人教版七年级上册数学 压轴题 期末复习综合测试题
一、压轴题
1.阅读理解:如图①,若线段AB 在数轴上,A 、B 两点表示的数分别为a 和b (b a >),则线段AB 的长(点A 到点B 的距离)可表示为AB=b a -.
请用上面材料中的知识解答下面的问题:如图②,一个点从数轴的原点开始,先向左移动2cm 到达P 点,再向右移动7cm 到达Q 点,用1个单位长度表示1cm .
(1)请你在图②的数轴上表示出P ,Q 两点的位置;
(2)若将图②中的点P 向左移动x cm ,点Q 向右移动3x cm ,则移动后点P 、点Q 表示的数分别为多少?并求此时线段PQ 的长.(用含x 的代数式表示);
(3)若P 、Q 两点分别从第⑴问标出的位置开始,分别以每秒2个单位和1个单位的速度同时向数轴的正方向运动,设运动时间为t (秒),当t 为多少时PQ=2cm ? 2.已知120AOB ∠?= (本题中的角均大于0?且小于180?)
(1)如图1,在AOB ∠内部作COD ∠,若160AOD BOC ∠∠?+=,求COD 的度数;
(2)如图2,在AOB ∠内部作COD ∠,OE 在AOD ∠内,OF 在BOC ∠内,且
3DOE AOE ∠∠=,3COF BOF ∠=∠,7
2
EOF COD ∠=∠,求EOF ∠的度数;
(3)射线OI 从OA 的位置出发绕点O 顺时针以每秒6?的速度旋转,时间为t 秒(050
t <<
且30t ≠).射线OM 平分AOI ∠,射线ON 平分BOI ∠,射线OP 平分MON ∠.若
3MOI POI ∠=∠,则t = 秒.
3.借助一副三角板,可以得到一些平面图形
(1)如图1,∠AOC = 度.由射线OA ,OB ,OC 组成的所有小于平角的和是多少度?
(2)如图2,∠1的度数比∠2度数的3倍还多30°,求∠2的度数;
(3)利用图3,反向延长射线OA 到M ,OE 平分∠BOM ,OF 平分∠COM ,请按题意补全图(3),并求出∠EOF 的度数.
4.综合试一试
(1)下列整数可写成三个非0整数的立方和:45=_____;2=______.
(2)对于有理数a ,b ,规定一种运算:2a b a ab ?=-.如2121121?=-?=-,则计算()()532-??-=????______. (3)a 是不为1的有理数,我们把
11a
-称为a 的差倒数.如:2的差倒数是
1
112=--,1-的差倒数是()
11
112=--.已知12a =,2a 是1a 的差倒数,3a 是2a 的差倒数,4a 是3
a 的差倒数,……,以此类推,122500a a a ++???+=______.
(4)10位裁判给一位运动员打分,每个人给的分数都是整数,去掉一个最高分,再去掉一个最低分,其余得分的平均数为该运动员的得分.若用四舍五入取近似值的方法精确到十分位,该运动员得9.4分,如果精确到百分位,该运动员得分应当是_____分. (5)在数1.2.3...2019前添加“+”,“-”并依次计算,所得结果可能的最小非负数是______
(6)早上8点钟,甲、乙、丙三人从东往西直行,乙在甲前400米,丙在乙前400米,甲、乙、丙三人速度分别为120米/分钟、100米/分钟、90米/分钟,问:______分钟后甲和乙、丙的距离相等.
5.已知有理数a ,b ,c 在数轴上对应的点分别为A ,B ,C ,且满足(a-1)2+|ab+3|=0,c=-2a+b .
(1)分别求a ,b ,c 的值;
(2)若点A 和点B 分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时相向运动,设运动时间为t 秒.
i )是否存在一个常数k ,使得3BC-k?AB 的值在一定时间范围内不随运动时间t 的改变而改变?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由.
ii )若点C 以每秒3个单位长度的速度向右与点A ,B 同时运动,何时点C 为线段AB 的三等分点?请说明理由. 6.已知线段30AB cm =
(1)如图1,点P 沿线段AB 自点A 向点B 以2/cm s 的速度运动,同时点Q 沿线段点B 向点A 以3/cm s 的速度运动,几秒钟后,P Q 、两点相遇? (2)如图1,几秒后,点P Q 、两点相距10cm ?
(3)如图2,4AO cm =,2PO cm =,当点P 在AB 的上方,且060=∠POB 时,点P 绕着点O 以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止,同时点Q 沿直线BA 自B 点向
A 点运动,假若点P Q 、两点能相遇,求点Q 的运动速度.
7.如图,已知数轴上点A 表示的数为6,B 是数轴上在A 左侧的一点,且A ,B 两点间的距离为10.动点P 从点A 出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,动点Q 从点B 出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.(1)设运动时间为t (t >0)秒,数轴上点B 表示的数是 ,点P 表示的数是 (用含t 的代数式表示);(2)若点P 、Q 同时出发,求:①当点P 运动多少秒时,点P 与点Q 相遇?②当点P 运动多少秒时,点P 与点Q 间的距离为8个单位长度?
8.已知∠AOB 和∠AOC 是同一个平面内的两个角,OD 是∠BOC 的平分线. (1)若∠AOB=50°,∠AOC=70°,如图(1),图(2),求∠AOD 的度数;
(2)若∠AOB=m 度,∠AOC=n 度,其中090090180m n m n <<,<<,<+且m n <,求∠AOD 的度数(结果用含m n 、的代数式表示),请画出图形,直接写出答案.
9.如图,在平面直角坐标系中,点M的坐标为(2,8),点N的坐标为(2,6),将线段MN向右平移4个单位长度得到线段PQ(点P和点Q分别是点M和点N的对应点),连接MP、NQ,点K是线段MP的中点.
(1)求点K的坐标;
(2)若长方形PMNQ以每秒1个单位长度的速度向正下方运动,(点A、B、C、D、E分别是点M、N、Q、P、K的对应点),当BC与x轴重合时停止运动,连接OA、OE,设运动时间为t秒,请用含t的式子表示三角形OAE的面积S(不要求写出t的取值范围);(3)在(2)的条件下,连接OB、OD,问是否存在某一时刻t,使三角形OBD的面积等于三角形OAE的面积?若存在,请求出t值;若不存在,请说明理由.
10.如图1,O为直线AB上一点,过点O作射线OC,∠AOC=30°,将一直角三角尺
(∠M=30°)的直角顶点放在点O处,一边ON在射线OA上,另一边OM与OC都在直线AB的上方.
(1)若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度,沿顺时针方向旋转t秒,当OM恰好平分∠BOC时,如图2.
①求t值;
②试说明此时ON平分∠AOC;
(2)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转,设∠AON=α,∠COM=β,当ON在∠AOC内部时,试求α与β的数量关系;
(3)若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转的同时,射线OC也绕点O以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转,如图3,那么经过多长时间,射线OC第一次平分∠MON?请说明理由.
11.在数轴上,图中点A表示-36,点B表示44,动点P、Q分别从A、B两点同时出发,相向而行,动点P、Q的运动速度比之是3∶2(速度单位:1个单位长度/秒).12秒后,动点P到达原点O,动点Q到达点C,设运动的时间为t(t>0)秒.
(1)求OC的长;
(2)经过t秒钟,P、Q两点之间相距5个单位长度,求t的值;
(3)若动点P 到达B 点后,以原速度立即返回,当P 点运动至原点时,动点Q 是否到达A 点,若到达,求提前到达了多少时间,若未能到达,说明理由.
12.从特殊到一般,类比等数学思想方法,在数学探究性学习中经常用到,如下是一个具体案例,请完善整个探究过程。
已知:点C 在直线AB 上,AC a =,BC b =,且a b ,点M 是AB 的中点,请按照
下面步骤探究线段MC 的长度。 (1)特值尝试
若10a =,6b =,且点C 在线段AB 上,求线段MC 的长度. (2)周密思考:
若10a =,6b =,则线段MC 的长度只能是(1)中的结果吗?请说明理由. (3)问题解决
类比(1)、(2)的解答思路,试探究线段MC 的长度(用含a 、b 的代数式表示). 13.如图,数轴上有A 、B 两点,且AB=12,点P 从B 点出发沿数轴以3个单位长度/s 的速度向左运动,到达A 点后立即按原速折返,回到B 点后点P 停止运动,点M 始终为线段BP 的中点
(1)若AP=2时,PM=____;
(2)若点A 表示的数是-5,点P 运动3秒时,在数轴上有一点F 满足FM=2PM ,请求出点F 表示的数;
(3)若点P 从B 点出发时,点Q 同时从A 点出发沿数轴以2.5个单位长度/s 的速度一直..向右运动,当点Q 的运动时间为多少时,满足QM=2PM.
14.已知:∠AOB 是一个直角,作射线OC ,再分别作∠AOC 和∠BOC 的平分线OD 、OE . (1)如图①,当∠BOC=70°时,求∠DOE 的度数;
(2)如图②,若射线OC 在∠AOB 内部绕O 点旋转,当∠BOC=α时,求∠DOE 的度数. (3)如图③,当射线OC 在∠AOB 外绕O 点旋转时,画出图形,直接写出∠DOE 的度数.
15.已知:如图,点A 、B 分别是∠MON 的边OM 、ON 上两点,OC 平分∠MON ,在∠CON 的内部取一点P (点A 、P 、B 三点不在同一直线上),连接PA 、PB . (1)探索∠APB 与∠MON 、∠PAO 、∠PBO 之间的数量关系,并证明你的结论; (2)设∠OAP=x°,∠OBP=y°,若∠APB 的平分线PQ 交OC 于点Q ,求∠OQP 的度数(用含有x 、y 的代数式表示).
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一、压轴题
1.(1)见详解;(2)2x --,53x +,47x +;(3)当运动时间为5秒或9秒时,PQ=2cm. 【解析】 【分析】
(1)根据数轴的特点,所以可以求出点P ,Q 的位置; (2)根据向左移动用减法,向右移动用加法,即可得到答案;
(3)根据题意,可分为两种情况进行分析:①点P 在点Q 的左边时;②点P 在点Q 的右边时;分别进行列式计算,即可得到答案. 【详解】
解:(1)如图所示:
.
(2)由(1)可知,点P 为2-,点Q 为5;
∴移动后的点P 为:2x --;移动后的点Q 为:53x +; ∴线段PQ 的长为:53(2)47x x x +---=+; (3)根据题意可知, 当PQ=2cm 时可分为两种情况: ①当点P 在点Q 的左边时,有
(21)72t -=-,
解得:5t =;
②点P 在点Q 的右边时,有
(21)72t -=+,
解得:9t =;
综上所述,当运动时间为5秒或9秒时,PQ=2cm. 【点睛】
本题要是把方程和数轴结合起来,既要根据条件列出方程,又要把握数轴的特点.解题的关键是熟练掌握数轴上的动点运动问题,注意分类讨论进行解题. 2.(1)40o;(2)84o;(3)7.5或15或45 【解析】 【分析】
(1)利用角的和差进行计算便可;
(2)设AOE x ∠=?,则3EOD x ∠=?,BOF y ∠=?,通过角的和差列出方程解答便可;
(3)分情况讨论,确定∠MON 在不同情况下的定值,再根据角的和差确定t 的不同方程进行解答便可. 【详解】
解:(1))∵∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOD+∠COD=∠AOB+∠COD 又∵∠AOD+∠BOC=160°且∠AOB=120° ∴COD AOD BOC AOB ∠=∠+∠-∠
160120=?-?
40=?
(2)
3DOE AOE ∠=∠,3COF BOF ∠=∠
∴设AOE x ∠=?,则3EOD x ∠=?,BOF y ∠=?
则3COF y ∠=?,
44120COD AQD BOC AOB x y ∴∠=∠+∠-∠=?+?-?
EOF EOD FOC COD ∠=∠+∠-∠
()()3344120120x y x y x y =?+?-?+?-?=?-?+?
7
2
EOF COD ∠=∠
7
120()(44120)2
x y x y ∴-+=+-
36x y ∴+=
120()84EOF x y ∴?+??∠=-=
(3)当OI 在直线OA 的上方时,
有∠MON=∠MOI+∠NOI=
12(∠AOI+∠BOI ))=12∠AOB=1
2
×120°=60°, ∠PON=
1
2
×60°=30°, ∵∠MOI=3∠POI ,
∴3t=3(30-3t )或3t=3(3t-30), 解得t=
15
2
或15; 当OI 在直线AO 的下方时,
∠MON ═
12(360°-∠AOB )═1
2
×240°=120°, ∵∠MOI=3∠POI ,
∴180°-3t=3(60°-6120
2
t-
)或180°-3t=3(
6120
2
t-
-60°),
解得t=30或45,
综上所述,满足条件的t的值为15
2
s或15s或30s或45s.
【点睛】
此是角的和差的综合题,考查了角平分线的性质,角的和差计算,一元一次方程(组)的应用,旋转的性质,有一定的难度,体现了用方程思想解决几何问题,分情况讨论是本题的难点,要充分考虑全面,不要漏掉解.
3.(1)75°,150°;(2)15°;(3)15°.
【解析】
【分析】
(1)根据三角板的特殊性角的度数,求出∠AOC即可,把∠AOC、∠BOC、∠AOB相加即可求出射线OA,OB,OC组成的所有小于平角的和;
(2)依题意设∠2=x,列等式,解方程求出即可;
(3)依据题意求出∠BOM,∠COM,再根据角平分线的性质得出∠MOE,∠MOF,即可求出∠EOF.
【详解】
解:(1)∵∠BOC=30°,∠AOB=45°,
∴∠AOC=75°,
∴∠AOC+∠BOC+∠AOB=150°;
答:由射线OA,OB,OC组成的所有小于平角的和是150°;
故答案为:75;
(2)设∠2=x,则∠1=3x+30°,
∵∠1+∠2=90°,
∴x+3x+30°=90°,
∴x=15°,
∴∠2=15°,
答:∠2的度数是15°;
(3)如图所示,∵∠BOM=180°﹣45°=135°,∠COM=180°﹣15°=165°,
∵OE为∠BOM的平分线,OF为∠COM的平分线,
∴∠MOF=1
2
∠COM=82.5°,∠MOE=
1
2
∠MOB=67.5°,
∴∠EOF=∠MOF﹣∠MOE=15°.
【点睛】
本题主要考查了三角板各角的度数、角平分线的性质及列方程解方程在几何中的应用,熟记概念是解题的关键.
4.(1)23+(-3)3+43,73+(-5)3+(-6)3;(2)100;(3)2503
2
;(4)9.38;(5)0;(6)24或40 【解析】 【分析】
(1)把45分解为2、-3、4三个整数的立方和,2分解为7、-5、-6三个整数的立方和即可的答案;(2)按照新运算法则,根据有理数混合运算法则计算即可得答案;(3)根据差倒数的定义计算出前几项的值,得出规律,计算即可得答案;(4)根据精确到十分位得9.4分可知平均分在9.35到9.44之间,可求出总分的取值范围,根据裁判打分是整数即可求出8个裁判给出的总分,再计算出平均分,精确到百分位即可;(5)由1+2-3=0,连续4个自然数通过加减运算可得0,列式计算即可得答案;(6)根据题意得要使甲和乙、甲和丙的距离相等就可以得出甲在乙、丙之间,设x 分钟后甲和乙、甲和丙的距离相等,就有甲走的路程-乙走的路程-400=丙走的路程+800-甲走的路程建立方程求出其解,就可以得出结论.当乙追上丙时,甲和乙、丙的距离相等,求出乙追上丙的时间即可.综上即可的答案. 【详解】
(1)45=23+(-3)3+43,2=73+(-5)3+(-6)3, 故答案为23+(-3)3+43,73+(-5)3+(-6)3 (2)∵2a b a ab ?=-,
∴()()532-??-=????(-5)?[32
-3×(-2)]
=(-5)?15 =(-5)2-(-5)×15 =100. (3)∵a 1=2, ∴a 2=
1
112
=--, a 3=11(1)--=12
, 41
2
112
a =
=-
a 5=-1 ……
∴从a 1开始,每3个数一循环, ∵2500÷3=833……1, ∴a 2500=a 1=2,
∴122500a a a ++???+=833×(2-1+
1
2)+2=25032
. (4)∵10个裁判打分,去掉一个最高分,再去掉一个最低分, ∴平均分为中间8个分数的平均分, ∵平均分精确到十分位的为9.4, ∴平均分在9.35至9.44之间, 9.35×8=74.8,9.44×8=75.52,
∴8个裁判所给的总分在74.8至75.52之间, ∵打分都是整数, ∴总分也是整数, ∴总分为75,
∴平均分为75÷8=9.375, ∴精确到百分位是9.38. 故答案为9.38
(5)2019÷4=504……3,
∵1+2-3=0,4-5-6+7=0,8-9-10+11=0,…… ∴(1+2-3)+(4-5-6+7)+……+(2016-2017-2018+2019)=0 ∴所得结果可能的最小非负数是0, 故答案为0
(6)设x 分钟后甲和乙、丙的距离相等,
∵乙在甲前400米,丙在乙前400米,速度分别为120米/分钟、100米/分钟、90米/分钟,
∴120x-400-100x=90x+800-120x 解得:x=24.
∵当乙追上丙时,甲和乙、丙的距离相等, ∴400÷(100-90)=40(分钟)
∴24分钟或40分钟时甲和乙、丙的距离相等. 故答案为24或40. 【点睛】
本题考查数字类的变化规律、有理数的混合运算、近似数及一元一次方程的应用,熟练掌握相关知识是解题关键.
5.(1)1,-3,-5(2)i )存在常数m ,m=6这个不变化的值为26,ii )11.5s 【解析】 【分析】
(1)根据非负数的性质求得a 、b 、c 的值即可; (2)i )根据3BC-k?AB 求得k 的值即可; ii )当AC=1
3
AB 时,满足条件. 【详解】
(1)∵a 、b 满足(a-1)2+|ab+3|=0, ∴a-1=0且ab+3=0. 解得a=1,b=-3. ∴c=-2a+b=-5.
故a ,b ,c 的值分别为1,-3,-5.
(2)i )假设存在常数k ,使得3BC-k?AB 不随运动时间t 的改变而改变. 则依题意得:AB=5+t ,2BC=4+6t .
所以m?AB -2BC=m (5+t )-(4+6t )=5m+mt-4-6t 与t 的值无关,即m-6=0, 解得m=6,
所以存在常数m ,m=6这个不变化的值为26. ii )AC=
1
3
AB , AB=5+t ,AC=-5+3t-(1+2t )=t-6,
t-6=
1
3(5+t ),解得t=11.5s . 【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键. 6.(1)6秒钟;(2)4秒钟或8秒钟;(3)点Q 的速度为7/cm s 或2.4/cm s . 【解析】 【分析】
(1)设经过ts 后,点P Q 、相遇,根据题意可得方程2330t t +=,解方程即可求得t 值;(2)设经过xs ,P Q 、两点相距10cm ,分相遇前相距10cm 和相遇后相距10cm 两种情况求解即可;(3)由题意可知点P Q 、只能在直线AB 上相遇,由此求得点Q 的速度即可. 【详解】
解:(1)设经过ts 后,点P Q 、相遇. 依题意,有2330t t +=, 解得:6t =.
答:经过6秒钟后,点P Q 、相遇;
(2)设经过xs ,P Q 、两点相距10cm ,由题意得
231030x x ++=或231030x x +-=, 解得:4x =或8x =.
答:经过4秒钟或8秒钟后,P Q 、两点相距10cm ;
(3)点P Q 、只能在直线AB 上相遇, 则点P 旋转到直线AB 上的时间为:
()120430s =或()120180
1030
s +=, 设点Q 的速度为/ycm s ,则有4302y =-,
解得:7y =; 或10306y =-, 解得 2.4y =,
答:点Q 的速度为7/cm s 或2.4/cm s . 【点睛】
本题考查了一元一次方程的综合应用解决第(2)(3)问都要分两种情况进行讨论,注意不要漏解.
7.(1)﹣4,6﹣5t ;(2)①当点P 运动5秒时,点P 与点Q 相遇;②当点P 运动1或9秒时,点P 与点Q 间的距离为8个单位长度. 【解析】 【分析】
(1)根据题意可先标出点A ,然后根据B 在A 的左侧和它们之间的距离确定点B ,由点P 从点A 出发向左以每秒5个单位长度匀速运动,表示出点P 即可;
(2)①由于点P 和Q 都是向左运动,故当P 追上Q 时相遇,根据P 比Q 多走了10个单位长度列出等式,根据等式求出t 的值即可得出答案;
②要分两种情况计算:第一种是点P 追上点Q 之前,第二种是点P 追上点Q 之后. 【详解】
解:(1)∵数轴上点A 表示的数为6, ∴OA =6,
则OB =AB ﹣OA =4, 点B 在原点左边,
∴数轴上点B 所表示的数为﹣4; 点P 运动t 秒的长度为5t ,
∵动点P 从点A 出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动, ∴P 所表示的数为:6﹣5t , 故答案为﹣4,6﹣5t ;
(2)①点P 运动t 秒时追上点Q , 根据题意得5t =10+3t , 解得t =5,
答:当点P 运动5秒时,点P 与点Q 相遇;
②设当点P 运动a 秒时,点P 与点Q 间的距离为8个单位长度, 当P 不超过Q ,则10+3a ﹣5a =8,解得a =1; 当P 超过Q ,则10+3a+8=5a ,解得a =9;
答:当点P 运动1或9秒时,点P 与点Q 间的距离为8个单位长度. 【点睛】
在数轴上找出点的位置并标出,结合数轴求追赶和相遇问题是本题的考点,正确运用数形结合解决问题是解题的关键,注意不要漏解. 8.(1)图1中∠AOD=60°;图2中∠AOD=10°;
(2)图1中∠AOD=n m 2+;图2中∠AOD=n m
2
-. 【解析】 【分析】
(1)图1中∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=20°,则∠BOD=10°,根据∠AOD=∠AOB+∠BOD 即得解;图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°,则∠BOD=60°,根据∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB 即可得解;
(2)图1中∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=n ﹣m ,则∠BOD=n m
2
﹣,故∠AOD=∠AOB+∠BOD=
n m 2+;图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=m+n ,则∠BOD=n m
2+,故∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB=n m
2
-. 【详解】
解:(1)图1中∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=70°﹣50°=20°, ∵OD 是∠BOC 的平分线, ∴∠BOD=
1
2
∠BOC=10°, ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=50°+10°=60°; 图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°, ∵OD 是∠BOC 的平分线, ∴∠BOD=
1
2
∠BOC=60°, ∴∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB=60°﹣50°=10°;
(2)根据题意可知∠AOB=m 度,∠AOC=n 度,其中090090180m n m n <<,<<,<+且m n <,
如图1中,
∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=n ﹣m , ∵OD 是∠BOC 的平分线,
∴∠BOD=
12∠BOC=n m
2
﹣, ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=n m
2
+;
如图2中,
∠BOC=∠AOC+∠AOB=m+n , ∵OD 是∠BOC 的平分线,
∴∠BOD=
12∠BOC=n m 2
+, ∴∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB=n m
2
-.
【点睛】
本题主要考查角平分线,解此题的关键在于根据题意进行分类讨论,所有情况都要考虑,切勿遗漏.
9.(1)(4,8)(2)S △OAE =8﹣t (3)2秒或6秒 【解析】 【分析】
(1)根据M 和N 的坐标和平移的性质可知:MN ∥y 轴∥PQ ,根据K 是PM 的中点可得K 的坐标;
(2)根据三角形面积公式可得三角形OAE 的面积S ; (3)存在两种情况: ①如图2,当点B 在OD 上方时 ②如图3,当点B 在OD 上方时,
过点B 作BG ⊥x 轴于G ,过D 作DH ⊥x 轴于H ,分别根据三角形OBD 的面积等于三角形OAE 的面积列方程可得结论. 【详解】
(1)由题意得:PM =4, ∵K 是PM 的中点, ∴MK =2,
∵点M 的坐标为(2,8),点N 的坐标为(2,6), ∴MN ∥y 轴, ∴K (4,8);
(2)如图1所示,延长DA 交y 轴于F ,
则OF⊥AE,F(0,8﹣t),∴OF=8﹣t,
∴S△OAE=1
2
OF?AE=
1
2
(8﹣t)×2=8﹣t;
(3)存在,有两种情况:,
①如图2,当点B在OD上方时,
过点B作BG⊥x轴于G,过D作DH⊥x轴于H,则B(2,6﹣t),D(6,0),∴OG=2,GH=4,BG=6﹣t,DH=8﹣t,OH=6,
S△OBD=S△OBG+S四边形DBGH+S△ODH,
=1
2OG?BG+
1
2
(BG+DH)?GH﹣1
2
OH?DH,
=1
2×2(6-t)+
1
2
×4(6﹣t+8﹣t)﹣
1
2
×6(8﹣t),
=10﹣2t,
∵S△OBD=S△OAE,
∴10﹣2t=8﹣t,
t=2;
②如图3,当点B在OD上方时,
过点B作BG⊥x轴于G,过D作DH⊥x轴于H,
则B(2,6﹣t),D(6,8﹣t),
∴OG=2,GH=4,BG=6﹣t,DH=8﹣t,OH=6,S△OBD=S△ODH﹣S四边形DBGH﹣S△OBG,
=1
2OH?DH﹣
1
2
(BG+DH)?GH﹣1
2
OG?BG,
=1
2×2(8-t)﹣
1
2
×4(6﹣t+8﹣t)﹣
1
2
×2(6﹣t),
=2t﹣10,
∵S△OBD=S△OAE,
∴2t﹣10=8﹣t,
t=6;
综上,t的值是2秒或6秒.
【点睛】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、三角形的面积、一元一次方程等知识,解题关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题.
10.(1)①t=3;②见解析;(2)β=α+60°;(3)t=5时,射线OC第一次平分∠MON.【解析】
【分析】
(1)根据角平分线的性质以及余角补角的性质即可得出结论;
(2)根据∠NOC=∠AOC-∠AON=90°-∠MOC即可得到结论;
(3)分别根据转动速度关系和OC平分∠MON列方程求解即可.
【详解】
(1)①∵∠AOC=30°,OM平分∠BOC,∴∠BOC=2∠COM=2∠BOM=150°,
∴∠COM=∠BOM=75°.
∵∠MON=90°,∴∠CON=15°,∠AON+∠BOM=90°,∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°,∴∠AON=∠CON,∴t=15°÷3°=5秒;
②∵∠CON=15°,∠AON=15°,∴ON平分∠AOC.
(2)∵∠AOC=30°,∴∠NOC=∠AOC-∠AON=90°-∠MOC,∴30°-α=90°-β,
∴β=α+60°;
(3)设旋转时间为t秒,∠AON=5t,∠AOC=30°+8t,∠CON=45°,
∴30°+8t=5t+45°,∴t=5.
即t=5时,射线OC第一次平分∠MON.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算,关键是应该认真审题并仔细观察图形,找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键.
11.(1)20;(2)t=15s或17s (3)4 3 s.
【解析】
【分析】
(1)设P、Q速度分别为3m、2m,根据12秒后,动点P到达原点O列方程,求出P、Q 的速度,由此即可得到结论.
(2)分两种情况讨论:①当A、B在相遇前且相距5个单位长度时;②当A、B在相遇后且相距5个单位长度时;列方程,求解即可.
(3)算出P运动到B再到原点时,所用的时间,再算出Q从B到A所需的时间,比较即可得出结论.
【详解】
(1)设P、Q速度分别为3m、2m,根据题意得:12×3m=36,解得:m=1,∴P、Q速度分别为3、2,∴BC=12×2=24,∴OC=OB-BC=44-24=20.
(2)当A、B在相遇前且相距5个单位长度时:3t+2t+5=44+36,5t=75,∴t=15(s);
当A、B在相遇后且相距5个单位长度时:3t+2t-5=44+36,5t=85,∴t=17(s).
综上所述:t=15s或17s.
(3)P运动到原点时,t=364444
3
++
=
124
3
s,此时QB=2×
124
3
=
248
3
>44+38=80,∴Q
点已到达A点,∴Q点已到达A点的时间为:364480
40
22
+
==(s),故提前的时间
为:124
3
-40=
4
3
(s).
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用-行程问题以及数轴上的动点问题.解题的关键是找出等量关系,列出方程求解.
12.(1)2(2)8或2;(3)见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据线段之间的和差关系求解即可;
(2)由于B点的位置不能确定,故应分当B点在线段AC的上和当B点在线段AC的延长线上两种情况进行分类讨论;
(3)由(1)(2)可知MC=1
2
(a+b)或
1
2
(a-b).
【详解】
解:解:(1)∵AC=10,BC=6,∴AB=AC+BC=16,
∵点M是AB的中点,
∴AM=1
2
AB
∴MC=AC-AM=10-8=2.
(2)线段MC的长度不只是(1)中的结果,
由于点B的位置不能确定,故应分当B点在线段AC的上和当B点在线段AC的延长线上两种情况:
①当B点在线段AC上时,
∵AC=10,BC=6,
∴AB=AC-BC=4,
∵点M是AB的中点,
∴AM=1
2
AB=2,
∴MC=AC-AM=10-2=8.
②当B点在线段AC的延长线上,
此时MC=AC-AM=10-8=2.
(3)由(1)(2)可知MC=AC-AM=AC-1
2
AB 因为当B点在线段AC的上,AB=AC-BC,
故MC=AC-1
2
(AC-BC)=
1
2
AC+
1
2
BC=
1
2
(a+b)
当B点在线段AC的延长线上,AB=AC+BC,
故MC=AC-1
2
(AC+BC)=1
2
AC-
1
2
BC=
1
2
(a-b)
【点睛】
主要考察两点之间的距离,但是要注意题目中的点不确定性,需要分情况讨论.
13.(1)5 ;(2)点F表示的数是11.5或者-6.5;(3)
12
7
t=或6
t=.
【解析】
【分析】
(1)由AP=2可知PB=12-2=10,再由点M是PB中点可知PM长度;
(2)点P运动3秒是9个单位长度,M为PB的中点,则可求解出点M表示的数是2.5,
再由FM=2PM 可求解出FM=9,此时点F 可能在M 点左侧,也可能在其右侧;
(3)设Q 运动的时间为t 秒,由题可知t=4秒时,点P 到达点A ,再经过4秒点P 停止运动;则分04t ≤≤和48t <≤两种情况分别计算,由题可知即可QM=2PM=BP ,据此进行解答即可. 【详解】 (1)5 ;
(2)∵点A 表示的数是5- ∴点B 表示的数是7
∵点P 运动3秒是9个单位长度,M 为PB 的中点
∴PM=
1
2PB=4.5,即点M 表示的数是2.5 ∵FM=2PM ∴FM=9
∴点F 表示的数是11.5或者-6.5 (3)设Q 运动的时间为t 秒,
当04t ≤≤时,由题可知QM=2PM=BP ,故点Q 位于点P 左侧,
则AB=AQ+QP+PB ,而QP=QM-PM=2PM-PM= 12BP ,则可得12=2.5t+1
2
?3t+3t=7t ,解得t=
12
7
; 当48t <≤时,由题可知QM=2PM=BP ,故点Q 位于点B 右侧,
则PB=2QB ,
则可得,()()123422.512t t --=-,整理得8t=48,解得6t =. 【点睛】
本题结合数轴上的动点问题考查了一元一次方程的应用,第3问要根据题干条件分情况进行讨论,作出图形更易理解.
14.(1)45°;(2)45°;(3)45°或135°. 【解析】 【分析】
(1)由∠BOC 的度数求出∠AOC 的度数,利用角平分线定义求出∠COD 与∠COE 的度数,相加即可求出∠DOE 的度数;
(2)∠DOE 度数不变,理由为:利用角平分线定义得到∠COD 为∠AOC 的一半,∠COE 为∠COB 的一半,而∠DOE=∠COD+∠COE ,即可求出∠DOE 度数为45度; (3)分两种情况考虑,同理如图3,则∠DOE 为45°;如图4,则∠DOE 为135°. 【详解】
(1)如图,∠AOC=90°﹣∠BOC=20°,