第二十一章 二次根式
【课标要求】
【知识梳理】
1．算术平方根：
()()()
??
?
??<-=>==000
02a a a a a a a 2．实数大小的比较：利用法则比较大小；利用数轴比较大小。
3．在实数范围内，加、减、乘、除、乘方运算都可以进行，但开方运算不一定能行，如负数不能开偶次方。实数的运算基础是有理数运算，有理数的一切运算性质和运算律都适用于实数运算。正确的确定运算结果的符号和灵活的使用运算律是掌握好实数运算的关键。
【能力训练】
一、填空题
1、下列和数1415926.3)1(
.
3.0)2(
7
22
)
3( 2)4( 38)5(- 2
)
6(π
...3030030003.0)7(
其中无理数有________，有理数有________（填序号）
2、
9
4
的平方根________，216.0的立方根________。 3、16的平方根________，64的立方根________。
4、算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________。
5、若2562
=x ，则=x ________，若2163
-=x ，则=x ________。 6、已知ABC Rt ?两边为3，4，则第三边长________。
7、若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积________。
8、已知三角形三边长n n n n n n ,122,22,122
2
++++为正整数，则此三角形是________三
角形。
9、如果
0)6(42=++-y x ，则=+y x ________。
10、如果12-a 和
a -5是一个数m 的平方根，则.__________,==m a
11、三角形三边分别为8，15，17，那么最长边上的高为________。
12、直角三角形三角形两直角边长为3和4，三角形内一点到各边距离相等，那么这个距
离为________。
二、选择题
13、下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A. 25,24,6===c b a
B. 5.2,2,5.1===c b a
C. 4
5,2,32===
c b a
D. 17,8,15===c b a
14、小强量得家里彩电荧屏的长为cm 58，宽为cm 46，则这台电视机尺寸是（ ）
A. 9英寸（cm 23）
B. 21英寸（cm 54）
C. 29英寸（cm 74） D .34英寸（cm 87） 15、等腰三角形腰长cm 10，底边cm 16，则面积（ ）
A.2
96cm
B. 2
48cm
C. 2
24cm
D. 2
32cm
16、三角形三边c b a ,,满足ab c b a 2)(2
2
+=+，则这个三角形是（ ）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 等腰三角形 17、2
)6(-的平方根是（ ）
A .6-
B .36
C. ±6
D. 6±
18、下列命题正确的个数有：a a a a ==233)2(,)1(（3）无限小数都是无理数（4）有限
小数都是有理数（5）实数分为正实数和岁实数两类（ ） A .1个
B. 2个
C .3个
D.4个
19、x 是2)9(-的平方根，y 是64的立方根，则=+y x （ ）
A. 3
B. 7
C.3，7
D. 1，7
20、直角三角形边长度为5，12，则斜边上的高（ ）
A. 6
B. 8
C.
13
18
D.
13
60 21、直角三角形边长为b a ,，斜边上高为h ，则下列各式总能成立的是（ ）
A. 2
h ab =
B. 2
222h b a =+
C.
h
b a 111=+ D.
222111h
b a =+ A
E
B
D
第22题
22、如图一直角三角形纸片，两直角边cm BC cm AC 8,6==，现将直角边AC 沿直线AD
折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A.cm 2
B.cm 3
C.cm 4
D.cm 5
三、计算题
23、求下列各式中x 的值:
04916)1(2=-x
25)1)(2(2=-x
8)2)(3(3-=x
27)3()4(3=--x
24、用计算器计算:（结果保留3个有效数字）
15)1(
315)2(
π-6)3( 2332)4(-
四、作图题
25、在数轴上画出8-的点。
26、下图的正方形网格，每个正方形顶点叫格点， 请在图中画一个面积为10的正方形。
第25题图
五、解答题
27、已知如图所示，四边形ABCD 中，,12,13,4,3cm CD cm BC cm AD cm AB ====
90=∠A 求四边形ABCD 的面积。
28、如图所示，在边长为c 的正方形中，有四个斜边为c ，直角边为b a ,的全等直角三角
形，你能利用这个图说明勾股定理吗？写出理由。
29、如图所示，15只空油桶（每只油桶底面直径均为cm 60）堆在一起，要给它盖一个遮
雨棚，遮雨棚起码要多高？（结果保留一位小数）
第28
题
A
第27
题
30、如图所示，在ABC Rt ?中，0
90=∠ACB ，CD 是AB 边上高，若AD=8，BD=2，
求CD 。
31、在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上高AD=12，试求△ABC 周长。
第30题
C
D
B
答案: 一、填空题：
1．4、6、7，1、2、3、5；2．3
2
±，0．6；3．±2，2；4．0和1，0和±1； 5．±16，-4；6．5或7；7．24；8．直角；9．-2；10．-4，81；11．17
120
；12．1
二、选择题：13-22：ACBCCBDDDB 三、计算题： 23．（1）x=4
7
±
；（2）x=6或x=-4；（3）x=-1；（4）x=6；24．用计算器计算答案略 四、作图题：（略）
五、解答题：27．提示：连结BD ，面积为56；28．提示：利用面积证明；29．327．8；30．CD=4；31．周长为42.
初三数学知识点 第一章二次根式知识点 1 二次根式：形如a (0≥a )的式子为二次根式； 性质：a （0≥a ）是一个非负数； () ()02 ≥=a a a ； ()02≥=a a a . 2 二次根式的乘除： ()0,0≥≥=?b a ab b a ； ()0,0>≥=b a b a b a . 3 二次根式的加减：二次根式加减时,先将二次根式华为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并. 4 海伦-秦九韶公式：))()((c p b p p p S ---=,S 是三角形的面积,p 为2 c b a p ++= . 第一章二次根式21.1二次根式练习 一、选择题 1．下列式子中,是二次根式的是（ ） A ． B C D ．x 2．下列式子中,不是二次根式的是（ ） A B C D ． 1x 3．已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（ ） A ．5 B C ． 1 5 D ．以上皆不对 二、填空题 1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a 的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题 1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒,其高为0.2m,按设计需要,?底面应做成正方形,试问底面边长应是多少？ 2．当x 是多少时2在实数范围内有意义？ 3有意义,．
A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数 5.已知a 、b 为实数,求a 、b 的值． 第一章二次根式21.2 二次根式的乘除练习 1. 当0a ≤,0b 时__________=. 2. ,则_____,______m n ==. 3. __________==. 4. 计算： _____________=. 5. ,面积为则长方形的长约为 （精确到0.01）. 6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ） 7. 已知0xy ,化简二次根式的正确结果为（ ） C. D. 8. 对于所有实数,a b ,下列等式总能成立的是（ ） A. 2 a b =+a b =+ 22a b =+a b =+ 9. -和- ） A. 32-- B. 32-- C. -=-不能确定 10. 以下说法中不正确的是（ ） A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3 11. 计算： () 1()2
八年级二次根式测试题及 答案 Prepared on 22 November 2020
一、选择题 1． 下列式子一定是二次根式的是（ ） A ． 2--x B ．x C ．22+x D ．22-x 2．若b b -=-3)3(2，则（ ） A ．b>3 B ．b<3 C ．b ≥3 D ．b ≤3 3．若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（ ） A ．m=0 B ．m=1 C ．m=2 D ．m=3 4．若x<0，则x x x 2 -的结果是（ ） A ．0 B ．—2 C ．0或—2 D ．2 5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．14 B ．48 C ．b a D ．44+a 6．如果)6(6-=-?x x x x ，那么（ ） A ．x ≥0 B ．x ≥6 C ．0≤x ≤6 D ．x 为一切实数 7．小明的作业本上有以下四题： ①24416a a =；②a a a 25105=?；③a a a a a =?=112；④a a a =-23。 做错的题是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 8．化简6151+的结果为（ ） A ．3011 B ．33030 C ．30330 D ．1130 9．若最简二次根式 a a 241-+与的被开方数相同，则a 的值为（ ） A ．4 3-=a B ．34=a C ．a=1 D ．a= —1 10．化简 )22(28+-得（ ） A ．—2 B ． 22- C ．2 D ． 224- 二、填空题
11．①=-2)3.0( ；②=-2)52( 。 12．二次根式 31 -x 有意义的条件是 。 13．若m<0，则332||m m m ++ = 。 14．1112-=-?+x x x 成立的条件是 。 15．比较大小： 16．=?y xy 82 ，=?2712 。 17．计算3393a a a a -+= 。 18．23231+-与的关系是 。 19．若35-=x ，则562++x x 的值为 。 20．化简??? ? ??--+1083114515的结果是 。 三、解答题 21．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）43-x （2）a 83 1- （3）42+m （4）x 1- 22．化简：（1） )169()144(-?- （2）22531- （3）5102421?- （4）n m 218 23．计算： （1）21437???? ??- （2）225241???? ??-- （3）)459(4 3332-? （4）??? ??-???? ??-1263 12817 （5）2484554+-+ （6）2332326-- 四、综合题 24．若代数式| |112x x -+有意义，则x 的取值范围是什么
第二十一章二次根式以及二次根式的乘除练习题 一、选择题 1．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A B C D ． 1x 2．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A ．5 B ． C ． 1 5 D ．以上皆不对 3.使式子x 有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数 4．二次根式的个数是（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 5．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）．A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a<0 D ．a=0 6+ ）． A ．0 B ．23 C ．423 D ．以上都不对 7．a ≥0比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．A ≥． C ． ． 8和cm ，?那么此直角三角形斜边长是（ ） A ． B ．cm C ．9cm D ．27cm 9．化简 ）． A ． ．． 10= ） A ．x ≥1 B ．x ≥-1 C ．-1≤x ≤1 D ．x ≥1或x ≤-1 11．下列各等式成立的是（ ）．A ．． C ．3 ．× 12A ． 27 B ． 27 C D 7 13．阅读下列运算过程： 3 = = 5 = = 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简 的结果是（ ）． A ．2
B ．6 C ． 13 D 14y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）． A ． （y>0） B y>0） C y y>0） D ．以上都不对 15．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）． A ． ．．16．在下列各式中，化简正确的是（ ） A ． B ± 12 2 D ． 17 ） A ．- 3 B ． C ．- 3 D ． 二、填空题 1．若． 2．（）2=________． 3_______数． 4．=________． 5．若 m 的最小值是________． 6．先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+（1-a ）=1； 乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 7．分母有理化:(1) =________;(3) 8．已知x=3，y=4，z=5_______． 9．（x ≥0） 10．a 化简二次根式号后的结果是_________．
人教版二次根式单元检测试题 一、选择题 1．下列计算正确的是（ ） A ．916916+=+ B ．2222-= C ．() 2 23 6 = D ． 1515533 == 2．下列根式是最简二次根式的是（ ） A ．4 B ．21x + C ． 1 2 D ．40.5 3．若 3x - 有意义，则 x 的取值范围是 （ ） A ．3x > B ．3x ≥ C ．3x ≤ D ．x 是非负数 4．下列各式中，运算正确的是（ ） A ．2(2)-＝﹣2 B ．2＋8＝10 C ．2×8＝4 D ．22﹣2＝2 5．下列二次根式是最简二次根式的是( ) A ．12 B ．3 C ．0.01 D ． 12 6．下列算式：（1）257+= ；（2）5x 2x 3x -=；（3） 8+50 =4257+=；（4）33a 27a 63a +=，其中正确的是（ ） A ．（1）和（3） B ．（2）和（4） C ．（3）和（4） D ．（1）和（4） 7．式子2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．0x < B ．0x C ．2x D ．2x 8．如图直线a ，b 都与直线m 垂直，垂足分别为M 、N ，MN ＝1，等腰直角△ABC 的斜边，AB 在直线m 上，AB ＝2，且点B 位于点M 处，将等腰直角△ABC 沿直线m 向右平移，直到点A 与点N 重合为止，记点B 平移平移的距离为x ，等腰直角△ABC 的边位于直线a ，b 之间部分的长度和为y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ） A ． B ．
C ． D ． 9．下列运算正确的是（ ） A ．x + 2x =3x B ．32﹣22=1 C ．2+5=25 D ．a x ﹣b x =（a ﹣b ）x 10．下列各式计算正确的是（ ） A ．2+3=5 B ．43-33=1 C ．2333=63? D ．123=2÷ 11．若75与最简二次根式1m +是同类二次根式，则m 的值为（ ） A ．7 B ．11 C ．2 D ．1 12．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记 2 a b c p ++= ，那么三角形的面积为()()()S p p a p b p c =---如图，在ABC ?中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若5a =，6b =，7c =，则ABC ?的面积为（ ） A ．66 B ．3 C ．18 D ． 192 二、填空题 13．322+=___________． 14．)230m m --≤，若整数a 满足52m a +=a =__________． 15．下面是一个按某种规律排列的数阵： 1 1第行 3 2 5 6 2第行 7 22 3 10 11 23 3第行 13 15 4 17 32 19 25 4第行
第十六章二次根式 教学目标 1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 教学重点和难点 重点：含二次根式的式子的混合运算． 难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 教学过程设计 一、复习 1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件． 指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式． 2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来． 指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除， 计算结果要把分母有理化． 3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式： 4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：
二、例题 例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义： 分析： (1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．
x≥-2且x≠0． 解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以 例3 分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a ≥0和1-a＞0．
解因为1-a＞0，3-a≥0，所以 a＜1，|a-2|＝2-a． (a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0． 这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的． 问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？
《二次根式》单元测试题 （一）判断题：（每小题1分，共5分） 1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ）【提示】2)2(-＝|－2|＝2．【答案】×． 2．3－2的倒数是3＋2．（ ）【提示】 2 31 -＝4323-+＝－（3 ＋2）．【答案】×． 3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（ ）【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1（x ≥1）．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4．ab 、 3 1 b a 3、 b a x 2-是同类二次根式．…（ ）【提示】3 1 b a 3、 b a x 2- 化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5．x 8， 3 1 ，29x +都不是最简二次根式．（ ）29x +是最简二次根式．【答案】×． （二）填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x __________时，式子 3 1 -x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－ 8 15 27102 ÷3 1225 a ＝_．【答案】－2a a ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．【提示】（a －12-a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________． 【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3． 10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简 2 2 22d c ab d c ab +-＝______．【提 示】22d c ＝|cd |＝－cd ． 【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）．
二次根式 练习题 1.若y=5-x +x -5+2019，则x+y= 2．已知P 是直角坐标系内一点，?若点P?），则它到原点的距离是_______． 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋ 652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿ 4.在实数范围内分解因式: 23x -= ；4244m m -+= 429__________,2__________x x -=-+= 5、已知a<02a │可化简为（ ） A ．－a B ．a C ．－3a D ．3a 6、若23a ） A. 52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a - 7、若a －3＜0，则化简a a a -++-4962的结果是（ ） (A) －1 (B) 1 (C) 2a －7 (D) 7－2a 8如果11a 2a a 2=+-+，那么a 的取值范围是（ ） A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a ≤1 9、若03)3(2=-+-x x ，则x 的取值范围是（ ） （A ）3>x （B ）3
14.已知a b 是12 a b ++的值。 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 1 2+的值. 15．已知a ，b ，c 为△ABC 16、已知0a < 17）2-│1-x │． 解：由隐含条件1-3x ≥0得 x ≤13 ∴1-x>0 ∴原式=（1-3x ）-（1-x ）=1-3x-1+x =-2x 2． 18、已知 x = ，y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+ 19（1 （2）+ （33a + （4）2?+-- ? （55-（6+- (7)、 13 ）÷16673)32272(-?++
第二十一章 二次根式 测试5 二次根式的加减(二) 学习要求 会进行二次根式的混合运算，能够运用乘法公式简化运算． 课堂学习检测 一、填空题 1．当a =______时，最简二次根式12-a 与73--a 可以合并． 2．若27+= a ，27-= b ，那么a ＋b =______，ab =______． 3．合并二次根式：(1)=-+)18(50________；(2)=+-ax x a x 45________． 二、选择题 4．下列各组二次根式化成最简二次根式后的被开方数完全相同的是( )． A ．ab 与2ab B mn 与 n m 11+ C ．22n m +与22n m - D ． 239 8b a 与4329 b a 5．下列计算正确的是( )． A ．b a b a b a -=-+2))(2( B ．1239)33(2=+=+ C ．32)23(6+= +÷ D ． 641426412)232(2-=+-=- 6．)32)(23(+-等于( )． A ．7 B ．223366-+- C ．1 D ．22336-+ 三、计算题(能简算的要简算) 7．?-12 1 ).2218( 8．).4818)(122(+- 9．).3 2841)(236215(-- 10．).32 18)(8321( -+
11．.6)1242764810(÷+- 12．.)18212(2 - 综合、运用、诊断 一、填空题 13．(1)规定运算：(a *b )=｜a －b ｜，其中a ，b 为实数，则=+7)3*7(_______． (2)设5=a ，且b 是a 的小数部分，则=-b a a ________． 二、选择题 14．b a -与a b -的关系是( )． A ．互为倒数 B ．互为相反数 C ．相等 D ．乘积是有理式 15．下列计算正确的是( )． A ．b a b a +=+2)( B ．ab b a =+ C ．b a b a +=+22 D ．a a a =? 1 三、解答题 16．?+?-2 2 1221 17．?-- + ?2 818)2 12(2 18．.)21()21(20092008-+ 19．.)()(22b a b a --+ 四、解答题 20．已知,23,23-=+=y x 求(1)x 2－xy ＋y 2；(2)x 3y ＋xy 3的值． 21．已知25-=x ，求4)25()549(2++-+x x 的值．
苏教版八年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 《二次根式》全章复习与巩固（基础）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二次根式的相关概念和性质 1.二次根式 0)a ≥. 要点诠释：0a ≥，即只有被开方数0a ≥时， 才有意义. 2.二次根式的性质 （1） ； （2）；
（3）. 要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2=（0a ≥）， 如22212;;3x ===（0x ≥）. （2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论a . （3a ，再根据绝对值的意义来进行化简. （42的异同 a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数； a ，2=a （0a ≥）. 相同点：被开方数都是非负数，当a 2. 3.最简二次根式 （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含有分母； （3）分母中不含有根号. 满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.等都是最简二次根式. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同， 再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1.乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 0,0)a b =≥≥ 积的算术平方根化简公式： 0,0)a b =≥≥
二次根式单元测试 (考试时间：60分钟满分：100分) 一、选择题（每题3分，共24分） 1.若有意义，则能取得最小整数是（） A. 0 B. 1 C. -1 D. -4 2.已知，则的值为（） A. 1 B. -1 C. D. 以上答案都不对 3.下列各组中的两个根式是同类二次根式的是（） A.和 B.和 C.和 D.和 4.若，则的值是（） A. B. C. D. 5.在下列根式中，不是最简二次根式的是（） A. B. C. D. 6.的整数部分为，的整数部分为，则的值是（） A. 1 B. 2 C. 4 D. 9 7.把根号外的因式移到根号内，得（） A. B. C. D. 8.若，则的值是（） A. -2 B. 0 C. 2 D.
二、填空题（每题4分，共20分） 9.若二次根式有意义，则的取值范围是___________. 10.已知，则. 11.比较大小：. 12.在实数范围内因式分解：. 13.若，则__________. 三、计算（每题6分，共24分） 14.；15.； 16.；17.. 四、解答题（18、19题每题7分，20题8分，21题10分） 18.当时，化简：. 19.当时，求的值. 20.如图：面积为48的正方形四个角是面积为3的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的底面边长和高分别是多少？（精确到0.1） 21.若最简二次根式是同类二次根式. ⑴求的值；
⑵求平方和的算术平方根. 答案与解析： 1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.D 7.D 8.D 9. ；10. 8；11. ；12. ；13. -8； 14. 解：原式； 15. 解：原式； 16. 解：原式； 17. 解：原式； 18. 解： ∴原式； 19. 解： 当时，原式 ； 20. 由大正方形的面积为48，得大正方形的边长为； 由小正方形的面积为3，得小正方形的边长为，即长方体的高为； 所以长方体的底面边长为 答：长方体底面边长为3.5cm；高为1.7cm； 21. 解：(1)由题意可列，解得；
二次根式 课题名称二次根式 三维目标 1.了解二次根式的概念; 理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情况下求根号内所有含字母的取值范围; 会求二次根式的值; 2.经历二次根式概念的发生过程 3.体验数学符号的美 重点目标形如a（a≥0）的式子叫 做二次根式的概念难点目标利用“a（a≥0）”解决具体 问题 导入示标 1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目． 2. 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 目标三导学做思一：认真阅读课文例题前面的内容，思考以下几个问题： 1．当a是正数时， a表示a的什么？（算术平方根，即正数a的正的平方根）． 2．当a是零时， a等于什么？，它表示什么？（它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．） 3．当a是负数时， a有没有意义？（没有意义．） 学做思二：x是怎样的实数时，二次根式1 x-有意义？ 解:被开方数x-1≥0，即x≥1． 所以，当x≥1时，二次根式 1 x-有意义． 学做思三：思考2a与（a）2等于什么？ 我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律. 概括:当a≥0时，2a= ；当a＜0时，2a= ，()() 2 a a a =≥
例 .当x 是多少时，1231x x ++ +在实数范围内有意义？ 例 (1)已知225y x x =-+-+，求 x y 的值． (2)若110a b ++-=，求a 2004 +b 2004的值． 达标检测 1.计算： （4）2=______；（3）2=______； 9=______； 2(4)-=______； 2.x 取什么实数时，下列各式有意义. （1）x 43-； （2）23-x ； （3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+- 反思总结 1.知识建构 2.能力提高 3.课堂体验 课后练习
八年级数学第十六章二次根式测试题 1 时间：45分钟 分数：100分 2 一、选择题（每小题2分，共20分） 3 1．下列说法正确的是（ ） 4 A ．若a a -=2，则a<0 B ．0,2>=a a a 则若 5 C ．4284b a b a = D ． 5的平方根是5 6 2．二次根式13)3(2++m m 的值是（ ） 7 A ．23 B ．32 C ．22 D ．0 8 3．化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是（ ） 9 A ．x y 2- B ．y C ．y x -2 D ．y - 10 4．若b a 是二次根式，则a ， b 应满足的条件是（ ） 11 A ．a ，b 均为非负数 B ．a ，b 同号 12 C ．a ≥0，b>0 D ．0≥b a 13 5．已知a< b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ） 14 A ．ab a -- B ．ab a - 15 C ．ab a D ．ab a - 16
6．把m m 1-根号外的因式移到根号内，得（ ） 17 A ．m B ．m - C ．m -- D ．m - 18 7．下列各式中，一定能成立的是（ ）。 19 A ．22)5.2()5.2(=- B ．22)(a a = 20 C ．122+-x x =x-1 D ．3392+?-=-x x x 21 8．若x+y=0，则下列各式不成立的是（ ） 22 A ．022=-y x B ．033=+y x 23 C ．022=-y x D ．0=+y x 24 9．当3-=x 时，二次根7522++x x m 式的值为5，则m 等于（ ） 25 A ．2 B ． 22 C ．55 D ．5 26 10．已知10182 22=++x x x x ，则x 等于（ ） 27 A ．4 B ．±2 C ．2 D ．±4 28 29 二、填空题（每小题2分，共20分） 30 11．若5-x 不是二次根式，则x 的取值范围是 。 31 12．已知a<2，=-2)2(a 。 32
《第二十一章 二次根式》 练习题 一、填空题 1． ______个． 2. 当x = 时，二次根式1+x 取最小值，其最小值为 。 3. _____________ 4. = 5. 实数a 在数轴上的位置如图所示：化简 ：1______a -=． 6. 已知三角形底边的边长是6cm,面积是12cm 2,则此边的高线长 ． 7. 若()2240a c -+-=，则=+-c b a ． 8. 计算：20102010)23()23(+-= 9. 已知2310x x -+=，则 = 10. = = =用含自然数(1)n n ≥的代数式表示出来是 ． 二、选择题（每小题3分，共24分） 11. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A ．2--x B ．x C ．22+x D ．22-x 12. 下列二次根式中，x 的取值范围是2≥x 的是（ ） A ．2－x B ．x+2 C ．x －2 D ．1x －2 13. 实数a b c ，，在 数轴上的对应点的位置如图所示，式子①0b c +>②a b a c +>+③bc ac >④ab ac >中正确的有（ ） Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个 14. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A . B . C. D . 15. 下列各式中，一定能成立的是（ ） A ．22)5.2()5.2(=- B ．22)(a a =
C ．1122-=+-x x x D ．3392-?+=-x x x 16．设4a ，小数部分为b ，则1a b - 的值为（ ） Ａ．1- Ｃ．1 Ｄ．17. 把m m 1-根号外的因式移到根号内，得（ ） A ．m B ．m - C ．m -- D ．m - 18. 2，则a 的取值范围是（ ） Ａ．4a ≥ Ｂ．2a ≤ Ｃ．24a ≤≤ Ｄ．2a =或4a = 三、解答题（76分） 19. (12分)计算： (1) 21418122-+- (2) 2)352(- (3) (4)28 4)23()21(01--+-?- 20. （8分）先化简，再求值：1 1212222--÷+++-+x x x x x x x ，其中23-=x ． 21. （8分）已知：3x 22x y --+-=，求：4y x ）（+的值。
章复习第21章二次根式 一、二次根式 1、二次根式的概念 一般地，把形如______的式子叫做二次根式，“______”叫做二次根号，______叫做被开方数. 注：被开方数a可以是数，也可以是代数式（整式、分式），但a必须____________. 2、二次根式的意义与性质 ⑴意义：二次根式实际上就是指非负数a的____________． a≥是一个______数；②____________；③____________． (0) 注：①2(0) =≥可逆用平方根定义得出；②注意0 a a a<时，a-． 二、二次根式的乘除 1、二次根式的乘法规定：__________________ 即：____________________________________． 注：①此规定可推广到多个二次根式的情况；②此规定是积的算术平方根的性质____________的逆用；③公式中的a，b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是______数，因为负数____________. 2、二次根式的除法规定：__________________ 即：______________________________. 注：①一般地，两个二次根式相除，如果被开方数不能恰好整除时，应将分母有理化. 分母有理化的依据是分式的基本性质和2(0) =≥；②商的算术平方根的性质的限制条 a a 件“(00) ，”与积的算术平方根的性质的限制条件类似，但也有区别，因为分母不能为零， a b ≥> 所以被除式a必须是非负数，除式b必须是正数，否则性质不成立. 3、最简二次根式 满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含______；②被开方数中不含____________的因数或因式. 注：①判断最简二次根式，应紧紧抓住最简二次根式的定义；②如果被开方数是多项式时，应先因式分解，再来判断；③被开方数中每一个因式的指数都小于根指数2，即每个因式的指数都为1． 三、二次根式的化简 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： ①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分数或分式的形式，然后利用分母有理化进行化简；②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来． 四、二次根式的加减 1、同类二次根式
第21章 二次根式 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 。 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 。 三、学习过程 （一）知识准备： （1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。 （2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________； 正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______； 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）学习内容 1、式子a 表示什么意义? 2、什么叫做二次根式？ 3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？ 4、如何确定一个二次根式有无意义？ （三）自主学习 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y= 3x ，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的 坐标是___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC 中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB 边的长是__________． 4
A C 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称 ．因此，一般地，我们把形如a≥0）?的式子叫做， ”称为． （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 例1 1 x x>0） 、 、 、 1 x y + x≥0，y?≥0）． 例2．当x 在实数范围内有意义？ （四）知识梳理 1．非负数a的算术平方根a(a≥0)叫做二次根式. 二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。
1． 下列式子一定是二次根式的是（ ） A ． 2--x B ．x C ．22+x D ．22-x 2．若b b -=-3)3(2，则（ ） A ．b>3 B ．b<3 C ．b ≥3 D ．b ≤3 3．若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（ ） A ．m=0 B ．m=1 C ．m=2 D ．m=3 4．若x<0，则x x x 2 -的结果是（ ） A ．0 B ．—2 C ．0或—2 D ．2 5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．14 B ．48 C ．b a D ．44+a 6．如果)6(6-=-?x x x x ，那么（ ） A ．x ≥0 B ．x ≥6 C ．0≤x ≤6 D ．x 为一切实数 7．小明的作业本上有以下四题： ①24416a a =；②a a a 25105=?；③a a a a a =?=112；④a a a =-23。 做错的题是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 8．化简6151+的结果为（ ） A ．3011 B ．33030 C ．30330 D ．1130 9．若最简二次根式 a a 241-+与的被开方数相同，则a 的值为（ ） A ．4 3-=a B ．34=a C ．a=1 D ．a= —1 10．化简 )22(28+-得（ ） A ．—2 B ． 22- C ．2 D ． 224-
二、填空题 11．①=-2)3.0( ；②=-2)52( 。 12．二次根式 31 -x 有意义的条件是 。 13．若m<0，则332||m m m ++ = 。 14．1112-=-?+x x x 成立的条件是 。 15．比较大小： 16．=?y xy 82 ，=?2712 。 17．计算3393a a a a -+= 。 18．23231+-与的关系是 。 19．若35-=x ，则562++x x 的值为 。 20．化简??? ? ??--+1083114515的结果是 。 三、解答题 21．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1） 43-x （2）a 831- （3）42+m （4）x 1- 22．化简：（1） )169()144(-?- （2）2253 1-
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础） 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如1 3, ,0.02,02 等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2） ； （3）. 要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2 a =（0a ≥）， 如2 2211 22); );)33 x x ===（0x ≥）.
（2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论a . （3a ，再根据绝对值的意义来进行化简. （42 的异同 a 可以取任何实数，而2 中的a 必须取非负数； a ，2=a （0a ≥）. 相同点：被开方数都是非负数，当a 2 . 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.次根式. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同， 再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 0,0)a b =≥≥ 积的算术平方根化简公式： 0,0)a b =≥≥ 二次根式的除法 0,0)a b ≥> 商的算术平方根化简公式： 0,0)a b =≥> 要点诠释： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如 = （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，
一、选择题 1．下列二次根式中是最简二次根式的为（ ） A B C D 2．当0x = 的值是（ ） A ．4 B ．2 C D ．0 3．下列各式计算正确的是（ ） A =B =C ．23= D 2=- 4．下列运算中，正确的是( ) A =B 1= C = D = 5．下列各式计算正确的是（ ） A = B 6= C ．3+=D 2=- 6．当4x = - 的值为（ ） A ．1 B C ．2 D ．3 7．设,n k 为正整数， 1A = 2A = 3A = 4A = …k A =….，已知 1002005A =，则n =( ). A ．1806 B ．2005 C ．3612 D ．4011 8 ．已知： ，，则a 与b 的关系是（ ） A ．相等 B ．互为相反数 C ．互为倒数 D ．平方相等 9．以下运算错误的是（ ） A = B ． 2= C D 2=a ＞0） 10．下列计算正确的是（ ） A = B = C ．1 = D ．3+= 二、填空题
11．已知实数,x y 满足(2008x y =，则 2232332007x y x y -+--的值为______. 12．把根号外的因式移入根号内，得________ 13．+的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______. 14．10=，则22 2516 x y +=______. 15．把 16． 有意义，则x 的取值范围是____． 17．函数y 中，自变量x 的取值范围是____________． 18．1 =-= = ++……=___________． 19．已知2x =243x x --的值为_______． 20．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记 2 a b c p ++=，那么三角形的面积S =ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若4a =，5b =，7c =，则ABC 面积是_______． 三、解答题 21．（112=3 = 4=；……写出④ ；⑤ ； （2）归纳与猜想．如果n 为正整数，用含n 的式子表示这个运算规律； （3）证明这个猜想． 【答案】（12=5==；（2= 3）
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 第21章 二次根式单元测试 一、选择题（每小题2分，共20分） 1．下列式子一定是二次根式的是（ ） 2．若 b b -=-3)3(2，则（ ） A ．2--x B ．x C ．22+x D ．22-x A ．b>3 B ．b<3 C ．b ≥3 D ．b ≤3 3．下面计算正确的是（ ） A.3=3=2 35= D.2=- 4．若x<0，则x x x 2-的结果是（ ） 5．下列二次根式中属于最简二次根 式的是（ ） A ．0 B ．—2 C ．0或—2 D ．2 A ．14 B ．48 C ． b a D ．44+a 6． 已知y =，则2xy 的值为（ ） 7．化简 6 151+的结果为（ ） A ．15- B ． 15 C ．152- D ． 15 2 A ．3011 B ．33030 C ．30330 D ．1130 8．小明的作业本上有以下四题：
①24416a a =； ②a a a 25105=?； ③a a a a a =?=1 12；④a a a = -23。做错的题是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 9．若最简二次根式a a 241-+与的被开方数相同，则a 的值为（ ） A ．4 3- =a B ．34 =a C ．a=1 D ．a= —1 10． 计算2 2 1－631 ＋8的结果是（ ） A ．32－23 B ．5－2 C ．5－3 D ．22 二、填空题（每小题2分，共20分） 11．①=-2)3.0( ；②=-2 )52( 。12．二次根式3 1-x 有意义的条件是 。 13．若m<0，则332||m m m ++= 。14．=?y xy 82 ， =?2712 。 15．1112-= -?+x x x 成立的条件是 。16．比较大小： 。 17．计算3 393a a a a - += 。18．232 31+-与的关系 是 。 19．若35-= x ，则562++x x 的值为 。20．化简 ? ?? ? ??--+1083114515的结果是 。 三、解答题（第21~22小题各12分，第23小题16分，共40分） 21．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）43-x （2） a 83 1 - （3）42+m （4）x 1-