2018-2019学年陕西省西安市高新一中八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列式子：，，，，中，是分式的有（）
A．1B．2C．3D．4
2．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．下面式子从左边到右边的变形，是因式分解的是（）
A．x2﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．（a+b）2＝a2+b2+2ab
4．在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：3：1，则∠D的度数是（）A．45°B．60°C．120°D．135°
5．如果把分式中的x、y的值都扩大5倍，那么分式的值（）
A．不变B．扩大5倍
C．缩小为原来的倍D．以上都不正确
6．如图，在平面直角坐标系中，A（0，0）、B（4，0）、D（1，2）为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点C的坐标是（）
A．（2，5）B．（4，2）C．（5，2）D．（6，2）
7．如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列条件能判定四边形AEDF是菱形的是（）
A．AD⊥BC B．AD为BC边上的中线
C．AD＝BD D．AD平分∠BAC
8．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前两天完成任务，若设原计划每天修建道路x米，则根据题意可列方程为（）
A．﹣＝2B．﹣＝2
C．﹣＝2D．﹣＝2
9．如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF＝（）
A．8B．6C．4D．3
10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，∠ADC＝60°，AB＝BC＝2，下列结论：①∠CAD＝30°；
②BD＝2；③S四边形ABCD＝AB?AC；④OE＝AD；⑤S△BOE＝．其中正确的个数
有（）个
A．2B．3C．4D．5
二．填空题（共9小题）
11．因式分解：2x﹣x2＝．
12．如果分式值为零，那么x＝．
13．一个正多边形的内角是外角的2倍，则这个正多边形是边形．
14．关于x的分式方程+2＝有增根，那么m＝．
15．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE，若∠E＝50°，则∠BAO的大小为．
16．如果一个四边形的两条对角线长分别为6cm和10cm，那么顺次连接这个四边形各边中点所得新四边形的周长为cm．
17．如图，已知?ABCO的顶点A、C分别在直线x＝2和x＝7上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为．
18．如图所示，若用2张1号正方形卡片，2张2号正方形卡片，5张3号长方形卡片拼成一个大的长方形，则这个大的长方形的长和宽可分别表示为，．
19．已知关于x的方程＝3的解是非负数，则m的取值范围是．
三．解答题（共7小题）
20．因式分解
（1）9y﹣25x2y
（2）﹣a2bc+2ab2c﹣b3c
21．先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，请从0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
22．解分式方程：﹣1＝
23．足球是世界第一运动，参与足球运动可以锻炼身体，陶冶情操．“高新美少年，阳春蹴鞠忙”，让学生走出教室，走进阳光，让每一位学生健康、快乐成长，是高新一中初中校区一直秉承的理念．本月，我校第四届校园足球联赛落下了帷幕，并取得了四满成功．为了举办本次活动，我校在商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2600元，购买乙种足球共花费1328元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2.5倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花18元．求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元？
24．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线与BE的延长线相交于点F，连接CF．
（1）求证：四边形CF AD为平行四边形．
（2）若∠BAC＝90°，AB＝4，BD＝，请求出四边形CF AD的面积．
25．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图（1），连接AF、CE．
①四边形AFCE是什么特殊四边形？说明理由；
②求AF的长；
（2）如图（2），动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
26．问题发现：数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝10，AD是BC边上的中线，求AD的长度．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长AD到E，使DE＝AD，则AD＝AE
在△ADC和△EDB中
∴△ADC≌△EDB
∴∠DBE＝∠DCA，BE＝AC
∴BE∥AC
∴∠EBA+∠BAC＝180°
∵∠BAC＝90°
∴∠EBA＝90°
在△EBA和△CAB中
∴△EBA≌△CAB
∴AE＝BC
∵BC＝10
∴AD＝AE＝BC＝5
（1）若将上述问题中条件“BC＝10”换成“BC＝a”，其他条件不变，则可得AD＝．从面得到结论：直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半．
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形进而求解．
问题解决：（2）如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，M是AB的中点．若CM＝6.5，BC+CD+DA＝17，求四边形ABCD的面积．
问题拓展：（3）如图③，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE ⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，∠DFE与∠AEF的度数满足数量关系：∠DFE＝k∠AEF，求k的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列式子：，，，，中，是分式的有（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】直接利用分式的定义分析得出答案．
【解答】解：，，，，中，是分式的有：，共2个．故选：B．
2．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各个选项中的图形进行判断即可．
【解答】解：A、B、C都不是中心对称图形，D是中心对称图形，
故选：D．
3．下面式子从左边到右边的变形，是因式分解的是（）
A．x2﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．（a+b）2＝a2+b2+2ab
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．
【解答】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B、是整式的乘法，故B错误；
C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C正确；
D、是整式的乘法，故D错误；
故选：C．
4．在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：3：1，则∠D的度数是（）A．45°B．60°C．120°D．135°
【分析】设∠A＝x，∠B＝3x，得出x+3x＝180°的方程，进而解答即可．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：3：1，
∴设∠A＝x，∠B＝3x，可得：x+3x＝180°
解得：x＝45，
3x＝135，
∴∠D＝135°，
故选：D．
5．如果把分式中的x、y的值都扩大5倍，那么分式的值（）
A．不变B．扩大5倍
C．缩小为原来的倍D．以上都不正确
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【解答】解：根据题意得：
＝＝，
则分式的值不变．
故选：A．
6．如图，在平面直角坐标系中，A（0，0）、B（4，0）、D（1，2）为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点C的坐标是（）
A．（2，5）B．（4，2）C．（5，2）D．（6，2）
【分析】利用平行四边形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵D（1，2），B（4，0），
∴AB＝4，
∴点C坐标（5，2）．
故选：C．
7．如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列条件能判定四边形AEDF是菱形的是（）
A．AD⊥BC B．AD为BC边上的中线
C．AD＝BD D．AD平分∠BAC
【分析】根据菱形的判定定理作答．
【解答】解：添加AD平分∠BAC可判定四边形AEDF是菱形，
理由如下：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴∠DAB＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴平行四边形AEDF是菱形，
故选：D．
8．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前两天完成任务，若设原计划每天修建道路x米，则根据题意可列方程为（）
A．﹣＝2B．﹣＝2
C．﹣＝2D．﹣＝2
【分析】设原计划每天修建道路xm，则实际每天修建道路为（1+20%）xm，根据采用新的施工方式，提前2天完成任务，列出方程即可．
【解答】解：设原计划每天修建道路xm，则实际每天修建道路为（1+20%）xm，
由题意得，﹣＝2．
故选：A．
9．如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF＝（）
A．8B．6C．4D．3
【分析】可过点P作平行四边形PGBD，EPHC，进而利用平行四边形的性质及等边三角形的性质即可求解此题．
【解答】解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，
则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，
四边形PGBD，EPHC是平行四边形，
∴PG＝BD，PE＝HC，
又△ABC是等边三角形，
又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等边三角形，
∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，
又△ABC的周长为12，
∴PD+PE+PF＝DH+HC+BD＝BC＝×12＝4，
故选：C．
10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，∠ADC＝60°，AB＝BC＝2，下列结论：①∠CAD＝30°；
②BD＝2；③S四边形ABCD＝AB?AC；④OE＝AD；⑤S△BOE＝．其中正确的个数有（）个
A．2B．3C．4D．5
【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝2，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE＝30°，最后由平行线的性质可作判断；
②先根据三角形中位线定理得：OE＝AB＝1，OE∥AB，根据勾股定理计算OC，OD 的长，即可求BD的长；
③因为∠BAC＝90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；
④根据三角形中位线定理可作判断；
⑤由三角形中线的性质可得：S△BOE＝S△EOC＝OE?OC＝．
【解答】解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝2，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝2，
∵BC＝4，
∴EC＝2，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
故①正确；
②∵BE＝EC，OA＝OC，
∴OE＝AB＝1，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°，Rt△EOC中，OC＝＝，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠ACD＝90°，
Rt△OCD中，OD＝＝
BD＝2OD＝2
故②正确
③由②知：∠BAC＝90°，
∴S?ABCD＝AB?AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB，
∵AB＝BC，
∴OE＝BC＝AD，
故④正确；
⑤∵BE＝EC＝2
∴S△BOE＝S△EOC＝OE?OC＝
故⑤正确
故选：D．
二．填空题（共9小题）
11．因式分解：2x﹣x2＝x（2﹣x）．
【分析】利用提公因式法因式分解即可．
【解答】解：2x﹣x2
＝x（2﹣x），
故答案为：x（2﹣x）．
12．如果分式值为零，那么x＝1．
【分析】直接利用分式的值为零在分子为零进而得出答案．
【解答】解：∵分式值为零，
∴x﹣1＝0，
解得：x＝1．
故答案为：1．
13．一个正多边形的内角是外角的2倍，则这个正多边形是6边形．【分析】设这个正多边的外角为x°，则内角为2x°，根据内角和外角互补可得x+2x＝180，解可得x的值，再利用外角和360°÷外角度数可得边数．
【解答】解：设这个正多边的外角为x°，由题意得：
x+2x＝180，
解得：x＝60，
360°÷60°＝6．
故答案为6．
14．关于x的分式方程+2＝有增根，那么m＝5．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣5＝0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．
【解答】解：去分母，方程两边同时乘以x﹣5，得：x+2（x﹣5）＝m，
由分母可知，分式方程的增根可能是5，
当x＝5时，5+2（5﹣5）＝m，
解得：m＝5．
故答案为：5．
15．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE，若∠E＝50°，则∠BAO的大小为40°．
【分析】根据菱形的四条边都相等可得AB＝BC，从而得到BC＝BE，再根据等腰三角形的性质求出∠CBE，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠BAD＝∠CBE，再根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BAO＝∠BAD．
【解答】解：菱形ABCD中，AB＝BC，
∵BE＝AB，
∴BC＝BE，
∴∠BCE＝∠E＝50°，
∴∠CBE＝180°﹣50°×2＝80°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD＝∠CBE＝80°，
∴∠BAO＝∠BAD＝×80°＝40°．
故答案为：40°．
16．如果一个四边形的两条对角线长分别为6cm和10cm，那么顺次连接这个四边形各边中点所得新四边形的周长为16cm．
【分析】根据三角形中位线定理分别求出四边形EFGH的各边长，计算即可．
【解答】解：如图，∵E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，
∴EF＝BD＝3，GH＝BD＝3，EH＝AC＝5，FG＝AC＝5，
∴四边形EFGH的周长＝EF+GH+EH+FG＝3+3+5+5＝16（cm）
故答案为：16．
17．如图，已知?ABCO的顶点A、C分别在直线x＝2和x＝7上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为9．
【分析】过点B作BD⊥直线x＝7，交直线x＝7于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则OB＝．由于四边形OABC是平行四边形，所以OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，即可得出答案．
【解答】解：过点B作BD⊥直线x＝7，交直线x＝7于点D，过点B作BE⊥x轴，交x 轴于点E，直线x＝2与OC交于点M，与x轴交于点F，
直线x＝7与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，
∵直线x＝2与直线x＝7均垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN＝∠NCM，
∴∠OAF＝∠BCD，
∵∠OF A＝∠BDC＝90°，
∴∠FOA＝∠DBC，
在△OAF和△BCD中，，
∴△OAF≌△BCD（ASA）．
∴BD＝OF＝2，
∴OE＝7+2＝9，
∴OB＝．
∵OE的长不变，
∴当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝9．
故答案为：9．
18．如图所示，若用2张1号正方形卡片，2张2号正方形卡片，5张3号长方形卡片拼成一个大的长方形，则这个大的长方形的长和宽可分别表示为2a+b，a+2b．
【分析】先计算出拼成的长方形的面积，根据所拼成的长方形面积，因式分解可解决本题．
【解答】解：由题意知，拼成的长方形面积为：2a2+2b2+5ab
＝（2a+b）（a+2b）
所以拼成的大长方形的长和宽分别为：2a+b、a+2b．
故答案为：2a+b，a+2b．
19．已知关于x的方程＝3的解是非负数，则m的取值范围是m≥6．【分析】解方程可得分式方程的解，根据方程的解为非负数可得关于m的不等式，解不等式可得答案．
【解答】解：解方程＝3，得：x＝m﹣6，
∵方程的解是非负数，
∴m﹣6≥0，解得：m≥6，
由分式方程的意义，得m﹣6≠﹣2，
解得：m≠4，
所以m的取值范围为：m≥6，
故答案为：m≥6．
三．解答题（共7小题）
20．因式分解
（1）9y﹣25x2y
（2）﹣a2bc+2ab2c﹣b3c
【分析】（1）直接提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）直接提取公因式﹣bc，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）9y﹣25x2y
＝y（9﹣25x2）
＝y（3﹣5x）（3+5x）；
（2）﹣a2bc+2ab2c﹣b3c
＝﹣bc（a2﹣2ab+b2）
＝﹣bc（a﹣b）2．
21．先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，请从0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝[﹣]?
＝?
＝﹣（x﹣1）（2+x）
＝﹣（x2+x﹣2）
＝﹣x2﹣x+2，
当x＝1，2时，分式无意义，
则x＝0时，原式＝2．
22．解分式方程：﹣1＝
【分析】根据解分式方程的步骤两边同乘以最简公分母，转化为整式方程求解，最后检验即可得出答案．
【解答】解：﹣1＝，
﹣1＝，
x2+2﹣x（x﹣1）＝﹣x，
x2+2﹣x2+x＝﹣x，
2x＝﹣2，
x＝﹣1，
当x＝﹣1时x（x﹣1）≠0，
所以x＝﹣1是原方程的解．
23．足球是世界第一运动，参与足球运动可以锻炼身体，陶冶情操．“高新美少年，阳春蹴鞠忙”，让学生走出教室，走进阳光，让每一位学生健康、快乐成长，是高新一中初中校区一直秉承的理念．本月，我校第四届校园足球联赛落下了帷幕，并取得了四满成功．为了举办本次活动，我校在商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2600元，购买乙种足球共花费1328元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2.5倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花18元．求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元？
【分析】设一个甲种足球需要x元，根据题意列出方程即可求出答案．
【解答】解：设一个甲种足球需要x元，
∴一个乙种足球需要（x+18）元，
由题意可知：＝2.5×，
解得：x＝65，
经检验，x＝65是原方程的解，
∴x+18＝83，
答：购买一个甲种足球、一个乙种足球各需65和83元
24．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线
与BE的延长线相交于点F，连接CF．
（1）求证：四边形CF AD为平行四边形．
（2）若∠BAC＝90°，AB＝4，BD＝，请求出四边形CF AD的面积．
【分析】（1）用一组对边平行且相等来得出四边形CDAF为平行四边形；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵E是AD的中点，
∴AE＝ED，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，∠F AE＝∠BDE，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF＝BD，
∵AD是BC边中线，
∴CD＝BD，
∴AF＝CD，
∴四边形CDAF是平行四边形；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝4，BD＝，AD是BC边上的中线，
∴BC＝2BD＝5，
∴AC＝3，
∴S△ACD＝S△ABC＝S四边形ADCF，
∴四边形CF AD的面积＝S△ABC＝2×4＝6．
25．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图（1），连接AF、CE．
①四边形AFCE是什么特殊四边形？说明理由；
②求AF的长；
（2）如图（2），动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
【分析】（1）①先证明四边形ABCD为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；
②根据勾股定理即可求AF的长；
（2）分情况讨论可知，P点在BF上；Q点在ED上时；才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE．
∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC．
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF（AAS）．
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形．
②设菱形的边长AF＝CF＝xcm，则BF＝（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，AB＝4cm，由勾股定理，得
16+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，