第七章 多元函数微分法及其应用

第七章 多元函数微分法及其应用

第一节 多元函数的基本概念

一、平面点集n 维空间

1．区域

由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点p 与有序二元实数组(x , y )之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组(x , y )与平面上的点P 视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.

二元的序实数组）（y x ,的全体，即},),{(2R y x y x R R R ∈=?=就表示坐标平面。

坐标平面上具有某种性质p 的点的集合，称为平面点集，记作 }),(),{(p y x y x E 具有性质= 邻域：

设),(000y x P 是xOy 平面上的一个点，δ是某一正数 与点),(000y x P 距离小于δ的点

),(y x P 的全体 称为点0P 的δ邻域 记为),(0δP U ， 即

}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(2

02

00δδ<-+-=y y x x y x P U 邻域的几何意义: U (P 0, δ)表示xOy 平面上以点P 0(x 0, y 0)为中心、δ>0为半径的圆的内部的

点P

(x , y )的全体.

点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U

, 即 }||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U

.

注: 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作

)(0P U

.

点与点集之间的关系:

任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ?R 2之间必有以下三种关系中的一种: (1)内点: 如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )?E , 则称P 为E 的内点;

(2)外点: 如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )?E =?, 则称P 为E 的外点;

(3)边界点: 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点.

E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作?E .

E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E .

聚点: 如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U

内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点.

由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E . 例如, 设平面点集

E ={(x , y )|1

满足1

开集: 如果点集E 的点都是内点, 则称E 为开集. 闭集: 如果点集的余集E c 为开集, 则称E 为闭集. 开集的例子: E ={(x , y )|1

集合{(x , y )|1

连通性: 如果点集E 内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E , 则称E 为连通集.

区域(或开区域): 连通的开集称为区域或开区域. 例如E ={(x , y )|1

闭区域: 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域. 例如E = {(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}. 有界集: 对于平面点集E , 如果存在某一正数r , 使得 E ?U (O , r ),

其中O 是坐标原点, 则称E 为有界点集.

无界集: 一个集合如果不是有界集, 就称这集合为无界集.

例如，集合{(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是有界闭区域; 集合{(x , y )| x +y >1}是无界开区域; 集合{(x , y )| x +y ≥1}是无界闭区域. 2.维空间

设n 为取定的一个自然数, 我们用R n 表示n 元有序数组(x 1, x 2, ? ? ? , x n )的全体所构成的集合, 即

R n =R ?R ?? ? ??R ={(x 1, x 2, ? ? ? , x n )| x i ∈R , i =1, 2, ? ? ?, n }.

R n 中的元素(x 1, x 2, ? ? ? , x n )有时也用单个字母x 来表示, 即x =(x 1, x 2, ? ? ? , x n ). 当所有的x i (i =1, 2, ? ? ?, n )都为零时, 称这样的元素为R n 中的零元, 记为0或O . 在解析几何中, 通过直角坐标, R 2(或R 3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应, 因而R n 中的元素x =(x 1, x 2,

? ? ? , x n )也称为R n 中的一个点或一个n 维向量, x i 称为点x 的第i 个坐标或n 维向量x 的第i 个分量. 特别地, R n 中的零元0称为R n 中的坐标原点或n 维零向量.

二、多元函数概念

定义1 设D 是R 2的一个非空子集, 称映射f : D →R 为定义在D 上的二元函数, 通常记为

z =f (x , y ), (x , y )∈D (或z =f (P ), P ∈D )

其中点集D 称为该函数的定义域, x , y 称为自变量, z 称为因变量.

上述定义中, 与自变量x 、y 的一对值(x , y )相对应的因变量z 的值, 也称为f 在点(x , y )处的函数值, 记作f (x , y ), 即z =f (x , y ).

值域: f (D )={z | z =f (x , y ), (x , y )∈D }.

函数的其它符号: z =z (x , y ), z =g (x , y )等.

【例１】 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系 V =πr 2h .

这里, 当r 、h 在集合{(r , h ) | r >0, h >0}内取定一对值(r , h )时, V 对应的值就随之确定. 【例2】一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系 V

RT p =

, 其中R 为常数. 这里, 当V 、T 在集合{(V ,T ) | V >0, T >0}内取定一对值(V , T )时, p 的对应值就随之确定.

三、多元函数的极限

与一元函数的极限概念类似, 如果在P (x , y )→P 0(x 0, y 0)的过程中, 对应的函数值f (x , y )无限接近于一个确定的常数A , 则称A 是函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限.

定义2 ：设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε总存在正数δ, 使得当),(),(0δP U D y x P

?∈时, 都有 |f (P )-A |=|f (x , y )-A |<ε

成立, 则称常数A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限, 记为

A y x f y x y x =→),(lim )

,(),(00, 或f (x , y )→A ((x , y )→(x 0, y 0)),

也记作 A P f P P =→)(lim 0

或f (P )→A (P →P 0).

上述定义的极限也称为二重极限.

注：①二重极限存在, 是指P 以任何方式趋于P 0时, 函数都无限接近于A .

②如果当P 以两种不同方式趋于P 0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在.

【例3】 设2

2221

sin )(),(y x y x y x f ++=, 求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .

证 因为

2

22

22222

22 |1sin ||| |01sin )(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+?+=-++=-,

可见?ε >0, 取εδ=, 则当δ<-+-<2

2

)0()0(0y x , 即),(),(δO U D y x P

?∈时, 总有

|f (x , y )-0|<ε,

因此

四、多元函数的连续性

定义3 设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)为D 的聚点, 且P 0∈D . 如果

),(),(lim

00)

,(),(00y x f y x f y x y x =→,

则称函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)连续.

如果函数f (x , y )在D 的每一点都连续, 那么就称函数f (x , y )在D 上连续, 或者称f (x , y )是D 上的连续函数.

二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数f (P )上去. 【例4】设f (x ,y )=sin x , 证明f (x , y )是R 2上的连续函数.

证 设P 0(x 0, y 0)∈ R 2. ?ε >0, 由于sin x 在x 0处连续, 故?δ>0, 当|x -x 0|<δ 时, 有 |sin x -sin x 0|<ε.

以上述δ作P 0的δ 邻域U (P 0, δ), 则当P (x , y )∈U (P 0, δ) 时, 显然 |f (x , y )-f (x 0, y 0)|=|sin x -sin x 0|<ε,

即f (x , y )=sin x 在点P 0(x 0, y 0) 连续. 由P 0的任意性知, sin x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续. 类似的讨论可知, 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时, 它们在各自的定义域内都是连续的.

定义4设函数f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)不连续, 则称P 0(x 0, y 0)为函数f (x , y )的间断点. 例如

函数???

??=+≠++=0

00 ),(222222y x y x y x xy y x f ,

其定义域D =R 2, O (0, 0)是D 的聚点. f (x , y )当(x , y )→(0, 0)时的极限不存在, 所以点O (0, 0)是该

函数的一个间断点. 又如, 函数1

1sin

2

2-+=y x z , 其定义域为D ={(x , y )|x 2+y 2≠1}, 圆周C ={(x , y )|x 2+y 2

=1}上的点都是D 的聚点, 而f (x , y )在C 上没有定义, 当然f (x , y )在C 上各点都不连续, 所以圆周C 上各点都是该函数的间断点.

注: ①间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.

②可以证明, 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数; 连续函数的商在分母不为零处仍连续; 多元连续函数的复合函数也是连续函数.

③多元初等函数: 与一元初等函数类似, 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数, 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.

例如2

221y

y x x +-+, sin(x +y ), 2

22z y x e ++都是多元初等函数. ④ 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 【例5】求xy y

x y x +→)2,1(),(lim

.

一般地, 求)(lim 0

P f P P →时, 如果f (P )是初等函数, 且P 0是f (P )的定义域的内点, 则f (P )在点

P 0处连续, 于是

)()(lim 00

P f P f P P =→.

五、多元连续函数的性质

性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数, 必定在D 上有界, 且能取得它的最大值和最小值.

性质1就是说, 若f (P )在有界闭区域D 上连续, 则必定存在常数M >0, 使得对一切P ∈D , 有|f (P )|≤M ; 且存在P 1、P 2∈D , 使得

f (P 1)=max{f (P )|P ∈D }, f (P 2)=min{f (P )|P ∈D },

性质2 (介值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.

第二节 偏导数

一、偏导数的定义及其计算法

对于二元函数z =f (x , y ), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y 固定, 这时它就是x 的一元函数, 这函数对x 的导数, 就称为二元函数z =f (x , y )对于x 的偏导数.

定义 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量?x 时, 相应地函数有增量

f (x 0+?x , y 0)-f (x 0, y 0).

如果极限

x

y x f y x x f x ?-?+→?)

,(),(lim

00000

存在，则称此极限为函数),(y x f z =在点）

（00,y x 处对x 的偏导数，记作 00y y x x x z

==??, 00y y x x x f ==??, 0

0y y x x x

z ==, 或),(00y x f x .

例如

x

y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?)

,(),(lim

),(00000

00.

类似地，函数),(y x f z =在点）

（00,y x 处对y 的偏导数定义为 y

y x f y y x f y ?-?+→?)

,(),(lim

00000

,

记作

00y y x x y z

==??， 0

0y y x x y

f ==??，

0y y x x y

z ==，或),(00y x f v 。

偏导函数: 如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作

x z ??, x

f ??, x z , 或),(y x f x

.

偏导函数的定义式: x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?)

,(),(lim ),(0

.

类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为

y z ??, y

f ??, z y , 或),(y x f y . 偏导函数的定义式: y

y x f y y x f y x f y y ?-?+=→?)

,(),(lim

),(0

.

偏导数与连续性: 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如

???

??=+≠++=0

00 ),(222222y x y x y x xy y x f

在点(0, 0)有, f x (0, 0)=0, f y (0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续. 注：

0)0 ,(=x f , 0) ,0(=y f ; 0)]0 ,([)0 ,0(==

x f dx

d f x , 0)] ,0([)0 ,0(==y f dy d f y

.

当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时, 有

00lim )0 ,(lim ),(lim

)

0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ;

当点P (x , y )沿直线y =kx 趋于点(0, 0)时, 有

2

2222022 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kx

y y x +=+=+→=→.

因此, ),(lim )

0,0(),(y x f y x →不存在, 故函数f (x , y )在(0, 0)处不连续.

类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为

y z ??, y

f ??, z y , 或),(y x f y . 偏导函数的定义式: y

y x f y y x f y x f y y ?-?+=→?)

,(),(lim ),(0

.

二、高阶偏导数

设函数z =f (x , y )在区域D 内具有偏导数

),(y x f x z x

=??, ),(y x f y z y =??,

那么在D 内f x (x , y )、f y (x , y )都是x , y 的函数. 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数z =f (x , y )的二偏导数. 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 如果函数z =f (x , y )在区域D 内的偏导数f x (x , y )、f y (x , y )也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z =f (x , y )的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数

),()(22y x f x z x z x xx =??=????, )

,()(2y x f y x z x z y xy

=???=????,

),()(2y x f x y z y z x yx =???=????, ),()(2

2y x f y z y z y yy =??=????.

其中

),()(2y x f y x z x z y xy =???=????, ),()(2y x f x y z y z x yx =???=????称为混合偏导数. 22)(x z x z x ??=????, y x z x z y ???=????2)(,

x y z y z x ???=????2)(, 2

2)(y z y z y ??=????.

同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

【例6】 验证函数2

2ln y x z +=满足方程02222=??+??y

z x z . 证 因为)ln(2

1ln 2222y x y x z +=+=, 所以

22y x x x z +=??, 2

2y x y y z +=??,

222222222222)()(2)(y x x y y x x x y x x z +-=+?-+=??, 222222222222)()(2)(y x y x y x y y y x y z +-=+?-+=??. 因此 0)()(2

2222222222222=+-++-=??+??y x x y y x y x y z x z . 【例7】证明函数r u 1=

满足方程02

22222=??+??+??z u y u x u , 其中222z y x r ++=.

证:

32211r x r x r x r r x u -=?-=???-=??,

5

2

343223131r x r x r r x r x u +-=???+-=??.

同理 5232231r

y r y u +-=??, 5232231r z r z u +-=??. 因此)31()31()31(523523523222222r z r r y r r x r z u y u x u +-++-++-=??+??+?? 033)(3352352223=+-=+++

-=r r r r z y x r . 提示: 623633322

3)()(r

x r r x r r r x x r r x x x u ???--=???--=-??=??.

第三节 全微分及其应用

一、全微分的定义

根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有

偏增量与偏微分:

f (x +?x , y )-f (x , y )≈f x (x , y )?x ,

f (x +?x , y )-f (x , y )为函数对x 的偏增量, f x (x , y )?x 为函数对x 的偏微分; f (x , y +?y )-f (x , y )≈f y (x , y )?y ,

f (x , y +?y )-f (x , y )为函数)对y 的偏增量, f y (x , y )?y 为函数对y 的偏微分. 全增量: ?z = f (x +?x , y +?y )-f (x , y ).

计算全增量比较复杂, 我们希望用?x 、?y 的线性函数来近似代替之. 定义 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量 ?z = f (x +?x , y +?y )-f (x , y ) 可表示为

) )()(( )(22y x o y B x A z ?+?=+?+?=?ρρ,

其中A 、B 不依赖于?x 、?y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ?x +B ?y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即 dz =A ?x +B ?y .

如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 可微与连续: 可微必连续, 但偏导数存在不一定连续. 这是因为, 如果z =f (x , y )在点(x , y )可微, 则 ?z = f (x +?x , y +?y )-f (x , y )=A ?x +B ?y +o (ρ), 于是 0lim 0

=?→z ρ,

从而

),(]),([lim ),(lim 0

)

0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =?+=?+?+→→??ρ.

因此函数z =f (x , y )在点(x , y )处连续. 定理1(必要条件)

如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数x z ??、y

z ??必定存在, 且函数

z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为 y

y

z x x z dz ???+???=

.

证 设函数z =f (x , y )在点P (x , y )可微分. 于是, 对于点P 的某个邻域内的任意一点P '(x +?x , y +?y ), 有?z =A ?x +B ?y +o (ρ). 特别当?y =0时有 f (x +?x , y )-f (x , y )=A ?x +o (|?x |).

上式两边各除以?x , 再令?x →0而取极限, 就得

A x y x f y x x f x =?-?+→?)

,(),(lim

,

从而偏导数x z ??存在, 且A x z =??. 同理可证偏导数y z ??存在, 且B y

z =??. 所以

y

y

z x x z dz ???+???=.

简要证明: 设函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分. 于是有?z =A ?x +B ?y +o (ρ). 特别当?y =0时有 f (x +?x , y )-f (x , y )=A ?x +o (|?x |). 上式两边各除以?x , 再令?x →0而取极限, 就得

A x x o A x y x f y x x f x x =??+=?-?+→?→?]|)

(|[lim ),(),(lim 0

0,

从而

x z ??存在, 且A x z =??. 同理y z ??存在, 且B y

z =??. 所以y y z x x z dz ???+???=. 偏导数

x z ??、y

z ??存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件.

例如,

函数??

?

??=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)处虽然有f x (0, 0)=0及f y (0, 0)=0, 但函数

在(0, 0)不可微分, 即?z -[f x (0, 0)?x +f y (0, 0)?y ]不是较ρ高阶的无穷小. 这是因为当(?x , ?y )沿直线y =x 趋于(0, 0)时,

ρ

]

)0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ??+??-?02

1)()()()(2222≠=?+????=

?+????=

x x x x y x y x .

定理2(充分条件)

如果函数z =f (x , y )的偏导数

x z ??、y

z ??在点(x , y )连续, 则函数在该点可微分. 定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数.

按着习惯, ?x 、?y 分别记作dx 、dy , 并分别称为自变量的微分, 则函数z =f (x , y )的全微分可写作 dy

y

z dx x z dz ??+??=

.

二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理.

叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如函数u =f (x , y , z ) 的全微分为 dz z

u dy y u dx x u du ??+??+??=

. 第四节 多元复合函数的求导法则

设z =f (u , v ), 而u =?(t ), v =ψ(t ), 如何求

dt

dz ？

设z =f (u , v ), 而u =?(x , y ), v =ψ(x , y ), 如何求

x z ??和y

z ??？

一、复合函数的中间变量均为一元函数的情形

定理1 如果函数u =?(t )及v =ψ(t )都在点t 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [?(t ), ψ(t )]在点t 可导, 且有

dt

dv v z dt du u z dt dz ???+???=. 简要证明1: 因为z =f (u , v )具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有 dv v

z du u z dz ??+??=

. 又因为u =?(t )及v =ψ(t )都可导, 因而可微, 即有 dt dt du du =, dt dt

dv dv =, 代入上式得

dt dt

dv v z dt dt du u z dz ???+???=

dt dt dv v z dt du u z )(???+???=,

从而

dt

dv v z dt du u z dt dz ???+???=.

简要证明2: 当t 取得增量?t 时, u 、v 及z 相应地也取得增量?u 、?v 及?z . 由z =f (u , v )、u =?(t )及v =ψ(t )的可微性, 有

)(ρo v v z u u z z +???+???=

?)()]([)]([ρo t o t dt dv v z t o t dt du u z +?+???+?+???= )()()()(ρo t o v

z u z t dt dv v z dt du u z +???+??+????+?

??=,

t

o t t o v z u z dt dv v z dt du u z t z ?+????+??+???+???=??)

()()(ρ,

令?t →0, 上式两边取极限, 即得

dt

dv v z dt du u z dt dz ???+???=. 注:0)()(0)()()(lim )(lim 222

200=+?=??+??=?→?→?dt dv dt du t v u o t o t t ρ

ρρ.

推广: 设z =f (u , v , w ), u =?(t), v =ψ(t ), w =ω(t ), 则z =f [?(t), ψ(t ), ω(t )]对t 的导数为: dt

dw w z dt dv v z dt du u z dt dz ??+??+??=.

上述

dt

dz 称为全导数. 二、 复合函数的中间变量均为多元函数的情形

定理2 如果函数u =?(x , y ), v =ψ(x , y )都在点(x , y )具有对x 及y 的偏导数, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [?(x , y ), ψ(x , y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有

x v v z x u u z x z ?????+?????=??, y

v v z y u u z y z ?????+?????=??. 推广: 设z =f (u , v , w ), u =?(x , y ), v =ψ(x , y ), w =ω(x , y ), 则

x w w z x v v z x u u z x z ?????+?????+?????=??, y

w w z y v v z y u u z y z ?????+?????+?????=??. 三、复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形

定理3 如果函数u =?(x , y )在点(x , y )具有对x 及对y 的偏导数, 函数v =ψ(y )在点y 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [?(x , y ), ψ(y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有

x u u z x z ?????=??, dy

dv v z y u u z y z ???+?????=??. 【例1】 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式:

(1)2

2)()(y u x u ??+??; (2)2222y

u x u ??+??.

解 由直角坐标与极坐标间的关系式得 u =f (x , y )=f (ρcos θ, ρsin θ)=F (ρ, θ),

其中x =ρcos θ, y =ρsin θ,

22y x +=ρ, x

y arctan

=θ. 应用复合函数求导法则, 得

x u x u x u ????+????=??θθρρ2ρθρρy u x u ??-??=ρθθθρsin cos y u u ??-??=,

y u y u y u ????+????=??θθρρ2ρθρρx u y u ??+??=ρθθθρ

cos sin ??+??=u u .

两式平方后相加, 得 22222)(1)()()(

θ

ρρ??+??=??+??u u y u x u .

再求二阶偏导数, 得

x

x u x x u x u ???????+???????=??θθρρ)()(22

θρ

θθθρρcos )sin cos (???-????=u u ρ

θρθθθρθsin )sin cos (???-????-u u 2

2222222sin cos sin 2cos ρθθρθθθρθρ??+???-??=

u u u

ρθρρθθθ2

2

sin cos sin 2??+??+

u u .

同理可得

2

222222222cos cos sin 2sin ρθθρθθθρθρ??+???+??=??u u u y u

ρθρρθθθ2

2

cos cos sin 2??+??-

u u .

两式相加, 得

2

2222222

211θρρρρ??++??=??+??u u y u x u ])([12

22θρρρρρ??+????=

u u .

全微分形式不变性:

设z =f (u , v )具有连续偏导数, 则有全微分

dv v

z du u z dz ??+??=

. 如果z =f (u , v )具有连续偏导数, 而u =?(x , y ), v =ψ(x , y )也具有连续偏导数, 则

dy

y

z dx x z dz ??+??=

dy

y v v z y u u z dx x v v z x u u z )()(????+????+????+????=

)

()(dy y

v dx x v v z dy y u dx x u u z ??+????+??+????=

dv v

z du u z ??+??=

. 由此可见, 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性.

【例2】 设z =e u sin v , u =x y , v =x +y , 利用全微分形式不变性求全微分. 解 dv v

z du u z dz ??+??=

= e u sin vdu + e u cos v dv

= e u sin v (y dx +x dy )+ e u cos v (dx +dy )

=( ye u sin v + e u cos v )dx +(xe u sin v + e u cos v )dy

=e xy [y sin(x +y )+cos(x +y )]dx + e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]dy .

第五节 隐函数的求导法则

一、一个方程的情形

隐函数存在定理1

设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程

F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有

y

x F F dx dy

-=. 求导公式证明: 将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式F (x , f (x ))≡0, 等式两边对x 求导得

0=???+??dx

dy y F x F , 由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得

y

x F F dx dy

-=. 【例1】 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值.

解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).

y x F F dx dy y x -=-=, 00

==x dx dy ;

332

222221)(y

y x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=,

10

22-==x dx y

d .

隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2

设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有

z x F F x z -=??, z

y F F y z -=??. 公式的证明: 将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F (x , y , f (x , y ))≡0, 将上式两端分别对x 和y 求导, 得 0=???

+x

z F F z x , 0=???+y z F F z

y .

因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得

z x F F x z -=??, z

y F F y z -=??.

【例2】. 设x 2+y 2+z 2-4z =0, 求

2

2x z ??.

解 设F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-4z , 则F x =2x , F y =2z -4,

z

x z x F F x z z x -=--=-=??2422,

3

222222

)2()2()2()2()2()2()2(z x x z z x x x z x z x x x z -+-=--+-=-??+-=??. 二、方程组的情形

在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数22y

x y u +=

, 22

y x x v +=.

事实上, xu -yv =0 ?u y

x v =?1=?+u y

x

x yu ?2

2y x y u +=

,

2222y x x y x y y x v +=+?=.

如何根据原方程组求u , v 的偏导数？

隐函数存在定理3

设F (x , y , u , v )、G (x , y , u , v )在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数, 又F (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, G (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, 且偏导数所组成的函数行列式:

v

G u G

v F u

F

v u G F J ????????=

??=),(),( 在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)不等于零, 则方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 它们满足条件u 0=u (x 0, y 0), v 0=v (x 0, y 0), 并有

v u v u

v x

v x

G G F F G G F F v x G F J x u -=??-=??),(),(1, v

u

v u x

u

x

u G G F F G G F F x u G F J x v -=??-=??),(),(1,

v u v u v y v y G G F F G G F F v y G F J y u -=??-=??),(),(1, v

u v

u y

u y u G G F F G G F F y u G F J y v -

=??-=??),(),(1.

隐函数的偏导数:

设方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0确定一对具有连续偏导数的 二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 则

偏导数x u ??, x v ??由方程组??

???=??+??+=??+??+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定;

偏导数y u ??, y v ??由方程组??

???=??+??+=??+??+.0,

0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定.

【例3】 设xu -yv =0, yu +xv =1, 求

x u ??, x v ??, y u ??和y

v ??.

解 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于

x u ??和x

v ??的方程组

?????=??++??=??-??+0

0x v x v x

u y x v y x u x u ,

当x 2+y 2 ≠0时, 解之得

22y x yv xu x u ++-=??, 2

2y x xv yu x v +-=??. 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于y

u ??和

y

v ??的方程组

??

???=??+??+=??--??0

0y v

x y u y u y

v y v y u x , 当x 2+y 2 ≠0时, 解之得

22y x yu xv y u +-=??, 2

2y x yv xu y v ++-=??.

【例4】 设函数x =x (u , v ), y =y (u , v )在点(u , v )的某一领域内连续且有连续偏导数, 又 0)

,()

,(≠??v u y x . (1)证明方程组

?

?

?==),()

,(v u y y v u x x

在点(x , y , u , v )的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u =u (x , y ), v =v (x , y ).

(2)求反函数u =u (x , y ), v =v (x , y )对x , y 的偏导数. 解 (1)将方程组改写成下面的形式 ?

?

?=-≡=-≡0),(),,,(0

),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F ,

则按假设 .0)

,()

,(),(),(≠??=??=

v u y x v u G F J

由隐函数存在定理3, 即得所要证的结论.

(2)将方程组(7)所确定的反函数u =u (x , y ),v =v (x , y )代入(7), 即得 ??

?≡≡)]

,(),,([)]

,(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x ,

将上述恒等式两边分别对x 求偏导数,得

???

???????+?????=?????+?????=x

v v y x u u y x v v x x u u x 01.

由于J ≠0, 故可解得 v y J x u ??=??1, u y

J x v ??-=??1.

同理, 可得

v x J y u ??-=??1, u

x

J y v ??=??1.

第六节 多元函数微分学的几何应用

一、一元向量值函数及其导数

空间曲线Γ的参数方程为：??

?

??===)()()

(t z t y t x ωψ?，],[βα∈t

此方程也可以写成向量形式。若记

k z j y i x r

++=，k t j t i t t f )()()()(ωψ?++=→，

于是

→

=)(t f r

，],[βα∈t ，

这就确定了一个从实数到向量的一个映射。

定义1：设数集R D ?，则映射n R D f →:

为一元向量值函数，记作

→

=)(t f r

，D t ∈

其中数集D 称为函数的定义域，t 称为自变量，r

称为因变量。

在3

R 中，→

)(t f 可表示为：

k t f j t f i t f t f

)()()()(321++=→

，D t ∈

(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件

第七章 多元函数的微分学

第七章多元函数的微分学 一、多元函数微分学网络图 二、内容与要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。

4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 5.会求多元隐函数的偏导数。 6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件， 了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值， 会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 重点多元函数偏导数和全微分的概念，多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。 难点多元复合函数二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。 三、概念、定理的理解与典型错误分析 1．求多元函数极限的方法 （1）利用初等多元函数的连续性，即若是初等函数，在的定义域中，则 注：所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式. （2）利用多元函数极限的四则运算。 （3）转化为一元函数的极限，利用一元函数的极限来计算. （4）对于证明或求时，感觉极限可能时零， 而直接又不容易证明或计算，这时可用夹逼定理，即而 由夹逼定理知从而 2．判断多元函数极限不存在的方法 （1）选取两条特殊的路径，而函数值的极限存在，但不相等，则不存在。

注意： 与的区别，前面两个本质是两次求一元函数的极限， 我们称为求累次极限，而最后一个是求二元函数的极限，我们称为求二重极限。 例1 而知不存在. 例2 在原点的两个累次极限都不存在，但是 由于，因此. 由例1知两个累次极限存在，但二重极限不存在，由例2知两个累次极限不存在， 但二重极限存在，但我们有下面的结论。 定理7。1 若累次极限和二重极限都存在，则三者相等。 （2）推论。若存在且不相等，则不存在。 3．求多元函数的偏导数

第十七章多元函数微分学习题课

第十七章 多元函数微分学习题课 一 疑难问题与注意事项 1.(,)z f x y =在),(000y x P 可微的等价定义： 1）0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ?=+?+?-=?+?+，0 () lim 0o ρρρ →=； 2）00000 [(,)(,)] lim 0x y z f x y x f x y y ρρ →?-?+?=； 3）, y x y B x A z ?+?+?+?=?βα()() ()() ,0,0,0,0lim lim 0x y x y αβ??→??→= =． 2.求(,)f x y 在00(,)x y 处的偏导数方法小结： 答 1）利用定义求（主要适用于分段函数的分段点处的偏导数）： 0000000 (,)(,) (,)lim x x f x x y f x y f x y x ?→+?-=?， 0000000 (,)(,) (,)lim y y f x y y f x y f x y y ?→+?-=?. 2）转化为一元函数的导数： ()0 000,(,)x x x df x y f x y dx ==，() 000,(,)y y y df x y f x y dy == . 例如，2(,)(f x y x y =+-(1,1)x f . 解 () ()211 ,1(1,1)2x x x d x df x f dx dx ==== =. 3）先求偏导函数，在代值，即 ()0 00(,)(,),x x x y f x y f x y =，0 00(,) (,)(,)y y x y f x y f x y =. 3.求(,)z f x y =（初等函数不含分段点）的偏导函数方法小结： 答 1）求 z x ??，把y 当常数，对x 求导，求z y ??，把x 当常数，对y 求导. 2）运用轮换性，若在(,)z f x y =中，把x 换成y ， y 换成x ，(,)z f x y =不变，则称(,)z f x y =关于x 和y 具有轮换性.若已经求出 z x ??，只要在z x ??把x 换成y ， y 换成x ，

多元函数微分学知识点梳理

第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理

高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。

多元函数微分法word版

§5.3 多元函数微分法 一、复合函数微分法――链式法则 模型1. ()()()z f u v u u x y v v x y ==，，，，=， z z u z z z u z x u x x y u y y νννν??????????=?+?=?+???????????； 模型2. ()()u f x y z x y =，，，z=z ， x z y z u z f f x x u z f f y y ???''=+????? ???''=+???? 模型3. ()()()u f x y z y y x z x ===，，，，z ()()x y z du f f y x f z x dx '''''=++ 模型4. ()()()w f u v u u x y z v v x y z ===，，，，，，， u v u v u v w u v f f x x x w u v f f y y y w u v f f z z z ????''=+????? ????''=+? ????????''=+????? 还有其他模型可以类似处理。 【例1】 设()u f x y z =，，有连续的一阶偏导数，又函数()y y x =及()z z x =分别由 下列两式确定2xy e xy -=和0sin x z x t e dt t -= ?，求du dx 。 解 根据模型3. x y z du dy dz f f f dx dx dx '''=++

由2xy e xy -=两边对x 求导，得0xy dy dy e y x y x dx dx ???? +-+= ??????? 解出 dy y dx x =-（分子和分母消去公因子()1xy e -） 由0 sin x z x t e dt t -= ? 两边对x 求导，得()()sin 1x x z dz e x z dx -??=- ?-?? 解出 ()() 1sin x e x z dz dx x z -=- - 所以 ()()1sin x e x z du f y f f dx x x y x z z ??-???=-+-?? ??-??? 【98】设1 ()()z f xy y x y x ?=++，f ，?具有二阶连续导数，则 2________z x y ?=??。 答案：()()()yf xy x y y x y ??'''''++++ 注：①混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关； ②此题中f 和?均为一元函数。 【05】设函数(,)()()()d x y x y u x y x y x y t t ??ψ+-=++-+? ，其中函数?具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有（ ） （A ）2222u u x y ??=-??；（B ）2222u u x y ??=??；（C ）222u u x y y ??=???；（D ）222 u u x y x ??=??? 答案：B 全微分形式不变性 例：利用全微分形式不变性求sin u z e v =，u xy =，v x y =+的偏导数。 【06】设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式 2222 0z z x y ??+=??

第7章 多元函数微分学

§7.1 空间解析几何基本知识 教学内容提要 1. 空间直角坐标系； 2. 空间两点间的距离公式与两点连线的中点坐标公式； 3. 简单的曲面方程。 教学目的与要求 1. 了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及两点连线的中点公式； 2. 了解常用二次曲面的方程及其图形。 教学重点与难点 常用二次曲面的方程及其图形的简单描绘. 教学时数 4 教学过程： 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的建立 过空间定点0，作三条互相垂直的数轴，他们都以0为原点 且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为x 轴，y 轴， z 轴，统称坐标轴。通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，z 轴 z 在铅垂方向，他们的指向符合右手法则. 2、空间两点间的距离公式 空间任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M 21221221221)()()(z z y y x x M M -+-+-= 特殊地，点),,(z y x M 与坐标原点)0,0,0(O 的距离为222z y x OM ++= 。 例1 在z 轴求与两点)7,1,4(-A 和)25,3(-B 等距离的点的坐标。 二、曲面及其方程的概念 1．曲面方程 在空间解析几何中，任何曲面都可以看作满足一定条件的点的几何轨迹 ，如果曲面S 上任一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ，不在曲面S 上的点的坐标都不满足该方程，则称此方程0),,(=z y x F 为曲面的方程，而曲面S 就叫做方程的图形。 例2 动点),,(z y x P 与两定点)1,3,2(),0,2,1(21-P P 的距离相等，求此动点P 的轨迹。 三、几种常见的曲面及其方程 1、平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示 .任一三元一次方程Ax +By +Cz +D =0的图形总是一个平面. 例3 求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为

数学分析教案_(华东师大版)第十七章__多元函数微分学

第十七章多元函数微分学 教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及 偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数：18学时 § 1 可微性 一．可微性与全微分： 1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2．全微分: 例1 考查函数在点处的可微性 . P107例1 二.偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.

3.求偏导数: 例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 . 例5. 求偏导数. 例6. 求偏导数. 例7. 求偏导数, 并求. 例8. 求和. 解=, =. 例9 证明函数在点连续 , 并求和. 证 . 在点连续 . ,

不存在 . 三.可微条件: 1.必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 , 和存在 , 且 . ( 证 ) 由于, 微分记为 . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例10考查函数 在原点的可微性 . [1]P110 例5 . 2.充分条件:

Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在 , 且和在点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证 ) P111 Th 3 若在点处连续, 点存在 , 则函数在点可微 . 证 . 即在点可微 . 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例11 验证函数在点可微 , 但和在点处不连续 . (简证,留为作业) 证

多元函数微分法

第十章 多元函数微分学 一、学习要点 1.关于二元函数 会求二元函数的定义域和相应的函数值。求二元函数定义域及函数值的方法与一元函数的方法相似。 2.关于二元函数微分 (1)熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法，尤其是形如z=f (x 2－y 2 ，e xy )等的复合函数的偏导数。能熟练地求全微分。 偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时，对一个变量求导时，将另一变量视为常数。如求函数32ln z y x u ++=的偏导数 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) 复合函数求偏导数是难点。一般用链式法则，即z=f (u ，v)，u=u(x ，y)，v=v(x ，y)，有 y v v z y u u z y z x v v z x u u z x z ????????????????????+=+= 具体情况有两种： （一）全部函数关系都给出：这时可按前边方法求偏导数，如求二元函数 )ln(2v u z +=，xy e v y x u =+=,22. 的偏导数y z x z ????,，可以把u ，v 代入z 中，再求偏导数，即 z=ln(x 2+y 2+e 2xy )，求偏导数有 xy xy e y x ye x x z 222222+++=?? xy xy e y x xe y y z 222222+++=?? （二）部分函数关系没有给出：此时只有用链式法则。如求函数z=f(xy ，x 2+y 3)，

的一阶偏导数，则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy ，v=x 2+y 3，用链式法则 x v f y u f x v v z x u u z x z 2??????????????+=+=，23y v f x u f y z ??????+= 上例也可以用链式法则，有 xy xy xe v u v y v u y z ye v u v x v u x z 2222221,221+++=+++=???? 求隐函数的偏导数，是复合函数求偏导数的应用，方法仍然同一元隐函数的求导. 如求函数32ln z y x u ++=的偏导数. 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) (2)知道函数连续、可微、偏导数存在的关系。 3.关于偏导数的几何应用 掌握求曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线的方法. (1)设空间曲线方程为x =x (t)，y =y (t)，z = z (t)，在t=t 0处的切线方向为 ))(),(),((000t z t y t x l '''=ρ，则在t 0处曲线的 切线方程为 )()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='- 法平面方程为 )())(()())(()())((000000t z t z z t y t y y t x t x x '-+'-+'-=0 (2)曲面F (x ，y ，z)=0(或z=f (x ，y))，在曲面上的点P(x 0，y 0，z 0)处的法方向为)}1,,{(},,{),,(),,(000000z y x y x z y x z y x f f F F F n -'''''=或ρ，则在点(x 0，y 0，z 0)处的 切平面方程为 0)()()(000=-'+-'+-'z z F y y F x x F z y x 法线方程为 z y x F z z F y y F x x ' -='-='-000

§8.5复合函数微分法

§8.5多元复合函数微分法 复习：一元复合函数的求导法则 设)]([x f y ?=是由)(u f y =和)(x u ?=复合而成，则)()(x u f dx du du dy dx dy ?'?'=?=。 8.5.1全导数 定理1 若函数)(x u ?=及)(x v ψ=都在点x 可导，函数)v ,u (f z =在对应点)v ,u ( 处可微，则复合函数)](),([x x f z ψ?=在点x 可导，且 x d v d v z x d u d u z dx z d ? ??+???=（全导数公式）。 ① 证明：给x 以增量x ?，则u 、v 得相应的增量u ?、v ?， 从而)v ,u (f z =有全增量) ,() ,(v u f v v u u f z -?+?+=?， ∵)v ,u (f z =在)v ,u (处可微， ∴)(ρ+???+???= ?o v v z u u z z ，其中22)()(v u ?+?=ρ。 ∵)(x u ?=、)(x v ψ=都在点x 可导， ∴)(x u ?=、)(x v ψ=都在点x 必连续， 即当0→?x 时，0→?u ，0→?v ，从而0lim 0 =ρ→?x 。 ∵ x o x v v z x u u z x z ?ρ+????+????=??)(， 而x o o x x ?ρ?ρρ=ρρ→?→?)(lim )(lim 00])()([lim )(lim 220 0x v x u o x x ??+??±?ρρ=→?→? 0])()([022=+±?=dx dv dx du ， ∴ x o x v v z x u u z x z x x x x ?ρ+????+????=??→?→?→?→?) (lim )(lim )(lim lim 0000， 即 x d v d v z x d u d u z dx z d ? ??+???=。

最新多元函数微分法及其应用习题及答案

第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

第九章多元函数微分法及其应用教案

第九章多元函数微分法及其应用 【教学目标与要求】 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 【教学重点】 1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分； 3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法； 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 【教学难点】 1、二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式； 5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。 【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6 第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

第七章多元函数微分高等数学

第七章 多元函数微分学 一、内容分析与教学建议 （一） 本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方 面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。 在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。 （二） 多元函数、极限、连续 先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点0P P →方式的异同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。在理解极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。 （三） 偏导数与全微分 1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。 2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断),(y x f z =可微，即求极限[ ]ρ y y x z x y x z z y x y x ?+?-?→?→?),(),(lim 0 是 否为0。 3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式dy y z dx x z dz ??+??= 之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。 （四） 复合函数求偏导 1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(v u f z =，)(x u ?=，)(x v ?=从中让学生理解口诀的含义。

多元函数微分学复习题及标准答案

多元函数微分学复习题及答案

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第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题 1. 极限lim x y x y x y →→+00 242= （提示：令22 y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 12 (D) 存在且不等于0或1 2 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =， 2222 2 lim lim 0(0,0)1x x y kx kx f x k x k →→→===++ ，故在220x y +=，函数亦连续.所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续.） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 + (B) - +y x y 22 (C) y x y 22 + (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x '(,)21= （ A ） （A ）- 14 （B ）14 （C ）-12 （D ）1 2

多元函数微分学总结

多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

`第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念

①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。

多元函数微分学复习题及答案

多元函数微分学复习题 及答案 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令22y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=?????110 00，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???? ?22 2222000，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22

多元函数微分法及其应用

第九章多元函数微分法及其应用 一、基本要求及重点、难点 1. 基本要求 (1)理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。 (2)了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。 (3)理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件 和充分条件。 (4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。 (5)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。 (6)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。 (7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。 (8)理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉 格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 2. 重点及难点 （1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。 （2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。。 二、内容概述 多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别注意它们之间的一些本质差别。 1.多元函数的极限和连续 (1)基本概念 1)点集和区域。 2)多元函数的定义、定义域。 3)二元函数的极限、连续。 (2)基本定理 1)多元初等函数在其定义域内是连续的。 2)多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值 M和最小值m之间的任何值。 2.多元函数微分法 (1)基本概念

偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。 (2) 计算方法 1) 偏导数：),(y x f z =在),(00y x 处对x 的偏导数 x x x z =??，就是一元函数 ),(0y x f z = 在0x x =处的导数；对y 的偏导数 x x x z =??（同理）。 2) `全微分：),(y x f z =的全微分dy y z dx x z dz ??+??= 3) 复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同 条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。 A. 设),(v u f z =，)(),(t v t u ψ?==，则全导数dt dv v z dt du u z dt dz ??+ ??=。 B. 设),(v u f z =，),(),,(y x v y x u ψ?== 则： x v v z x u u z x z ????+ ????=??，y v v z y u u z y z ????+????=??。 4) 隐函数求导法则： A. 设函数)(x f y =由隐函数0),(=y x F 确定，则 y x F F dx dy -=。 B. 设函数),(y x f z =由隐函数0),,(=z y x F 确定，则 z x F F dx dz -=，z y F F dy dz - =。 C. 设函数)(),(x g z x f y ==由隐函数方程组?? ?==0 ),,(0 ),,(z y x G z y x F 确定，从 ???? ?='+'+='+'+0)()(0 )()(x g G x f G G x g F x f F F z y x z y x ，求出导数)(),(x g x f ''。 (3) 多元函数连续、可导、可微的关系 (4) 基本定理

(完整word版)(整理)数学分析教案(华东师大版)第十七章多元函数微分学

第十七章多元函数微分学 教学目的： 1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系； 2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数：18 学时 § 1 可微性 一．可微性与全微分： 1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2 ．全微分: 例 1 考查函数在点处的可微性. P107 例 1 二. 偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17 —1.

3.求偏导数: 例 2 , 3 , 4 . P109 —110 例 2 , 3 , 4 . 例 5 . 求偏导数. 例 6 . 求偏导数. 例7 . 求偏导数, 并求. 例8 . 求和. =. 例9 证明函数在点连续, 并求和. . 在点连续.

三. 可微条件 : 1. 必要条件 : Th 1 设 为函数 定义域的内点 . 在点 可微 和 存在 , 且 . （ 证 ） 由于 , 微分记为 定理 1 给出了计算可微函数全微分的方法 例 10 考查函数 2. 充分条件 : 不存在 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分 . 在原点的可微性 [1]P110 例 5 .

Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在, 且和在 点处连续. 则函数在点可微. （证） P111 Th 3 若在点处连续, 点存在 则函数在点可微. . 即在点可微. 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件. 验证函数在点可微, 但和在点处不连续. （简证, 留为作业） 证

《数学分析》第十七章 多元函数微分学

第十七章 多元函数微分学 ( 1 6 时 ) §1 可微性 ( 4 时 ) 一． 可微性与全微分： 1． 可微性：由一元函数引入. ))()((22y x ?+?ο亦可写为y x ?+?βα, →??) , (y x ) 0 , 0 (时→) , (βα) 0 , 0 (. 2． 全微分: 例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性. [1]P 105 E1 二. 偏导数: 1. 偏导数的定义、记法: 2. 偏导数的几何意义: [1]P 109 图案17—1. 3. 求偏导数: 例2 , 3 , 4 . [1]P 142—143 E2 , 3 , 4 . 例5 设 . 0 , 0, 0 ,),(222222 2 3? ????=+≠+++=y x y x y x y x y x f 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (x f 和) 0 , 0 (y f . 证 ρ θθρρρθ ρθρ) sin cos (lim ),(lim 2320sin ,cos ) 0,0(),(+===========→==→y x y x y x f =)0,0(0)sin cos (lim 2 30 f ==+→θθρρρ. ),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 . ) 0 , 0 (x f =0||lim )0,0()0,(lim 300==-→→x x x x f x f x x , ) 0 , 0 (y f ||lim )0,0(),0(lim 2 00y y y y f y f y y →→=-= 不存在 . Ex [1]P 116—117 1⑴—⑼，2 — 4 . 三. 可微条件: