八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．若x＞y，则下列变形正确的是（）
A．x+3＞y+3 B．x﹣3＜y﹣3 C．﹣3x＞﹣3y D．﹣
2．在以下”绿色食品、响应环保、可回收物、节水“四个标志图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．
3．不等式﹣x＞﹣1的解集为（）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、点F，连接EF与AD相交于点Q，下列结论不一定成立的是（）
A．DE=DF B．AE=AF C．OD=OF D．OE=OF
5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，若点C的对应点C′落在AB边上，则旋转角为（）
A．40°B．70° C．80° D．140°
6．如图，数轴上表示的是两个不等式的解集，由它们组成的不等式组的解集为（）
A．﹣1＜x≤1B．﹣1＜x＜1 C．x＞﹣1 D．x≤1
7．平面直角坐标系中，点P（2，0）平移后对应的点为Q（5，4），则平移的距离为（）
A．3个单位长度B．4个单位长度C．5个单位长度D．7个单位长度
8．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
9．如图，已知△ABC中，AC＜BC，分别以点A、点B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点D、点
E；作直线DE交BC边于点P，连接AP．根据以上作图过程得出下列结论，其中不一定正确的是（）
A．PA+PC=BC B．PA=PB C．DE⊥AB D．PA=PC
10．如图，直线y
1=k
1
x+b
1
与坐标轴交于点（﹣4，0）和（0，2.9）；直线y
2
=k
2
x+b
2
与坐标轴交于点（3，
0）和（0，4）．不等式组的解集是（）
A．x＞﹣4 B．x＜3 C．﹣4＜x＜3 D．x＜﹣4或x＞3
二、填空题（共6小题，每小题2分，满分12分）
11．如图，等边△ABC中，AD为高，若AB=6，则CD的长度为．
12．如图，△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，边AC与DB相交于点O，要使△ABC≌△DCB，则需要添加的一个条件是．（写出一种情况即可）
13．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是．
14．如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点（3，0），与y轴交于点（0，2），不等式kx+b≥2解集是．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D．若∠BAC=30°，则∠DBC的度数为°．
16．如图是一张边长为3cm的正方形纸片ABCD．现要利用这张正方形纸片剪出一个腰长为2cm的等腰三角形，要求等腰三角形的一个顶点与正方形的一个顶点重合，另外两个顶点都在正方形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为cm2．
三、解答题（共8小题，满分58分）
17．解不等式2x﹣7＜5﹣2x．
18．解不等式组：并将其解集表示在如图所示的数轴上．
19．如图，已知△ABC中，AB=AC．
（1）求作：△ABC的高CD和BE；
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）判断线段BE与CD的数量关系，并证明你的猜想．
20．如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣4）．
（1）画图：
将△ABC绕点（0，﹣3）旋转180°，画出旋转后对应点△A
1B
1
C
1
；平移△ABC，使点A的对应点A
2
的坐标
为（﹣1，6），画出平移后对应的△A
2B
2
C
2
；
（2）分析：
①描述由△ABC到△A
2B
2
C
2
的平移过程；
②△A
2B
2
C
2
可由△A
1
B
1
C
1
通过旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标及旋转角的度数．
21．为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器，一商场抓住商机，从厂家购进了A，B两种型号家用净水器，其数量和进价如表：
型号数量（台）进价（元/台）
A 10 150元
B 5 350元
为使每台B型号家用净水器的售价是A型号的2倍，且保证售完这批家用净水器的利润不低于1650元，每台A型号家用净水器的售价至少应为多少元？（注：利润=售价﹣进价）
22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AD，连接CD交AB于点O，连接BD．
（1）求证：AB垂直平分CD；
（2）若AB=6，求BD的长．
23．同学们用气象探测气球探究气温与海拔高度的关系，1号气球从海拔5米处出发，以1米/分的速度匀速上升．与此同时，2号气球从海拔15米处出发，以0.5米/分的速度匀速上升．设1号、2号气球在
上升过程中的海拔分别为y
1（米）、y
2
（米），它们上升的时间为x（分），其中0≤x≤60．
（1）填空：y
1，y
2
与x之间的函数关系式分别为：
y 1，y
2
；
（2）当1号气球位于2号气球的下方时，求x的取值范围；当1号气球位于2号气球的上方时，求x的取值范围；
（3）设两个气球在上升过程中的海拔高度差为s（米）．
请在A，B两题中任选一题解答，我选择题．
A．直接写出当s=5时x的值．
B．直接写出当s＞5时x的取值范围．
24．已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，△CDE的边CE在射线AC上，CE＜AC，∠DCE=90°，CD=CA，沿CA方向平移△CDE，使点C移动到点A，得到△ABF，过点F作FG⊥BC，垂足为点G，连接EG，DG．（1）如图1，边CE在线段AC上，求证：GC=GF；
（2）在以下A，B两题中任选一题解答，我选择题．
A．在图1中，求证：△EFG≌△DCG；
B．如图2，边CE在线段AC的延长线上，其余条不变．
①在图2中，求证：△EFG≌△DCG；
②若∠CDE=20°，直接写出∠CGE的度数．
2015-2016学年山西省太原市八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．若x＞y，则下列变形正确的是（）
A．x+3＞y+3 B．x﹣3＜y﹣3 C．﹣3x＞﹣3y D．﹣
【考点】不等式的性质．
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】解：A、两边都加3，不等号的方向不变，故A正确；
B、两边都减3，不等号的方向不变，故B错误；
C、两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故C错误；
D、两边都除以﹣3，不等号的方向改变，故D错误；
故选：A．
2．在以下”绿色食品、响应环保、可回收物、节水“四个标志图案中，是中心对称图形的是（）A．B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念解答即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选B．
3．不等式﹣x＞﹣1的解集为（）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
【考点】解一元一次不等式．
【分析】不等式两边乘以﹣2，将x系数化为1，即可求出解集．
【解答】解：不等式﹣x＞﹣1，
解得：x＜2，
故选B．
4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、点F，连接EF与AD相交于点Q，下列结论不一定成立的是（）
A．DE=DF B．AE=AF C．OD=OF D．OE=OF
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】首先运用角平分线的性质得出DE=DF，再由HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，即可得出AE=AF；根据SAS即可证明△AEG≌△AFG，即可得到OE=OF．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAO=∠FAO，
在△AEO和△AFO中，
，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∴OE=OF；
故选C．
5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，若点C的对应点C′落在AB边上，则旋转角为（）
A．40°B．70° C．80° D．140°
【考点】旋转的性质．
【分析】根据旋转角的定义，旋转角就是∠ABC，根据等腰三角形的旋转求出∠ABC即可．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C==×140°=70°，
∵△A′BC′是由△ABC旋转得到，
∴旋转角为∠ABC=70°．
故选B．
6．如图，数轴上表示的是两个不等式的解集，由它们组成的不等式组的解集为（）
A．﹣1＜x≤1B．﹣1＜x＜1 C．x＞﹣1 D．x≤1
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【分析】根据每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），可得答案．
【解答】解：由题意，得
﹣1＜x≤1，
故选：A．
7．平面直角坐标系中，点P（2，0）平移后对应的点为Q（5，4），则平移的距离为（）
A．3个单位长度B．4个单位长度C．5个单位长度D．7个单位长度
【考点】坐标与图形变化-平移．
【分析】平移的距离为一对对应点所连线段的长度，由于点P（2，0）平移后对应的点为Q（5，4），根据两点间的距离公式求出PQ即可．
【解答】解：∵平面直角坐标系中，点P（2，0）平移后对应的点为Q（5，4），
∴平移的距离为PQ==5．
故选C．
8．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．
【解答】解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴BD=AD，
∴△ABD 是等腰三角形；
在△BCD 中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°， ∴∠C=∠BDC=72°， ∴BD=BC，
∴△BCD 是等腰三角形； ∵BE=BC， ∴BD=BE，
∴△BDE 是等腰三角形； ∴∠BED=÷2=72°，
∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°， ∴∠A=∠AD E ， ∴DE=AE，
∴△ADE 是等腰三角形；
∴图中的等腰三角形有5个． 故选D ．
9．如图，已知△ABC 中，AC ＜BC ，分别以点A 、点B 为圆心，大于AB 长为半径作弧，两弧交于点D 、点E ；作直线DE 交BC 边于点P ，连接AP ．根据以上作图过程得出下列结论，其中不一定正确的是（ ）
A ．PA+PC=BC
B ．PA=PB
C ．DE⊥AB
D ．PA=PC 【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质． 【分析】根据作图过程可得D
E 是AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的定义和性质可得AP=BP ，DE⊥AB，利用等量代换可证得PA+PC=BC ．但是AP 和PC 不一定相等． 【解答】解：由作图可得：DE 是AB 的垂直平分线， ∵DE 是AB 的垂直平分线， ∴AP=BP，DE⊥AB， ∴AP+CP=BP+CP=BC，
故A 、B 、C 选项结论正确； ∵P 在AB 的垂直平分线上，
∴AP 和PC 不一定相等，故D 选项结论不一定正确， 故选：D ．
10．如图，直线y 1=k 1x+b 1与坐标轴交于点（﹣4，0）和（0，2.9）；直线y 2=k 2x+b 2与坐标轴交于点（3，0）和（0，4）．不等式组的解集是（ ）
A ．x ＞﹣4
B ．x ＜3
C ．﹣4＜x ＜3
D ．x ＜﹣4或x ＞3 【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】先根据图象求出每个不等式的解集，再根据大小小大中间找求出它们的公共部分即可． 【解答】解：∵直线y 1=k 1x+b 1与x 轴交于点（﹣4，0），且y 随x 的增大而增大， ∴不等式k 1x+b 1＞0的解集为x ＞﹣4； ∵直线y 2=k 2x+b 2与x 轴交于点（3，0），且y 随x 的增大而减小， ∴不等式k 2x+b 2＞0的解集为x ＜3， ∴不等式组的解集是﹣4＜x ＜3． 故选C ．
二、填空题（共6小题，每小题2分，满分12分）
11．如图，等边△ABC 中，AD 为高，若AB=6，则CD 的长度为 3 ．
【考点】等边三角形的性质．
【分析】直接根据等边三角形的性质进行解答即可． 【解答】解：∵等边△ABC 中，AB=8， ∴AB=BC=6．
∵AD⊥BC，
∴BD=BC=3．
故答案为：3．
12．如图，△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，边AC与DB相交于点O，要使△ABC≌△DCB，则需要添加的一个条件是AB=DC ．（写出一种情况即可）
【考点】全等三角形的判定．
【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知∠A=∠D=90°，隐含的条件是BC=BC，那么只需添加一个条件即可．添边的话可以是AB=DC，符合HL．
【解答】解：所添加条件为：AB=DC，
∵∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和△RtDCB中，
∵，
∴△ABC≌△DCB（HL）．
故答案为AB=DC．（答案不唯一）
13．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是同位角相等，两直线平行．
【考点】命题与定理．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
14．如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点（3，0），与y轴交于点（0，2），不等式kx+b≥2解集是x≤0．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】由一次函数y=kx+b的图象过点（0，2），且y随x的增大而减小，从而得出不等式kx+b≥2的解集．
【解答】解：由一次函数的图象可知，此函数是减函数，即y随x的增大而减小，
∵一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，2），
∴当x≤0时，有kx+b≥2．
故答案为x≤0
15．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D．若∠BAC=30°，则∠DBC的度数为15 °．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C的度数，然后在Rt△DBC中，求出∠DBC 的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=÷2=75°；
又∵BD⊥AC垂足为D，
∴∠DBC=90°﹣∠ACB=90°﹣75°=15°．
故答案为：15．
16．如图是一张边长为3cm的正方形纸片ABCD．现要利用这张正方形纸片剪出一个腰长为2cm的等腰三角形，要求等腰三角形的一个顶点与正方形的一个顶点重合，另外两个顶点都在正方形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为2或cm2．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质；正方形的性质．
【分析】分类讨论：顶角的顶点是正方形的顶点，顶角的顶点在正方形的边上，根据勾股定理，可得答案．
【解答】解：①如图，角的顶点是正方形的顶点，
AC=AB=2cm，
则剪下的等腰三角形的面积为：×2×2=2（cm2）；
②顶角的顶点在正方形的边上，
∵AB=BC=2，
∴BD=1．
在直角△BCD中，由勾股定理得到CD==（cm），
则剪下的等腰三角形的面积为：×2×=（cm2）．
综上所述，剪下的等腰三角形的面积为2cm2或cm2．
故答案是：2或．
三、解答题（共8小题，满分58分）
17．解不等式2x﹣7＜5﹣2x．
【考点】解一元一次不等式．
【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上2x、7，再除以4，不等号的方向不变．
【解答】解：由原不等式移项，得
4x＜12，
不等式的两边同时除以4，得
x＜3．
18．解不等式组：并将其解集表示在如图所示的数轴上．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据解集在数轴上的表示确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3（x﹣2）≤x﹣4，得：x≤1，
解不等式，得：x＜4，
所以不等式组的解集为：x≤1，
其解集在数轴上表示为：
19．如图，已知△ABC中，AB=AC．
（1）求作：△ABC的高CD和BE；
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）判断线段BE与CD的数量关系，并证明你的猜想．
【考点】作图—复杂作图．
【分析】（1）利用基本作图（过一点作已知直线的垂线）作CD⊥AB于D，BE⊥AC于E；
（2）利用“AAS”证明△ADC≌△AEB即得到BE=CD．
【解答】解：（1）如图，
（2）CD=BE．理由如下：
∵CD和BE为高，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
在△ADC和△AEB中
，
∴△ADC≌△AEB，
∴BE=CD．
20．如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣4）．
（1）画图：
将△ABC 绕点（0，﹣3）旋转180°，画出旋转后对应点△A 1B 1C 1；平移△ABC，使点A 的对应点A 2的坐标为（﹣1，6），画出平移后对应的△A 2B 2C 2； （2）分析：
①描述由△ABC 到△A 2B 2C 2的平移过程；
②△A 2B 2C 2可由△A 1B 1C 1通过旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标及旋转角的度数．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换． 【分析】（1）设P （0，﹣3），延长AP 到A 1使A 1P=AP ，则点A 1为点A 的对应点，同样作出点B 的对应点B 1、点C 的对应点C 1，从而得到△A 1B 1C 1；利用点A 的对应点A 2的坐标为（﹣1，6），可得到三角形的平移规律，从而写出B 2和C 2点坐标，然后描点即可得到△A 2B 2C 2；
（2）①利用对应点A 和A 2的平移规律可确定△ABC 到△A 2B 2C 2的平移过程； ②作C 1C 2和B 1B 2的垂直平分线即可得到旋转中心，同时可得到旋转角度． 【解答】解：（1）如图，△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2为所作；
（2）①△ABC 先向右平移2个单位，再向上平移6个单位得到△A 2B 2C 2； ②△A 2B 2C 2可由△A 1B 1C 1通过旋转得到，旋转中心为Q （1，0），旋转的度数为180°．
21．为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器，一商场抓住商机，从厂家购进了A ，B 两种型号家用净水器，其数量和进价如表： 型号 数量（台） 进价（元/台） A 10 150元 B 5 350元
为使每台B 型号家用净水器的售价是A 型号的2倍，且保证售完这批家用净水器的利润不低于1650元，每台A 型号家用净水器的售价至少应为多少元？（注：利润=售价﹣进价） 【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】设每台A 型号家用净水器的售价为x 元，则每台B 型号家用净水器的售价是2x 元，根据售完这批家用净水器的利润不低于1650元，列出不等式解答即可．
【解答】解：设每台A 型家用净水器售价为x 元，根据题意可得： 10（x ﹣150）+5（2x ﹣350）≥1650， 解得：x≥245，
故x 的最小值为245，
答：每台A 型号家用净水器的售价至少245元．
22．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将线段AC 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AD ，连接CD 交AB 于点O ，连接BD ． （1）求证：AB 垂直平分CD ； （2）若AB=6，求BD 的长．
【考点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形． 【分析】（1）根据旋转的性质得到△ACD 是等边三角形，根据线段垂直平分线的概念判断即可； （2）根据直角三角形的性质计算即可． 【解答】（1）证明：∵线段AC 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AD ， ∴AD=AC，∠CAD=60°， ∴△ACD 是等边三角形， ∵∠BAC=30°， ∴∠DAB=30°， ∴∠BAC=∠DAB，
∴AO⊥CD，又CO=DO ， ∴AB 垂直平分CD ；
（2）解：∵AB 垂直平分CD ， ∴BD=BC，∠ADB=∠ACB=90°， ∴BD=AB=3．
23．同学们用气象探测气球探究气温与海拔高度的关系，1号气球从海拔5米处出发，以1米/分的速度匀速上升．与此同时，2号气球从海拔15米处出发，以0.5米/分的速度匀速上升．设1号、2号气球在上升过程中的海拔分别为y 1（米）、y 2（米），它们上升的时间为x （分），其中0≤x≤60． （1）填空：y 1，y 2与x 之间的函数关系式分别为： y 1 =x+5 ，y 2 =0.5x+15 ；
（2）当1号气球位于2号气球的下方时，求x 的取值范围；当1号气球位于2号气球的上方时，求x 的取值范围；
（3）设两个气球在上升过程中的海拔高度差为s （米）． 请在A ，B 两题中任选一题解答，我选择 A 题． A ．直接写出当s=5时x 的值．
B ．直接写出当s ＞5时x 的取值范围． 【考点】一次函数的应用． 【分析】（1）根据：上升过程中的海拔=起始位置海拔+上升的高度，分别列出函数关系式即可； （2）根据（1）中两个函数关系式，根据位置的高低列出不等式，解不等式即可；
（3）海拔高度差s 有2种可能，s=y 1﹣y 2、s=y 2﹣y 1，根据A 、B 两种情形列方程或不等式求解可得． 【解答】解：（1）根据题意，y 1=5+1?x=x+5，y 2=15+0.5?x=0.5x+15； （2）当y1＜y2时，x+5＜0.5x+15， 解得：x ＜20， ∵0≤x≤60，
∴当20＜x≤60时，1号气球在2号气球的下方， 当y1＞y2时，x+5＞0.5x+15， 解得：x ＞20， ∵0≤x≤60，
∴当20＜x≤60时，1号气球在2号气球的上方；
（3）A 、根据题意，s=y 1﹣y 2=x+5﹣0.5x ﹣15=0.5x ﹣10， 若s=3，则0.5x ﹣10=5，解得：x=30； 或s=y 2﹣y 1=0.5x+15﹣x ﹣5=﹣0.5x+10， 若s=5，则﹣0.5x+10=5，解得：x=10； 故当s=5时，x 的值为10或30；
B 、当s ＞5时，①0.5x﹣10＞5，解得：x ＞30； ②﹣0.5x+10＞5，解得：x ＜10；
故当s ＞5时，0≤x＜10或30＜x≤60． 故答案为：（1）=x+5，=0.5x+15；（3）A ．
24．已知Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，△CDE 的边CE 在射线AC 上，CE ＜AC ，∠DCE=90°，CD=CA ，沿CA 方向平移△CDE，使点C 移动到点A ，得到△ABF，过点F 作FG⊥BC，垂足为点G ，连接EG ，DG ． （1）如图1，边CE 在线段AC 上，求证：GC=GF ；
（2）在以下A ，B 两题中任选一题解答，我选择 A 题． A ．在图1中，求证：△EFG≌△DCG；
B ．如图2，边CE 在线段A
C 的延长线上，其余条不变． ①在图2中，求证：△EFG≌△DCG；
②若∠CDE=20°，直接写出∠CGE 的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和平移的性质即可组织三角形全等的条件； （2）与（1）类似，运用等腰直角三角形的性质和平移的性质组织全等的条件． 【解答】证明：（1）如图1，
∵Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ， ∴∠ACB=∠ABC=45°， ∵FG⊥CG，
∴∠FGC=90°，
∴∠GCF+∠GFC=90°，
∴∠GCF=45°=∠GCF，
∴GC=GF，
∵∠DCE=90°
∴∠DCG=90°﹣45°=45°
∴∠DCG=∠GCF，
∵平移△CDE，得到△ABF，
∴CA=EF，
∵CD=CA，
∴CD=EF，
在△EFG和△DCG中，
，
∴△EFG≌△DCG；
（2）①如图2，
与（1）同理可证：GC=GF，∠GCF=∠GFC=45°∵∠DCE=90°，
∴∠DCF=90°
∴∠DCG=90°﹣∠GCF=45°
∴∠DCG=∠GFC
∵△ABF由△CDE平移得到，
∴EC=FA
∴EF=CA
∵AC=CD
∴EF=CD
在△EFG和△DCG中，
，
∴△EFG≌△DCG．
②∠CGE=20°．
2016年4月29日