信源的信源熵H（X）等于2.5，对信源进行等长的无失真二进制编码，则编码长度至少为 3 。 二、（10?）判断题 （1）信息就是一种消息。（? ） （2）信息论研究的主要问题是在通信系统设计中如何实现信息传输、存储和处理的有效性和可靠性。（? ） （3）概率大的事件自信息量大。（? ） （4）互信息量可正、可负亦可为零。（? ） （5）信源剩余度用来衡量信源的相关性程度，信源剩余度大说明信源符号间的依赖关系较小。 （? ） （6）对于固定的信源分布，平均互信息量是信道传递概率的下凸函数。（? ） （7）非奇异码一定是唯一可译码，唯一可译码不一定是非奇异码。（? ） （8）信源变长编码的核心问题是寻找紧致码（或最佳码）。 （? ） （9）信息率失真函数R(D)是关于平均失真度D的上凸函数. ( ? ) 三、（10?）居住在某地区的女孩中有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高1.6米以上的，而女孩中身高1.6米以上的占总数的一半。 假如我们得知“身高1.6米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？ 解：设A表示“大学生”这一事件，B表示“身高1.60以上”这一事件，则 P(A)=0.25 p(B)=0.5 p(B|A)=0.75 （5分） 故p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*0.25/0.5=0.375 （4分） I(A|B)=-log0.375=1.42bit （1分）
第一章 1.通信系统的基本模型: 2.信息论研究内容：信源熵，信道容量，信息率失真函数，信源编码，信道编码，密码体制的安全性测度等等 第二章 １.自信息量：一个随机事件发生某一结果所带的信息量。 ２.平均互信息量：两个离散随机事件集合X 和Y ，若其任意两件的互信息量为 I （Xi;Yj ），则其联合概率加权的统计平均值，称为两集合的平均互信息量，用I （X;Y ）表示 ３.熵功率：与一个连续信源具有相同熵的高斯信源的平均功率定义为熵功率。如果熵功率等于信源平均功率，表示信源没有剩余；熵功率和信源的平均功率相差越大，说明信源的剩余越大。所以信源平均功率和熵功率之差称为连续信源的剩余度。信源熵的相对率(信源效率)：实际熵与最大熵的比值 信源冗余度： 0H H ∞=ηη ζ-=1
意义：针对最大熵而言，无用信息在其中所占的比例。 ３.极限熵： 平均符号熵的N 取极限值，即原始信源不断发符号，符号间的统计关系延伸到无穷。 ４. ５.离散信源和连续信源的最大熵定理。 离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。 连续信源，峰值功率受限时，均匀分布的熵最大。 平均功率受限时，高斯分布的熵最大。 均值受限时，指数分布的熵最大 ６.限平均功率的连续信源的最大熵功率： 称为平均符号熵。 定义：即无记忆有记忆N X H H X H N X H X NH X H X H X H N N N N N N )() ()()()()()(=≤∴≤≤
若一个连续信源输出信号的平均功率被限定为p ，则其输出信号幅度的概率密度分布是高斯分布时，信源有最大的熵，其值为 1log 22 ep π.对于N 维连续平稳信源来说，若其输出的N 维随机序列的协方差矩阵C 被限定，则N 维随机矢量为正态分布时信源 的熵最大，也就是N 维高斯信源的熵最大，其值为1log ||log 222N C e π+ 7.离散信源的无失真定长编码定理： 离散信源无失真编码的基本原理 原理图 说明： （1） 信源发出的消息：是多符号离散信源消息，长度为L,可以用L 次扩展信 源表示为： X L =(X 1X 2……X L ) 其中，每一位X i 都取自同一个原始信源符号集合（n 种符号）： X={x 1，x 2，…x n } 则最多可以对应n L 条消息。 （2）信源编码后，编成的码序列长度为k,可以用k 次扩展信宿符号表示为： Y k =(Y 1Y 2……Y k ) 称为码字/码组 其中，每一位Y i 都取自同一个原始信宿符号集合： Y={y 1，y 2，…y m } 又叫信道基本符号集合（称为码元，且是m 进制的） 则最多可编成m k 个码序列，对应m k 条消息 定长编码：信源消息编成的码字长度k 是固定的。对应的编码定理称为定长信源编码定理。 变长编码：信源消息编成的码字长度k 是可变的。 8.离散信源的最佳变长编码定理 最佳变长编码定理：若信源有n 条消息，第i 条消息出现的概率为p i ，且 p 1>=p 2>=…>=p n ，且第i 条消息对应的码长为k i ，并有k 1<=k 2<=…<=k n
［标签:标题］ 篇一：信息技术能力提升学习感想 信息技术应用能力提升学习感想 当今社会是一个信息化的社会，人们无时无刻都处在一个信息交互的状态，随着信息技术的不断发展，多媒体教学成为活跃课堂、调动学生学习积极性的一种主要手段。因而，对于教师而言，信息技术手段的掌握和应用是我们必须掌握的一门技术。接到学校部署的“信 息技术应用能力提升”的网络学习任务，故而倍加珍惜这次研修学习的机会。 通过这次培训，我收获颇丰。在教学中必然要打破传统的传授式的教学模式，而构建出适应信息社会的新型教学模式来。我深深体会到： 信息技术对教师的重要作用。我清楚地认识到随着以计算机为核心的信息技术在教育中的广泛应用，教师不是像以前那样，单凭一张嘴、一支粉笔、一块黑板即可进行教学，而是综合应用多种媒体技术，利用多媒体和微机网络，开展教学。教师不能只停在原有知识的认识上，要不断学习，不断完善自己，不断充实自己。现在的学生更是聪明，他们不仅能在学校里学习知识，还能通过电视、网络等多种途径学到更多的知识。因而，教师必须有一种超前 意识。 在教育系统中，教育信息是最活跃的因素。教育系统本身要求教师具备一定的信息素养， 教师可以通过网络学习新知识，可以与同行交流经验，可以与学生进行沟通，可以,多渠道 掌握计算机操作技术，提升信息技术应用能力。 这次培训的时间虽然短些，但我通过学习认识到计算机的重要性，我会在今后的工作中，充分利用学到的知识进行教育教学，创新信息技术教学手段，提高信息技术应用能力。篇二：信息技术提升培训心得体会 小学语文信息技术提升工程 培训心得体会 关市镇盘石完小綦恒柏这次我有幸参加了小学语文信息技术提升工程培训，通过这次培训，对我今后的语文教育教学方法产生极大影响，感受到教学工作的艰巨。同时对我们各方 面的能力有了很大提高，特别是对信息技术的综合运用能力，现在已不只停留在课件的简单 制作上。使我们认识到做为一名语文教师应积极主动吸纳当今最新的技术，并致力于把它们 应用于课堂内的教与学活动中，在这短短的培训中深深的体会到： 1、通过本次的培训分清楚了教育技术和信息技术这两个概念。教育技术必须以信息技术为 基础，但却并不同于信息技术。教育技术中的技术包括有形技术和无形技术。有形技术是教育技术的依托，无形技术是教育技术的灵魂。教育技术的有效运用，是要在先进的教育思想、理论的指导下合理地选择有形技术，将其有机的结合在一起，应用到实际教学中。而信息技 术是指一切能够扩展人类有关器官功能的技术。我们在日常的教育教学中，要合理的运用现 代教学技术为我们的课堂增添情趣，为我们的教育教学有一个良好的结果奠定基础。 2、通过培训对信息技术的运用有了一个质的飞跃，一改过去的“多媒体可有可无”的落后 思想，我们积极采用信息技术与各学科的整合并初显成效，可以说终于尝到了信息化教学的 甜头。听了六堂课后，充分相信这些对课堂教学质量的提高提供了很好的保证。 3、教师具备良好的信息素养是终生学习、不断完善自身的需要。信息素养是终生学习者具 有的特征。在信息社会，一名高素质的教师应具有现代化的教育思想、教学观念，掌握现代 化的教学方法和教学手段，熟练运用信息工具（网络、电脑）对信息资源进行有效的收集、 组织、运用；这些素质的养成就要求教师不断地学习，才能满足现代化教学的需要；信息素
上海大学2011～2012学年度冬季学期试卷（A卷） 课程名:信息论与编码课程号: 07276033学分: 4 应试人声明： 我保证遵守《上海大学学生手册》中的《上海大学考场规则》，如有考试违纪、作弊行为，愿意接受《上海大学学生考试违纪、作弊行为界定及处分规定》的纪律处分。 应试人应试人学号应试人所在院系 题号 1 2 3 4 得分——————————————————————————————————————一：填空题(每空2分，共40分) 1：掷一个正常的骰子，出现‘5’这一事件的自信息量为________,同时掷两个正常的骰子，‘点数之和为5’这一事件的自信息量为___________.（注明物理单位） 2：某信源包含16个不同的离散消息，则信源熵的最大值为___________,最小值为_____________. 3：信源X经过宥噪信道后，在接收端获得的平均信息量称为______________. 4：一个离散无记忆信源输出符号的概率分别为p(0)=0.5,p(1)=0.25,p(2)=0.25,则由60个符号构成的消息的平均自信息量为__________. 5：信源编码可提高信息传输的___有效___性，信道编码可提高信息传输的___可靠_性. 6:若某信道的信道矩阵为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 001 100 010 100 ，则该信道为具有____归并____性能的信道 7：根据香农第一定理（定长编码定理）若一个离散无记忆信源X的信源熵为H(X)，对其n个符号进行二元无失真编码时，其码字的平均长度必须大于____________ 8：若某二元序列是一阶马尔科夫链，P(0/0)=0.8，P(1/1)=0.7，则‘0’游程长度为4的概率为____________,若游程序列为312314，则原始的二元序列为_________. 9:若循环码的生成多项式为1 ) (2 3+ + =x x x g，则接收向量为（1111011）的伴随多项式为_______________ 10:对有32个符号的信源编4进制HUFFMAN码，第一次取_______个信源进行编码. 11:若一个线性分组码的所有码字为：00000,10101,01111,11010，则该码为（____,_____）,该码最多可以纠正_______位错误，共有________陪集. 12：码长为10的线性分组码若可以纠正2个差错,其监督吗至少有__5____位. 13：（7,4）汉明码的一致校验矩阵为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1,0,1,0,1, ,1 0,1,1,0,0, ,1 0,0,0,1,1, ,1 3 2 1 r r r ，则3 2 1 r r r 为__________. _______________________________________________________________ 草稿纸 成绩
信息技术学习心得体会5篇 篇一：信息技术能力提升学习感想 信息技术应用能力提升学习感想 当今社会是一个信息化的社会，人们无时无刻都处在一个信息交互的状态，随着信息技术的不断发展，多媒体教学成为活跃课堂、调动学生学习积极性的一种主要手段。因而，对于教师而言，信息技术手段的掌握和应用是我们必须掌握的一门技术。接到学校部署的“信息技术应用能力提升”的网络学习任务，故而倍加珍惜这次研修学习的机会。 通过这次培训，我收获颇丰。在教学中必然要打破传统的传授式的教学模式，而构建出适应信息社会的新型教学模式来。我深深体会到： 信息技术对教师的重要作用。我清楚地认识到随着以计算机为核心的信息技术在教育中的广泛应用，教师不是像以前那样，单凭一张嘴、一支粉笔、一块黑板即可进行教学，而是综合应用多种媒体技术，利用多媒体和微机网络，开展教学。教师不能只停在原有知识的认识上，要不断学习，不断完善自己，不断充实自己。现在的学生更是聪明，他们不仅能在学校
里学习知识，还能通过电视、网络等多种途径学到更多的知识。因而，教师必须有一种超前意识。 在教育系统中，教育信息是最活跃的因素。教育系统本身要求教师具备一定的信息素养，教师可以通过网络学习新知识，可以与同行交流经验，可以与学生进行沟通，可以…多渠道掌握计算机操作技术，提升信息技术应用能力。 这次培训的时间虽然短些，但我通过学习认识到计算机的重要性，我会在今后的工作中，充分利用学到的知识进行教育教学，创新信息技术教学手段，提高信息技术应用能力。 篇二：信息技术提升培训心得体会 小学语文信息技术提升工程 培训心得体会 关市镇盘石完小綦恒柏这次我有幸参加了小学语文信息技术提升工程培训，通过这次培训，对我今后的语文教育教学方法产生极大影响，感受到教学工作的艰巨。同时对我们各方面的能力有了很大提高，特别是对信息技术的综合运用能力，现在已不只停留在的简单制作上。使我们认识到做为一名语文教师应积极主动吸纳当今最新的技术，并致力于把它们应用于课堂内的教与学活动中，在这短短的培训中深深的体会到：
信息论概念复习题 一、填空 1948年，美国数学家 香农 发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。 人们研究信息论的目的是为了 高效、可靠、安全 地交换和利用各种各样的信息。 信息的 可度量性 是建立信息论的基础。 统计度量 是信息度量最常用的方法。 熵 是香农信息论最基本最重要的概念。 事物的不确定度是用时间统计发生 概率的对数 来描述的。 7、单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用 随机矢量 描述。 8、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为 其发生概率对数的负值 。 9、自信息量的单位一般有 比特、奈特和哈特 。 10、必然事件的自信息是 0 。 11、不可能事件的自信息量是 ∞ 。 12、两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于 两个自信息量之和 。 13、数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数目的增多，输入消息与输出消息之间的平均互信息量 趋于变小 。 14、离散平稳无记忆信源X 的N 次扩展信源的熵等于离散信源X 的熵的 N 倍 。 15、离散平稳有记忆信源的极限熵， =∞H ) /(lim 1 21-∞→N N N X X X X H 。 16、对于n 元m 阶马尔可夫信源，其状态空间共有 nm 个不同的状态。 17、一维连续随即变量X 在[a ，b]区间内均匀分布时，其信源熵为 log2（b-a ） 。 18、根据输入输出信号的特点，可将信道分成离散信道、连续信道、半离散或半连续 信道。 19、信道的输出仅与信道当前输入有关，而与过去输入无关的信道称为 无记忆 信道。 20、具有一一对应关系的无噪信道的信道容量C= log2n 。 21、对称信道的信道容量C= log2m-Hmi 。 22、对于离散无记忆信道和信源的N 次扩展，其信道容量CN= NC 。 24、信道编码定理是一个理想编码的存在性定理，即：信道无失真传递信息的条件是 信息率小于信道容量 。 25、信息率失真理论是量化、数模转换、频带压缩和 数据压缩 的理论基础。 26、求解率失真函数的问题，即：在给定失真度的情况下，求信息率的 极小值 。 27、单符号的失真度或失真函数d （xi ，yj ）表示信源发出一个符号xi ，信宿再现yj 所引起的 误差或失真 。 28、汉明失真函数 d （xi ，yj ）=? ??≠=j i j i 1 0 。 29、如果规定平均失真度D 不能超过某一限定的值D ，即：D D ≤。我们把D D ≤称为 保真度准则 。 30 、 试验信道的集合用PD 来表示，则PD= {}m j n i D D x y p i j ,,2,1,,,2,1;:)/( ==≤ 。
?? ? ???=??????)()()()(2 211 I I x q x x q x x q x X q X Λ Λ∑==I i i x q 1 1 )(?? ? ???=??????)()()()(2211 m q q q q x x x x x x X X m ΛΛ∏ =N i i x q 1 )(第1章 信息论基础 信息是物质和能量在空间和时间上分布的不均匀程度，或者说信息是关于事物运动的状态和规律。 消息是能被人们感觉器官感知的客观物质和主观思维的运动状态或存在状态。 通信系统中形式上传输的是消息，实质上传输的是信息，消息中包含信息，消息是信息的载体。 信息论是研究信息的基本性质及度量方法，研究信息的获取、传输、存储和处理的一般规律的科学。 狭义信息论 信息论研究的范畴： 实用信息论 广义信息论 信息传输系统 信息传输系统的五个组成部分及功能： 1. 信源 信源是产生消息的源。 2. 编码器 编码器是将消息变换成适合于信道传送的信号的设备。 编码器分为信源编码器和信道编码器两种。 3. 信道 信道是信息传输和存储的媒介，如光纤、电缆、无线电波等。 4. 译码器 译码器是编码器的逆变换，分为信道译码器和信源译码器。 5. 信宿 信宿是消息的接收者，可以是人，也可以是机器。 离散信源及其数学模型 离散信源—消息集X 为离散集合，即时间和空间均离散的信源。 连续信源—时间离散而空间连续的信源。波形信源—时间和空间均连续的信源。 无记忆信源—X 的各时刻取值相互独立。有记忆信源—X 的各时刻取值互相有关联。 离散无记忆信源的数学模型—离散型的概率空间： x i ∈{a 1,a 2,…,a k } 1≤i ≤I 0≤q(x i )≤1 离散无记忆N 维扩展信源的数学模型： x ＝x 1x 2…x N x i ∈{a 1,a 2,…,a k } 1≤i ≤N q (x )＝q (x 1x 2 … x N )＝ 离散信道及其数学模型 离散信道—信道的输入和输出都是时间上离散、取值离散的随机序列。离散信道有时也称为数字信道。 连续信道—信道的输入和输出都是时间上离散、取值连续的随机序列，又称为模拟信道。 半连续信道—输入序列和输出序列一个是离散的，而另一个是连续的。 波形信道—信道的输入和输出都是时间上连续，并且取值也连续的随机信号。 无记忆信道—信道的输出y 只与当前时刻的输入x 有关。 有记忆信道—信道的输出y 不仅与当前时刻的输入x 有关，还与以前的输入有统计关系。
" 1. 在无失真的信源中，信源输出由 H (X ) 来度量；在有失真的信源中，信源输出由 R (D ) 来度量。 2. 要使通信系统做到传输信息有效、可靠和保密，必须首先 信源 编码， 然后_____加密____编码，再______信道_____编码，最后送入信道。 3. 带限AWGN 波形信道在平均功率受限条件下信道容量的基本公式，也就是有名的香农公式是log(1)C W SNR =+；当归一化信道容量C/W 趋近于零时，也即信道完全丧失了通信能力，此时E b /N 0为 dB ，我们将它称作香农限，是一切编码方式所能达到的理论极限。 4. 保密系统的密钥量越小，密钥熵H (K )就越 小 ，其密文中含有的关于明文的信息量I (M ；C )就越 大 。 5. 已知n ＝7的循环码4 2 ()1g x x x x =+++，则信息位长度k 为 3 ，校验多项式 h(x)= 3 1x x ++ 。 6. ? 7. 设输入符号表为X ＝{0，1}，输出符号表为Y ＝{0，1}。输入信号的概率分布为p ＝(1/2，1/2)，失真函数为d (0，0) = d (1，1) = 0，d (0，1) =2，d (1，0) = 1，则D min ＝ 0 ，R (D min )＝ 1bit/symbol ，相应的编码器转移概率矩阵[p(y/x )]＝1001?? ???? ；D max ＝ ，R (D max )＝ 0 ，相应的编码器转移概率矩阵[p(y/x )]＝1010?? ? ??? 。 8. 已知用户A 的RSA 公开密钥(e,n )=(3,55)，5,11p q ==,则()φn = 40 ，他的秘密密钥(d,n )＝(27,55) 。若用户B 向用户A 发送m =2的加密消息，则该加密后的消息为 8 。 二、判断题 1. 可以用克劳夫特不等式作为唯一可译码存在的判据。 （ ） 2. 线性码一定包含全零码。 （ ） 3. 算术编码是一种无失真的分组信源编码，其基本思想是将一定精度数值作为序列的 编码，是以另外一种形式实现的最佳统计匹配编码。 （×） 4. " 5. 某一信源，不管它是否输出符号，只要这些符号具有某些概率特性，就有信息量。 （×） 6. 离散平稳有记忆信源符号序列的平均符号熵随着序列长度L 的增大而增大。 （×） 7. 限平均功率最大熵定理指出对于相关矩阵一定的随机矢量X ，当它是正态分布时具 有最大熵。 （ ） 8. 循环码的码集中的任何一个码字的循环移位仍是码字。 （ ） 9. 信道容量是信道中能够传输的最小信息量。 （×） 10. 香农信源编码方法在进行编码时不需要预先计算每个码字的长度。 （×） 11. ！ 12. 在已知收码R 的条件下找出可能性最大的发码i C 作为译码估计值，这种译码方
实验报告 课程名称：信息论与编码姓名： 系：专 业：年 级：学 号：指导教 师：职 称：
年月日 目录 实验一信源熵值的计算 (1) 实验二Huffman 信源编码. (5) 实验三Shannon 编码 (9) 实验四信道容量的迭代算法 (12) 实验五率失真函数 (15) 实验六差错控制方法 (20) 实验七汉明编码 (22)
实验一信源熵值的计算 、实验目的 1 进一步熟悉信源熵值的计算 2 熟悉Matlab 编程 、实验原理 熵(平均自信息)的计算公式 q q 1 H(x) p i log2 p i log2 p i i 1 p i i 1 MATLAB实现：HX sum( x.* log2( x))；或者h h x(i)* log 2 (x(i )) 流程：第一步：打开一个名为“ nan311”的TXT文档，读入一篇英文文章存入一个数组temp，为了程序准确性将所读内容转存到另一个数组S，计算该数组中每个字母与空格的出现次数( 遇到小写字母都将其转化为大写字母进行计数) ，每出现一次该字符的计数器+1；第二步：计算信源总大小计算出每个字母和空格出现的概率；最后，通过统计数据和信息熵公式计算出所求信源熵值(本程序中单位为奈特nat )。 程序流程图： 三、实验内容 1、写出计算自信息量的Matlab 程序 2、已知：信源符号为英文字母(不区分大小写)和空格输入：一篇英文的信源文档。输出：给出该信源文档的中各个字母与空格的概率分布，以及该信源的熵。 四、实验环境 Microsoft Windows 7
五、编码程序 #include"stdio.h" #include
《信息论与编码》课程小结 《信息论与编码》课程小结信息论是应用概率论、随机过程和数理统计和近代代数等方法，来研究信息的存储、传输和处理中一般规律的学科。它的主要目的是提高通信系统的可靠性、有效性和安全性，以便达到系统的最优化。 关于信息论的基本理论体系，1948年，香农在贝尔系统技术杂志
上发表“通信的数学理论”。在文中，他用概率测度和数理统计的方法系统地讨论了通信的基本问题，得出了几个重要而带有普遍意义的结论，并由此奠定了现代信息论的基础。香农理论的核心是：揭示了在通信系统中采用适当的编码后能够实现高效率和高可靠地传输信息，并得出了信源编码定理和信道编码定理。然而，它们给出了编码的性能极限，在理论上阐明了通信系统中各种因素的相互关系，为寻找最佳通信系统提供了重要的理论依据。 对信息论的研究内容一般有以下三种理解： (1) 狭义信息论，也称经典信息论。它主要研究信息的测度、信道容量以及信源和信道编码理论等问题。这部分内容是信息论的基础理论，又称香农基本理论。 (2) 一般信息论，主要是研究信息传输和处理问题。除了香农理论以外，还包括噪声理论、信号滤波和预测、统计检测与估计理论、调制理论、信息处理理论以及保密理论等。后一部分内容以美国科学家维纳为代表，其中最有贡献的是维纳和苏联科学家柯尔莫哥洛夫。 (3) 广义信息论。广义信息论不仅包括上述两方面的内容，而且包括所有与信息有关的自然和社会领域，如模式识别、计算机翻译、心理学、遗传学、神经生理学、语言学、语义学甚至包括社会学中有关信息的问题，是新兴的信息科学理论。 信息论已经成为现代信息科学的一个重要组成部分，它是现代通信和信息技术的理论基础。现代信息论又是数学概率论下的一个分支，与遍历性理论、大偏差理论以及统计力学等都有密切关系。 关于信息论与编码课程的特点，信息论课程中运用了大量的数学知识。例如：在讨论纠错编码中生成矩阵和一致校验矩阵的关系时，需要用到矩阵的运算和性质；在讨论连续信源熵时，需要对连续信源概率密度进行积分运算；在讨论离散信源熵的最大值或信道容量的最大值时，要计算多元函数的条件极值。此外，信息论与编码中很多定理都伴随着复杂的数学证明，其中最明显的就是香农三定理（无失真信源编码定理、有
一：数据处理定理： （1）：I(X;Z)<=I(X;Y)表明从Z所得到的关于X的信息量小于等于从Y得到的关于X的信息量。如果把Y-->Z看作数据处理系统，那么通过数据处理后，虽然可以满足我们的某种要求，但是从信息量来看，处理后会损失一部分信息，最多保持原有的信息，也就是说，对接收到的数据Y进行处理后，绝不会减少关于X的不确定性。这个定理称为数据处理定理。二：即时码，唯一可译码（充要条件） （1）：一个唯一可译码成为即时码的充要条件是时钟任何一个码字都不是其他码字的前缀。这个很好理解，因为如果没有一个码字是其他码字的前缀，则在接受到一个相当于一个完整码字的符号序列后便可以立即译码，而无须考虑其后的码符号。反过来说，如果有一个码字是其他码字的前缀，假设Wj是Wj的前缀，则在接收到相当于Wj的码符号序列后还不能立即判使之定它是一个完整的码字，若想正确译码，还必须参考后续后续的码符号，这与即时码的定义相矛盾，所以即时码的必要条件是其中任何一个码字都不是其他的码字的前缀。三：香农定理： （1）第一定理：要做到无失真信源编码，每个信源符号平均所需最少得的r元码符号数就是信源的熵值（以r进制单位为信息量单位） （2）第二定理：设有一个离散无记忆平稳信道，其信道容量为C。当信息传输率R