Fibonacci数列第1000000项的精确值，208988位十进制位(第一项为1，第二项为1，第三项为2，……): 1953282128707757731632014947596256332443542996591873396953405194571625257887015 6947666419876341501461288795243352202360846255109120195602337440154381151966361 5691996212564289430337011382780063800276741152792746666986557837931882283206127 1497583230334854893489572599230722912901928209264331627521730861460017912582042 6996599360209593392020051848620284024473431398113674187202038684801753185386211 1287810824061774138329355456168760645406512595471802912654794289403698165920636 1019359291352135410376799082940320155702716115395031975973247782162957631629653 3566947776632850623452455934606475750259358134434578167676462587885901137272990 7372947851144808957245619150350702558952911686855000880201323345874721779478144 7546792016090170642585629359747546532757575740077432034913428785189795354304734 5603077650789387672865391667992328174493619915237681495576320853710478597061884 3873153058239562756087906310781900497516959470973671389174570455520213512335079 4403360712030504144685221041565037321067932275625864751191461141736034968121738 0234224786080292021093192496490409832397066832470544417635125267324552754195016 8384520602300739495985427929829783120438211575764578769249558335140252215272066 2441809003259380753628491796680952971185071913798336788737704599136393339558142 1203699026161797211325091840023055327607104316478190974300434647793363287601469 9961280239258294715573166889433394554292928718774877478920429616635653661079602 3919702109728472966709427334586344798048633944635211654971507261342768205479320 9317507988801013041602798250635418234403455874223670128266635693461129461312312 8389060036547327660245693151518500183284831506454800299789359851612370740461582 2935444070174833951457586954749175026454212636426222472060048855462589961190475 8921012242805428986215946466624785643735722177755498760876859120301185516356689 0201034463998397732663888903650784161807091545252992759735213957415477729146008 7943143391560604458251078235116627189263792331301464388059787946844487906057678 6297460989627426663569682474293386740207436559426057944790711930522589315907193 8654552588042913974714018184916973383813844615484306312364929083558427807845613 1936457559117221369463381803116003078962116686528959537784364644023825163624497 1819738544414956313171400285033892822274134603018094224837216321854717270452813 8240784256387473652491411180807838665063399453762392067005133918733310713606969 8189628284763245423299306272870457991293245741167533902274499963096566680922262 5164685825445578513498241441272612401581575381809846666714500698883917855180089 4370189025721992485208742915560261917752281246606289967871665296784872684849050 4132849729771268801163997837643428020245225155010224035416988518537501584673881 1940476197206196031265344967599178932444781707029044465895719502288091577938976 4242375181402099899958161231477902295781100168670186738619861797138139854666281 9695485537407073562286161655394280764184080921204793281668300598450478792940635 6318097479755152035094682765918741610907637506902765294367561539803261388901944 8594100452922754188094573562079542189966296344134639695598099137501005376025944 0113617219176881147264713549808756023398475901193275473892575308479804907335837 2367268170337326650466293577654655686956446137237206007272970374756751781604380 1141318446878709115949799387777811282643267982790515708341738954711330314093724
3680388090656659576678707551401874371976882787437146873085035927166554972119678 4130412650383973567296441072675534867583350405142738245998707414685317897838502 5264966563254268335071699401991896761177847650287886793345066391704226737732468 5763362119097117544591621973544061280999416255937684347888783565752777401972791 8513993830659000183040333701319368945967228872860733043459136583011338233204130 7536182344500876614570725237686945796297364684110762972897732027850828281955075 4463084684847561438117573695014515061356879019554017004594786112602714165855107 1088345832529082512441105583375897863704748059860453472515002576209591084137302 1132740844620226836632133537757663789463138832746911723205902954002495631804639 6290428251186182306963160641380576856666988717582573318377262686670035226467545 3451098670176158920724564681466379040482539781408925913175892496646873486705631 8831938175458259287119690422960205931222613128323083973803206974757823269260530 8980311770033917562283307963602287807482899093644968407916560752112418512135701 1494106314604057388041694756710022316460900537114702107843824390119835179001398 2574902964450502815251272508921302408625226930381686202734147182161565451237370 6434911343088388985022963817317575314650410638386173372984318819533933533642298 6359916889036204117868543826798712986683052621123913878725711808354320132081283 4628604561889008996018576810677640600412068922287330500072687038120176291226251 7414860220909158701927854118500711011094807303215627050927515638394976482611757 9719162060093515954412129389122423843836521385907076938747818598648961410132463 7006754577199707818024019380517633436808166563903783010055736065064024115837030 8336752160254803292085612867732313373362379424922294864676925567558251008254273 1697796399173023320969866535911843612180992984165461621231456044704709851970488 9821957541224084844304314919470209142938488470050140913514771637504650398793651 3912232297535667968868660730993644871001182702434670151529391444331308252502713 1273969844166806703170929367543705403502999906074781067717930123916380180347981 9408559240231184948812768037140516243341192617814197960302118689551232774012437 8547066213324583016607503798862163692656132680292115654479573005858991240890398 7073678681602474336901548278508688694000572206826164500210989598907700306090410 0506205881501969974591683628082311086185294297006160821032807589140763239897603 7049089758364621611794295586855678965506040503320129464965916297209893507248742 6583547183554893834362382683027261391459804683447820578745317784833002937618309 0289206273358192763633530009609443342060133187909833547239119414754412477329156 4614856084243951260050796050097638400697364239912487922498550165073697059669962 0737469162723011407852512134136404264361205459217481822659775475887871576449973 8890452271995305670884134393416404592647654713774104673257585115553516070479895 7047005103194770481118528369985948356317514237815195793935902146476922976930534 2995712046209948535535809178192319846268597639266642348134192443088252336345215 1968964332545120414335316419340792328562349929473987572073705824260569358262226 0477031568525856021988142708124779867508941030548033778738122257079042153155708 5624483556442893915267627292343902087150071599564528146503541159447689796260910 8684903060468670474153595917535264499505923919715006573151521369422042834042419 7603380521272939051334630743096406920493778259795422229282204695326737334163366 6858884645707996639584255020761023933111981405571726833349548529626786949017605
4130117508470090097508672785968434382976318202319244187994545221340098622001041 3697021434633428300173748026660536162405420766907387041723004780874591443000841 6374397456627900795807599264543387138394543634400834346482641720743526604228410 9856361810202326776514839478942033659613692745207420576020734497476449760172943 7196756021653678947387218277722167506326113360487919296357509078968390509625683 3029228840056316421691353529726464136042063904527578327411071959813216206422039 5882264869517638322353292348011610881311261106271267685035087283854764026660934 4329693480998967166783675952437452144198444817581720234920825506779148920751583 6875157192596112437298314705649836231024852287819286995967594699820129185812218 8933841408052546557221551620742006564948661707681063403285520809627369956048674 7741686383616055265184028191426663320701778441023236644926020816372328993276884 9086897087455901247050366710191801625285813312865597398408146967225578322237221 0083698237248108017015025524146591238887827192710152414942381420973361837801606 1552707989975524225387782357483863372238967512610048197950365639000196692122529 8825053707463577721409963345249306902797142637355729786696103181924064929014879 8598236982512109412436049774240813119197471468200899720447846623544830980729197 2713424835974200014121079051227260754579356974711936974002570263964485288664689 7668469047722085373795350484170327735814242215608024951592025328117483681291005 7716728718234042009322798922031542933546657639866788842366402534604780813772532 8967994156608912606616066505967676968980942286141471995146085301233519701760857 1745603021793935477496677909431455375826333240794712978963726284696856867812785 3674444585829286504928313033282738695974842963988872916980106355359483841807095 2685427728295165292536436648908500618932909022707093200767279713139711851617254 3653291844538594293012950757678265170331381013864461898950263792943350669105343 3812755051844718482723392180881944791505768980674555131817814427473095251716757 1223487331239812619234854524211751308315920082700622157663791342436156534323493 3617458123834079320424775237839421253474372583854417860026599779016390446555142 3648098535367778567581087741024781011311588457531652070582848406221849402499014 9498817474834715600879320300791264619947453840159845838648075556397967566496569 8565688348428291612495185492835844928187327514938318234972375725445572814053803 6906123140568255428032875464324027941466128896423954071325945400160339220487826 7427931450874814718846465531744524045529373059487876236297730199722531976073465 6087036477702239506823719190951722610756230575201260314376821926242743756757648 9154066242676654961186536830578836371215524427081124738934977975815008687418583 9823464690194915450483873957963769895845747820922420250565092334609733695528058 8636665432126073146997315896233834417136714226478797575974778337571284915933140 5998295905536054277949074247958075978257089428571620019758299462738040930318112 0758171232576286855265067441056717250545158769185580524757235475016068893932435 6696765389811271744739152302409627425992944754147635793320275767817343023843039 0815471141991830776859870754083732141614707879978037851561761375400313779062304 2529689591708240181951597772911158160078379969257136851268750075969005202305674 1571294471499992013799301505123176186874347152234084046070295532950058491204911 3955484722424461780387199881410985218994148725997903500533807815751567126252435 9108713850444072867276714611356528458063837332068317124880091479855606300081488
1951693894412767176544893086290847787297320039904401426048032433105831426065071 0029409083964230079194609446883567377695933616232409573174126817995262365856367 5250610236448552755149072891909818173687508562154371395856946257963551137316614 4733581050372423790956012730888988126241092345867231776187568964559559493693419 1743772169854750133781029369873431131116501741739801632983647505212734987790323 9517705048915739737220058307495979293611284197307279260855869669663191165278423 7371680116041341610275421030048412695019435298417903190172318972642428637967169 9090306355325729516967769637740509409865358666632605798353796601776380502183799 0841809540435425932825686954342588963638524931990362008218653390271688147237885 8539901562274997367050493217222198063734171936919041899005795138057167440869419 3454140807012047260944800242227553883695857202818272993468327717423792604968990 0388119190009498699717439414858862826224865385048000427589657155738860078795807 5314102690314856808827632084237054213435479886958257382372459296580475109264358 5677933098615694198673023556662479731119041606811699136375665435268834159789675 8561371236099290799917982877843577325706790938727392544460375529021492889171945 9969737162932396408224904386192223282178152834694789119732217147927054725793051 6877794057651803988185438580588592175033810465225870607363739335921775608849152 6062211897308888815506835088989709660563296359233625311910508314503164178334154 0370370912793766996353124026043365652822002261419467613223333204661830504816556 9946887773226636822576319584704563697924652200169488296585551136285156437651535 6498227243750551699819297298989115855105904714761632266248246118951693489867397 9407596916979624954823806387790338002833725053288993800516909782342331262412499 3358223456404683495506613689874128276800297834058252568359677439287483358306917 2870399856263546334082810068908470397620641482181740873694719910587471973891814 4301779590743338296090546423109871518623785129180369966547168061982355728732049 4405359672905108520883466399299778576194214821019503354044142419396757680456524 6970746654379270246429248180981038495260158042513889602178711866725186711332169 2078057609886442218021299467854704651386278005425001854708809780116567359730935 6166898147844563460914757657042102879699601082198362435217353653795797841766141 9597410433545987073751544620248506004002425649946384176727478901374602358047428 0911248428689777010427030237842572967215640947079594017293121739599490047165364 6830437509489501049449700724422366244879334383708189006482960193867305809968148 9649042674393548427564615767139256452402184236780396880367940017901130495950851 0685679605431930709738906345693680915279193509582247741450400892483825154006950 4865063296290632154966128997358985561532291009040684452493885771434479192552175 2473146143691073938508617595841964921910516874179928277472636624092106477968926 4048975313923282695913621159037633030541515317717920738217522942753488081527148 0051128359688239245376776914280048708421273782774778674840817704970667447030995 8750985983594900742143198560189220657245060758141243106048585674183875416571183 3791083629569846862595469415736762593489140235974889870026998315497889090475578 6103317132082651050197557911894019041017953360093429569718078805090744918706304 2121368563044686162648988443331063999324174984101037560347283580382578416987025 8119691174755537263864384920009801833679636517794372041396465909428137680889642 0295436517809508196118714556383464540635237114705939906576990796022732518372899
3317176561996480028690016053591497769277217285407787803121079413655188849961025 0235974454583997788449828034621820895473251006092511772487845842145190210094112 4175059905696013557181666886153162003448020725815770304744073022259854933503811 8926666335350215358954172565949338310908921948960905692027236398907056227002385 8591263410965482943836874483033918688298780841895000947133861995743941795022119 2544846425371816332841402022283393558452268369419069167416201859071725401511194 6978909445352995848540144578350066968226229308698353048515940813318670867437837 0247700857406223270685813865634012833439272185255447453282302751132002160904913 1151387266039787037763979848520196472683401500889517263807591665668111698265827 9924839145087277795324207697133962885729446850246279914632250580475885667747315 8996439696985773389703021691021913979420112754716503558435228394836202492796848 0357555077653923541632703526505440146055124673499486938281109999016865924607821 6133844868257990417898295686344244718230911682699047225862476765090805290562770 0552984628050421920295747241251545833213707448645179964069739724593528657550452 0251457202426190047988515921284434973863243538852462834586788701992658434792698 0959432184455176519284250974696101907563537996161695398560120303496549195030954 3341346125929144574175808832827840334451695611398940716715666420233237282161003 8782620060816366807205050914439155561789869285329925629661063044096345695546687 2054383452794719377271217855468443092197063396294285257820065475826291373946589 6701560181502635422282725115126804113746349883930969128690609335458900957050829 1272784127963597247903173153999985673174608852544447152955856343967979290044107 8842075293027070884707875358520001921261644035026917757393608376761491347514083 5471596784414550715461884662569363139506021061100259778914476862706751631265769 6482794117680822705566097767409421602251622717326354981049193003718768193678099 3779470720643121297007857508173077613703160374022502321342480857596043169450761 2025228437932061767341871076227432755735996865147439240777002698324835122079871 7590228212450615247420389344464980249878766600346819298405158008881297656978928 3991268603661098406533604225916136100785066724852486982332449961282204226825799 6981471503020843968783976782899398007428473525798781564131686220300626016450047 9434252105238121401553231926896757774585873664390034740086082328139106735591009 2592090812170422718258181738274448049951760632259085927679108524099673073038135 6337371556867616226666837338074329600051614859821530047860280919335973194955429 5867088678039585967504631365824249052891526120269084812794629168211123447474104 5773027351884423426722987772895233111925787115559576481394696766939019134423233 6190530236197741894531920362565963202710465592704798144212032397192357364082297 9248376597319075265052529402767749353182973066528699814046041580523130948919913 5088455829085820030044665258506607514157944106349152674001272218149344460719118 3892069517867022565653247722183800322961180684057578196763863943697138038181127 7697806764692882976354889515841610272061174747162272146021102478977217962386983 3661612372384359875675811552311757661219286017935944822683336495458715230399677 2565742643025019941531725597536619952189050276390780211368305560983699616590654 7159197084519301236528598878599530057412719110688468484764516078551533404234021 6805825825138569333367566977933906640660328036006135880098064959354307167804342 3774167623075939211392012080337222912036281619205773587371742600778478843417705
0038649515415722079378991750382395047065013770355421384116526337474378012168045 9900324106990798288097250859093970487364661942276035032147796829391754448207026 0326678743594379267605778522858577053541040754946922547827404227135781120648787 8609676542709016767730363187204272269415974516656899699287911907597890371966314 5721534125431137147151205180922465014669874274141369942010669791255925890920932 5096612512328794262868060692455960117657064762397936006021629684672694271428754 6767630775481525631636348998173027281338519396838468100991230526773377966948560 7531216477125421694647237208010281702300129296337499646958771198235178384367465 3427495809893467896995099347923816665581450094674493931687645590934681523861638 0833614986696888209603781593976082061218264705500271657496463078043037038930421 9660496655920255707373854731237428425154965565520173865395037570663291869731844 8654048237816231441614288876740595492554381280750081561479554340407393633967517 2717062208552689125142530781896218160187607857050122035563980791255430016364677 7345992291453766164887413654050471076934290411036303479037752059288235598339838 4247457271915029453629284168686457167958327996202012838708705661039048508843776 7925169170161828218728285872178915185752052680313061655876268886894831509515347 3569767658749871021123288360440647563556052253210470004410839608050192528699297 3693732723783398145024598374625361524779141917057615519399786743860135794414878 2749317708969625794964760764036222911305438445195024191382549100417638978299283 8922769634265031815322470315521713043564155436150606902263400751031773689528255 7422998736504850303814478948576263995168029970123605999164140777869508547476060 1069588473345549003732129335102837550386212036795083815022510480890273783387948 2271081684821905151716059376312317378177935327578078833254272727376645727983130 0455055543778307678883669056820792417125695917442456746042853323970626184028190 7776275570795890807683588807103046751366195283828130234223419001836436915655059 3530064134042667557715807035726450646607212558940751568750360624339944096868459 7968135194779047653980135273843794197862277213180674990420560040187575618982273 1812710438658234175516152338472583369650039441283183289928425076889395650167242 1496363925242582202618730217251236138476953482785080471310181631479800820274684 1979426112128717053542178042730711404827442102944587712442047656992296252334539 0075744553143837407876480488090943036981718658866628856749798651658913709091998 9117317528488195835996794535477162788958651272986734469695052048777867885819418 7751724140101740951138055953726846172328685801316194357831217197772845079166391 0969732408990714287997282063235816741587363208258033316642267996382382726003106 8886462569887889151345238692626814528544871018087282072050634606253607021783773 4752627566358774734069108357047822708713655315738407194413777923568770661271636 7982054445232099808123269097103731997817978089605692093675745926312812955364624 0893470295470336344444968881482734589343333431130266748401344517118574726171577 2188811588901664583189896222653354649433023745964066539673585011302303430960639 2814660019048200155205327120931198826465059178013983646905903912891581594014337 8224106102752687193938251120395262572448063808661129918563162034552228961854024 6234933003923772444755247418985421517126741293823302220730147045377798763299993 0211751932293488268379247828221994185801892697100554284375246978394402254954396 8405896647831977688588214250288288868722497759836452293319205782087431594655398
1699390542581385245628708673844796740402623232201501967495093026408968291769200 9319241486712421965273716646688504238713019698515488027444462009565405030110083 7185689689909332507901097271506611812445779207793025371818266019618894988535178 5782270536946874537273562206189754822221624481995029235197986425592858793647141 6542376746387173039359121059208111071344820260218146237364461708574982027344221 5548911952371525475099914515768521903251059276840293756663573969982777339088141 4532759654735559894645478729755086480781089436181006172360463808998120896378832 0570686243260368907700923981006375988117125182659059588136053538472306897025358 8337518311173232504588613589942141180906963541412541236578272140825691704362342 8744563135060416906896701292577201555903548244292237625406252577860867468228241 7730708700483571363842761454385957094004013458758824272155600275908810080153494 4002878474286785366710589557646073381279251745860699777241744422436604724120754 4933851799320463271548497902660458720133552653072688363280324291553017347080837 9459684982707528160567236719563583129216316796772474308192741560545746336972279 1866501980728172906985694732561055638817238755295053814802289000786146815049786 7896690799807816743085948886655685063668992568118843586736420275799919706667080 9165649671602543336094678347125304292708508477545982792702460831211415767601050 1333922308247767264316305632775791182934152949812206960853331743666638658512434 4383885950780050551319155599661698216490669248132440671458227151421888803693314 6947084008749575142753510399968668004328841014437204974838815269339916682111184 0222530159827377555954137439205510523994187811323957270677296123633709095199281 2581645459796744411288540209924619182050951472962086499214880164028980020011548 8918798633200342574594228403474143002627332088976390522900090060778741725950216 2237862393818381039291148920267491678317299501358916386393276429854773811495891 3203074426161246107015334655586449600827966205355476110572440765410218967011351 8504318455255612503929757970394905072870162355933354722493548059971144882154778 1986557613078328642039349901307497645966866825236427114665438668792623150668236 9660291500538430768300687714635841592999635395700724653004603126196744813000316 3667278898177981625198404425354763246614565026179876702513292967751583774297769 9447426254020521321179296314575336466802879147411698881188765335292096063736114 4442438316641609910902414038844178035891312526217253766029936739172584707371887 5885532996529329968057153018896931196619664808040117276529128796413424280775990 6571517569488925742758891712004955752041101542523041793534312255519753099635696 5386060689427401453198686978969635502899536809475109190597955206595534718239650 9883328798936493532175412672185273364024098439253052018593187203764473223956506 4527752973587343295025188863485514202976218388466096676965234424862779672057234 1569275679926651331874679109920251907044788210811556553020166610642327561146290 8857377469244390755285459680471024393099278282006135483201497276689615973437704 2432001182388228777038700506493408250484861053297638561024052654000998539585497 1901193301814990644759730003937821293240552691875530333364794821470093759967200 8851466856839958001629354267907131395807447397083032124307561503462208038151773 5097908108242554553833267888802586398644216151020276605083798756810262148048900 0376789910177155592676644761057564632382936702429195679766163668393050137763047 9220420939878436182338145421613985903537096896645150521965850597227187588029889
8989508613504703572803026147413333972288667280149439137854149811787937999848425 9999496944893699273838166479794856605920915609286889305461291213744749072804466 8595504293989121693728115838463241155728451106716586151190597241583862119152040 0121816856197548196953835343532643530273475654869838054105220073357335802624153 0162172896835607519552586427771147318672896492975285708574771328188113532148239 5949502467657808517466322906082607597927696981772409928662359799848151198916534 5593857408185274734928758594105964084113679875605718155219011812586483818496635 0731902457906061335174417453705397321733308047497329505697501693042857089996795 4358011768463138498177236614918626540737409860477907668289661404936968417632567 6617108223986558406783569912571231472624956349973544478236726009757430894949360 6041581173571905641428264846171690374906515759201718842016547289258674171766384 1613424200145350430942735711431372562821232220662982268068074568378052905590856 6793764472543850705709780517962514326829749187654676870473406208174996222107022 7762647544988977952224584451993145231524855897413475328884706329178310881030620 2989637377771505479490550786087667963038409484284937141537035928681527371857727 5184044564070752356069944785102421124653275250842277799757964442021194193927042 9523758973121457657679179458674579162026635480372486466607874200666943079695571 1478774968806766605851889296094446999426552270268544056577768458221083833128105 7062938276640783267130933493397178857896768982891659439173174717562756985237078 8733508188128928196000900794043792819923452598943992610886838847344394195278607 5214897929983831132261716637712656511290428773094777266193284164413416584119072 0493147433026202110041661567502881704726887475030997863592752261878708260831608 5423872734420671546902794680358554673033154148555922650777413041389148852156576 1690031432822795264502031602702935994513560205505408503005673623385941988332446 7501096807427762832416615034603776445230195068552359443005903436668246859996753 5727786409186713162415688827043137950878448384485074393525491363494199246423571 5194639691788969473030448153945220148168191875883872642104961308344146370402464 9450502344713026110208960593827165545279413619721948491579704175982381516901906 0750382009421128661741750328717385814787461650387015285330964264387363955417743 0440752366023003257059702114271043894139357784983903422724587765844831873563498 6082187312086153822991511533955760480633992570048651615570189422052123932084453 8323566210308772798739930042054175418243009074482666665098625357940496153055569 2430638695574811251328914538866953107316432603295517354132565260600963087945821 4397122585017431830349363972304567010364889854590752773591921077207802995305844 7625228149787955767276492352209552036205239102997782599667379687974817776824008 9884919818421387319716367284534448063648313966802004231532241234827316253859602 2302687547277828317922784497782413469752416617917704463496216342416630024617085 9496594301467557055896473582739773114342730849476663984370913963934058555877976 9027305764837625079366510957216466534098545671345514754900917464523480655784854 0041917028204724291433040644849343558174115688709318937445185782438360331215609 5438010122145246320506399569349354395504292513460563813990748036792149785518594 6237808073261005201659333747568311376198120745028007167930886572232327616221134 5572011023682479083694056954969546837773009435924248160676509339910354161128653 9631681202320760200341621458853918681778220888980467556634420652118672711499829
4467705004542277970231535471483908721746254787308259162932455630099201530987361 3357293140819587403498427735868774741625298148533495478021033039893981151771693 2045788276872122525732353134179349298937401893815801499388812598643582727397627 8160728969967811076565864818622400552709473016755367033715112501840406789728664 0474320429424344656172960721404069751448447798819674164823514023204769139920048 6653691246676596507321442778521402108993552497323599124328729606309435900019855 3079635778906638719507764594053710804814578569588166754563185743703734171021378 2514524051046332325012877240559191095034675518473003431638409800967496091538284 6421146642665315894457882365176164131149431813803797899455723792984628193515927 3221362185732865301832728543034565186907637120682087591322448937587010417515198 9328029656905764331746005432246497432832395168095512685931099648513087573042253 6160339492236090709269743786647635725221585553247188784351265621943902553183569 6570910418469359852446618605437047824678204747980018296982148839880579939113749 7677160469672317056975032168686058421729756168879347727424214404259053593880806 2248661113745442857046135727565724416669151839047776619503417213085098725239183 2447319620880477037982990683211791819067298072912133124885337812115777012231835 0509734375408540909193239826623671288800278264703240421700637060692737889256198 0713705442894618447952298044010796624096922398096032548303953848170472291564760 4238867772891037755179475936472498993418427730888902994183306678106334860941065 4398033879092917727134454280127569366149783073697016678358931152589938898142332 9581284436680354846117259970765236503109571907198488273111618619377843896481331 3713325044613353626729130383477317926708107127626792714484258766723855918899262 1425465548917952872530190124039609814805773505165611640094322763404554679223060 3855234728286800974993293766190265783922970768106696081356246205687546962431907 6745468447616762660020823621706280900368091568663760895609013187127569440920611 2515586456124082114528008415012095840287475293540435424967226817983626699159051 8093626587256595873752515454187188680074800632952704382295286911366691878293842 5398285333568629949305204390626766819133284536013934663384658149930859224253992 6393090180765436402656066465644697841418112313159050153811641165919880417997820 5275829642190690426301480255291305989312205650149412508012300960572217313259450 2373463765701818524264923955110768241157892198496650672787061446810941543686801 9381635057150299345387062410523620212912335807098827068879200680971155946221081 7284468012751667839744297283230560074839812284358932525391624380762464380168740 8824537412529240332948229878644301148216033779429019778854351993925833041858512 1953003887505138143144601474626807115695801852411985750747197932811362701383482 9195218838961404656454259888386514254197149109232609389723215554772391100856559 4354877149110609294794556375050843613958604017895531187129125939016740157893282 3870689267872953604022387033964542792361223455911492820848315394622541468684792 7318057653575204116977020542596602863635535993889201884789481117328186732775471 1136923140866170186343041104373910214447880808264002746040228446159687643426733 4077805039165072834242635836882100370304478110260927983779832661506421371680155 6680911813611382134787953035739633136203258781515828753787594473074849013680951 4261392981140314675970196581499067022206084443222616580341980871046408047782524 0732533345200976410742021366086366584624523022235210835348160367903253515771619
6704746268450849692449016812055854132643968555141535584108727663216903801557385 6091564654724832498067961671580479906247419942745038666864027516439165182296863 9906910681870459076846792225628854452654082852259040671650509181922219780055497 8363426206429085610417819669856210807616782760628218496585276071794873240773639 5562819601785499798463984608878954964083802079116412851560456386905905763590437 1254616697798782911360408282093189388451583054806027365189419444590428836534751 3236993746270112508984376195531259057391582592439183665533697718467195381410720 6313562126526803409288875770041188373463221254094586590653969125615100560454444 7945776589265821514065111629256983155083525626246008661630354775685989493149737 7049396720443316082961682665505375967297879665148823283375181355501011873273059 7341715760909083242328286933938322362663011216566794413029203473490638942392880 0472585840574517643431846907990797076721208990712730158492906034105829956939359 9734730618009507276663875326666490285741351942399258966980155377245171226940628 4724246260291758231406418592827545106241283417137101196653187290499891241843441 8589855808078182403159464969892321453531563637368570046559208723699660899251402 4338186423716234335088644328052614213375797304166524953739898809265381592817504 8261017019358257107567296385022177648325130695276273221747543550391861584930664 8009202336011815252564511054607265393830903610862970377551645502391569831699040 4509115342101925805984523606783154907900805711748952716009593206776634740718764 2809687985930343521920202016056575776292120784481415968563963504761361082888110 8530832832205897960820064871079745887265660437018979200402856867933033026243499 3938377683994412312140252986711693705382441845312112839959610950204585146813749 9643149923056932456737894911157929382708018047566619978923585880569844470979351 2953534986845467325410576261042201061084140232408197411000975066279415526974684 1155883823524300508495694422563290620128086726306018646835802822228937625895675 9202766469483458440830770851364292338481736991518978227372829525513878997114654 4862085866279422951170215374667312806833380533329110260781361345934137574914911 1690029587013614131063568323748398974387051148461350740331370308802920589725632 4908209618358681022472381650143223282885775079637038395843746688025149122910926 7286167520582437944145521437561885128775904009360976809547029881316439565929179 7496536329992489530320053824089270011385652575240822800182309687143237408871343 3310442982908473025896271457559146182299029345598626100183955125960433628829257 2079923749319734888584749305360910803350066753258537630383482310675585122358513 1810557777389991535350626031292932113792036129413649209561935293149195903179744 6074475765333323582425267978692794565956895398692575355026332554145727354981025 2890576146396672637410253888619756079546348026543437086894708517779006565858413 1521330870886860396354782658029278130892786476478507495386943900518061633185728 4767336295161912323203985421584751159793657040131996714490511802816106591797068 2914173124986300928445728572570357323979877534885064694052295880012671737459034 2782974140054112458166101613782024448627665233525729009383971950774893482837753 9966236062523656010867441295639627616192708023625356096970332695916613851299751 0460710448135230102409644162306239176089123331927328376528636468387575506775829 1541686731018458583145648610653640487049389439110796862218715123242931303220606 3074781972061893771155785144428216680562812896626411326057514877686845761009992
1946081626916896298662845946622231092335051480294617747790782416784835423297419 0584466014503200743501520606787447937610147245520345971172673745403606320456820 1498518223462117787195222088038764836325734162257333843767235398269398205760618 7609960740409495986513824141240252783519559829280600287948045538637420217733855 1901978184677958248013629721045436221950646858451417356733916460740694680400643 8915136326077387297557522331608051048749714975711826757499927198888245809816289 7019263641697656572640088502401131909001031512997926454953436076050175812204071 8607589420586309882801469834317317828914156192264761048497414560960500412280304 1319298221579727654006689112612305084269626812662933536446886412879456728795141 8231010912899460437627408842237314805355140457835000116918848394696241653175853 4882773425235456601080915050692765158436015786160634863643624058121818724768450 6753629585306841038120649661342098360789170486404320276020790190093656804523777 3477905086343833256942446713214700874532580461292106951890694855376494823511904 0109337554522799459917826448525914337096425012725541585181594093185044480367817 6211163959791876524402487701076842804840221815195130368768582040369183255783930 1816178590849604744436578292580027662117885533806440227184557266691455012171044 7233877057217188003707034457159654537404554882122557730956893077793507386227303 4280122128107068003065882471772833976920048678260824418174993603583039288070433 2681698955884155827811720588408167275060952596145358891874478925511604913075097 4506644766067656577572576671778382890051827233057348533854706066544392099519880 8747694618843772939242937394020145176959099214421611835138390526365266093874005 4936624479006845670044724978270548238953355614060708575588802933213890136496959 7471106728783394171147466907456653398378979672266386126075330536067245683038987 3319055026682516288868456834143920847501830391896418994161616188111423482348299 1100830915287336895735785966750206032769209049760579022035988462093606369742634 8098322831643628808683184668577881781169297472788963724466623110017275448602830 4745030013969445346788981360476641853630233311990074709268085893733537679232492 5788058598749602021213210451981856973646779754463494509983845816506758084438188 1206522895158718680001420880639456593009276414489726597523512339979098456343762 2315507406382137464929828165751678382613916266055524507771224557555842927682321 5600370113792800736334384934630916757395218643328615103515840466088088982554748 9846079463149696341409002156958091163327920332843188621574551372533939132299837 7604396962865353794457218045577883153331038535196026341257658326087333483393652 8383166430148740430815273241987645580458932879062166618837533073332344254405717 5395611572780562142683197709432584939379416315642240792375806510595622629020028 3603378944313661759888438822733423871042570682813997802070496973409449079249495 9729802796612096842628774453169045041013873869000310250351856668497136612080312 2153959533288217801946195991729896656711916200213588601269247235586362455182586 5487241111875209965346186684356630196069231641116387987418230638552240399852635 8990935799826554909577514332815302429222434294274184708492504788339832149259970 4348871701130038087632057136496155484605764097292152849902175356226126783645870 2884482472677376764072240369051817750657651521810538870759137888780940112427493 0043377458304990861508195084484864830289570056527249589468087490504774230566569 5993640087008636007677327108001353568965484230848873368390332404305266459792891
2960578327282442267875111172470084362462313343558154959490725861140635907991622 3703517108447515888407573912859039439876720169653609692334363519405144907707167 6018122119664506706315846552176732850707737058670395086852764025790945293183472 7847722616736762471410651973392565599408881132101897287078589742551212726405096 4396368413101154219843605296645627710310834284122223066634725476764824909668124 2096421382017002478837786831956768038350048424544883212707461972439779382283978 7229314170574508992432189226424136524454205045852984880589466141564178542882914 3712685116104777925324851034941638650831713193394230898029479817499850697318437 4136884680901924725555297980167738597190568073350021278364964371917782896713682 0476849965588119223398115230986691662221879437735084783808806786540463092744148 8651955615391899620460099580205464077832563160511062416521441851028518571393318 9608101346647007954406898828218030701968640934219818042969803781363778729834520 5151350312255499379835757884365460979881025294798311007144672533413156578528552 2361557097772623207417073015569027150508532187292848153493415069655217593402957 8827625417403836893952335261425791323687058787580527256349447053014833039431331 6838740359120064175302916883904812160301563092672580079733349678191731463413499 5829840741328435871853943844994501083071571267954296101728946483472885995614960 5652185746140425905037321726373917343202194561820844847303330564241232604208294 2952385279873352051970063504018629169060519180985393389688289187071611604375552 5699577237354901093110333360933326995915741711917013803945556474509678614588595 8340293082742115676446465333512695921280238661633931999753825245736306547074210 0129530438037260234204261102926907776812179558969044553308022548015270041193560 6604701752045270910750392752536375827782133230402891277225282068583841798411806 7554728868180576061745078044198551592377422045543303809599966535466088657740493 6368072648575273154721419417387928687563893732364037223328463573508931160567619 9173395264272159446245635389584644855640259075949280823926654755797239808008800 2292808045207899487314280453337653576065343193754044552024431458101221958867191 8252707463989083750149012396112995324420723782851733605126554773829566107684195 0109042610000476443117243417571640690689480306353732663885735000759333973094862 5606988230234940911855315734029389149293495611033313781050561473509205538120923 4452249678182627946161800983330032303137327815578834913128315320911101736992433 9443441826221622082877632539190785732964442141754516238071259742405293482643980 4114971998712348941528730200667153202411626847340652725765304319337668866358797 4740700645396169214025915724814026958430682685066643001820937662621631317970487 3044443634251788084803446014093567961744989410449349647870092448569731435459831 3991064663459857425037528957268015306332124333677821823881765126752400539125974 6020019051181105537977375816649206443340519161890379606319045998170384948374018 0270637611957671643274448737906793119594228292205825764194879214505116887291044 9721078867559892477232118474887171745071107731069116699796176481285536752709723 2145063111402965078566978157734046672033726262764699031390149859029708443656134 9183711862438092172613743926197239573021873923247981439680889045557818028350125 6031525904242773090898420174783992918805675611244239907553915922433572755781697 8770747874866054435468738122945664521719764688085944613743517834980478005099777 4289456980546484929756802389258245275747072644683090989396793255135251763117199
5121032454700997312047156450475024683469565844172646725944661186034822300144456 8438906318352661096200753328490569060444006281838597367437386336065026268595680 4072149292814900258272223190269150808247028773611319318642014745927678692248845 2962278871025433607509565099138782208123312862748709668135976173953922305460556 3281240833145399056801715899403295890092820786095060543909743609671017839531872 5709926085121897675731910846223510810244417483906788224349871891551960908148283 8609317512467626409097822006056438664250753114969946538164380768225732246886831 1313070556081167199911170839313830099451471277053230320796641753380346665627045 5660203134053874996286770860366602650697982199943035869995473523093868153620787 0910049080577263204479396567099943612922519193919170597864165212043804599597794 7319068746008039728371554820712183996784319597536530038238242979100945265002204 8428209855645846149949853625772325077337226739180344793690489327026588459827398 5487379337443847560076772832989139132014962557358168604672910224025712924716022 8480147588980516156186230904676184090674253288290703590025919861062674717249865 3970703807655782850063866135962845440173975376823504681363559945531217197774956 7011098433360396956095728811376872511330799002491189830134774766040783300782072 4549434984057401463100119648613667613889470878206592620031808350923509307141599 3271086093198338214362801562813465766187978993885004603800054153989283702015508 1541706828235231943103740377594003196277049779527319273909119001107516153463128 6630713358204860429963096617102099822553158447961152043750359646106923866026454 8807830029786995252472711860344756493447798686242599937264936320126928845769360 0760186730293460927772790665723663802649124779042414214527688215101302918509378 5411137053172750924817413286694501942043367557411178860455783272148501795279078 4402953449173185513308560158983640882161430078236838007895193461150596527734510 7995724755071712770432803300341288968332849614899150685578458089651588546163556 1698939966521318392466109766836738199877474521953348445652516399940074594806132 9115323393463657720488542308929795000008676967771262962147434151969298650903883 8351087317399853574043137989681177181953131225598248328202250215920242532679271 4434621419544171796128666331127199102659656178548689736243070387764111668676155 1052148925496572892277078625622393154067910106805552299647877047655684143164465 1072172670058607680563635341251584803263466825352383769518935204283230477486636 6745066004698999161225580404673077729953911077213695704995529134676578351214975 8637292835723373518777479712643688543747536918105694023055309702761233102607085 5925935890222613636088291559104605182907212796308231112310318567464456733159774 2859247665091788985112713818910851772331844461122375363877158488619775473762897 3225499493221649304957037932209759796079736072281403961689523441751080274504036 3610239589849036729290129330257888106296376062275180358086486635552749899650086 5007988974182360629614691221917440848654196076303059975001800215988280891815271 3779890110968117448203132328136687754301009154262414020762446144148982697851653 8762544953509652554258252913175977848817095210816472914901751754272681960354509 2907167135289888460394575281161608900662733984684767453309563140267522604653977 7037056397134273585504569048266269938129296218997762836388327284818928063318769 4453138389056102790267215073866866983902916921286513134888267032470721785207357 4484413097275063509313455183077781752412943397505655268499753338892435679014906
4633563436751349979162848624171153266505435219741049753359188212848261893175902 3824915068578582515965098675580073399060742912002995575768568792832210949442208 4642660414685044083762156646482498572483887355711320036585509876502429235130133 9006486590297630190824820995033873387389022912272030110651864034456115727293109 8926063371098392592165899924094165237442084424349137204374153179756686115211961 1124593986816698276716076682618373885192761151560485798758679406112192287837113 4923135599253132306270571288756841940161548516835033000035298772273232252876694 2402737393215906300740558456701754380753694911318753443973954378804065273508412 3475825413682587946694537180352558322348604668094679961773585165972321833188908 0086538960582030835655544244377904018588715049981141279498498038244254483206448 4539649473202264817033607954645496086959230445681945796099934854632300323487563 9565945400461767866943049899545577801808536178653921794505556381443065142251070 8090555299518412172478395285189773086382208034758105923455997778092770878635845 3127842678354740898996779174500484029773108196369822331609947151917752221956072 6558200036555247821305218545086824959921669610828806512648183050266131465851327 8804643823270244763629650398933690935880827738147511140215478095629362682835718 9663510056271130165319129486611531919465667181288164058008101886855870202718310 9090479390970378705009589361665557089730870597211418913044400484736311084133713 4464442852772912545374810702816672392558520206265538807319797977256360305774164 7847157296898021609392805852757737895553737885462696190082589321626273215950882 4188922114868950089736186370062716989119868781557697491262904762950895358537786 6294009679920696384779965480672034702015313056308238386203126327738529608458192 9386049597147989639262339021747996862256572050302200185051368405909081630380282 8562918751430757473561606894213139959850793893744473062746558452167780708774942 7217980285749811213005933571664924628008378466866326277770689434536568503551239 6959012382875129134266745812862484120223735696767100131939069458462833832158523 5984771426870100080763282391540941631217393456098659238163957971879513458542359 1991812013075904502979940059915651172651966292640154702832601237631198851295318 9254714780684215406022096334858826713575270669273508790635220376108863134068236 6472345811356849072455414445392710225040493468408008321777590264634370622421379 3981096603795469049458302042668372163230868365357776262959935310453356984592115 6466761630432638545786339050129783996009825948221425439783326349725277398926082 4881814401856045847453937230399456521595066606175570025124194522663463893827676 1219642786107500836372959680425087602141998021003488433963094423498025613176315 6588138635273548804718049950813952225764349298813398307412254402431328302350499 3021066213671272088074486828791436189723635645654001627959425997816907173310800 8228374090951362384186696493139877477881464184736511550347163304527752979194534 3397152656852165453741685195718935903353214887802173950482605448864561900873778 5098359385910595083645299338021939099500381808549894181416668810553188011255185 5417932151279750188756439317644772436454037222841860907069414507707276640855805 8193430527757205729785961823807257345545320347038578461969554936428620552007007 4155998790830074121403129407590464318559091055428015289985485061746048990036731 7089557090731760313901981407665788503582388414019565876423531836880743265018125 0746484699185047949243410125489210531000227775588388598214228794641475533857382
4214311317034694063556320447417806882558033824481580407233452923466532612049530 7735513796117197418664347176318594497768265319552190994878668545072457425590233 6483916376070122873689861081397612579896705106802984725020131573348830912582270 3370593213896527626364079677290428645947607598257422722226395206117084009564048 5586854069954201088549264743478332819273584725261024400974360503947708574216439 7669455765405419534588272361586094085727738213355701049612915185665126936017740 3815970822489668477758473892673605530165513321696485025925712306629622775639780 1627415985030433379903613366963790186445071858549158232421358508975440915732365 4152482289556670800234889000627903549268050184455239689621306482425659355906090 3330719473228120733217974345578344815159814873966133058985447531480282297360286 5135221696022982913310892973603869022026916382645053700197815955202313455881268 9225547582162826255198995694943366752426812250703782288410836184213747829917922 8083172592427607666466534535748893291600193090083773001405113793445674738306839 4358661175932814560876672250047306575225911581573486543104842879164146102793024 9755044578793079391772207032860878594855995893751542247780153501084623818569023 6120753515098796552008725192947352547696399558960613428309420450754332294033485 1591531376187941136618356966411190077720110298226843412943401291487104471344035 3161812562343096279694342698926777842146964943980134922583673985937293107058822 8807110403067435963616299586315548415199812563404714743448305781806369506188278 0881408862216105575306242630947696715895616558730854873116043153141828175534237 6506096828728614473457831611960594280802612729378727079720435726323205756271028 3550845570282886689885786985631667202158530181634941876775159083703256812257888 7838362849462253650732519180553361813300583103376356818043414947620609096440521 1606602822274502870545369425409303083134212529750109809730664842555603659890115 8847823621093165538717538585363309626232978032873082589998790017966502392847527 7199646137122905448365161429411526432869632321164348996723183743719168060876787 6058300221529965684409848097590582473326010138964415498752679658127596462532053 4675832591787424702557344232143220007833258172913646179280207745267729666201785 3830962371953570597437935366282347645628274481482367329036924825215132851082887 7697034890271657159632701170503935324731079305094806064754159920861883492782694 8298621331108116402695420579281141579235259469525852028216052135331512356430677 7461878908504216560155399137071331182968251972272687669704896645167878429810720 1593826129401108265388676213228220099417264310096346289398282830035499678682064 2274165098903466013080152989504862661802456266883321522502694303909963037381847 8064633975152999222370037310518568241878397985173803627737851421872993463626502 5954884845189972079141529951999068775103676714919364172680139296309038300741515 0334633768575838381895542456626639331034990088210666346031477849056468791159745 2733183482584288587513321522438208155199070041910916056025734668954165552990921 8547585432584887485873940956062715146749108520217927995972770543597245212224137 3600674356572383722594393365641659718732364228735630530168943863262690420587938 1018851954930505442968423392583154543468832418936325638916331264687743410984935 2085060251396182554903160631136044827309219336419688982654647871290525916487938 9046115801239297912454421427685797841551128995732682695037396597243780555351587 8183294670693197497476133753740921618494623881451891294177344848982281678170693
1694985741971252032379031717714750075739636965974355678202361676827687380230009 3449120102128226548379678919733384926367086763374748386339828180308771733580807 2208969822111210213446565132043069720315019351005805740071046149580355495931971 4265748679786416162690691719371977032008159227086592469586783669799178835351114 6972249615051836818896065264162113057752965404464073123918319841981462649112411 6146778917867032070609942201432774227785766039914643781564709469704275733343470 4506469232497191913486301989459918831895569832284442220945153262184310014088216 7054615268049433549754300670227274857283726618714792860229289545049700113601936 0387172851309083109944301919136387912079237760655734860560003139276529208758307 9593132183326636357822894776761301233562669596172051117906473159585562894512959 5367835012012841954950282332119326312296283315933272247751034823579310110726013 1255135142577223263488930980838400955285749539212137035174896812578771519091824 7872435139944351072744632240929327750136083182655420827141894135254019614567977 7307147976833727334602688475841395312450296909150905849972747168278578016840506 9790532368938281534631762737541017162882950915882472970637309368237267781561574 4498222627773208714153220376110322444969588601804474081507536203946677233512721 1168967987790472944313501116050130167342409188340816298572869079482315555766111 0801888014186759839575192813972260488730159289472214308067489015958124089840465 1507508244999190210701419873593423039575466214096604344231792388756435716892497 8081731484277422729522908553854786505163892992154603274648642955570433765539530 3318213834989117415560730922171097737667328169560678618109853021089092153763388 3341390253145702376985885127335568935394380772996648390069569255156775880447845 9763291300490907980918876851861840151183400181124815491812390467962553370107031 2816330753643428871522836535264249521437259900885108494661018804709592751350543 0982843560671318411240642657056073101855601003055038428856851320338622943819974 2606745359144206667106789212904571584560250265178589213886105490759467875313012 2751019544031533958520788726085144718375614987273647062696390333347530567973518 2722263217509717622523387070229715388210377602729869075269115408415789816918284 9377515228068427097700062122147609425036032830551030087111763995096202576476896 1995552330114843650246837444003971885704365721337932141713826444061586598327306 0276957430381207986110185933109198766894383813225545616976559509021466267062744 9987355845803277236000234939945929300152966967892057929556443534369152946148117 4864624944556050309587603182036068283287016368196695284936256659955901691957254 3468849949196173065692897629654192870074877095063426397331323148527770389449026 5929720902903300345463455993294146367529032145722685936412416723112454295830473 9114656502092596365605855085716757056156977140890050153658250131294208845680183 5214631021837518691567585724571796246629789427866168771358477114807665280051830 0470142049203663190880102038082056357864332031333246117230829543804190757616164 4361947458632066937186043537196302673637823767162888227448517539640694189773644 9543986339010584037322507837169136635111998908332643130551448737386832304332259 7058838584431361704380355535301863844659672713759988764819847316683155726945931 6920484441141917059046384172180047111839997267832023062252572164815079717850010 7106444108754645273670952256554444321301320229402456041578879896992073144994623 9910891221161574056937880404670968441364250865116979084742216179422122853911517
7320082089561559470693479242064177421505233799091968790736524478224118750136346 3571363979968919428350155091326999143492646290181544899755913359991730582704473 9634966697789141648029985132427726795281579730820148673616549546746297555849960 7970293382045356801645592078478820100575364092286436849468650335968023365129195 2877615209692523246550771158722629478206223005706300002460289968036982419951822 2318063164012950364573062673456376672611344045514792664269390173074499043384111 1345812358274537299563150116293500035804257862215680178092612211301042016246784 3164035960011366963131051299011527430992063694449018907708059282710192567459619 1829220174622978984825731584141552970573069165667698765441461059518522807830172 0997291196231074001853143606627651427974847400898286331019191137853296649548025 3610652541071152715922026593378108083355895360337651462335523770015139515426795 6122476130849431549013889622688750943539903901413894507308945637583072823983005 9676099887552879017833372535322230002647888189684274237024903857178834847402668 5055188446801484746374744816187492131154085869243864780813347278707951910930092 8876098170982024143256838437696221384713859675545449363126846094431517482993013 5704588908623292177528765964263907004836175019823546753674123733436257544622156 9587779761826705226467759889021695915804310663510415609617656305735060562778647 1693034544391140449302708810515804511088766355559332432284645513123828667419722 2989873902763203854108170083059930253746014709006483924021501329168901086117128 0111661233353141637660034602386302422725580599912624478701716041267164527151811 2210612102344799993824630852082513588129751192194292946096810877028803561716935 2275323369677630876970707157390160607113289781500881631719695366836032168045851 8078085195195680169649555409991805452661756935256284849381825193254911249318923 9507235797410638738276787050400210380380895586957965542181325062764407939871080 7862136460025761945038975220246995223654515677853273943773823061861313326804461 1452059997362852477504136411934866938462004364005215554669022603269853849671574 5326069798788372802144115958957376838928346118634605141931266329297862565141378 6889068908266218276713757664796739004256562836091746630690767825062990832063244 1250116045896081870626111888501316948099171553651947519813360456189933580034868 8154914237760931112356502019762207639689854736815971656566624148957541822594904 7869027909944365501774539584209316262830500129625948617284265513042388901936902 9197651287418655241353276840848987114061328296034741274053251486138931985588945 1004046003547656527417256857139636092905086858062495848852479858368295713110366 9168483715914951127249216648856294955534439853145865658371596903445214646319960 9771625775653631810611753273700273873693825561659998223911201792936210412903434 2751409828934782766025101158144875577448549046289994030147102968894003408314874 9249486398689960490369928646271172030170417729571642317582517490631313429411895 3561059355996917472530955838647954795542054310049435634622751257337472619920167 6936042579914348891006143239793217979904920192148704523360745434961974586452971 5931216962652682841726118253661579664617332322647647139539121291850992923937101 4842108401554251939373488447103112894819025234148342275550957257574626465143230 5308131585257470245890360660310247569486093090551975312155876436311027647412007 2326702326340373108080079369376120727970688658592567447797553441882500982664732 1694757974925344843722903859551339416825950151927702463321039062558541686018884
6671232809260322318484788891692515407074821066378260100413379484196955496822015 4036781264718650589717246382730878449644879241252092626926267013373262386281578 4840190944175180615839518531790505465360498595751285262349539673071623161406380 2649878776355811850574115669935799804636592116268064743266215695177088441507222 3192618608160258147904573886607410857732562513900018187083267697674058675579815 6851604084065061594738590601019502858655692758439324600010174188813759983171242 3879072316065229953148924304021228437642724921084333601988031236634098979652456 5366109071448568740943789356763972722254694607773314559765400524705554716754816 1737169850915496600109940777278835200872594027420718667203674526705248339483870 2539290874391617710107450274901866206704182476627275209929596855668203566853696 0946144104529861943236972622377867566772359946102245447065666076845170597367802 6743394529342540271284491586379960448079890060687776214284616564156987414979445 0114892872009128805965294073116532139455310811087841449908085413631800662571401 8143844443034998987872473019927944290236956790309002452850071520945237332693468 9927715483185454321714025186123681240973469173047673317754833308325360960307400 3497623594360187890772785627761645977602802157985860798709030554376133960282784 1915199956711834989589978060526311130474972450033779160493463828985802503100461 2765025995630887704861306369363951405423873008450523030996933275230655582864054 4405027926881612249183484183296960308042148658480070249050287379705373780962554 5823602881298089900942729898094038358807924374327951851878609518963962833067241 5016898404092342141605997324754404275838081746106211686725565860856610203404825 9097074050197471789608501869177711632888960500991619186185494763510612639335945 8799868149656467722352591410991688373686875947902836939814194034384824296298588 9083812734832346396566214165348656671016608533817216293917375100204366818248455 7560385073639826893469059715126230247529018173602272917862398028941639879079605 2421370187534773683219624838918083538736084568807299089881310681282714006050316 9995879738087928746622473868822726314228799971373721095099851611636068652670926 4757993984060242371865671680198188907523200899601004581683797740319796926523986 7855366655716493915896021573162694298692719898768094541304216873294834840922261 9511538361868475303217143314152924681375534695405335665036151986799408653471580 3218589804457119099386800597812640683422339555196113372510064519548682312729581 3151172498970832713037934127793012251946063114026181930089825956062364821302303 7795146744899236547611433395662108805425483982788095379861277030508248353273390 0084978818510224775461825829132732994260523355577504649267802383209689208907984 6528310676946543241430368150644271663748934604981555892621067289403065402545566 9953762747967447489664219206271941991851418316608290200935850345558858101664548 2005694651165242151825729996420598080341265695735205960589493397427138364853321 2057467733469704343416261204806740761804818040070007748535338587869695780150936 5637735618102011300991603279991147896303683011408468024106701605480632084534183 4457265098003537276178778309277149970421790769749704866845107702961809937359371 8397793176457936296902056541243616858268690183606617921976378066662631537189158 0438506454461624648324990793760732059853855193251838304738842531695193102113568 5450436241246496652960105785265453270528342408143975129564704363419487836038697 3822497633479678907359319164991672445513834613401207186602496910703400506175763
2210834011452586249177737481210082987272047939168425473700017654874508798915408 5375570575278336916711923677352016251705423575053018746205465263884622041578414 5586686505949435380496849707643845173204222861689606201637919104487017660802365 2442848277755524944503207554521333645841068275745801612201228614642652111507919 0064136926698014122233206235113865673564562935749994081783446552647288620929547 0643634945378610178561969054195809948141391422430845181927393577843669096377229 8128220085529614879060668758843454333994651295202320044581016516258716505257419 4650641109516186100578809593910871706070867751607914106620745472723000351567341 0059538105548588039077403400192605509253848703094988389851336979578734531582078 8212031885131462685659496853610326740178437847861416819278782774463553123248014 1212055748408005924447759025309370183739793347412884858774664563987889915591587 1011251540215430489523554820522589823494097864593197330391105871744899318586741 9212338841627524717653041178219075717742582301329359313245158946302347648514245 6609438065482941421554164761151865623967973311212912659278773996536815144366603 2153083744587743547299693658708252146211178777763200190943665780546559492708728 5693093702762341688347944364178484607815243673478125212331353237812854534174068 7200849180988330604533396595220619922386563741452089195260218312498638045050449 9760477016633562475525973465344787492601509110312257061699797120906406121813312 3608629440121340376871304553746550657721323023194428076669378997747322209043593 4065222463834974311197629135182443334517195048545360406466150218097765781085565 1365328208428800709994602323083394020197427540473826358410422673758240195375979 9601464003431628372088296330121682469480624613423992560359146511144926723868243 3461967837463375880252805201104926843211677299551982604718387994957464327378851 2764311403013589640229408256950831517850879801280499519302949684614251755235461 2356732234433555798662401161946836341782779574390166849315039234819280631602298 2428214900310565575613931116705169065251065132344196504118883711547721228976722 8425432537741978729464318335175551126341597543265933748953782883205388398137635 9108617328523457665573677121686345094362082816787598870082324928296866667174979 7547322299160290806126129653525311475853487503095502018474004808939148575354522 8670322435555433972336045604953552869837103653088918076877156013252570449916803 6302095885329960631917834102811216779846988172526262498427287705078295436244064 6384632816429327014974327215632244946515245050776554984543960896580615792420945 7613537256135241915707742998868199975372896469987519235908015711685223435226454 0387168431590678628489404431515801282594734842147534985727800440540462591771298 0679448189432261321836062364191350375276571874385422943954298217593131280753585 1865453367157388301290664211558564922495169555911497564326534520439341861610698 3633416476568483066884623771848449968709786063499314017402519351907034051658849 5587244303136868890881703061354024901983706908263052971359044729219977649938076 3458643646624479220023290511273237766958796684329009433511516303973212464417004 7142351079305965887189827877378869982260526646861561185248484466427315483739474 7576631263254506898131973894361265583611098686048355327180168921609464484382760 6881688744019840381835381706787933282706380990347375315055331498895426621384042 1449004049463036973791665998406418544817496964164348432367979181789381984062156 3325041306619055409992685301176800020388138000188689502160647381397917369281836
4793483292566147192867112655043257424122943834615817596407560765420626992803246 7779867246808082862099619180552796993266316764614673124373906424882221335393818 3943089901183089888319105868996717384778052989978757340043520160332053498854392 5821751809172007130766930015947229006844361675440876101651953893268125354655934 7456536782694229426254862542120545197445321663377936350995624813216832200557855 3397694183636279982500550873896975931451808257779380661486432087623822943079774 6884166132884764520301791422647569485938735699426678136761414051218906439416326 9452521606901285864239460706420774685796756815700065980168456593420906234614147 1188030519704112283435143129868946290675994414927125663353908724141226750256188 9840595894626896224156002883942981132629928617773715738941629270196197885450643 3949076986385720596197223094614234978426186682651528304841184206508580796653601 1488474669256242383802226032802854997455473922839804066618920623641637141047397 9599132565752265306912630718533927298005722054690748664880038156147522326604214 0237648361458709206103156775410153621294606643558585424339029607825499420884751 5428569932268905991572441242435149534110559735531999800726757494218416819842069 1679154326033735826245898221338784718575061045590457765517539601528912609904598 1081436819315875606116406088897648110875383560296143866703477144990648561842830 1303717107117527700876567817933786897531878698659192444209470892263538478483450 2538463709693881002463600212456623046152930600633917132502954155404955914012300 3013836137946603974371602224657701909690428762178265310952824408348381675464320 3960180087927547818268097250038089564354075830544695136673141263548289790004104 6056960805849941931440520449858670872470235836422263756472926045444013117428628 1306847888246186361061884366569970307442033195146490795915322662270172436895754 0949313391525037872736679442556264992497480832839364528212413383843841609197963 5035992060363797935312995352492106314657583778930605053136853484169567332806788 2099159138005363133577794791295114565058788286994858491514079779671457226221755 1521428290198063021962790318974641123239899879118733845020028305094895142834772 2886887824393965002723459025679832676730866296778225308424368978232425038130946 2508532977613947615267539422889197872770559476790244289610861698419762587982305 2591809383897799301715127539162295442863687419849858763986852448611498572951459 4766421526491330717361156705901154238759589471236181075113852066100869564007060 9392597466616850201060147087822610568868239358987088797426996033218859471874488 0713357060787014290776379358686449172237749807854626522517775639255132540184598 4725109285160738523652356808881325036671337890647621761593714343322174297952019 9232745254873213403798173678499525522904545329620202236927951780120527569662823 3335667984660524362966621803777730370701157194725171110360681613713529599191176 7217057386585832889564002680064012513036618567754802049744417393395481135496115 6961417768600233342485498177079059699849693034800486158040511830554480602923484 2807046037248789005924715640469657150390620256691607820782600046356117030241958 3887887840052712796394949085813207110301881810702850278274453643495255435211627 1636206532375827979092134334768249637775691679728622849727563659150919782596853 8351536592204239594686084594756250910931081670182509079507418072227132207440473 6887235588246408490983642949640912254395947980333077465614613527851954072455793 0021208607720568776212051511360170961839085498480673659432307481177978415447066
斐波那契数列
斐波那契数列 一、简介 斐波那契数列（Fibonacci），又称黄金分割数列，由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入，推动了数学的发展。故斐波那契数列又称“兔子数列”。 斐波那契数列指这样的数列：1,1,2,3,5,8,13,……，前两个数的和等于后面一个数字。这样我们可以得到一个递推式，记斐波那契数列的第i项为F i，则F i=F i-1+F i-2. 兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子，从第三个月开始他们每个月都生一对兔子，新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。按此规律，并假定兔子没有死亡，10个月后共有多少个兔子？ 这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列，第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项。 二、性质 如果要了解斐波那契数列的性质，必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理。那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式。 令常数p,q满足F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)。则可得： F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) =q2(F n-2-pF n-3) =…=q n-2(F2-pF1) 又∵F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) ∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2 F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=0 (1-p-q)F n-1+(1+pq)F n-2=0 ∴p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组 ∴F n-pF n-1= q n-2(F2-pF1)=q n-2(1-p)=q n-1 F n=q n-1+pF n-1=q n-1+p(q n-2+p(q n-3+…))=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1 不难看出，上式是一个以p/q为公比的等比数列。将它用求和公式求和可以得到： 而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1，可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0，这样就得到了一个标准的一元二次方程，配方得p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。随意取出一组解即可： 这就是著名的斐波那契数列通项公式。有了它，斐波那契数列的一些性质 也不难得出了。比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比，即：
生活中我们常常相信亲眼所见，但又常常为自己的眼睛所骗，魔术就是一个很好的例子。数学中也有这种欺骗我们眼睛的奇妙的数学魔术，我们还是来看一个简单的问题吧，将图3中面积为13×13=169的正方形裁剪成图中标出的四块几何图形，然后重新拼接成图４，计算可知长方形的面积为8×21＝168，比正方形少了一个单位的面积，真不可思议！ 这两个问题是这样的令人惊奇和难以理解，我们在白纸上将正方形量好画出，剪成四块，重新安排后拼成长方形，除非图形做得很大并且作图和剪裁都十分精确，我们一般是不会发现拼接成的长方形在对角线附近发生了微小的重叠，正是沿对角线的微小重叠导致了一个单位面积的丢失。要证实这一点我们只要计算一下长方形对角线的斜率和正方形拼接各片相应边的斜率，比较一下就会清楚了。 问题2中涉及到四个数据5、8、13和21，有一定数学基础的同学会认出这是著名的斐波那契数列中的四项，斐波那契数列的特征是它的每一项都是前两项之和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。我们还可以使用这个数列中的其他相邻四项来试验这个过程，无论选取哪四项，都可以发现正方形和长方形的面积是不会相等的，有时正方形的面积比长方形多一个单位面积，有时则正好相反。多做几次上述实验，我们就会得出斐波那契数列的一个重要性质：这个数列任意一项的平方等于它前后相邻两项之积加1或减1。用公式表示就是：。其中表示正方形的面积，表示长方形的面积。知道了这个事实，我们就可以自己构造类似于问题2的几何趣题。 爬梯子问题（斐波那契数列应用） 1.小明要上楼梯，他每次能向上走一级、两级或三级，如果楼梯有10级，他有几种不同的走法？ 这里我们不妨也来研究一下其中的规律：如果楼梯就一级，他有1种走法；如果楼梯有两级，他有2种走法；如果楼梯有三级，他有4种走法；如果有五级楼梯，他有7种走法． 既：楼梯的级数：１２３４５６７８．．． 上楼梯的走法：１２４７１３２４４４８１．．． 这其中的规律就是，这里从第4个数开始，每一个数都等于它前面的3个数之和。
【关键字】方法、关键、关系、满足 1，数列通项公式的十种求法： （1）公式法（构造公式法） 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222 n n n n a a ++-= ，故数列{}2n n a 是以122 2 a 1 1==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 （2）累加法 例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。 变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 （3）累乘法 例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：因为112(1)53n n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则 1 2(1)5n n n a n a +=+，故
斐波那契数列与黄金分割 应用研究 作者姓名 院系6系 学号
摘要 “斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。斐波那契数列是一个古老而有趣的问题，由于其所具有的各种特殊属性，它与最优美的黄金分割有这密不可分的关系。在数学领域以及自然界中随处可见，而且正逐渐被应用在人们的日常生活与娱乐中。 关键词：斐波那契，黄金分割，应用 1 引言 斐波那契数列又称“斐波那契神奇数列”，是由13世纪的意大利数学家斐波那契提出的，当时是和兔子的繁殖问题有关的，它是一个很重要的数学模型。假设一对成年兔子放于围栏中，每月可生下一对一雌一雄的小兔，而小兔出生一个月后便可以生育小兔，且每月都生下一对一雌一雄的小兔．问把这样一对初生的小兔置于围栏中，一年后围栏中共有多少对兔子(假定兔子没有死亡)?据此，可得月份与兔子对数之间的对应关系如下： 月份0 1 2 3 4 5 6 7 ? 大兔对数0 1 1 2 3 5 8 13 ? 小兔对数 1 0 1 1 2 3 5 8 ? 兔子总对数 1 1 2 3 5 8 13 21 ? 如果用F n 表示第n个月兔子的总对数，那么F n能构成一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89?．这个数列显然有如下的递推关系： F n =F n-1 +F n-2 （n>1,n为正整数），F0 =0，F1 =1 (1) 满足(1)式的数列就叫做斐波那契数列，这是一个带有初值的用递推关系表示的数列。这个数列一问世就吸引了无数数学家的兴趣，以下是费氏数列的定义及通项公式。 费氏数列是是由一连串的数字所组成的（1、1、2、3、5、8、13、…），而且这串数字之间具有一定的规则，就是每一个数字必须是前两个数字的和( an =
1，数列通项公式的十种求法： （1）公式法（构造公式法） 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222 n n n n a a ++-= ，故数列{}2n n a 是以1 2 22a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 （2）累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出 11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。 变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 （3）累乘法 例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。
斐波那契数列的通项公式推导 山西省原平市原平一中任所怀 做了这些年的数学题，我时常有这样的感受。一个新的数学题初次接触时，会觉得这个题的解题技巧很妙，甚至有点非夷所思，但如果把同类型问题多做几个，你就会发现原来所谓的技巧，其实是一种再正常不过的想法，是一种由已知到未知的必然之路。这样我们就由解题的技巧而转化到了通解通法，进一步就会形成解题的思想，所以我对于数学爱好者建议，做题时要把同类型题多种总结和分析，这样你的数学才会有长足的进步。 下面我们就由递推推导通项的问题，进行对比分析。 例1在数列中，，求数列的通项。（普通高中课程标准实验教科书人教A版必修5第69页6题） 分析：此题可分两步来进行，首先由构造一个等比数列，其中 ，并写出的通项；然后利用，两边同除以得 ，由累加法，就可求出数列的通项。 解：（ 设，则（）所以数列为等比数列，且首项为 ，公比为3。所以。 于是有，两边都除以得 设，则有 由累加法可得
因为所以（） 于是有。 总结：上面的求解过程实质，求是一个把已知条件逐步化简的过程，由相邻三项的递推关系化为相邻两项的递推关系，进一步求出通项公式。 下面我们来研究一下著名的斐波那契数列的通项。 已知数列，其中，，求数列的通项。 解：首先我们要构造一个等比数列，于是设 则有。（1） 则由已知得（2） 对照（1）（2）两式得解得或。 我们取前一解，就会有。 设，则有 所以数列为等比数列，首项为，公比为
所以。即（3） 再次构造等比数列，设 则有 对照（3）式，可得所以 x=. 于是有 设，则有数列为等比数列，首项为，公比为，于是= 所以有。
数列通项公式的十种求法： （1）公式法（构造公式法） 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是 以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 （2）累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。 变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 （3）累乘法
浅谈斐波那契数列在生活中的应用 发表时间：2019-07-29T11:38:49.093Z 来源：《基层建设》2019年第14期作者：孙烨赵倩[导读] 摘要：数学是一门来自生活又高于生活的科学，数学研究是人类社会进步的动力。 山东协和学院山东济南 250107摘要：数学是一门来自生活又高于生活的科学，数学研究是人类社会进步的动力。数列知识在生活中也有着广泛的应用，例如生物种群数量的变化，银行的利息计算，人口增长，粮食增长、住房建设等，都会用到数学知识。本文介绍斐波那契数列的简单情况，可以帮助学生提高对数列的知识。数列是数学学习中一个非常重要的分支，并且因为数列的研究和计算与社会经济和资源生活紧密相关，加上灵活 多变的计算，有趣的问题等，都使得对于数列的研究受到越来越多人的关注。 关键词：斐波那契数列应用黄金分割 1 引言 数列在我们的生活中具有广泛的应用，例如资源计算等问题，并且在解决诸如投资分配，汇率计算和资源利用分配等问题方面具有无可比拟的优势。本文将简要介绍数列广泛应用，分析斐波那契数在上述几个生活领域中的应用。 斐波那契数列在现实生活中被广泛使用，研究它以使其服务于我们的生活具有很大的意义。 人类很早就看到了大自然的数学特征：蜜蜂的繁殖规律，树枝、钢琴音阶的排列以及花瓣在花托边缘的对称分布、整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称性……，所有这一切向我们展示了许多美丽的数学模式。对自然、社会和生活中的许多现象的解释，通常可归因于斐波那契数列上来。 斐波那契数列在数学理论中有许多有趣的特性，似乎在自然界中也存在着这个性质，都被斐波那契数列支持。 2 斐波那契数列的应用 （1）斐波那契数列和花瓣数花瓣数是极有特征的。多数情况下，花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34，55，…这些数恰好是斐波那契数列的某些项，例如，海棠2瓣花瓣，铁栏、百合花和兰花以及茉莉花都有3瓣花瓣，洋紫荆、黄蝉和蝴蝶兰是5瓣花瓣。万寿菊的花瓣有13瓣；至良属的植物有5瓣花瓣；许多翠雀属植物有8瓣花瓣；雏菊属植物有89、55或者34个瓣花瓣。 （2）斐波那契数列和仙人掌的结构在仙人掌的结构中有这一数列的特征。研究人员分析了仙人掌的形状、叶片的厚度以及控制仙人掌情况的其他因素，并将数据输入计算机，结果发现仙人掌的斐波那契序列结构使仙人掌能够最大限度地减少能量消耗并适应干旱沙漠中的生长环境。 （3）斐波那契数列和向日葵种子排列向日葵种子的排列是典型的数学模型。仔细观察向日葵盘，你会发现两组螺旋，一组顺时针旋转，另一组螺旋逆时针旋转，彼此嵌套。虽然不同向日葵品种的种子选装方向和螺旋线的数量有所不同，但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这3组数字，每组数字就是斐波那契序列中的两个相邻数字。前一个数字是顺时针旋转的线数，后一个数字是逆时针旋转的线数。回想起向日葵。种子全都紧密排列在花盘当中，每个种子都保证按照适合的角度生长大小还基本保持一致又疏密得当，与此同时，螺旋的数目也是斐波那契序列中的数字，世界如此繁琐，却又如此的井然有序。 （4）斐波那契数列与台阶问题当只有一个台阶时，只有一种移动方式，F1=1两个台阶，有2种走法，一步上两个台阶或者一阶一阶的上，所以F2=2。三个台阶时，走法有一步一阶，2阶再1阶，1阶再2阶，因此，F3=3。四个台阶时，走法有（1，1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）（0，2，2），共5种方法，所以F4=5依此类推，有数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，...斐波那契与自然，生活和科学上有很多联系，但是从这几个例子中，我们可以看到斐波那契数列的应用的广泛性，我们可以看到数学之美无处不在。它是一门科学，同时也是一种艺术，一种语言，它就像一朵盛开的茉莉花，白皙而优雅，简言而之，数学伴随着自然生活共同发展。 （5）斐波那契数列与蜜蜂的家谱蜜蜂的“家谱”：蜜蜂的繁殖规律十分有趣。雄蜂只有一个母亲，没有父亲，因为蜂后所产的卵，未受精的孵化为雄蜂，受精的孵化为雌蜂（即工蜂或蜂后）。人们在追踪雄蜂的家谱时，发现1只雄蜂的第n代子孙的数目刚好就是斐波那契数列的第n项f（n）。 （6）黄金分割与斐波那契的联系斐波那契和黄金比例（也称黄金分割，Φ，取三位小数1.618）密切相关。黄金法则，也称为黄金比率，是指将直线分成两部分，使得一部分与整体的比率等于剩余部分与该部分的比率，即0.618/1=0.382/0.618。0.618是斐波那契数列相邻两项之比的近似值，一般称之为黄金分割数。这是古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯于公元前6世纪由提出，后被著名的希腊美学家柏拉图称为“黄金比例率”。 （7）斐波那契数列和鳞片的关系菠萝果实上的菱形鳞片排成一列，8排向左倾斜，13排向右倾斜；挪威云杉的球果在一个方向上有3排鳞片，在另一个方向上有5排鳞片；常见的落叶松是一种针叶树，松果上有鳞片，两个方向也排成5行8行；美国松树松鳞片在两个方向上排成3行和5行。 （8）影视作品中的斐波那契数列斐波那契数列在欧美可以说是是每个人都知道，在电影这种通俗艺术中也经常的出现，例如在风靡一时的《达芬奇密码》当中它就作为一个重要的符号和情节线索出现，在《魔法玩具城》当中也出现过。由此可见此数列就像黄金分割那样的流行。可是虽说叫得上名，大多数人并没有深入理解研究。在电视剧中也经常看到斐波那契数列的影子，比如：日剧《考试之神》的第五回，义嗣做全国模拟考试题中的最后一道数学题。还在FOX热播美剧《Fringe》中也是多次引用，甚至被当做全剧宣传海报的主要设计元素。 3 结束语 除了上文中涉及的几个方面外，斐波那契数列在生活的其他领域当中例如现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有着广泛的应用。这个奥秘神奇的序列就在我们生活中任何常见的事物中隐藏，植被如一朵向日葵，一棵花菜，宏观如飓风以及星系，微观小至细胞的分裂，斐波那契数列都有存在。而且，通过对上文数列在生活中应用的几个方面的分析，也希望能激发大家对斐波那契数列的兴趣，感受数学的魅力。
求数列通项公式的常用方法 类型1、()n n S f a = 解法：利用???≥???????-=????????????????=-)2() 1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去 n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例 1 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？ 1n n S a =-，∴ 111n n n n n a S S a a +++=-=-，∴ 112n n a a +=，又112a =，12n n a ??= ??? . 变式 1. 已知数列{}n a 中，3 1 1= a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，求n a 变式2. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈． 求数列}{n a 的通项公式 变式3. 已知数列{}a n 的前n 项和S n b n n =+()1，其中{}b n 是首项为1，公差为2的等差数列. 求数列{}a n 的通项公式； 变式4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．求数列{}n a 的通项n a 变式5. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈． 求数列}{n a 的通项公式； 变式6. 已知在正整数数列}{n a 中，前n 项和n S 满足2 )2(81+=n n a S （1）求证：}{n a 是等差数列 （2）若n b 3021 -=n a ，求}{n b 的前n 项 和的最小值
浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值 99数学本四班 莫少勇 指导教师 孙丽英 摘 要 本文从菲波那契数列出发，通过探究其数学内涵和它在实际生活中的应用，提高学生对数学的欣赏能力，初步建立数学建模的思想，从而提高用数学知识分析实际问题的能力。 关键词 Fibonacci 数列 黄金数 优选法 数学美不仅有形式的和谐美，而且有内容的严谨美；不仅有语言的简明、精巧美，而且有公式、定理的结构整体美；不仅有逻辑、抽象美，而且有创造应用美。古希腊的毕达哥拉斯学派，首先从数的比例中求出美的形式，发现了黄金数。神奇的菲波纳契数列正是黄金数之后的一大发现，它又被誉为“黄金数列”。 一． F ibonacci 数列的由来 Fibonacci 数列的提出，当时是和兔子的繁殖问题有关的，它是一个很重要的数学模型。这个问题是：有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后亦每月生产小兔一对，假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？ 对于n=1，2，……，令F n 表示第n 个月开始时兔子的总对数，B n 、A n 分别是未成年和成年的兔子（简称小兔和大兔）的对数,则F n = A n +B n 根据题设，有 显然，F 1=1，F 2=1，而且从第三个月开始，每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和，于是按此规律我们得到一个带有初值的递推关系式： ?? ?==∈≥+=1 F 1,F Z)n 3,(n F F F 212-n 1-n n 若我们规定F 0=1，则上式可变为 ?? ?==∈≥+=1F 1,F Z)n 2,(n F F F 102-n 1-n n 这就是Fibonacci 数列的通常定义，也就是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……， 这串数列的特点是：其中任一个数都是前两数之和。 这个兔子问题是意大利数学家梁拿多（Leomardo ）在他所著的《算盘全集》中提出的，而梁拿多又名菲波纳契（Fibonacci ），所以这个数列称作菲波纳契数列，其中每一项称作Fibonacci 数。 它的通项是F n =51[(25 1+)n+1-(251-)n+1 ]，由法国数学家比内（Binet ）求出的。 二．Fibonacci 数列的内涵 （1）Fibonacci 数列的通项的证明我们可以通过求解常系数线性齐次递推关系或者利用生成函数法来实现。 证法一：
最全的数列通项公式的求法 数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。 一、直接法 根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。 二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥???????-=????????????????=-2 1 11n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式. ②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2 1n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式. ③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10< 详解由递推公式求斐波那契数列的通项公式 武汉市黄陂区第四中学 蔡从江 斐波那契数列的递推公式是121==a a ，11-++=n n n a a a （2≥n 且N n ∈），那么它的通项公式是怎样的呢？不少同学经常问到这个问题。 下面详细解答用待定系数法构造过渡数列求其通项公式。 由递推公式11-++=n n n a a a ，可设)(11-++=+n n n n a a a a λμλ，比较得1=-λμ且1=μλ，即012=-+λλ，解得251±-= λ。若251+-=λ，则251+=μ；若251--=λ，则2 51-=μ。 先以2 51+-=λ，251+=μ求解， 此时)2)(2 15(21521511≥-++=-+-+n a a a a n n n n ， 所以)2()215()215()215(2151211≥+=-++=-+ -+n a a a a n n n n ， 即)2()2 15(2511≥++-=+n a a n n n ， 再另)2]()215([251)215( 11≥+--=+-++n x a x a n n n n 即n n n x x )2 15()215(215)215(1+=+-+++， 所以12 15215=-++x x 即55=x ， 所以 ])215(55[251)215(5511n n n n a a +--=+-++， )2]()2 15(551[)251()215(552111≥+--=+--++n a n n n ， 所以)2]()2 15(551[)251()215(552111≥+--=+--++n a n n n ， )2]()251()251[(5 1])215(551[)251()215(55112111≥--+=+--++=++-++n a n n n n n 所以)3]()251()251[(5 1≥--+=n a n n n ， 又121==a a 适合上式，故 *)]()251()251[(51N n a n n n ∈--+=， 同理可得251--=λ，2 51-=μ时，*)]()251()251[(51N n a n n n ∈--+=， 因此斐波那契数列的通项公式是 *)]()251()251[(51N n a n n n ∈--+= 数列通项公式的几种求法 注：一道题中往往会同时用到几种方法求解，要学会灵活运用。 一、公式法 二、累加法 三、累乘法 四、构造法 五、倒数法 六、递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a = （七）、对数变换法 （当通项公式中含幂指数时适用） （八）、迭代法 （九）、数学归纳法 已知数列的类型 一、公式法 *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ 1 *11()n n n a a a q q n N q -== ?∈ 已知递推公式 二、累加法 )(1n f a a n n +=+ （1）()f n d = （2）()f n n = （3）()2n f n = 例 1 已知数列{} n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 2n a n = 例 2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。（3 1.n n a n =+-） 三、累乘法 n n a n f a )(1=+ （1）()f n d = （2）()f n n =， 1 n n +，2n 例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 （(1)1 2 32 5 !.n n n n a n --=???） 评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+?转化为 1 2(1)5n n n a n a +=+，进而求出 13211221 n n n n a a a a a a a a a ---?????L ，即得数列{}n a 的通项公式。 例4 （20XX 年全国I 第15题，原题是填空题） 已知数列{}n a 满足112311 23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ，，求{}n a 的通项公式。（! .2 n n a = ） 评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为 1 1(2)n n a n n a +=+≥，进而求出 132122 n n n n a a a a a a a ---????L ，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。 斐波那契数列 斐波那契数列，又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。 定义 斐波那契数列指的是这样一个数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........ 自然中的斐波那契数列 这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。 斐波那契数列的定义者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契，生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点于阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。 通项公式 递推公式 斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... 如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：:F(n)=F(n-1)+F(n-2) 显然这是一个线性递推数列。 通项公式 浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值 99数学本四班莫少勇指导教师孙丽英 摘要本文从菲波那契数列出发，通过探究其数学内涵和它在实际生活中的应用，提高学生对数学的欣赏能力，初步建立数学建模的思想，从而提高用数学知识分析实际问题的能力。 关键词 Fibonacci数列黄金数优选法 数学美不仅有形式的和谐美，而且有内容的严谨美；不仅有语言的简明、精巧美，而且有公式、定理的结构整体美；不仅有逻辑、抽象美，而且有创造应用美。古希腊的毕达哥拉斯学派，首先从数的比例中求出美的形式，发现了黄金数。神奇的菲波纳契数列正是黄金数之后的一大发现，它又被誉为“黄金数列”。 一．Fibonacci数列的由来 Fibonacci数列的提出，当时是和兔子的繁殖问题有关的，它是一个很重要的数学模型。这个问题是：有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔， 而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后亦每月生产小兔一对，假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？ 对于n=1，2，……，令F n 表示第n 个月开始时兔子的总对数，B n 、A n 分别是未成年和成年的兔子（简称小兔和大兔）的对数,则F n = A n +B n 根据题设，有 显然，F 1=1，F 2=1，而且从第三个月开始，每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和，于是按此规律我们得到一个带有初值的递推关系式： ?? ?==∈≥+=1 F 1,F Z)n 3,(n F F F 212-n 1-n n 若我们规定F 0=1，则上式可变为 ?? ?==∈≥+=1 F 1,F Z)n 2,(n F F F 102-n 1-n n 实验二Linux 进程创建 实验目的 ?加深对进程概念的理解 ?练习使用fork()系统调用创建进程 ?练习Linux操作系统下C程序设计 实验准备知识 1. fork()函数：创建一个新进程. ?调用格式： #include 输出。在退出程序之前，父进程调用wait()等待子进程完成。 要求提供必要的错误检测以保证在命令行传递的参数是非负数. 实验程序： #include 1，数列通项公式的几种求法： （1）公式法（构造公式法） 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是 以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 （2）累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。 变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 （3）累乘法 用初等数学方法求斐波那契数列的通项公式 斐波那契 (Fibonacci) 数列是着名的数列，有很高的实用价值。多年来，学者们一直在探究它的通项公式的求解方法，已经涌现出了多种方法。但据笔者们所知，这些方法大都需要比较高深的数学知识，例如组合数学的方法、概率的方等等，让人比较难理解，不容易接受。基于此，研究给出了一种简易的初等数学方法，先探求它们的特征多项式，然后通过求解线性方程组的思想，得出它们的通项公式。这种方法深入浅出，有一定的实用价值。 1.斐波那契数列的由来 13 世纪意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》的修订版中增加了一道着名的兔子繁殖问题. 问题是这样的: 如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔子（也是一雄一雌，下同），每对兔子第一个月没有生殖能力，但从第二个月以后便能每月生一对小兔子.假定这些兔子都没有死亡现象，那么从第一对刚出生的兔子开始，12 个月以后会有多少对兔子呢解释说明为：一个月：只有一对兔子；第二个月：仍然只有一对兔子；第三个月：这对兔子生了一对小兔子，共有1+1=2 对兔子.第四个月：最初的一对兔子又生一对兔子，共有2+1=3对兔子.则由第一个月到第十二个月兔子的对数分别是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，人为了纪念提出兔子繁殖问题的斐波纳契，将这个兔子数列称为斐波那契数列，即把 1，1，2，3，5，8，13，21，34…这样的数列称为斐波那契数列。 2.斐波那契数列的定义 定义:数列F1,F2,… ,Fn,…如果满足条件121==F F ,21--+=n n n F F F (对所有的正整数n ≥ 3),则称此数列为斐波那契(Fibonacci)数列。 斐波那契数列 一、简介 斐波那契数列（Fibonacci），又称黄金分割数列，由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入，推动了数学的发展。故斐波那契数列又称“兔子数列”。 斐波那契数列指这样的数列： 1,1,2,3,5,8,13,……，前两个数的和等于后面一个数字。这样我们可以得到一个递推式，记斐波那契数列的第i项为F i，则F i=F i-1+F i-2. 兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子，从第三个月开始他们每个月都生一对兔子，新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。按此规律，并假定兔子没有死亡，10个月后共有多少个兔子？ 这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列，第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项。 二、性质 如果要了解斐波那契数列的性质，必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理。那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公 式。 令常数p,q满足F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)。则可得： F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) =q2(F n-2-pF n-3) =…=q n-2(F2-pF1) 又∵F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) ∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2 F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=0 (1-p-q)F n-1+(1+pq)F n-2=0 ∴p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组 ∴F n-pF n-1= q n-2(F2-pF1)=q n-2(1-p)=q n-1 F n=q n-1+pF n-1=q n-1+p(q n-2+p(q n-3+…))=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1 不难看出，上式是一个以p/q为公比的等比数列。将它用求和公式求和可以得到： 而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1，可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0，这样就得到了一个标准的一元二次方程，配方得p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。随意取出一组解即可： 这就是著名的斐波那契数列通项公式。有了它，斐波那契数列的一些性质也不难得出了。比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比，即： 根据斐波那契数列通项公式，可以得到 因为n是趋向于正无限的，因此我们可以知道： 那么我们就可以把分子和分母的第二项同时省略掉，即 这就是斐波那契数列的魅力之一——它和黄金分割比有密切的关系。下面将给出斐波那契数列的几个性质及其证明。详解由递推公式求斐波那契数列的通项公式
数列通项公式求法大全(配练习及答案)
高三数学 教案 斐波那契数列通项公式推导过程
浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值
使用fork()调用计算Fibonacci数列
数列通项公式方法大全很经典 - 副本
用初等数学方法求斐波那契数列的通项公式
斐波那契数列
相关主题
文本预览