黄石有色一中2013—2014学年度下学期
高一年级3月月考数学试题
命题人 罗 勇
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。时间120分钟。
第I 卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1. α是第四象限角,12cos 13
α=,sin α=( ) A 513B 513C 512D 512- 2.如图,在正六边形ABCDEF 中,点O 为其中心,
则下列判断错误的是 ( ) A .AB OC = B .//AB DE C .AD BE =
D .AD FC = 3.已知集合{}{}21,1P x x Q x mx ====,若Q P ?,则实数m 的值为( )
A.1
B. 1-
C.1或1-
D.
0或1或1-
4.55sin cos 1212
π+π的值是( ) A 4 B 1 C 4- D 1-
5. △ABC 中,BC =2,B =π3,当△ABC 的面积等于32时,sin C 等于( ) A.32B.12C.33 D.34
6.若非零向量a 、b 满足|a |=|b |,(2a +b )·b =0,则a 与b 的夹角为( )
A .30°
B .60°
C .120°
D .150°
B
7.已知△ABC 中,a =x ,b =2,∠B =45°,若三角形有两解,
则x 的取值范围是( )
A .x >2
B .x <2
C .2 D .2 8.函数2()lg(1)f x x =-,集合{}{}(),()A x y f x B y y f x ====, 则右图中阴影部分表示的集合为( ) A .[1,0]- B .(1,0)- C .(,1)[0,1)-∞- D .(,1](0,1)-∞- 9.设a 、b 、c 是三个向量,有下列命题: ①若a ·b =a ·c ,且a ≠0,则b =c ;②若a ·b =0,则a =0或b =0; ③a 、b 的夹角为锐角?a ·b 0>;④(3a +2b )·(3a -2b )=9|a |2-4|b |2. 其中正确的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 10.对实数a 和b ,定义运算“?”:,1,, 1. a a b a b b a b -≤??=?->? 设函数2()(2)(1)f x x x =-?-,x R ∈.若函数()y f x c =-的图象 与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是() A .(1,1](2,)-+∞ B .(2,1](1,2]-- C .(,2)(1,2]-∞- D .[2,1]-- 第II 卷(非选择题,共100分) 二、填空题 (本大题共5个小题,每小题5分,共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.) 11.已知函数()248f x x bx =+-在[]5,20上具有单调性, 则实数b 的取值范围为。 12.在△ABC 中,若a cos A 2=b cos B 2=c cos C 2,则△ABC 一定是________三角形. 13.已知322log ,11(),[()](2),01 2x x f x f f x x ≥?=?< 14.甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处,乙船正以a n mile/h 的速度向 北行驶.已知甲船的速度是3a n mile/h ,问甲船应沿着________方向前进, 才能最快与乙船相遇? 15.下面有四个命题: ①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是,2k k Z παα??=∈???? . ③把函数3sin(2)3y x π=+的图像向右平移6 π个单位长度得到3sin 2y x =的图像. ④函数sin()2 y x π=-在[]0,π上是单调递减的. 其中真命题的序号是.(写出所有正确命题的序号) 三.解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16. (本小题满分12分) (1)化简:sin()cos(3)tan()tan(2)tan(4)sin(5) a παπααπαππαπ------+. (2)若α、β为锐角,且12cos()13α+β=,3cos(2)5 α+β=,求cos α的值. 17.(本小题满分12分)在△ABC 中,a =3,b =26,∠B =2∠A . (1)求cos A 的值; (2)求c 的值. 18. (本小题满分12分)在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别 为a 、b 、c ,且a 2=b 2+c 2+3bc . (1)求A ; (2)设a =3,S 为△ABC 的面积,求S +3cos B cos C 的最大值, 并求出此时B 的值. 19. (本小题满分12分) 设向量()()cos23,cos67,cos68,cos22a b =??=??,(),u a tb t R =+∈。 求(1)a b ?;(2)u 的模的最小值。 20.(本小题满分13分) 海上某货轮在A 处看灯塔B ,在货轮北偏东75°,距离为126n mile ;在A 处看灯塔C ,在货轮的北偏西30°,距离为83n mile ;货轮向正北由A 处航行到D 处时看灯塔B 的方位角 (从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为120°.求: (1)A 处与D 处的距离; (2)灯塔C 与D 处之间的距离。 21.(本小题满分14分)已知函数21()cos cos 1,2f x x x x x R =++∈. (1)求函数()f x 的最小正周期; (2)求函数()f x 在[,]124 ππ上的最大值和最小值,并求函数取得最大值和最小值 时的自变量x 的值; (3)若方程()54f x k =+在0,2π?????? 有且只有一根,求实数k 的取值范围。