《数学》八年级下册第十七章
勾股定理
【题型一】勾股定理的验证与证明
1.如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是S1、S2、S3，则它们的面积关系是，直角△ABC的三边的关系是.
参考答案：用数方格的方法或用面积公式计算三个正方形面积，得出S1+S2＝S3，从而得到：AB2+BC2＝AC2.
2.如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是S1、S2、S3，则它们的面积关系是，直角△ABC的三边的关系是.
参考答案：对于S3显然用数方格的方法不合适，利用“相减法”或“相加法”用面积公式计算三个正方形面积，得出
S1+S2＝S3，从而得到：AB2+BC2＝AC2.
3.如图，是由四个全等的Rt△拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？
参考答案：由S大正方形＝4S Rt△+S小正方形，得
c2＝4×1
2
ab+(b－a)2
∴a2+b2＝c2.
4.如图，是由四个全等的Rt△拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？参考答案：由S大正方形＝4S Rt△+S小正方形，得
(a+b)2＝4×1
2
ab+c2
∴a2+b2＝c2.
5.如图，已知∠A＝∠B＝90°且△AED≌△BCE，A、E、B在同一直线上.根据此图证明勾股定理.
参考答案：先证明△DCE是等腰直角三角形，再根据梯形面积为三个
三角形面积之和得
1 2(a+b)2＝2×
1
2
ab+
1
2
c2,
∴a2+b2＝c2.
B A
B A
a
A
6.如图，一个直立的火柴盒倒下来就可以证明勾股定理，请你根据图形，设计一种证明方法.
参考答案：方法类似第5题.
7.（2011温州） 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1—1）.图1—2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图1—2中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，若S 1+S 2+S 3=10，则S 2的值是 .
参考答案：
103
8.（2010 湖北孝感） [问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的
语言。
[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）； [尝试证明]
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a 、b 为底，以a+b 为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理； [知识拓展]
利用图2中的直角梯形，我们可以证明.2<+c b
a 其证明步骤如下：
AD b a BC ,+= = .
又∵在直角梯形ABCD 中有BC AD （填大小关系），即 ，
.2<+∴
c b
a
参考答案：[定理表述]
如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么
,222c b a =+ [尝试证明]
G F E D C B
A E
D
图2图1
c b a
ABE Rt ? ≌,,EDC AEB ECD Rt ∠=∠∴?
又
90,90=∠+∠∴=∠+∠DEC AEB DEC EDC
.90 =∠∴AED
,AED Rt D EC Rt ABE Rt ABCD S S S S ???++=梯形
.212121))((212c ab ab b a b a ++=++∴
整理，得.2
2
2
c b a =+
[知识拓展]
c b a AD RC c AD 2,,2<+<=
【题型二】以勾股定理为基础的有趣结论
1.如图， 根据所标数据，确定正方形的面积A ＝ ，B ＝ ，C ＝ .
参考答案：10，144，1600.
2.如图，直线l 上有三个正方形a 、b 、c 若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为多少？
参考答案：先证两直角三角形全等，得FE ＝BC ，从而得正方形b 的面积为16.
3.如图，以直角三角形的三边向形外作等边三角形，探究S a 、S b 和S c 之间的关系.
参考答案：显然S △BCE
＝4a 2，S △ACD
＝4b 2 ，S △ABF
＝4
c 2
又a 2
+b 2
＝c 2
∴S a +S b ＝S c .
4.如图，以直角三角形的三边向形外作等腰直角三角形，探究S a 、S b 和S c 之间的关系.
参考答案：类似上一题.
A
9
1
B
25
169
C 41
9
c
b
a l
F
E
D C
B
A
b
a
c
C
B
A
F
E
D
b
a c
C B
A
F
E
5. 如图，以直角三角形的三边向形外作半圆，探究S a 、S b 和S c 之间的关系.
参考答案：类似上一题.
6. 如图，已知ΔABC 中，∠ACB ＝90°，以ΔABC 的各边为长边向形外作矩形，使其宽为长的一半，则这三个矩形的面积S 1、S 2、S 3之间有什么关系，并证明你的结论.
参考答案：类似上一题.
7. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为多少？
参考答案：49cm 2
.
8.如图，在水平面上依次放置着七个正方形已知斜放置的三个正方形的面积分别是a 、b 、c ，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3 ，则 S 1 ＋S 2 ＋S 3 ＋S 4= .
参考答案：a+c
【题型三】利用勾股定理求边长和进行论证 【选择题】
1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ） A.26 B.18 C.20 D.21 参考答案：C
2.在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ） A.3 B.4 C.5
参考答案：C
3.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝45°,c ＝10，则a 的长为（ ） A.5 B.10 C.25 D.5 参考答案：C
a
b
c
C
B
A
C
B
A
S 1
S 2
S 3
7cm
F
E
D
C
B A
4.等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）
A.
C. D.3
参考答案：B
5.若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 参考答案：C
6.若一个三角形的三边长为3、4、x ，则使此三角形是直角三角形的x 的值是（ ） A.5 B. 6 C.7 D.5或7
参考答案：D
7.下列各组数中以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A.a=2，b=3, c=4 B.a=7, b=24, c=25 C.a=6, b=8, c=10 D.a=3, b=4, c=5 参考答案：A
8.要从电杆离地面5m 处向地面拉一条长为13m 的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为（ ）. A.10m B.11m C.12m D.13m 参考答案：C
9.现有两根木棒,长度分别为44㎝和55㎝.若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（ ）.
A.22㎝
B.33㎝
C.44㎝
D.55㎝ 参考答案：B
10．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ）
A. 第三边一定为10
B. 三角形的周长为25
C. 三角形的面积为48
D. 第三边可能为10 参考答案：D
11．直角三角形的斜边为20cm ，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（ ） A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm 参考答案：D
12．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ） A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定 参考答案：A
13．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2
小时后，则两船相距（ ） A ．25海里 B. 30海里 C. 35海里 D. 40海里 参考答案：D
14. （2010山东临沂）如图，ABC ?和DCE ?都是边长为4的等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为（ ）
B.
C.
D.参考答案：D
15. （2010 广西钦州市）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（ ）
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.10 cm 参考答案：B
E
D C
B
A D C B
A
北 南 A 东
16. （2010广西南宁）图中，每个小正方形的边长为1，ABC ?的三边c b a ,,的大小关系式（ ） A.b c a << B.c b a << C.b a c << D.a b c << 参考答案：C
17. （2011山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是（ ）
A2m B.3m C.6m D.9m
参考答案：C
18. （2011湖北黄石）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
A. 3cm
B. 6cm
C.
参考答案：D
19. （2011贵州贵阳）如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（ ）
A.3.5
B.4.2
C.5.8
D.7 参考答案：D
20. 直角三角形三边的长分别为3、4、x ，则x 可能取的值有（ ）. A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 无数多个 参考答案：B 斜边可以为4或x,故两个答案.
21．如果Rt △两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（ ） A.60∶13 B.5∶12 C.12∶13 D.60∶169 参考答案：D
22．直角三角形一直角边长为11，另两边均为自然数，则其周长为（ ） A.121 B.120 C.132 D.以上答案都不对 参考答案：C 【填空题】
1.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为__________．
参考答案：12或7
提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5
所以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋4
7
2.直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________.
参考答案：512
3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．
参考答案： 1360
，提示：设斜边的高为x ，根据勾股定理求斜边为131695122
2==+ ，再利用面
积法得，13
60,132112521=??=??x x ；
C
B
A
4.如图，学校有一长方形花圃，长4m，宽3m。，有极少数人为了避开拐角走捷径，在
花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少了步路（2步为lm
），却踩伤了花草
.
参考答案：4.
5.图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角
形围成的若AC=6 BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外
延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图2实线
部分）是.
参考答案：76.
6．如图，将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5 cm，高为12 cm的圆柱形水杯中，
设筷子露在杯外的长度为h cm，则h的取值范围是.
参考答案：11≤h≤12.
7.在Rt△ABC中, ∠C=90°,AB=15,BC:AC=3:4,则BC=___________.
参考答案：9.
8.已知：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，D、E分别是边AB、AC的中点，DE=4，
AC=10，则AB=_____________.
参考答案：6.
9.已知两条线段的长为9cm和12cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形. 参考答案：15或
10.在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）b=8，c=17 ，则ABC
S
?= . 参考答案：1360
11．（2010辽宁丹东市）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC
的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角
边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长
是．
参考答案：n)2
(
12.（2010 浙江省温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向
外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已
知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，
点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边_PQ上，那
么△PQR的周长等于．
参考答案：27+
13.（2010湖北鄂州）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC，
∠BAC=3∠DBC，BD=AB= ．
参考答案：12
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E F
G
图2
图3
图1 14.（2010河南）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°, ∠ABC=30°，AB=6.点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA=DE ，则AD 的取值范围是 . 参考答案：2≦ AD < 3
15.（2010 山东淄博）如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只
__________条.
参考答案：8
16.（2010黑龙江绥化）Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC 为一边，在△ABC 外部作等腰直角三角形 ACD ，则线段BD 的长为 . 参考答案：4
或
17. (2011重庆綦江) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH 的边长为2米，坡角∠A ＝30°,∠B ＝90°,BC ＝6米. 当正方形DEFH 运动到什么位置,即当AE ＝ 米时,有DC 2
＝AE 2
＋BC 2
. 参考答案：
3
14
【解答题】
1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ， BC=6，AC=8， 求AB 、CD 的长
参考答案：在Rt △ABC 中，BC=6，AC=8 ＡＢ２
＝ＡＣ２
＋ＢＣ
２
ＡＢ＝8436+＝100＝１０ ＣＤ＝
AB BC AC ?＝10
8
6?＝4.8 2.如图，是由五个边长相同的小正方形组成的“红十字”形，A 、B 、C 均在顶点上，
试求∠BAC 的大小. 参考答案：∠BAC=45°
3.（2011四川广安）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m 、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长． 参考答案：由题意可得，花圃的周长
=8+8+
4.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（涂上阴影）．
⑴在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
⑵在图2、图3中，分别画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．(两个三角形不全等
)
D C
B
A
5.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，D是AC的中点. 求证：AB2+3BC2=4BD2.
参考答案：∵△ABC中，∠C=90°，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴AB2+3BC2＝4BC2+AC2，
又BC2＝BD2－CD2，
∴AB2+3BC2＝4BD2－4CD2+AC2，
又AC＝2CD，
∴AB2+3BC2=4BD2.
【题型四】勾股定理在非直角三角形中的应用
【选择题】
1.若△ABC中，
13,15
AB cm AC cm
==，高AD=12,则BC的长为（）
A、14
B、4
C、14或4
D、以上都不对
参考答案：C
2．一木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和底边上的高的长度，但他却把这三个数据弄混了，请你帮他找出来，应该是（）
A. 13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，4
参考答案：C
【填空题】
1.等腰三角形ABC的面积为12㎝2，底上的高AD＝3㎝，则它的周长为㎝.
参考答案：由面积求出底边为8，进而求出腰围5，故周长为18.
2.（2010四川宜宾）已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= 2，AB= 3+1，则边BC的长为．
参考答案：2.
3.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植
某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草
皮至少需要__________元．
参考答案：150a.
【解答题】
1.如图，ΔABC中，AC＝12，∠B＝45°，∠A＝60°.
求ΔABC的面积.
参考答案：54+(作CD⊥AB于D)
2.已知等腰三角形腰长为10，底边长为16，求它的面积.
参考答案：48（作底边上的高）
3．已知：如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13．求△ABC
的面积．
参考答案：作任一边上的高，用勾股定理建立方程，求解.
B A
C
B
A
【题型五】利用勾股定理求不规则图形的面积
1.如图，∠B ＝∠D ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝4，CD ＝
2. 求四边形ABCD 的面积.
参考答案：AD 、BC 或分别延长AB 、DC 转化成特殊的
直角三角形研究）
2.如图，每个小正方形的边长都是1，求图中格点四边形ABCD 的面积. 参考答案：
25
2
（用正方形面积减去四个直角三角形面积或转化成 以AC 为底的两个三角形求解）
3.如图，四边形ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝4cm ，CD ＝12cm ，DA ＝13cm ，且∠ABC ＝900，求四边形ABCD 的面积。 参考答案：连接AC
∵在Rt △ABC 中，ＡＣ２
＝ＡＢ２
＋ＢＣ２
ＡＣ=169+=5cm ∴S △ABC =
2BC AB ?=2
43?=6cm 2
在△ACD 中，ＡＣ２
+CD ２
=25+144=169，DA ２
=132
=169，
∴DA ２
=ＡＣ２
+CD ２
∴△ACD 是Rt △ ∴S △ACD =
2DC AC ?=2
125?=30 cm 2
∴S 四边形ABCD= S △ABC + S △ACD =6+30=36 cm 2
4.已知：如图，四边形ABCD 中，∠B ，∠D 是Rt ∠,∠A=45°，若DC=2cm,
AB=5cm, 求AD 和BC 的长.
参考答案：3
，5-AD 、BC 或分别延长AB 、DC 转化成特殊的 直角三角形研究）
5.四边形ABCD 中，AD ⊥DC ，AD=8，DC=6，CB=24，AB=2
6.求四边形ABCD 的面积.
参考答案：144（连接AC ）
4
D
B
A
A
D
C
B
A
D C
B
A
【题型六】勾股定理与方程（组）
【选择题】
1. 小明想测量教学楼的高度．他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了2 ｍ，当他把绳子的下端拉开6 m 后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高为（ ）. A. 8 m B. 10 m C. 12 m D. 14 m
参考答案：A 解：设教学楼的高为x,根据题意得：
22
(2)36x x +=+，解方程得：x=8. 2.如果梯子的底端离建筑物9 ｍ，那么15 ｍ长的梯子可以到达建筑物的高度是（ ）.
A. 10 m
B. 11 m
C. 12 m
D. 13 m
参考答案：C 解：设建筑物的高度为x,根据题意得：222
159x -=，解方程得：x=12.
3.已知Rt △ABC 中，∠C=90°，a+b=14，c=10，则Rt △ABC 的面积是（ ） A.24 B.36 C.48 D.60 参考答案：A.2
4.（方程组）
4.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ） A.56 B.48 C.40 D.32 参考答案：B.48.
5.已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）cm 2. A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 参考答案：A.
6.如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ，梯子的顶端B 到地面的距离为7m ，现将梯子的底端A 向外移动到A ′，使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3m ．同时梯子的顶端B 下降至B ′，那么BB ′（ ）． A ．小于1m B ．大于1m C ．等于1m D ．小于或等于1m 参考答案：A 提示：移动前后梯子的长度不变，即Rt △AOB 和Rt △A′OB′的斜边相等．由勾股定理，得32＋B′O2＝22＋72
，6＜B′O＜7，则O ＜BB′＜1．
7.如图，Rt △ABC 中，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠，
使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）m.
A.2
B.3
C.4
D.5
参考答案：B.
【填空题】
1．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m. 参考答案：1.5.
2．在△ABC 中，CE 是AB 边上的中线，CD ⊥AB 于D,且AB=5,BC=4,AC=6,则DE 的长为_______. 参考答案：2.
3．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处.另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 . 参考答案：15米.
4.（2011贵州安顺）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6cm ，AC=8cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C ′点，那么△ADC ′的面积是 ． 参考答案：6cm 2
A
B E D
C'
C B
A
5、如右图将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上F 处,已知CE=3,AB=8,则BF=___________.
参考答案：6.
【解答题】
1．已知，如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，CD=1.5，BD=2.5，求AC 的长. 参考答案：3.（作DE ⊥AB 于E ）
2.如图，铁路上A 、B 两点相距25㎞，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA ＝15㎞，CB ＝10㎞，现在要在铁路AB 上修建一个土特产收购站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应修建在离A 站多少千米处？
参考答案：设E 站应修建在离A 站x 千米处则BE=25-x 。
由题意知：2
222BC BE AE AD +=+,
即2
225)25(1015x x -+=+。
x=10 3.如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C 处用侧角仪测得树顶端A 的仰角为30°，已知侧角仪高DC ＝1.4m ，BC ＝30米，请帮助小明计算出树高AB ．
取1.732，结果保留三个有效数字）
参考答案：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则ED ＝BC ＝30米，EB ＝DC ＝1.4米．
设AE ＝x 米，在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，则AD ＝2x ．
由勾股定理得：AE 2＋ED 2＝AD 2，即x 2＋302＝（2x ）2
，
解得x ＝
∴AB ＝AE ＋EB≈17.32＋1.4≈18.7（米）．
答：树高AB 约为18.7米．
4.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？ 参考答案：由题意得：设城门高为x ，
（ｘ＋１）２＝ｘ２＋３２
ｘ２＋２ｘ＋１＝ｘ２
＋９ ２ｘ＝８ ｘ＝４
竹竿长为４＋１＝５米。
答：竹竿长为５米。
4.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
参考答案：由题意得：（ｘ＋１）２＝ｘ２
＋２５
ｘ２＋２ｘ＋１＝ｘ２
＋２５
C
E F C D
A B
C B A
D E
F ２ｘ＝２４ ｘ＝１２
答：旗杆的高度为１２米。
5.如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，长BC 为10cm ．当小红折叠
时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？ 参考答案：设ＥＣ为ｘ，
∵△ＡＤＥ与△ＡＦＥ对折
∴ＥＦ＝ＤＥ＝８－ｘ
在Rt △AB Ｆ中，ＢＦ２＝ＡＦ２－ＡＢ２
ＢＦ＝64100-＝６
∴ＦＣ＝ＢＣ－ＢＦ＝１０－６＝４
在Rt △ＦＣＥ中，ＥＣ＝ｘ，ＥＦ＝８－ｘ，ＦＣ＝４，
（８－ｘ）２＝ｘ２＋４２
６４－１６ｘ＋ｘ２＝ｘ２＋１６ １６ｘ＝４８ ｘ＝３ ∴ＥＣ＝３
6.如图，平面直角坐标系中,AB ⊥AC ，求点B 的坐标.
参考答案：设OB=x 则BC=x ＋1；OC=1，OA=2.在RtΔOAB 中，AB 2=OA 2＋ OB 2，在RtΔABC 中，AB 2=BC 2－AC 2
，
∴X 2＋4=（X ＋1）2
－（22十12）， ∴x=4，点B 的坐标为（－4，0）
7.如图，已知将一矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C ’处，BC ’ 交AD 于点E ，已知AD=8cm ，AB=4cm ，求重叠部分ΔBED 的面积。
参考答案：由折叠知，∠EBD=∠CBD ，由 AD ∥BC ，知∠EDB=∠CBD,
∴∠EBD=∠EDB ，∴EB=ED 设 EB ＝ED=Xcm ，则AE=（8—x ）cm ， 在RtΔABE 中， AE 2＋AB 2=BE 2，∴（8—X ）2十42=X 2
，X=5，
∴SΔBED=10（cm ）．
【题型七】利用勾股定理求最值
1．（2009年北恩施）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ） A
．．25 C
．5 D ．35 参考答案：B.主要利用图形的展开、勾股定理.
2.一只蚂蚁从长为4cm 、宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm 。 参考答案：74
3．（10分）如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点 B D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连结AC 、EC,已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x （1）用含x 的代数式表示AC 十CE 的长； （2）试求AC 十CE 的最小值；
参考答案：(1) AC+CE=
(2) 最小值13
4. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm 的F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.
参考答案：将曲线沿AB 展开，如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E.
在R 90,=∠?CEF CEF t ，EF=18-1-1=16（cm ）， CE=
)(3060
.21
cm =?，
由勾股定理，得CF=)(3416302222cm EF CE =+=
+
5. 如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
参考答案：如图，作出A 点关于MN 的对称点A ′，连接A ′B 交MN 于点P ，
则A ’B 就是最短路线. 在Rt △A ′DB 中，由勾股定理求得A ′B =17km.
【题型八】勾股定理逆定理及其应用
【选择题】
1．下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A ．1.5，2，3 B. 7，24，25 C ．6，8，10 D. 3，4，5 参考答案：A
2.分别以下列四组为一个三角形的三边的长：①6、8、10；②5、12、13；③8、15、17；④7、8、9，其中能构成直角三角形的有（ ）.
A.4组
B.3组
C.2组
D.1组 参考答案：B, ①②③ 对. 3．（2010 四川泸州）在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ． 钝角三角形
D ．等腰直角三角形 参考答案：B
4.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A.9，12，15 B.
4
3
,1,45 C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，9 参考答案：C
5.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三个内角比为1∶2∶1 B.三边之比为1∶2∶5 C.三边之比为3∶2∶5 D. 三个内角比为1∶2∶
3
A ′
参考答案：C
6.已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ） A.2 B.102 C.10224或 D.以上都不对
参考答案：C
7. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
参考答案：C
8.三角形的三边 a 、b 、c 满足关系：（a 十b ）2=c 2 ＋2ab ，则这个三角形是（ ） A ．直角三角形 B 、锐角三角形 C ．钝角三角形 D 条件不足，不能确定 参考答案：A
9．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2＋b 2＋c 2十338＝10a ＋24b ＋26c ，则△ABC 的面积是（ ） A.338 B.24 C.26 D.30 参考答案：D
10．△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 3+b 3+a 2b+ab 2-ac 2-bc 2=0，则△ABC 的形状是（ ） A 、直角三角形；B 、等边三角形；C 、等腰三角形；D 、等腰直角三角形。 参考答案：A
11．如果Rt △的两直角边长分别为n 2－1，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ） A.2n B.n+1 C.n 2－1 D.n 2+1 参考答案：D
【填空题】
1.若一个三角形的三边满足222
c a b -=，则这个三角形是 .
参考答案：直角三角形.
2. △ABC 的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 . 参考答案：90°.
3.三边为9、12、15的三角形，其面积为 . 参考答案：5
4.
4.已知三角形ABC 的三边长为c b a ,,满足18,10==+ab b a ，8=c ，则此三角形为 三角形. 参考答案：直角三角形.
5.在三角形ABC 中，AB=12cm ，AC=5cm ，BC=13cm ，则BC 边上的高为AD= cm . 参考答案：
6013
6.已知两条线段的长为5cm 和12cm,当第三条线段的长为 cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形.
参考答案：13cm
7
24
25
207
15
2024
25
7
25
20
24
257
202415
(A)
(B)
(C)
(D)
【解答题】 1. 如图，已知四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积. 参考答案：36（连接AC ）
2. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB=4，CE=1
4
BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.
参考答案：由勾股定理得AE 2=25，EF 2
=5，
AF 2=20，∵AE 2= EF 2 +AF 2， ∴△AEF 是直角三角形
3. 在△ABC 中，BC=m 2-n 2，AC=2mn ，AB=m 2+n 2(m ＞n). 求证：△ABC 是直角三角形.
参考答案：证(m 2－n 2)2+(2mn)2＝(m 2+n 2)2
⑴请你分别观察a b c 与n 之间的关系，并用含自然数n （n>1）的式子表示：a= , b= , c= .
⑵猜想：以a 、b 、c 为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想。 参考答案：⑴ n 2-1,2n,n 2+1
⑵猜想：以abc 为边的三角形为直角三角形。证明略
5. 观察下列勾股数：
第一组：3=2×1＋1， 4=2×1×（1+1）， 5=2×1×（1+1）+1； 第二组：5=2×2＋1， 12=2×2×（2+1）， 13=2×2×（2+1）+1； 第三组：7=2×3＋1， 24=2×3×（3+1）， 25=2×3×（3+1）+1； 第三组：9=2×4＋1， 40=2×4×（4+1）， 41=2×4×（4+1）+1； ……
观察以上各组勾股数的组成特点，你能求出第七组的a,b,c 各应是多少吗？第n 组呢？ 参考答案：第七组，.1131112,112)17(72,15172=+==+??==+?=c b a
第n 组，1)1(2),1(2,12++=+=+=n n c n n b n a
6. （2011四川绵阳）王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a 米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米. (1)请用a 表示第三条边长；
(2)问第一条边长可以为7米吗？为什么?请说明理由，并求出a 的取值范围；
(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法;若不能，请说明理由.
参考答案：(1)第一条边为a,第二条边为2a+2,第三条边为30-a-（2a+2）=28-3a
(2)不可以是7，∵第一条边为7，第二条边为16，第三条边为7，不满足三边之间的关系，不可以构成三角形。13
2
＞a ＞5
(3)5,12,13,可以围成一个满足条件的直角三角形
【题型九】勾股定理及逆定理与实际问题
1.如图，在高为5m ，坡面长为13m 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 （ ）.
A.17m
B.18m
C.25m
D.26m 参考答案：A 依勾股定理先求出底边为12，而地毯长等于两直角边的和，
即12+5=17.
2.将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cm 参考答案：D
3.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm ，宽为60cm ，对角线为100cm ，则这个桌面 .（填“合格”或“不合格” ） 参考答案：合格
4.轮船在大海中航行，它从A 点出发，向正北方向航行20㎞，遇到冰山后，又折向东航行15㎞，则此时轮船与A 点的距离为 ㎞. 参考答案：25
5.（2009年安徽）长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m ．
参考答案：，利用勾股定理即可.
6. 如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域. ⑴A 城是否受到这次台风的影响？为什么？
⑵若A 城受到这次台风影响，那么A 城遭受这次台风影响有多长时间？ 参考答案：(1)过点A 做AC ⊥BF 于点C ，由A 、B 、C 三点构造直角三角形，根据勾股定理求出直角边AC=160，
∵160﹤200∴A 城受到这次台风的影响;
(2)以点A 为圆心以200为半径画圆弧交BF 于D 、E ，
在Rt △ACD 中，1201602002
222=-=-=AC AD CD
所以DE=240，
∴A 城遭受这次台风影响的时间为240÷40=6（小时）
7.如图1，一个梯子AB 长2.5m ，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5m ，梯子滑动后停在DE 的位置上，如图2，测得
BD 长为0.5m ，求梯子顶端A 下落了多少米．
参考答案：在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2
∴2.52＝AC 2＋1.52
，∴AC ＝2（m ）．
在Rt △EDC 中，DE 2＝CE 2＋CD 2，∴2.52＝CE 2＋22
∴CE 2
＝2.25，∴CE ＝1.5（m ），
图2
图1
∴AE ＝AC －CE ＝2－1.5＝0.5（m ） 答：梯子顶端A 下落了0.5m ．
8.如图，矩形零件上两孔中心A 、B 的距离是多少（精确到个位）？
参考答案：43（提示：做矩形两边的垂线，构造Rt △ABC ，利用勾股定理，
AB 2＝AC 2＋BC 2＝192＋392
＝1882，AB≈43）
9.（2009年湖北十堰）如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P 处测得教学楼A 位于北偏东60°方向，办公楼B 位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C 处，此时测得教学楼A 恰好位于正北方向，办公楼B 正好位于正南方向．求教学楼A 与办公楼B 之间的距离（结果精确到0．1米）．（供选用的数据：2≈1．414，3≈1．732） 参考答案：由题意可知：∠ACP ＝ ∠BCP ＝ 90°，∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°
在Rt △BPC 中，∵∠BCP ＝90°，∠BPC ＝45°，∴60==PC BC 在Rt △ACP 中，∵∠ACP ＝90°，∠APC ＝30°，∴320=AC ∴32060+=+=BC AC AB
≈60+20×1．732 ＝94．64≈94．6(米)
答：教学楼A 与办公楼B 之间的距离大约为94．6米．
10.如图，甲船以 16海里／时的速度离开港口 O 向东南方向航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B 、A 两处，且知AB 长为30海里，求乙船的速度. 参考答案：12海里／时
11.树根下有一蛇洞，树高 15 m ，树顶上的一只苍鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去，如果鹰与蛇的速度相等收与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇？
参考答案：20米
12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？ 参考答案：如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，
走了12千米，即OA=12．
乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时， 走了5千米，即OB=5．
在Rt △OAB 中，AB 2=122十52
＝169，∴AB=13，
因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米．
∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系．
13.海中有一小岛A ，如图，在该岛周围10海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A 岛南偏西45o的B 处，往东航行20海里后达到该岛南偏西30o的C 处，之后继续向东航行，你认为货船继续向东航行会有触礁的危险吗？计算后说明理由.
14.如图，点A 是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，现要在B 、C 两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通.经测得∠ABC=45°，∠ACB=30°，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明.
15．如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD
上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
15.如图，南北向MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
参考答案：设MN 交AC 于E ，则∠BEC=900
.
又AB 2
+BC 2
=52
+122
=169=132
=AC 2， ∴△ABC 是直角三角形，∠ABC=900
. 又∵MN ⊥CE ，
∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ， 则CE 2
+BE 2
=144，（13-CE ）2
+BE 2
=25，得26CE=288， ∴CE=
13144. 13144÷169
144
≈0.85（小时）， 0.85×60=51（分）. 9时50分+51分=10时41分.
答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.
A B C
D
L
勾股定理典型分类练习题 题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∠=?． C ?中，90 ⑴已知6 BC=．求AB的长 AC=，8 ⑵已知17 AC=，求BC的长 AB=，15 ， 变式1：已知，△ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试说明△ABC 是等腰三角形。 } 变式2：已知△ABC的三边a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13, △ABC是否是直角三角形 你能说明理由吗 题型二：利用勾股定理测量长度 ） 例1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米 例2如图，水池中离岸边D点米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是米，把 芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.
| 题型三：勾股定理和逆定理并用 例3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4 1 那么 △DEF 是直角三角形吗为什么 ~ 题型四：旋转中的勾股定理的运用： 例4、如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与 △ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。 — 变式：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长. 分析：利用旋转变换，将△BPA 绕点B 逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形. * P A P C B
A B D E 10 15 题型五：翻折问题 例5：如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一 点，将矩形纸片沿 AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长. ! 变式：如图，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. ( 题型6：勾股定理在实际中的应用： 例6、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到 公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉 机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响， 已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少 % 变式：如图，铁路上A 、B 两点相距25km, C 、D 为两村庄，若DA=10km,CB=15km ， * DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等.求E 应建在距A 多远处 —
勾股定理及常见题型分类 一、知识要点： 1、勾股定理 2、勾股定理证明方法及勾股树 3、勾股定理逆定理 4、勾股定理常见题型回顾 二、典型题 题型一：“勾股树”及其拓展类型求面积 1. 右图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（ ） A.13 B.26 C.47 D.94 2.如图，直线l 上有三个正方形a,b,c,若a,c 的边长分别为6和8，求b 的面积。 3. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系． 4、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ） A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 S 3 S 2 S 1 甲 乙 图1
5、在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 、 =_____________。 题型二：勾股定理与图形问题 1、已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ． 2.如图，求该四边形的面积 3.如图2，已知，在△ABC 中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC 的长为 ． 4.某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由 . 5.如图是一块地，已知AD=8m ，CD=6m ，∠D=90°，AB=26m ，BC=24m ，求这块地的面积。 题型三：在直角三角形中，已知两边求第三边 A B C D E F G
勾股定理知识点归纳和题型归类 一．知识归纳 １．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
勾股定理 测试1 勾股定理(一) 学习要求 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 课堂学习检测 一、填空题 1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______． 2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边． (1)若a＝5，b＝12，则c＝______； (2)若c＝41，a＝40，则b＝______； (3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______； (4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______． 3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______．
4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______． 二、选择题 6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )． (A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )． (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 2 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )． (A)150cm2 (B)200cm2 (C)225cm2(D)无法计算 三、解答题
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别 为a、b、c． (1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b； (2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积； (3)若c－a＝4，b＝16，求a、c； (4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c； (5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c． 综合、运用、诊断 一、选择题 10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．
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《数学》八年级下册 第十七章 勾 股 定 理 【题型一】勾股定理的验证与证明 1.如图,每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是 S 1、S 2、S 3，则它们的面积关系是 ，直角△ABC 的三边的关系是 . 得出 S 1+S 2＝S 3,从而得到：AB 2+BC 2＝AC 2 . 2。如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别 是S 1、S 2、S 3，则它们的面积关系是 ，直角△ABC 的三边的关系是 . 参考答案：对于S 3显然用数方格的方法不合适，利用“相减法” 或“相 加法"用面积公式计算三个正方形面积，得出 S 1+S 2＝S 3，从而得到：AB 2+BC 2＝AC 2 。 3。如图,是由四个全等的Rt△拼成的图形，你能用它证明勾股定 理吗? 参考答案：由S 大正方形＝4S Rt△+S 小正方形，得 c 2＝4×ab+(b －a ）2 ∴a 2+b 2＝c 2 。 4.如图,是由四个全等的Rt△拼成的图形，你能用它证明勾股定 理吗？ 参考答案：由S 大正方形＝4S Rt△+S 小正方形，得 （a+b ）2 ＝4×ab+c 2 ∴a 2+b 2＝c 2 . 5.如图，已知∠A ＝∠B ＝90°且△AED≌△BCE ，A 、E 、B 在同一直线上。根据此图证明勾股定理. 1 21 2 B A B A a
专题一：勾股定理与面积 知识点精讲： 类型一“勾股树”及其拓展类型求面积 典型例题： 1．如图（16），大正方形的面积可以表示为，又可以表示为，由此可得等量关系______________________,整理后可得：___________． 2．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为( ) 3．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是() A．9 B．36 C．27 D．34 4．如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1＋S2＋S3＝________． 5．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝() A．25 B．31 C．32 D．40 6．如图，已知在Rt ABC △中，? = ∠90 ACB，4 AB=，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为1S，2S， 则 12 S S +的值等于________ 7．如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是________．8．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为( ) A．2 B．4 C．8 D．16 a a a a b b b b c c c c 图(16) 8 6 C B A
勾股定理 一．勾股定理证明与拓展模型一 . 图中三个正方形面积关系 思考：如下图，以直角三角形 a 、b 、c 为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积有和关系？ 例 1、有一个面积为 1 的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图 1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了 4 个正方形（如图 2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了 2017 次后形成的图形中所有正方形的面积和是 . 变式 1：在直线 l 上依次摆放着七个正方形(如图 1 所示)．已知斜放置的三个正方形的面积 分别是 1，1. 21，1. 44，正放置的四个正方形的面积依次是S 1 ， S 2， S 3， S 4 ，则 S 1 S 4 = .
变式2：如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC 为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，求S2. （变式2）（变式3） 变式3：如图，Rt△ABC的面积为10cm2，在AB 的同侧，分别以AB，BC，AC 为直径作三个 半圆，则阴影部分的面积为． （难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB＝90°， 以△ABC 的各边为边作三个正方形，点G 落在HI 上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5， 则阴影部分面积 模型二 A D H G B C 外弦图 E F 内弦图 例题2.四年一度的国际数学大会于 2002 年8 月20 日在北京召开，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13 ，每个直角三角形两直角边的和是5 。求中间小正方形的面积为;
勾股定理常考习题 勾股定理的直接应用： 1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ） A ：26 B ：18 C ：20 D ：21 2、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为 （ ） A ：3 B ：4 C ：5 D ：7 3.在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，点Q 的坐标是 （7,8），则线段PQ 的长为_____. 4、 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此 直角三角形的面积是_________. 5、直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积是___________. 6、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。 7．在△ABC 中，若∠A ＋∠B ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则AB ＝______，AB 边上的高CE ＝______． 8．在△ABC 中，若AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，则AC ＝______，AB 边上的高CD ＝______． 9．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______． 10、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 11．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )． (A)7 (B)7或41 (C)24 (D)24或7 12．在△ABC 中，若∠ACB ＝120°，AC ＝BC ，AB 边上的高CD ＝3，则AC ＝______，AB ＝______，BC 边上的高AE ＝______． 13. 等边三角形的边长为2，它的面积是___________ 14、若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，则n____________。 15．在数轴上画出表示10-及13的点． 16、如图∠B =∠ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则AB 的长是多少? 17．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( )． (A)4 (B)6 (C)8 (D)102 18.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4， S 2=8，则AB 的长为_________. 18题图 19题图 20题图 19．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为( )． (A)150cm 2 (B)200cm 2 (C)225cm 2 (D)无法计算 20．如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2，则正方形 的边长是______． 21．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3， 水平放置的4个正方形的面积是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______． 方程思想的应用： 1、 如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°， ， 求、、的值。 2．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的长． 3．如图，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，求EC 的长． 4. 如图，在长方形ABCD 中，将?ABC 沿AC 对折至?AEC 位置，CE 与AD 交于点F 。 （1）试说明：AF=FC ；（2）如果AB=3，BC=4，求AF 的长 5. 如图，在长方形ABCD 中，DC=5，在DC 边上存在一点E ，沿直线AE 把△ABC 折叠，使点D 恰好在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30，求折叠的△AED 的面积 典型几何题 1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，AD ＝20，求BC 的长． 2．如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长． 3．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2， CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积． 4．已知：如图，△ABC 中，∠CAB ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，AD ⊥BC ，D 是垂足，求AD 的长． 5、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ， BC=6， AC=8， 求AB 、CD 的长 6．已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝ CB 4 1 ，求证：AF ⊥FE ． 7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为BC 和AC 的中点， AD ＝5，BE ＝102求AB 的长．
勾股定理知识点与常见题型总结
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勾股定理复习 一.知识归纳 1．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ,斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股,斜边称为弦．早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证
中考数学勾股定理知识点-+典型题及解析 一、选择题 1．图中不能证明勾股定理的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( ) A ．121 B ．110 C ．100 D ．90 3．如图，在ABC 中，90A ∠=?，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( )
A ．2 B ．2 C ．3 D ．4 4．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的面积是( ) A ．2n ﹣2 B ．2n ﹣1 C ．2n D ．2n+1 5．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE 2+BG 2=2a 2+2b 2，其中正确结论有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是l3，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么()2 a b +值为（ ） A ．25 B ．9 C ．13 D ．169 7．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（ ） A ．6 B ．2 C ．8 D ．10 8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
勾股定理经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少？ 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32
=16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于 ， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中，
. ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
2018中考数学试题分类汇编：考点22 勾股定理 一．选择题（共7小题） 1．（2018?滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】直接根据勾股定理求解即可． 【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4， ∴弦为=5． 故选：A． 2．（2018?枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（） A．B．C．D． 【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案． 【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDA=90°， ∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF， ∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°， ∴FC=FG， ∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°， ∴△BFG∽△BAC，
∴=， ∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°， ∴BC=4， ∴=， ∵FC=FG， ∴=， 解得：FC=， 即CE的长为． 故选：A． 3．（2018?泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（） A．9 B．6 C．4 D．3 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b， ∵每一个直角三角形的面积为： ab=×8=4， ∴4×ab+（a﹣b）2=25， ∴（a﹣b）2=25﹣16=9， ∴a﹣b=3， 故选：D．
典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1：如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A. CD、EF、GH B. AB、EF、GH C. AB、CD、GH D. AB、CD、EF
勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 ; 方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。 例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。” “是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！” “但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗”
占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角 形。” ' “勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。”绣亚补充说。几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。同学们，你算 出来了吗 思路分析： 1）题意分析：本题考查勾股定理的应用 2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确 的解答
1 .如图（16）,大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 ，由此可得等量关系 ABCD 正方形EFGH .ACB=90 , AB=4，分别以AC , BC 为直径作半圆，面积分别记为 专题一：勾股定理与面积 知识点精讲： 类型一 “勾股树”及其拓展类型求面积 典型例题: 3 .“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形.如图，每一个直角三角形的两条直角 边的长分别是3和6,则大正方形与小正方形的面积差是 （ ） 4 .如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记图中正方形 正方形MNKT 勺面积分别为 S 、S 2、S.若正方形EFGH 勺边长为2,贝U S + S 2+ S 3 = _____________________________________ . 5.如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知 Si = 4, S 2= 9, S 3 = 8, S= 10，则S =（ ） A. 25 B . 31 C . 32 D . 40 7?如图，已知直角厶ABC 的两直角边分别为 6, 8,分别以其三边为直径作半圆， 则图中阴影部分的面积是 ____________ 8.如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形， 然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为 64,则正方形⑤的面积 _________________________ ,整理后可得： _______________ C 6 .如图，已知在Rt A ABC 中, C 6 8 ①
勾股定理试题分类 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
《数学》八年级下册第十七章 勾股定理 【题型一】勾股定理的验证与证明 1.如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是S1、 S2、S3，则它们的面积关系是，直角△ABC的三边的关系是. 参考答案：用数方格的方法或用面积公式计算三个正方形面积，得出S1+S2＝S3，从而得到：AB2+BC2＝AC2. 2.如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是S1、 S2、S3，则它们的面积关系是，直角△ABC的三边的关系是. 参考答案：对于S3显然用数方格的方法不合适，利用“相减法”或“相加法”用面积公式计算三个正方形面积，得出 S1+S2＝S3，从而得到：AB2+BC2＝AC2. 3.如图，是由四个全等的Rt△拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗 参考答案：由S大正方形＝4S Rt△+S小正方形，得 c2＝4× 1 2 ab+(b－a)2 ∴a2+b2＝c2. 4.如图，是由四个全等的Rt△拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗 参考答案：由S大正方形＝4S Rt△+S小正方形，得 (a+b)2＝4× 1 2 ab+c2 ∴a2+b2＝c2. 5.如图，已知∠A＝∠B＝90°且△AED≌△BCE，A、E、B在同一直线上.根据此图证明勾股定理. 参考答案：先证明△DCE是等腰直角三角形，再根据梯形面积为三个三角形面积之和得 1 2(a+b)2＝2× 1 2 ab+ 1 2 c2, ∴a2+b2＝c2. 6.如图，一个直立的火柴盒倒下来就可以证明勾股定理，请你根据图形，设计一种证明方法. 参考答案：方法类似第5题. 7.（2011温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1—1）.图1—2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图1—2中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是 . 参考答案：10 3 8.（2010 湖北孝感）[问题情境 ] B A a 图2 图1 c b a
勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能 一、本章知识内容归纳 1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。 （1）重视勾股定理的叙述形式： ①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积. ②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和. 从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。 （2）定理的作用： ①已知直角三角形的两边，求第三边。 ②证明三角形中的某些线段的平方关系。 ③作长为n 的线段。（利用勾股定理探究长度为,3,2……的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。） 2、勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。 （2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。 （3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及书写格式。运用勾股定理的逆定理的步骤如下： ①首先确定最大的边（如c ） ②验证2 2 b a +与2 c 是否具有相等关系： 若2 2 2 c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。 若2 2 2 c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。 补充知识： 当222c b a >+时，则是锐角三角形；当2 22c b a <+时，则是钝角三角形。 （4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。 勾股数组的一般规律： ① 丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2 2 2 2 的正整数） ② 毕达哥拉斯发现的：122,22,122 2 ++++n n n n n （1>n 的整数） ③ 柏拉图发现的：1,1,222 +-n n n （1>n 的整数）
八年级数学上---勾股定理经典例题分类练习2 一、勾股定理的证明 根据图形，写出勾股定理的证明过程 最大的正方形E 的面积_______. 3、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如上图2所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别 是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341234、，则+++=______。 4、如上图3所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（）A 、S 1-S 2=+S 2=+S 3<=S 1 5、以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形的面积分别为25和12，则第三个正方形的面积为___________________. 6、如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系． 7、如图，∠B ＝∠D ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝4，CD ＝2.求四边形ABCD 的面积. CD ＝3cm ，且∠ABC ＝90度，求四边形ABCD 的面积 11、三角形ABC 中，AB=5，AC=3，BC 边上的中线AD=2，求三角形ABC 的面积？ 三、在直角三角形中，求相关量 1、如上图2，AB=BC=CD=DE=1,AB ⊥BC,AC ⊥CD,AD ⊥DE,则AE 的长为________ c A B b A E B
2、已知直角三角形的两边长为 3、2，则另一条边长的平方是_________ 3、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的__________. 4、在Rt △ABC 中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=________。 5、一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为___________; 6、斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是______________． 7、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=10,AC=6,则BC 的长为___________ 四、勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（） ，5，，3，，12，，15，17 2、若线段a ，b ，c 组成直角三角形，则它们的比为（ ） A 、2∶3∶4 B 、3∶4∶6 C 、5∶12∶13 D 、4∶6∶7 3、下面的三角形中：①△ABC 中，∠C=∠A －∠B ；②△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3； ③△ABC 中，a ：b ：c=3：4：5；④△ABC 中，三边长分别为8，15，17． 其中是直角三角形的个数有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4、已知2512-++-y x x 与25102+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。 5、若△ABC 的三边长a,b,c 满足222a b c 20012a 16b 20c +++=++，试判断△ABC 的形状。 6、五根小木棒,其长度(单位:cm)分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是( ) 7、如上图，在平面直角坐标系中,点A 、B 的坐标分别为A(3,1),B(2,4),三角形OAB 是三角形。 8、将勾股数3,4,5扩大到原来的2倍,3倍,4倍,…,可以得到勾股数6,8,10；9,12,15；12,16,20；…,则我们把3,4,5这样的勾股数称为基本勾股数,请你写出另外两组基本勾股数:________,________. 9、远航号海天号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，远航号每小时航行16海里，海天号每小时航行12海里，他们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道远航沿东北方向航行，你知道海天沿哪个方向航行吗？
一、基础题 1，分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12 ③1，2，3；④9，40，41；⑤321，421，521.其中能构成直角三角形的有（ ）组 A.2 B.3 C.4 D.5 2，已知△ABC 中，∠A ＝12∠B ＝13 ∠C ，则它的三条边之比为（ ） A.1∶1∶2 B.1∶3∶2 C.1∶2∶3 D.1∶4∶1 3，已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ） A.52 B.3 C.3+2 D.33 4，如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ） A.12米 B.13米 C.14米 D.15米 5．如图4，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A 所代表的正方形的面积为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．64 6．在Rt △ABC 中，∠C=90°， ①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt△ABC =________。 7、一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为 。 8、一个直角三角形的两边长分别为3cm 和4cm,则第三边的为 。 9、已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高． 求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积． 11、一个三角形三条边的比为5∶12∶13，且周长为60c m ，求它的面积． 12、在△ABC 中，∠C=90°,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm.（1）求这个三角形的斜边AB 的长和斜边上的高CD 的长.（2）求斜边被分成的两部分AD 和BD 的长.
勾股定理分类练习题 Modified by JEEP on December 26th, 2020.
勾股定理常考习题 勾股定理的直接应用： 1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ） A ：26 B ：18 C ：20 D ：21 2、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ） A ：3 B ：4 C ：5 D ：7 3.在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，点Q 的坐标是（7,8），则线段 PQ 的长为_____. 4、 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积 是_________. 5、直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积是___________. 6、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。 7．在△ABC 中，若∠A ＋∠B ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则AB ＝______，AB 边上的高CE ＝______． 8．在△ABC 中，若AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，则AC ＝______，AB 边上的高CD ＝______． 9．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______． 10、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 11．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )． (A)7 (B)7或41 (C)24 (D)24或7 12．在△ABC 中，若∠ACB ＝120°，AC ＝BC ，AB 边上的高CD ＝3，则AC ＝______，AB ＝______，BC 边上的高AE ＝______． 13. 等边三角形的边长为2，它的面积是___________ 14、若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，则n____________。 15．在数轴上画出表示10 及13的点． 16、如图∠B =∠ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则AB 的长是多少 17．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于 ( )． (A)4 (B)6 (C)8 (D)102 18.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且 S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________. 18题图 19题图 20题图 19．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为( )． (A)150cm 2 (B)200cm 2 (C)225cm 2 (D)无法计算 20．如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线l 的距离分别是1、 2，则正方形的边长是______．