三年级奥数-一笔画
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2019-2020年小学三年级奥数下册多笔画及应用问题教案发布:佚名时间:-9-25 15:39:00 来源:京翰教育中心录入:杨人气:1380 【文字：大小】多笔画及应用问题 上一讲中，我们主要研究了利用奇偶点来判别一笔画，学习了利用一笔画来研究一些简单的实际问题.然而，实际生活中，许多问题的图并不能一笔画出，也就是说，一笔画理论不能直接用来解决这些问题.因此，在一笔画的基础上，我们有必要对这一类的问题作一些深入研究。 一、多笔画 我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.首先，我们来考虑一个不能一笔画成的图，至少用几笔才能画完呢？（为了研究的方便，我们仍然只研究连通图，非连通图可转化为连通图.） 下面，我们就用简单熟悉的图来研究这个问题.通过前面的学习我们已经知道：当奇点个数不是0或2时，图不能一笔画出.因此，我们可以猜想；奇点个数是研究多笔画问题的关键。 观察下面的图形，并列出奇点的个数与笔画数（至少几笔画完此图）的关系表格。 为了表示得清楚一些，我们把图中第一笔画出的部分用实线表示，第二笔画出的部分用虚线表示，第三笔画出的部分用点线表示，其余部分请大家自己画出.
奇点个数与笔画数的关系可列表如下： 容易看出，笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成.公式如下： 奇点数÷2=笔画数，即2n÷2=n。 细心的同学可能会问：2n是表示一个偶数，但假若有奇数个奇点怎么办？实际上，这种情况不可能出现，连通图中，奇点的个数只能是偶数.想一想，这是为什么呢？ 例1 观察下面的图，看各至少用几笔画成？ 分析解答 （1）图中有8个奇结点，因此需用4笔画成。 （2）图中有12个奇点，需6笔画成。 （3）图是无奇点的连通图，可一笔画成。 例2 判断下面的图能否一笔画成；若不能，你能用什么方法把它改成一笔画？ 分析解答
一笔画与多笔画 知识框架 一、一笔画的认识 所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法。 什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复. 我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点. 二、一笔画问题 （1）能一笔画出的图形必须是连通的图形； （2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点； （3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点； （4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． 三、多笔画问题 我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成. 重难点 （1）知道什么样的的是奇点？什么样的点是偶点。 （2）知道什么样的图形可以一笔画出。 （3）不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？ 例题精讲 【例 1】我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪
些点是偶点？哪些点是奇点？ 【巩固】 下图中，哪些点是奇点，哪些点是偶点？ 【例 2】 观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指 明画法. 【巩固】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？ J O I H G F E D C B A G F E D C B A
一、一笔画的认识 所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法。 什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复. 我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点. 二、 一笔画问题 （1） 能一笔画出的图形必须是连通的图形； （2） 凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这 点； （3） 凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作 为终点； （4） 奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． 三、多笔画问题 我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成. （1） 知道什么样的的是奇点？什么样的点是偶点。 （2） 知道什么样的图形可以一笔画出。 （3） 不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？ 重难点 知识框架 一笔画与多笔画
【例 1】 判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画． 【例 2】 同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜， 要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就（填“能”或“不能”）完成任务. 【例 3】 右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一 个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？ 图a 图c 例题精讲
第十七讲 一笔画问题 小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？ 知识点: 1.一笔画的概念:如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这 种图形就叫一笔画。那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。 2.一笔画的规律 3.奇点和偶点 例【1】 下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？ （1） （2） （3） （4） 分析 图（1）一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。 经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。 图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。 图（4）也可以一笔画出，且从任何一点出发都可以。 通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同。由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。 再看图（1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起。而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画成。 这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。 例【2】 下面各图能否一笔画成？ （1） （2） （3） A E C D B C D A A B C D B F
分析 图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与 两条线相连的偶点。 关于图（2），经过反复试验，也可找到画法：由 A B C A D C 。 图中B 、D 为偶点，A 、C 为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。 经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有4 个奇点，5个偶点。 解 图（1）、 （2）可以一笔画。 这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关系。 如果图形只有偶点，可以以任意一点为起点，一笔画出。如果只有两个奇点，也可以一笔画出，但必须从奇点出发，由另一点结束。 如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。 例【3】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？ 分析 图（1）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由A 开始或由B 开始到B 结束或到A 结束。 图（2）有10个奇点，大于2，不能一笔画成。 图（3）有4个奇点，1个偶点，因此也不能一笔画成。 解 图（1）的画法见下图。 例【4】 下图中，图（1）至少要画几笔才能画成？ D （1）
三年级一笔画(一) 如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重 复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。显然，在下面的图形中，(1)(2)不能一笔画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画。 同学们可能会问：为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市，布勒格尔河从城中穿过，河中有两个岛，18世纪时河上共有七座桥连接A，B两个岛以及河的两岸C，D(如下图)。 所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，怎样走才能成功？ 当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但是都没成功。后来，这个问题引起了大数学家欧拉(1707-1783)的兴趣，许多人的不成功促使欧拉从反面来思考问题：是否根本就不存在这样一条路线呢？经过认真研究，欧拉终于在1736年圆满地解决了七桥问题，并发现了一笔画原理。欧拉是怎样解决七桥问题的呢？因为岛的大小，桥的长短都与问题无关，所以欧拉把A，B两岛以及陆地C，D用点表示，桥用线表示，那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了。
我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点。如下图中，A，B，C，E，F，G，I是偶点，D，H，J，O是奇点。 欧拉的一笔画原理是： (1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)； (2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点； (3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。 利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。因为图中A，B，C，D都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。 顺便补充两点： (1)一个图形的奇点数目一定是偶数。 因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。如果一个图形中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数)，与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端点的总数是奇数，这与前面的结论矛盾。所以一个图形的奇点数目一定是偶数。
课题一笔画 教学目标 重点 难点 如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。 为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市，布勒格尔河从城中穿过，河中有两个岛，18世纪时河上共有七座桥连接A，B两个岛以及河的两岸C，D(如下图)。 所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，怎样走才能成功？ 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点。 欧拉的一笔画原理是：
(1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)； (2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点； (3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。 根据一笔画原理，说一说奥运会的“会标”图9.11是一笔画吗? 一辆摩托车从A站出发，能经过所有线路并且不重复走完所有的路吗？最后会到哪个站 例1：有三个“小山”，山脚下有B,C,D,E,F 五个点，如果要一次走完全部路段，且不重复，应以哪点为“出发点”?哪点为“终点”?(可提出二个不同方案)
练一练：图中是一个社区公园的平面图，要使社区群众走遍公园每一条路，且不重复，出人口应设在哪个交点上?请你在这个位置标上字母A和B. 例2：六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D。已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？ 再回头看看七桥问题，能否转换成一笔画问题呢 例3：有三个小岛，分别有七座桥相通请回答，能不能一次不重复走完这七座桥呢?
小学三年级奥数28一笔画 本教程共30讲 第28讲一笔画(一) 如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重 复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。显然，在下面的图形中，(1)(2)不能一笔画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画。 同学们可能会问：为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市，布勒格尔河从城中穿过，河中有两个岛，18世纪时河上共有七座桥连接A，B两个岛以及河的两岸C，D(如下图)。 所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，怎样走才能成功？ 当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但是都没成功。后来，这个问题引起了大数学家欧拉(1707-1783)的兴趣，许多人的不成功促使欧拉从反面来思考问题：是否根本就不存在这样一条路线呢？经过认真研究，欧拉终于在1736年圆满地解决了七桥问题，并发现了一笔画原理。欧拉是怎样解决七桥问题的呢？因为岛的大小，桥的长短都与问题无关，所以欧拉把A，B两岛以及陆地C，D用点表示，桥用线表示，那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了。
我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点。如下图中，A，B，C，E，F，G，I是偶点，D，H，J，O是奇点。 欧拉的一笔画原理是： (1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)； (2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点； (3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。 利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。因为图中A，B，C，D都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。 顺便补充两点： (1)一个图形的奇点数目一定是偶数。 因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。如果一个图形中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数)，与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端点的总数是奇数，这与前面的结论矛盾。所以一个图形的奇点数目一定是偶数。 (2)有K个奇点的图形要K÷2笔才能画成。
一、 一笔画的认识 所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法. 什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复. 我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点. 二、 一笔画问题 （1） 能一笔画出的图形必须是连通的图形； （2） 凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这 点； （3） 凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作 为终点； （4） 奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． 三、 多笔画问题 我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成. （1） 知道什么样的的是奇点？什么样的点是偶点. （2） 知道什么样的图形可以一笔画出. （3） 不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？ 知识框架 重难点 一笔画与多笔画
【例 1】 下图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从A 、B 出发，以相同的速度走遍所有的 街道，最后到达C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先 到达C ？ 【例 2】 右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一 个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？ 【巩固】 右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如 果能，应从哪开始走？ E C D B A 【例 3】 下图中的每条线都表示一条街道，线上的数字表示这条街道的里数.邮递员从邮局出发，要走遍 各条街道，最后回到邮局.问：邮递员怎样走，路线最合理？ 例题精讲
知识要点 一笔画问题是一种有名的数学游戏．所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复． 我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点． 1、判断图形能否一笔画的规律： ⑴ 能一笔画出的图形必须是连通的图形． ⑵ 凡是只由偶点组成的连通图形，一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点为起点．最后仍回到这点． ⑶ 凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点为起点．另一个奇点为终点． ⑷ 奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． 2、我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，奇点个数必为偶数，如果有2n 个奇点(n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成．公式是：奇点数2÷=笔画数，即22n n ÷=． 一笔画
一笔画 【例1】判断下列各图能否一笔画出，并说明理由。 【例2】判断下列各图能否一笔画出，并说明理由。 (6) (5) (4) (3) (2) (1) 多笔画 【例3】下面各图至少需要几笔才能画成？ （3） （2） （1）
【例4】判断图中的三个图形各需要几笔才能画出？请把能一笔画的图形的画法用字母和箭头表示出来。 【例5】观察下面的图形，判断其需要几笔才能画出？ 多笔画改一笔画 【例6】下图中的两个图形均不能一笔画出，你能将原图形中的某一线段取消使之能够一笔画成吗？ 【例7】下图能一笔画成吗？如果不能，请你添上或减去一根线段使它能一笔画出来。
【例8 】 判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法，若不能，请说明需要几笔才能画出，并请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形． F I H E B A G 图a D C 图b J I H G D C L K F E B A 图c H G C F E B A 【例9】将下图改为一笔画． 生活中的一笔画 【例10】（第十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题（小学组））同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻的旗帜色彩不同， 则贝贝至少需要＿＿＿种颜色的旗子。如果贝贝从某营地出发，不走重复的路就______（填“能” 或“不能”）完成这项任务。 【例11】下图是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每条路且不重复，问出、入口应设在哪里？ H I F E D C B A
一笔画问题（教师必备） 一、欧拉的一笔画原理是： (1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)； (2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点； (3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。 利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。因为图中A，B，C，D都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。 二、顺便补充两点： (1)一个图形的奇点数目一定是偶数。 因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。如果一个图形中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数)，与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端点的总数是奇数，这与前面的结论矛盾。所以一个图形的奇点数目一定是偶数。 (2)有K个奇点的图形要K÷2笔才能画成。 例如：下页左上图中的房子共有B，E，F，G，I，J六个奇点，所以不是一笔画。如果我们将其中的两个奇点间的连线去掉一条，那么这两个奇点都变成了偶点，如果能去掉两条这样的连线，使图中的六个奇点变成两个，那么新图形就是一笔画了。将线段GF和BJ 去掉，剩下I和E两个奇点(见右下图)，这个图形是一笔画，再添上线段GF和BJ，共需三笔，即(6÷2)笔画成。 一个K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道K笔画有2K个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点。如左下图中的B，C两个奇点在右下图中都变成了偶点。所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画。
1、掌握奇点与偶点。 2、掌握一笔画的基本方法。 学习目标： 1、培养学生的观察能力、动手操作能力、初步了解数形思想。 2、初步培养学生归纳总结的思想。 知识引入： 沿着俄国和波兰的边界，有一条长长的布格河。这条河流经俄国的古城康尼斯堡——它就是今天俄罗斯西北边界城市加里宁格勒。 布格河横贯康尼斯堡城区，它有两条支流，一条称新河，另一条叫旧河，两河在城中心会合后，成为一条主流，叫做大河。在新旧两河与大河之间，夹着一块岛形地带，这里是城市的繁华地区。全城分为北、东、南、岛四个区，各区之间共有七座桥梁联系着。 人们长期生活在河畔、岛上，来往于七桥之间。有人提出这样一个问题：能不能一次走遍所有的七座桥，而每座桥只准 经过一次？问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。最后，人们只好把这个问题向俄国科学院院士欧拉提出，请他帮助解决。小朋友，你能解决它吗？ 下列各图各有几个单数点，几个双数点？ 3() 2() 1() 一笔画 我数数各个点引出几条线段就能判断了。
数一数下列各图有几个单数点，几个双数点？ 下列各图能一笔画吗？为什么？动手画一画。 下列图形中能一笔画的请一笔画，不能一笔画的，请说明原因。 我可以动手试试！ 动手试，还真复杂，有没有什么简单的规律可循呢？
邮递员叔叔 将下图改成一笔画。 判断下面的图形是否可以一笔画出？如果不能，请把它改成可以一笔画的图形。 邮递员叔叔向11个地点送信，一次送完，怎样走，才能尽快地把信送到？ 同学们，真聪明。那你们动手试试，看谁改动方法多。 我可以把所有点都改成双数点。 我还可以只保留2个单数点，其余点都保留双数点。 你还能解决这个问题吗？
小学奥数著名问题之——一笔画问题习题集
一笔画问题（教师必备） 一、欧拉的一笔画原理是： (1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)； (2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点； (3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。 利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。因为图中A，B，C，D都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。 二、顺便补充两点： (1)一个图形的奇点数目一定是偶数。 因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。如果一个图形
中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数)，与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端点的总数是奇数，这与前面的结论矛盾。所以一个图形的奇点数目一定是偶数。 (2)有K个奇点的图形要K÷2笔才能画成。 例如：下页左上图中的房子共有B，E，F，G，I，J六个奇点，所以不是一笔画。如果我们将其中的两个奇点间的连线去掉一条，那么这两个奇点都变成了偶点，如果能去掉两条这样的连线，使图中的六个奇点变成两个，那么新图形就是一笔画了。将线段GF和BJ去掉，剩下I和E两个奇点(见右下图)，这个图形是一笔画，再添上线段GF和BJ，共需三笔，即(6÷2)笔画成。 一个K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才 能变成一笔画呢？我们知道K笔画有2K个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那
第十八讲多笔画及应用问题 上一讲中，我们主要研究了利用奇偶点来判别一笔画，学习了利用一笔画来研究一些简单的实际问题.然而，实际生活中，许多问题的图并不能一笔画出，也就是说，一笔画理论不能直接用来解决这些问题.因此，在一笔画的基础上，我们有必要对这一类的问题作一些深入研究。 一、多笔画 我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.首先，我们来考虑一个不能一笔画成的图，至少用几笔才能画完呢？（为了研究的方便，我们仍然只研究连通图，非连通图可转化为连通图.） 下面，我们就用简单熟悉的图来研究这个问题.通过前面的学习我们已经知道：当奇点个数不是0或2时，图不能一笔画出.因此，我们可以猜想；奇点个数是研究多笔画问题的关键。 观察下面的图形，并列出奇点的个数与笔画数（至少几笔画完此图）的关系表格。 为了表示得清楚一些，我们把图中第一笔画出的部分用实线表示，第二笔画出的部分用虚线表示，第三笔画出的部分用点线表示，其余部分请大家自己画出. 奇点个数与笔画数的关系可列表如下： 容易看出，笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成.公式如下：奇点数÷2=笔画数，即2n÷2=n。
细心的同学可能会问：2n是表示一个偶数，但假若有奇数个奇点怎么办？实际上，这种情况不可能出现，连通图中，奇点的个数只能是偶数.想一想，这是为什么呢？ 例1观察下面的图，看各至少用几笔画成？ 分析解答 （1）图中有8个奇结点，因此需用4笔画成。 （2）图中有12个奇点，需6笔画成。 （3）图是无奇点的连通图，可一笔画成。 例2判断下面的图能否一笔画成；若不能，你能用什么方法把它改成一笔画？ 分析解答 图中共有4个奇点，因此，显然无法一笔画成.要想改为一笔画，关键在于减少奇点的数目（把奇点的个数减少到0或2），具体方法有两种： ①去边.即将多余的两奇点间的边去掉.这种方法只适用于多余的两奇点间有边相连的情况，如对下图就不适用. 本题中，可去掉连结奇点B、C的边BC。 ②添边.即在多余的两奇点间添上一条边.本题中，可以在奇点A、C间添上边AC.添边的方法适用于任意多笔画的图。 改为一笔画时，具体实现的方案很多，如本题中，我们可以通过上述两种方法把奇点个数减少到0。 小结：对于有2n（n为大于1的自然数）个奇点的连通图来说，改为一笔画的方法一般是：在多余的n-1（或n）对奇点间，各添上一条边；如果这n-1对（或n对）奇点间都有边相连，也可以在这n-1（或n）对间各去掉一条边。 例3将下图改为一笔画.
小学三年级奥数下册多笔画及应用问题教案 发布:佚名时间:2009-9-25 15:39:00 来源:京翰教育中心录入:杨人气:1380 【文字：大小】多笔画及应用问题 上一讲中，我们主要研究了利用奇偶点来判别一笔画，学习了利用一笔画来研究一些简单的实际问题.然而，实际生活中，许多问题的图并不能一笔画出，也就是说，一笔画理论不能直接用来解决这些问题.因此，在一笔画的基础上，我们有必要对这一类的问题作一些深入研究。 一、多笔画 我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.首先，我们来考虑一个不能一笔画成的图，至少用几笔才能画完呢？（为了研究的方便，我们仍然只研究连通图，非连通图可转化为连通图.） 下面，我们就用简单熟悉的图来研究这个问题.通过前面的学习我们已经知道：当奇点个数不是0或2时，图不能一笔画出.因此，我们可以猜想；奇点个数是研究多笔画问题的关键。 观察下面的图形，并列出奇点的个数与笔画数（至少几笔画完此图）的关系表格。 为了表示得清楚一些，我们把图中第一笔画出的部分用实线表示，第二笔画出的部分用虚线表示，第三笔画出的部分用点线表示，其余部分请大家自己画出.
奇点个数与笔画数的关系可列表如下： 容易看出，笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成.公式如下： 奇点数÷2=笔画数，即2n÷2=n。 细心的同学可能会问：2n是表示一个偶数，但假若有奇数个奇点怎么办？实际上，这种情况不可能出现，连通图中，奇点的个数只能是偶数.想一想，这是为什么呢？ 例1 观察下面的图，看各至少用几笔画成？ 分析解答 （1）图中有8个奇结点，因此需用4笔画成。 （2）图中有12个奇点，需6笔画成。 （3）图是无奇点的连通图，可一笔画成。 例2 判断下面的图能否一笔画成；若不能，你能用什么方法把它改成一笔画？ 分析解答
三年级数学奥数讲座一笔画（一） 如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重 复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。显然，在下面的图形中，(1)(2)不能一笔画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画。 同学们可能会问：为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市，布勒格尔河从城中穿过，河中有两个岛，18世纪时河上共有七座桥连接A，B两个岛以及河的两岸C，D(如下图)。 所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，怎样走才能成功？ 当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但是都没成功。后来，这个问题引起了大数学家欧拉(1707-1783)的兴趣，许多人的不成功促使欧拉从反面来思考问题：是否根本就不存在这样一条路线呢？经过认真研究，欧拉终于在1736年圆满地解决了七桥问题，并发现了一 1 / 4
笔画原理。欧拉是怎样解决七桥问题的呢？因为岛的大小，桥的长短都与问题无关，所以欧拉把A，B两岛以及陆地C，D用点表示，桥用线表示，那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了。 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点。如下图中，A，B，C，E，F，G，I是偶点，D，H，J，O是奇点。 欧拉的一笔画原理是： (1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)； (2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点； (3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。 利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。因为图中A，B，C，D 都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。 顺便补充两点： (1)一个图形的奇点数目一定是偶数。 2 / 4
知识框架 笔画的认识 所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一 次，不准重复?从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图?但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法。 什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏?所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复 我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点?相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点? 二、一-笔画冋题 (1) 能一笔画出的图形必须是连通的图形； (2) 凡是只由偶点组成的连通图形?一定可以一笔画出. 画时可以由任一偶点作为起点?最后仍回到这 占； 八、、\ (3) 凡是只有两个奇点的连通图形一疋可以一毛画出?画时必须以一个奇点作为起点?以另一个奇点作 为终点； (4) 奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画. 、多笔画问题 我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画?多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半?事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点(n为自然数)，那么这个图一定可以用 重难点 (1)知道什么样的的是奇点？什么样的点是偶点。 (2)知道什么样的图形可以一笔画出。 (3)不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢? n笔画成.
:「一^例题精讲 【例1】判断下列图a、图b、图c能否一笔画. A F 【例2】同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜, 要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就（填能”或不能”完成任务? 【例3】右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有 个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？ 3
第一讲加减法的速算与巧算 班级：姓名：成绩： 知识点： 1．如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。 2．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成，画时可以任一偶点为起点，最后仍以这个点为终点画完一个图形。 3．凡是只有两个奇数点（其余均为偶点）的连通图，一定可以一笔画完，画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。 4．其他情况的图都不能一笔画出。 【例1】下列图形中，（）图形能够一笔画，（）图形不能一笔画。【例2】下列各图形，至少能够用几笔将它们画完。 （）笔 【例3】 【例4】 【例5】 【例6】 综合练习： 一．填空题（方框内填数字，圆圈内添运算符号） 1．34＋47＋53＋66＝（34＋□）＋（47＋□） 2．456－78－67－33－22＝456－（□＋22）－（67○33） 3．127－163＋63＝127－（163○63） 4．847－（39－53）＝847○53○39 二．计算题 5.47＋66＋53＋19＋34 6.83＋79＋80＋78＋82＋81＋77＋84 7.393＋4992＋1995＋294＋98 8．5678－（189＋678） 9．523－289
10．4658－（14＋13＋16＋17） 11．2600－74－135－26－165 12．568＋49－268＋51 13．998＋499－304 14．764－543＋98＋343 15.642－（436－258）－64 16. 879＋（263－379）－663 17.602－593＋494－398 18．22222222220000000000－2222222222 19．5371860000000－537186 20．20＋19－18－17＋16＋15－14－13＋12＋11－10－9＋8＋7－6－5＋4＋3－2－1
三年级奥数专题：一笔画(一) 如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重 复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。显然，在下面的图形中，(1)(2)不能一笔画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画。 同学们可能会问：为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市，布勒格尔河从城中穿过，河中有两个岛，18世纪时河上共有七座桥连接A，B两个岛以及河的两岸C，D(如下图)。 所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，怎样走才能成功？ 当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但是都没成功。后来，这个问题引起了大数学家欧拉(1707-1783)的兴趣，许多人的不成功促使欧拉从反面来思考问题：是否根本就不存在这样一条路线呢？经过认真研究，欧拉终于在1736年圆满地解决了七桥问题，并发现了一笔画原理。欧拉是怎样解决七桥问题的呢？因为岛的大小，桥的长短
都与问题无关，所以欧拉把A，B两岛以及陆地C，D用点表示，桥用线表示，那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了。 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点。如下图中，A，B，C，E，F，G，I是偶点，D，H，J，O是奇点。 欧拉的一笔画原理是： (1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)； (2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点； (3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。 利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。因为图中A，B，C，D 都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。 顺便补充两点：
小学数学《一笔画》练习题（含答案） 什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复. 我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点. 判断图形能否一笔画的规律： （1）能一笔画出的图形必须是连通的图形； （2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点； （3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点； （4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． （一） 一笔画以及多笔画 【例1】 观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明画法 . (f) (e)(d) J I H G F E D C B A J K I H G F E D C B A 分析：（a ）图：可以一笔画，因为只有两个奇点A 、B ；画法为A →头部→翅膀→尾部→翅膀→嘴. （b ）图：不能一笔画，因为此图不是连通图. （c ）图：不能一笔画，因图中有四个奇点：A 、B 、C 、D. （d ）图：可以一笔画，因为只有两个奇点；画法为：A →C →D →A →B →E →F →G →H →I →J →K →B. （e ）图：可以一笔画，因为没有奇点；画法可以是：A →B →C →D →E →F →G →H →I →J →B →D →F →H →J →A. （f ）图：不能一笔画出，因为图中有八个奇点. [注意]在上面能够一笔画出的图中，画法并不是惟一的.事实上，对于有两个奇点的图来说，任一个奇点都可以作为起点，以另一个奇点作为终点；对于没有奇点的图来说，任一个偶点都可以作为起点，最后仍以这点作为终点. [巩固]判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画．
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法． 什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏． 我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点． 一笔画问题： (1)能一笔画出的图形必须是连通的图形； (2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点； (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． 多笔画问题： 我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用n 笔画成． 模块一、判断奇偶点 【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些 点是偶点？哪些点是奇点？ J O I H G F E D C B A 【例 2】 同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜， 要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就 （填“能”或“不能”）完成任务 . 【例 3】 判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画． 图a 例题精讲 知识点拨 4-1-5.奇妙的一笔画