6.1 插值问题及其误差
6.1.2 与插值有关的MATLAB 函数
(一) POLY2SYM函数
调用格式一：poly2sym (C)
调用格式二：f1=poly2sym(C,'V') 或f2=poly2sym(C, sym ('V') ),
(二) POLYVAL函数
调用格式：Y = polyval(P,X)
(三) POLY函数
调用格式：Y = poly (V)
(四) CONV函数
调用格式：C =conv (A, B)
例 6.1.2求三个一次多项式、和的积
.它们的零点分别依次为0.4,0.8,1.2.
解我们可以用两种MATLAB程序求之.
方法1如输入MATLAB程序
>> X1=[0.4,0.8,1.2]; l1=poly(X1), L1=poly2sym (l1)
运行后输出结果为
l1 =
1.0000 -
2.4000 1.7600 -0.3840
L1 =
x^3-12/5*x^2+44/25*x-48/125
方法2如输入MATLAB程序
>> P1=poly(0.4);P2=poly(0.8);P3=poly(1.2);
C =conv (conv (P1, P2), P3) , L1=poly2sym (C) 运行后输出的结果与方法1相同.
(五) DECONV 函数
调用格式：[Q,R] =deconv (B,A)
(六) roots(poly(1:n))命令
调用格式：roots(poly(1:n))
(七) det(a*eye(size (A)) - A)命令
调用格式：b=det(a*eye(size (A)) - A)
6.2 拉格朗日（Lagrange）插值及其MATLAB程序
6.2.1 线性插值及其MATLAB程序
例6.2.1 已知函数在上具有二阶连续导数，，
且满足条件.求线性插值多项式和函数值，并估计
其误差.
解输入程序
>> X=[1,3];Y=[1,2]; l01= poly(X(2))/( X(1)- X(2)), l11= poly(X(1))/( X(2)- X(1)),
l0=poly2sym (l01),l1=poly2sym (l11), P =
l01* Y(1)+ l11* Y(2),
L=poly2sym (P),x=1.5; Y = polyval(P,x)
运行后输出基函数l0和l1及其插值多项式的系数向量P（略）、插值多
项式L和插值Y为
l0 = l1 = L = Y =
-1/2*x+3/2 1/2*x-1/2 1/2*x+1/2 1.2500
输入程序
>> M=5;R1=M*abs((x-X(1))* (x-X(2)))/2
运行后输出误差限为
R1 =
1.8750
例 6.2.2求函数e在上线性插值多项式，并估计其
误差.
解输入程序
>> X=[0,1]; Y =exp(-X) ,
l01= poly(X(2))/( X(1)- X(2)),
l11= poly(X(1))/( X(2)- X(1)), l0=poly2sym
(l01),
l1=poly2sym (l11), P = l01* Y(1)+ l11* Y(2),
L=poly2sym (P),
运行后输出基函数l0和l1及其插值多项式的系数向量P和插值多项式
L为
l0 = l1 = P =
-x+1 x -0.6321 1.0000
L =
-1423408956596761/2251799813685248*x+
1
输入程序
>> M=1;x=0:0.001:1; R1=M*max(abs((x-X(1)).*(x-X(2))))./2
运行后输出误差限为
R1 =
0.1250.
6.2.2 抛物线插值及其MATLAB程序
例 6.2.3求将区间[0, π/2] 分成等份，用
产生个节点，然后根据（6.9）和（6.13）式分别作
线性插值函数和抛物线插值函数.用它们分别计算cos (π/6) (取四位有效数字)，并估计其误差.
解输入程序
>> X=[0,pi/2]; Y =cos(X) ,
l01= poly(X(2))/( X(1)- X(2)),
l11= poly(X(1))/( X(2)- X(1)), l0=poly2sym (l01),
l1=poly2sym (l11),
P = l01* Y(1)+ l11* Y(2), L=poly2sym (P),x=pi/6;
Y = polyval(P,x)
运行后输出基函数l0和l1及其插值多项式的系数向量P、插值多项式
和插值为
l0 =
-5734161139222659/9007199254740992*x+1 l1 =
5734161139222659/9007199254740992*x P =
-0.6366 1.0000
L =
-5734161139222659/9007199254740992*x+1 Y =
0.6667
输入程序
>> M=1;x=pi/6; R1=M*abs((x-X(1))*(x-X(2)))/2
运行后输出误差限为
R1 =
0.2742.
（2）输入程序
>> X=0:pi/4:pi/2; Y =cos(X) ,
l01= conv (poly(X(2)),
poly(X(3)))/(( X(1)- X(2))* ( X(1)- X(3))),
l11= conv (poly(X(1)),
poly(X(3)))/(( X(2)- X(1))* ( X(2)- X(3))),
l21= conv (poly(X(1)),
poly(X(2)))/(( X(3)- X(1))* ( X(3)- X(2))),
l0=poly2sym (l01),l1=poly2sym (l11),l2=poly2sym (l21),
P = l01* Y(1)+ l11* Y(2) + l21* Y(3), L=poly2sym
(P),x=pi/6; Y = polyval(P,x)
运行后输出基函数l01、l11和l21及其插值多项式的系数向量P、插值
多项式L和插值Y为
l0 =
228155022448185/281474976710656*x^2-2150310427208
497/1125899906842624*x+1 l1 =
-228155022448185/140737488355328*x^2+573416113922
2659/2251799813685248*x l2 =
228155022448185/281474976710656*x^2-5734161139222
659/9007199254740992*x P =
-0.3357 -0.1092 1.0000
L=
-6048313895780875/18014398509481984*x^2-787061211
0600739/72057594037927936*x+1 Y =
0.8508
输入程序
>> M=1;x=pi/6; R2=M*abs((x-X(1))*(x-X(2)) *(x-X(3)))/6
运行后输出误差限为
R2 =
0.0239.
6.2.3 次拉格朗日（Lagrange）插值及其MATLAB程序
例 6.2.4给出节点数据，，
，，作三次拉格朗日插值多项式计算，并估计其误差.
解输入程序
>> X=[-2,0,1,2]; Y =[17,1,2,17];
p1=poly(X(1)); p2=poly(X(2));
p3=poly(X(3)); p4=poly(X(4));
l01= conv ( conv (p2, p3), p4)/(( X(1)- X(2))* ( X(1)- X(3)) * ( X(1)- X(4))),
l11= conv ( conv (p1, p3), p4)/(( X(2)- X(1))* ( X(2)- X(3)) * ( X(2)- X(4))),
l21= conv ( conv (p1, p2), p4)/(( X(3)- X(1))* ( X(3)- X(2)) * ( X(3)- X(4))),
l31= conv ( conv (p1, p2), p3)/(( X(4)- X(1))* ( X(4)- X(2)) * ( X(4)- X(3))),
l0=poly2sym (l01),
l1=poly2sym (l11),l2=poly2sym (l21), l3=poly2sym (l31),
P = l01* Y(1)+ l11* Y(2) + l21* Y(3) + l31* Y(4),
运行后输出基函数l0，l1，l2和l3及其插值多项式的系数向量P（略）为
l0 =
-1/24*x^3+1/8*x^2-1/12*x，l1 =1/4*x^3-1/4*x^2-x+1
l2 =
-1/3*x^3+4/3*x，l3 =1/8*x^3+1/8*x^2-1/4*x
输入程序
>> L=poly2sym (P),x=0.6; Y = polyval(P,x) 运行后输出插值多项式和插值为
L = Y =
x^3+4*x^2-4*x+1 0.2560.
输入程序
>> syms M; x=0.6;
R3=M*abs((x-X(1))*(x-X(2)) *(x-X(3)) *(x-X(4)))/24
运行后输出误差限为
R3 =
91/2500*M
即
R3，.
6.2.5 拉格朗日多项式和基函数的MATLAB程序
求拉格朗日插值多项式和基函数的MATLAB主程序
function [C, L,L1,l]=lagran1(X,Y)
m=length(X); L=ones(m,m);
for k=1: m
V=1;
for i=1:m
if k~=i
V=conv(V,poly(X(i)))/(X(k)-X(i));
end
end
L1(k,:)=V; l(k,:)=poly2sym (V)
end
C=Y*L1;L=Y*l
例6.2.5 给出节点数据，，，，，，作五次拉格朗日插值多项
式和基函数，并写出估计其误差的公式.
解在MATLAB工作窗口输入程序
>> X=[-2.15 -1.00 0.01 1.02 2.03 3.25];
Y=[17.03 7.24 1.05 2.03 17.06 23.05];
[C, L ,L1,l]= lagran1(X,Y)
运行后输出五次拉格朗日插值多项式L及其系数向量C，基函数l及其系数矩阵L1如下
C =
-0.2169 0.0648 2.1076 3.3960 -4.5745 1.0954
L =
1.0954-4.5745*x+3.3960*x^2+
2.1076*x^3+0.0648*x^ 4-0.2169*x^5
L1 =
-0.0056 0.0299 -0.0323 -0.0292 0.0382 -0.0004
0.0331 -0.1377 -0.0503 0.6305 -0.4852 0.0048
-0.0693 0.2184 0.3961 -1.2116 -0.3166
1.0033
0.0687 -0.1469 -0.5398 0.6528 0.9673 -0.0097
-0.0317 0.0358 0.2530 -0.0426 -0.2257 0.0023
0.0049 0.0004 -0.0266 0.0001 0.0220 -0.0002
l =
[ -0.0056*x^5+0.0299*x^4-0.0323*x^3-0.0292*x^2+ 0.0382*x-0.0004]
[ 0.0331*x^5-0.1377*x^4-0.0503*x^3+0.6305*x^2-0 .4852*x+0.0048]
[ -0.0693*x^5+0.2184*x^4+0.3961*x^3-1.2116*x^2-0 .3166*x+1.0033]
[ 0.0687*x^5-0.1469*x^4-0.5398*x^3+0.6528*x^2+ 0.9673*x-0.0097]
[ -0.0317*x^5+0.0358*x^4+0.2530*x^3-0.0426*x^2-0.2257*x+0.0023]
[ 0.0049*x^5+0.0004 *x^4-0.0266*x^3+0.0001*x^2+0.0220*x-0.0002]
估计其误差的公式为
，.
6.2.6 拉格朗日插值及其误差估计的MATLAB程序
拉格朗日插值及其误差估计的MATLAB主程序
function [y,R]=lagranzi(X,Y,x,M)
n=length(X); m=length(x);
for i=1:m
z=x(i);s=0.0;
for k=1:n
p=1.0; q1=1.0; c1=1.0;
for j=1:n
if j~=k
p=p*(z-X(j))/(X(k)-X(j));
end
q1=abs(q1*(z-X(j)));c1=c1*j;
end
s=p*Y(k)+s;
end
y(i)=s;
end
R=M*q1/c1;
例 6.2.6已知，，，用
拉格朗日插值及其误差估计的MATLAB主程序求的近似值，并估
计其误差.
解在MATLAB工作窗口输入程序
>> x=2*pi/9; M=1; X=[pi/6 ,pi/4, pi/3];
Y=[0.5,0.7071,0.8660];
[y,R]=lagranzi(X,Y,x,M)
运行后输出插值y及其误差限R为
y = R =
0.6434 8.8610e-004.
6.3 牛顿（Newton）插值及其MATLAB程序
6.3.3 牛顿插值多项式、差商和误差公式的MATLAB程序
求牛顿插值多项式和差商的MATLAB主程序
function [A,C,L,wcgs,Cw]= newploy(X,Y)
n=length(X); A=zeros(n,n); A(:,1)=Y';
s=0.0; p=1.0; q=1.0; c1=1.0;
for j=2:n
for i=j:n
A(i,j)=(A(i,j-1)-
A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1));
end
b=poly(X(j-1));q1=conv(q,b);
c1=c1*j; q=q1;
end
C=A(n,n); b=poly(X(n)); q1=conv(q1,b);
for k=(n-1):-1:1
C=conv(C,poly(X(k))); d=length(C);
C(d)=C(d)+A(k,k);
end
L(k,:)=poly2sym(C); Q=poly2sym(q1);
syms M
wcgs=M*Q/c1; Cw=q1/c1;
例6.3.3 给出节点数据，，，，，,作五阶牛顿插值多项式和差
商，并写出其估计误差的公式.
解（1）保存名为newpoly.m的M文件.
（2）输入MATLAB程序
>> X=[-2.15 -1.00 0.01 1.02 2.03 3.25];
Y=[17.03 7.24 1.05 2.03 17.06 23.05];
[A,C,L,wcgs,Cw]= newdcw (X,Y)
运行后输出差商矩阵A,五阶牛顿插值多项式L及其系数向量C, 插值余项公式L及其向量C w如下
A =
17.0300 0 0 0 0 0
7.2400 -8.5130 0 0 0 0
1.0500 -6.1287 1.1039 0 0 0
2.0300 0.9703
3.5144 0.7604 0 0
17.0600 14.8812 6.8866 1.1129 0.0843 0
23.0500 4.9098 -4.4715 -3.5056 -1.0867 -0.2169
C =
-0.2169 0.0648 2.1076 3.3960 -4.5745 1.0954
L =
-7813219284746629/36028797018963968*x^5+5838495 64517807/9007199254740992*x^4+593245028711263/28147497 6710656*x^3+3823593773002357/1125899906842624*x^2-32190 2673270315/70368744177664*x+308328649211299/2814749767 10656
wcgs =
1/720*M*(x^6-79/25*x^5-14201/2500*x^4+49340970269 00981/281474976710656*x^3+154500712237335/351843720888
32*x^2-8170642380559269/562949953421312*x+5212760744134 241/36028797018963968)
Cw =
0.0014 -0.0044 -0.0079 0.0243 0.0061 -0.0202 0.0002
即
L
=1.0954-4.5745*x+3.3960*x^2+2.1076*x^3+0.0648*x^4-0.2169*x^
5.
估计其误差的公式为
，.
例6.3.4 求函数e在上五阶牛顿插值多项式，估计其误差的公式和误差限公式.用它们计算，并估计其误差.
解（1）输入MATLAB程序
>> X=2:4/5:6; Y=-7*exp(-X/5);
[A,C,L,wcgs,Cw]= newploy(X,Y), x1=2:0.001:6;
M=max(-7*exp(-x1/5)/(5^6)),
运行后输出差商矩阵A, 五阶牛顿插值多项式L及其系数向量C, 插值余项公式L及其向量C w如下
A =
-4.6922 0 0 0 0 0
-3.9985 0.8672 0 0 0 0
-3.4073 0.7390 -0.0801 0 0 0
-2.9035 0.6297 -0.0683 0.0049 0 0
-2.4742 0.5366 -0.0582 0.0042 -0.0002 0
-2.1084 0.4573 -0.0496 0.0036 -0.0002 0.0000
C =
0.0000 -0.0004 0.0089 -0.1389
1.3985 -6.9991
L =
9721799720875/1152921504606846976*x^5-35039 94098647815/9223372036854775808*x^4+160742008798419/18 014398509481984*x^3-1251152213853501/9007199254740992*x ^2+6298131904328647/4503599627370496*x-394015692955401 3/562949953421312
wcgs =
1/720*M*(x^6-24*x^5+1172/5*x^4-5952/5*x^3+7276 634802928539/2199023255552*x^2-5237461186650519/1099511 627776*x+6085939356447121/2199023255552)
Cw =
0.0014 -0.0333 0.3256 -1.6533 4.5959 -6.6159 3.8438
M =
-1.3494e-004
（2）输入MATLAB程序
>> syms x
wcgs1=1/720*M*1/720*M*(x^6-24*x^5+1172/5* x^4-5952/5*x^3+7276634802928539/2199023255552*x^2 -5237461186650519/1099511627776*x+608593935644712 1/2199023255552),
运行后输出误差限公式wcgs1如下
wcgs1 =
5565367633581443/158456325028528675187087900 672*x^6-16696102900744329/19807040628566084398385 987584*x^5+1630652716639362799/198070406285660843 983859875840*x^4-517579189923074199/1237940039285 3802748991242240*x^3+4049714781361077293229736550 1777/348449143727040986586495598010130648530944*x ^2-29148396970323855270001164718917/1742245718635 20493293247799005065324265472*x+33870489914310283 926665276375603/348449143727040986586495598010130 648530944
（3）输入MATLAB程序
>> x=3.156;
y=9721799720875/1152921504606846976*x^5-35 03994098647815/9223372036854775808*x^4+1607420087 98419/18014398509481984*x^3-1251152213853501/9007 199254740992*x^2+6298131904328647/450359962737049 6*x-3940156929554013/562949953421312
wcgs2=1/720*M*(x^6-24*x^5+1172/5*x^4-5952/ 5*x^3+7276634802928539/2199023255552*x^2-52374611 86650519/1099511627776*x+6085939356447121/2199023 255552)
运行后输出的近似值y，及其误差限wcgs2如下
y =
-3.7237
wcgs2 =
-2.4764e-007
6.3.4 牛顿插值及其误差估计的MATLAB程序
牛顿插值及其误差估计的MATLAB主程序
function [y,R]= newcz(X,Y,x,M)
n=length(X); m=length(x);
for t=1:m
z=x(t); A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';
s=0.0; p=1.0; q1=1.0; c1=1.0;
for j=2:n
for i=j:n
A(i,j)=(A(i,j-1)-
A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1));
end
q1=abs(q1*(z-X(j-1)));c1=c1*j;
end
C=A(n,n);q1=abs(q1*(z-X(n)));
for k=(n-1):-1:1
C=conv(C,poly(X(k)));d=length(C);
C(d)=C(d)+A(k,k);
end
y(k)= polyval(C, z);
end
R=M*q1/c1;
例6.3.5 已知，，，用牛顿插值法求的近似值，估计其误差，并与例 6.2.6的计算结果比较.
解方法1（牛顿插值及其误差估计的MATLAB主程序）输入MATLAB程序
>> x=2*pi/9;M=1; X=[pi/6 ,pi/4, pi/3];
Y=[0.5,0.7071,0.8660]; [y,R]= newcz(X,Y,x,M)
运行后输出
y = R =
0.6434 8.8610e-004
方法2 （求牛顿插值多项式和差商的MATLAB主程序）输入MATLAB 程序
>> x=2*pi/9; X=[pi/6 ,pi/4, pi/3];
Y=[0.5,0.7071,0.8660]; M=1;
[A,C,L,wcgs,Cw]= newploy(X,Y), y=polyval(C,x)
运行后输出结果
A =
0.5000 0 0
0.7071 0.7911 0
0.8660 0.6070 -0.3516
C =
-0.3516 1.2513 -0.0588
L =
-1583578379808357/4503599627370496*x^2+140
8883391907005/1125899906842624*x-132405829044691/ 2251799813685248
wcgs =
1/6*M*(x^3-3/4*x^2*pi+4012734077357799/225 1799813685248*x-7757769783530263/1801439850948198 4)
Cw =
0.1667 -0.3927 0.2970 -0.0718
y =
0.6434
上述两种方法计算y的结果相同.
6.3.5 牛顿插值法的MATLAB综合程序
求牛顿插值多项式、差商、插值及其误差估计的MATLAB主程序function [y,R,A,C,L]=newdscg(X,Y,x,M)
n=length(X); m=length(x);
for t=1:m
z=x(t); A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';
s=0.0; p=1.0; q1=1.0; c1=1.0;
for j=2:n
for i=j:n
A(i,j)=(A(i,j-1)-
A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1));
end
q1=abs(q1*(z-X(j-1)));c1=c1*j;
end
C=A(n,n);q1=abs(q1*(z-X(n)));
for k=(n-1):-1:1
C=conv(C,poly(X(k)));
d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k);
end
y(k)= polyval(C, z);
end
R=M*q1/c1;L(k,:)=poly2sym(C);
例6.3.6给出节点数据，，
，，作三阶牛顿插值多项式，计算，并估计其误差.
解首先将名为newdscg.m的程序保存为M文件，然后在MATLAB工作窗口输入程序
>> syms M,X=[-4,0,1,2]; Y =[27,1,2,17];
x=-2.345;
[y,R,A,C,P]=newdscg(X,Y,x,M)
运行后输出插值y及其误差限公式R，三阶牛顿插值多项式
P及其系数向量C，差商的矩阵A如下
y =
22.3211
R =
1323077530165133/562949953421312*M（即R =2.3503*M）
A=
27.0000 0 0 0
1.0000 -6.5000 0 0
2.0000 1.0000 1.5000 0
17.0000 15.0000 7.0000 0.9167
C =
0.9167 4.2500 -4.1667 1.0000
P =
11/12*x^3+17/4*x^2-25/6*x+1
例6.3.7 将区间[0,π/2] 分成等份，用
产生个节点，求二阶和三阶牛顿插值多项式和.用它们分别计算sin (π/7) (取四位有效数字)，并估计其误差.
解首先将名为newdscg.m的程序保存为M文件，然后在MATLAB工作窗口输入程序
>> X1=0:pi/4:pi/2; Y1 =sin(X1); M=1; x=pi/7;
X2=0:pi/6:pi/2; Y2 =sin(X2);
[y1,R1,A1,C1,P2]=newdscg(X1,Y1,x,M),
[y2,R2,A2,C2,P3]=newdscg(X2,Y2,x,M)
运行后输出插值y1=和y2=及其误差
限R1和R2，二阶和三阶牛顿插值多项式P2和P3及其系数向量C1和
C2，差商的矩阵A1和A2如下
y1 =
0.4548
R1 =
0.0282
A1 =
0 0 0
0.7071 0.9003 0
1.0000 0.3729 -0.3357
C1 =
-0.3357 1.1640 0
P2 =
-3024156947890437/9007199254740992*x^2+1638202463
22191/140737488355328*x y2 =
0.4345
R2 =
9.3913e-004
A2 =
0 0 0 0
0.5000 0.9549 0 0
0.8660 0.6991 -0.2443 0
1.0000 0.2559 -0.4232 -0.1139
C2 =
-0.1139 -0.0655 1.0204 0
P3 =
-1025666884451963/9007199254740992*x^3-471 7668559161127/72057594037927936*x^2+4595602396951 547/4503599627370496*x
6.4 埃尔米特（Hermite）插值及其MATLAB程序
6.4.3 埃尔米特插值多项式和误差公式的MATLAB程序
求埃尔米特插值多项式和误差公式的MATLAB主程序
function[Hc, Hk,wcgs,Cw]= hermite (X,Y,Y1)
m=length(X); n=M1;s=0; H=0;q=1;c1=1;
L=ones(m,m); G=ones(1,m);
for k=1:n+1
V=1;
for i=1:n+1
if k~=i
s=s+(1/(X(k)-X(i)));
V=conv(V,poly(X(i)))/(X(k)-X(i) );
end
h=poly(X(k)); g=(1-2*h*s);
G=g*Y(k)+h*Y1(k);
end
H=H+conv(G,conv(V,V));
b=poly(X(k));b2=conv(b,b);
q=conv(q,b2); t=2*n+2;
Hc=H;Hk=poly2sym (H); Q=poly2sym(q);
end
for i=1:t
c1=c1*i;
end
syms M,wcgs=M*Q/c1; Cw=q/c1;
例 6.4.3 给定函数在点处的函数值
, ，和导数值，，
，且，求函数在点处的五阶埃尔
米特插值多项式和误差公式，计算并估计其误差.
解（1）保存名为hermite.m的M文件.
（2）在MATLAB工作窗口输入程序
>>X=[pi/6,pi/4,pi/2]; Y=[0.5,0.7071,1];
Y1=[0.8660,0.7071,0]; [Hc, Hk,wcgs,Cw]= hermite (X,Y,Y1)
运行后输出五阶埃尔米特插值多项式H k及其系数向量H c，误差公式wcgs及其系数向量C w如下
Hc =
1.0e+003 *
0.1912 -0.9273 1.6903 -1.4380 0.5751 -0.0866
Hk =
6725828781679091/35184372088832*x^5-407828 6086775209/4398046511104*x^4+7434035571017927/439 8046511104*x^3-3162205449085973/2199023255552*x^2 +5058863928652835/8796093022208*x-609405783995884 3/70368744177664
wcgs =
1/720*M*(x^6-11/6*x^5*pi+7446708432019761/ 562949953421312*x^4-4363745503235773/281474976710 656*x^3+21569239021155/2199023255552*x^2-71780736 37328281/2251799813685248*x+3758430567659515/9007 199254740992)
Cw =
0.0014 -0.0080 0.0184 -0.0215 0.0136
-0.0044 0.0006
当时的误差公式为
R=0.001 4* x^6-0.008 0*x^5+0.018 4*x^4-0.021 5*x^3+0.013
6*x^2-0.004 4*x+0.000 6
（3）在MATLAB工作窗口输入程序
>> x=1.567;M=1;
Hk=6725828781679091/35184372088832*x^5-40 78286086775209/4398046511104*x^4+7434035571017927
/4398046511104*x^3-3162205449085973/2199023255552 *x^2+5058863928652835/8796093022208*x-60940578399 58843/70368744177664,
wcgs=1/720*M*(x^6-11/6*x^5*pi+74467084320 19761/562949953421312*x^4-4363745503235773/281474 976710656*x^3+21569239021155/2199023255552*x^2-71 78073637328281/2251799813685248*x+375843056765951 5/9007199254740992)
运行后输出的近似值Hk及其误差wcgs如下
Hk =
2.5265
wcgs =
1.3313e-008
6.5 分段插值及其MATLAB程序
6.5.1 高次插值的振荡和MATLAB程序
例6.5.1作下列函数在指定区间上的次拉格朗日插值多项式
的图形，并讨论插值多项式的次数与误差的关系.
（1），；（2），
.
解将计算次拉格朗日插值多项式的值的MATLAB程序保存名为lagr1.m的M文件.
function y=lagr1(x0,y0,x)
n=length(x0); m=length(x);
for i=1:m
z=x(i);s=0.0;
for k=1:n
p=1.0;
for j=1:n
if j~=k
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
end
end
s=p*y0(k)+s;
end
y(i)=s;
end
（1）现提供作次拉格朗日插值多项式的图形的MATLAB程序，保存名为Li1.m 的M文件
m=150; x=-pi:2*pi/(m-1): pi;
y=tan(cos((3^(1/2)+sin(2*x))./(3+4*x.^2)));
plot(x,y,'k-'),
gtext('y=tan(cos((sqrt(3)+sin(2x))/(3+4x^2) ))'),pause
n=3; x0=-pi:2*pi/(3-1):pi;
y0=tan(cos((3^(1/2)+sin(2*x0))./(3+4*x0.^2))) ;
y1=lagr1(x0,y0,x);hold on,
plot(x,y1,'g<'),gtext('n=2'),pause,hold off n=5; x0=-pi:2*pi/(n-1):pi;
y0=tan(cos((3^(1/2)+sin(2*x0))./(3+4*x0.^2))) ;
y2=lagr1(x0,y0,x);hold on,
plot(x,y2,'b:'),gtext('n=4'),pause,hold off n=7; x0=-pi:2*pi/(n-1):pi;
y0=tan(cos((3^(1/2)+sin(2*x0))./(3+4*x0.^2))) ;
y3=lagr1(x0,y0,x);hold on,
plot(x,y3,'rp'),gtext('n=6'),pause,hold off n=9; x0=-pi:2*pi/(n-1):pi;
y0=tan(cos((3^(1/2)+sin(2*x0))./(3+4*x0.^2))) ;
y4=lagr1(x0,y0,x);hold on,
plot(x,y4,'m*'),gtext('n=8'),pause,hold off n=11; x0=-pi:2*pi/(n-1):pi;
y0=tan(cos((3^(1/2)+sin(2*x0))./(3+4*x0.^2))) ;
y5=lagr1(x0,y0,x);hold on,
plot(x,y5,'g:'),gtext('n=10')
title('高次拉格朗日插值的振荡')
在MATLAB工作窗口输入名为Li1.m的M文件的文件名>> Li1.m
回车运行后，便会逐次画出在区间上的次拉格朗日插值
多项式的图形(略).
（2）在MATLAB工作窗口输入程序
m=101; x=-5:10/(m-1):5; y=1./(1+x.^2);
z=0*x;plot(x,z,'r',x,y,'k-'),
gtext('y=1/(1+x^2)'),pause
n=3; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2);
y1=lagr1(x0,y0,x);hold on,
plot(x,y1,'g'),gtext('n=2'),pause,hold off n=5; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2);
y2=lagr1(x0,y0,x);hold on,
plot(x,y2,'b:'),gtext('n=4'),pause,hold
off
n=7; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2);
y3=lagr1(x0,y0,x);hold on,
plot(x,y3,'r'),gtext('n=6'),pause,hold off n=9; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2);
y4=lagr1(x0,y0,x);hold on,
plot(x,y4,'r:'),gtext('n=8'),pause,hold
off
n=11; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2);
y5=lagr1(x0,y0,x);hold on,
plot(x,y5,'m'),gtext('n=10')
title('高次拉格朗日插值的振荡')
回车运行后，便会逐次画出在区间上的次拉格朗
日插值多项式的图形(略).
6.5.4 作有关分段线性插值图形的MATLAB程序
作有关分段线性插值图形的MATLAB主程序
function s= xxczhjt1(x0,y0,xi,x,y)
s= interp1(x0,y0,xi);
Sn= interp1(x0,y0,x0);
plot(x0,y0,'o',x0,Sn,'-',xi,s,'*',x,y,'-. ')
legend('节点(xi,yi)','分段线性插值函数
Sn(x)','插值点(x,s)','被插值函数y')
我们也可以直接在在MATLAB工作窗口编程序.例如，
>> x0 =-6:6; y0 =sin(x0);
xi = -6:.25:6;
yi = interp1(x0,y0,xi);
x=-6:0.001:6;
y=sin(x);plot(x0,y0,'o',xi,yi,x,y,':'),
legend('节点(xi,yi)','分段线性插值函数','被插
值函数y=sinx ')
title('y=sinx及其分段线性插值函数和节点的图形')
>> x0 =-6:6; y0 =cos(x0);
xi = -6:.25:6;
yi = interp1(x0,y0,xi);
x=-6:0.001:6; y=cos(x);
plot(x0,y0,'o',xi,yi,x,y,':'),
legend('节点(xi,yi)','分段线性插值函数','被插
值函数y=cosx ')
title('y=cosx及其分段线性插值函数和节点的图形') 例6.5.5设函数，在区间上取等距节点
, 构造分段线性插值函数，用MATLAB程序计算各小区间的中点处的值，作出节点，插值点，和的图形.
解节点的横坐标和插值点等取值与例6.5.4相同.在MATLAB 工作窗口输入程序
>>x0=-1:0.2:1; y0=1./(1+25.*x0.^2);
xi=-0.9:0.2:0.9;
b=max(x0);
a=min(x0);x=a:0.001:b;
y=1./(1+25.*x.^2);
s=xxczhjt1(x0,y0,xi,x,y), title('y=1/(1+25 x^2)的分段线性插值的有关图形')
运行后屏幕显示各小区间中点处的值，出现节点，插值点，
和的图形(略)
s =
Columns 1 through 4
0.04864253393665 0.07941176470588 0.15000000000000
0.35000000000000
Columns 5 through 8
0.75000000000000 0.75000000000000 0.35000000000000
0.15000000000000
Columns 9 through 10
0.07941176470588 0.04864253393665
6.5.5 用MATLAB计算有关分段线性插值的误差
例6.5.8设函数,在区间上取等
常见的插值方法及其原理 这一节无可避免要接触一些数学知识，为了让本文通俗易懂，我们尽量绕开讨厌的公式等。为了进一步的简化难度，我们把讨论从二维图像降到一维上。 首先来看看最简单的‘最临近像素插值’。 A,B是原图上已经有的点，现在我们要知道其中间X位置处的像素值。我们找出X位置和A,B位置之间的距离d1,d2，如图，d2要小于d1,所以我们就认为X处像素值的大小就等于B处像素值的大小。 显然，这种方法是非常苯的，同时会带来明显的失真。在A,B中点处的像素值会突然出现一个跳跃，这就是为什么会出现马赛克和锯齿等明显走样的原因。最临近插值法唯一的优点就是速度快。 图10，最临近法插值原理 接下来是稍微复杂点的‘线性插值’（Linear） 线性插值也很好理解，AB两点的像素值之间，我们认为是直线变化的，要求X点处的值，只需要找到对应位置直线上的一点即可。换句话说，A,B间任意一点的值只跟A,B有关。由于插值的结果是连续的，所以视觉上会比最小临近法要好一些。线性插值速度稍微要慢一点，但是效果要好不少。如果讲究速度，这是个不错的折衷。 图11，线性插值原理
其他插值方法 立方插值，样条插值等等，他们的目的是试图让插值的曲线显得更平滑，为了达到这个目的，他们不得不利用到周围若干范围内的点，这里的数学原理就不再详述了。 图12，高级的插值原理 如图，要求B,C之间X的值，需要利用B,C周围A,B,C,D四个点的像素值，通过某种计算，得到光滑的曲线，从而算出X的值来。计算量显然要比前两种大许多。 好了，以上就是基本知识。所谓两次线性和两次立方实际上就是把刚才的分析拓展到二维空间上，在宽和高方向上作两次插值的意思。在以上的基础上，有的软件还发展了更复杂的改进的插值方式譬如S-SPline, Turbo Photo等。他们的目的是使边缘的表现更完美。
五种插值法的对比研究 1. 选题依据 1.1 选题背景 插值法是一种古老的数学方法，插值法历史悠久。据考证，在公元六世纪时， 我国焯(zhuo) 已经把等距二次插值法应用于天文计算。十七世纪时，Newton 和 Gregory(格雷格里) 建立了等距节点上的一般插值公式，十八世纪时，Lagrange(拉格朗日) 给出了更一般的非等距节点插值公式。 而它的基本理论是在微积分产生以后逐渐完善的，它的实际应用也日益增多，特别是在计算机工程中。许多库函数的计算实际上归结于对逼近函数的计算。 1.2 研究的目的和意义 插值法是数值分析中最基本的方法之一。 在实际问题中碰到的函数是各种各样的，有的甚至给不出表达式，只提供了一些离散数据，例如，在查对数表时， 要查的数据在表中找不到，就先找出它相邻的数，再从旁边找出它的修正值， 按一定关系把相邻的数加以修正，从而找出要找的数，这种修正关系实际上就是一种插值。 在实际应用中选用不同类型的插值函数，逼近的效果也不同。在数值计算方法中，我们学习过五种基本的插值方法，即Lagrange 插值、Newton 插值、分段线性插值、分段三次Hermite 插值、样条插值函数。所以通过从这五种插值法的基本思想、特征、性质和具体实例入手，探讨五种插值法的优缺点和适用围，让学习者能够迅速而准确的解决实际问题，掌握插值法的应用。 2. 研究的方法 从具体实例入手并结合Matlab 在科学计算中的优势，通过实验对它们的精度和效率进行比较分析。 3. 论文结构 3.1 论文的总体结构 第一部分 导言 主要介绍选题的背景、目的及意义、研究现状、文献综述等。 第二部分 五种插值法的基本思想、性质及特点 在数值计算方法中，插值法是计算方法的基础，数值微分、数值积分和微分方程数值解都建立在此基础上。 插值问题的提法是：已知f(x)(可能未知或非常复杂函数)在彼此不同的n+1 个实点0x ,1x ,…n x 处的函数值是f(0x )，f(1x )，…,f(n x )，这时我们简单的说f(x)有n+1 个 离散数据对0n i i )}y ,{(x i .要估算f(x)在其它点x 处的函数值，最常见的一种办法就是插 值，即寻找一个相对简单的函数y(x)，使其满足下列插值条件：y(i x )=f(i x )，i=0,1,…,n.，并以y(x)作为f(x)的近似值.其中y(x)称为插值函数，f(x)称为被插函数。
几种常用的插值方法 数学系 信息与计算科学1班 李平 指导老师：唐振先 摘要:插值在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有许多直接的应用,在很多领域都要用插值的办法找出表格和中间值,插值还是数值积分微分方程数值解等数值计算的基础。本文归纳了几种常用的插值方法,并简单分析了其各自的优缺点。 关键词:任意阶多项式插值,分段多项式插值。 引言:所谓插值,通俗地说就是在若干以知的函数值之间插入一些未知函数值,而插值函数的类型最简单的选取是代数多项式。用多项式建立插值函数的方法主要用两种：一种是任意阶的插值多项式,它主要有三种基本的插值公式：单项式,拉格朗日和牛顿插值；另一种是分段多项式插值,它有Hermite 和spine 插值和分段线性插值。 一．任意阶多项式插值： 1.用单项式基本插值公式进行多项式插值： 多项式插值是求通过几个已知数据点的那个n-1阶多项式,即P n-1(X)=A 1+A 2X+…A n X n-1,它是一个单项式基本函数X 0,X 1…X n-1的集合来定义多项式,由已知n 个点（X,Y ）构成的集合,可以使多项式通过没数据点,并为n 个未知系数Ai 写出n 个方程,这n 个方程组成的方程组的系数矩阵为Vandermonde 矩阵。 虽然这个过程直观易懂,但它都不是建立插值多项式最好的办法,因为Vandermonde 方程组有可能是病态的,这样会导致单项式系数不确定。另外,单项式中的各项可能在大小上有很大的差异,这就导致了多项式计算中的舍入误差。 2.拉格朗日基本插值公式进行插值： 先构造一组插值函数L i （x ） =011011()()()() ()()()() i i n i i i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--------L L L L ，其中i=0，… n.容易看出n 次多项式L i （x ）满足L i （x ）=1，（i=j ）；L i （x ）=0，（i ≠j ），其中
线性插值法计算公式解析 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020
线性插值法计算公式解析 2011年招标师考试实务真题第16题：某机电产品国际招标项目采用综合评价法评标。评标办法规定，产能指标评标总分值为10分，产能在100吨/日以上的为10分，80吨/日的为5分，60吨/日以下的为0分，中间产能按插值法计算分值。某投标人产能为95吨/日，应得（）分。A． B．8.75 C． D． 分析：该题的考点属线性插值法又称为直线内插法，是评标办法的一种，很多学员无法理解公式含义，只能靠死记硬背，造成的结果是很快会遗忘，无法应对考试和工作中遇到的问题，对此本人从理论上进行推导，希望对学员有所帮助。 一、线性插值法两种图形及适用情形 F F F2
图一：适用于某项指标越低得分越高的项目 评分计算，如投标报价得分的计算 图二：适用于某项投标因素指标越高，得分越高的 情形，如生产效率等 二、公式推导 对于这个插值法，如何计算和运用呢，我个人认为考生在考试时先试着画一下上面的图，只有图出来了，根据三角函数定义，tana=角的对边比上邻边，从图上可以看出，∠A是始终保持不变的，因此，根据三角函数tana，我们可以得出这样的公式
图一：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)=(F-F2)/(D2-D)＝（F1-F）/(D-D1)，通过这个公式，我们可以进行多种推算，得出最终公式如下 F=F2+（F1-F2）*(D2-D)/ (D2-D1) 或者F= F1-（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 图二：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)＝(F-F2)/ (D-D1)＝（F1-F） /(D2-D) 通过这个公式我们不难得出公式： F= F2+（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 或者F=F1-（F1-F2）*(D2-D)/(D2-D1) 三：例题解析 例题一：某招标文件规定有效投标报价最高的得30分，有效投标报价最低的得60分，投标人的报价得分用线性插值法计算，在评审中，评委发现有效的最高报价为300万元，有效最低的报价为240万元，某A企业的有效投标报价为280万元，问他的价格得分为多少 分析，该题属于图一的适用情形，套用公式 计算步骤：F=60+(30-60)/(300-240)*(280-240)=40 例题二：某招标文件规定，水泵工作效率85%的3分，95%的8分，某投标人的水泵工作效率为92%，问工作效率指标得多少分
1. 克里金法（Kriging） 克里金法是通过一组具有z 值的分散点生成估计表面的高级地统计过程。与其他插值方法不同，选择用于生成输出表面的最佳估算方法之前应对由z 值表示的现象的空间行为进行全面研究。 克里金插值与IDW插值的区别在于权重的选择，IDW仅仅将距离的倒数作为权重，而克里金考虑到了空间相关性的问题。它首先将每两个点进行配对，这样就能产生一个自变量为两点之间距离的函数。对于这种方法，原始的输入点可能会发生变化。在数据点多时，结果更加可靠。该方法通常用在土壤科学和地质中。 2. 反距离权重法（Inverse Distance Weighted，IDW） 反距离权重法（反距离权重法）工具所使用的插值方法可通过对各个待处理像元邻域中的样本数据点取平均值来估计像元值。点到要估计的像元的中心越近，则其在平均过程中的影响或权重越大。此方法假定所映射的变量因受到与其采样位置间的距离的影响而减小。例如，为分析零售网点而对购电消费者的表面进行插值处理时，在较远位置购电影响较小，这是因为人们更倾向于在家附近购物。 反距离权重法主要依赖于反距离的幂值。幂参数可基于距输出点的距离来控制已知点对内插值的影响。幂参数是一个正实数，默认值为2。 通过定义更高的幂值，可进一步强调最近点。因此，邻近数据将受到最大影响，表面会变得更加详细（更不平滑）。随着幂数的增大，内插值将逐渐接近最近采样点的值。指定较小的幂值将对距离较远的周围点产生更大影响，从而导致更加平滑的表面。 由于反距离权重公式与任何实际物理过程都不关联，因此无法确定特定幂值是否过大。作为常规准则，认为值为30 的幂是超大幂，因此不建议使用。此外还需牢记一点，如果距离或幂值较大，则可能生成错误结果。 3. 含障碍的样条函数（Spline with Barriers） 含障碍的样条函数工具使用的方法类似于样条函数法工具中使用的技术，其主要差异是此工具兼顾在输入障碍和输入点数据中编码的不连续性。 含障碍的样条函数工具应用了最小曲率方法，其实现方式为通过单向多格网技术，以初始的粗糙格网（在本例中是已按输入数据的平均间距进行初始化的格网）为起点在一系列精细格网间移动，直至目标行和目标列的间距足以使表面曲率接近最小值为止。 4. 地形转栅格（Topo to Raster） 地形转栅格和依据文件实现地形转栅格工具所使用插值技术是旨在用于创建可更准确地表示自然水系表面的表面，而且通过这种技术创建的表面可更好的保留输入等值线数据中的山脊线和河流网络。 5. 样条函数（Spline） 样条函数法工具所使用的插值方法使用可最小化整体表面曲率的数学函数来估计值，以生成恰好经过输入点的平滑表面。
数值分析报告 班级： 专业： 流水号： 学号： 姓名：
常用的插值方法 序言 在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。 早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 插值问题的提法是：假定区间[a，b〕上的实值函数f（x）在该区间上n＋1个互不相同点x0，x1……x n处的值是f（x0），……f（x n），要求估算f（x）在[a，b〕中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C0， C1，……C n的函数类Φ(C0，C1，……C n)中求出满足条件P（x i）＝f（x i）（i＝0，1，……n）的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。此处f（x）称为被插值函数，x0，x1，……xn 称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……C n)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……C n）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝f（x）－P（x）称为插值余项。
求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit 插值，分段插值和样条插值。 一．拉格朗日插值 1.问题提出： 已知函数()y f x =在n+1个点01,,,n x x x L 上的函数值01,,,n y y y L ，求任意一点 x '的函数值()f x '。 说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。 2.解决方法： 构造一个n 次代数多项式函数()n P x 来替代未知（或复杂）函数()y f x =，则 用()n P x '作为函数值()f x '的近似值。 设()2012n n n P x a a x a x a x =++++L ，构造()n P x 即是确定n+1个多项式的系数 012,,,,n a a a a L 。 3.构造()n P x 的依据： 当多项式函数()n P x 也同时过已知的n+1个点时，我们可以认为多项式函数 ()n P x 逼近于原来的函数()f x 。根据这个条件，可以写出非齐次线性方程组： 20102000 20112111 2012n n n n n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ?++++=?++++=?? ? ?++++=?L L L L L 其系数矩阵的行列式D 为范德萌行列式： ()20 0021110 2111n n i j n i j n n n n x x x x x x D x x x x x ≥>≥= = -∏L L M M M M L
实验名称：插值计算 1引言 在生产和科研中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数f（x）在区间[a,b]上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值。用这张函数表来直接求出其他点的函数值是非常困难的，在有些情况下，虽然可以写出f(x)的解析表达式，但由于结构十分复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，构造函数P(x)作为f(x)的近似，插值法是解决此类问题比较古老却目前常用的方法，不仅直接广泛地应用与生产实际和科学研究中，而且是进一步学习数值计算方法的基础。 设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的点a≤x0,x1……,xn≤b上分别取值y0,y1……,yn. 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数φ中，求一简单函数P(x),使P(xi)=yi(i=0,1…,n)而在其他点x≠xi上，作为f(x)的近似。 通常，称区间[a,b]为插值区间，称点x0,x1,…,xn为插值节点，上式为插值条件，称函数类φ为插值函数类，称P(x)为函数f(x)在节点x0,x1,…,xn处的插值函数，求插值函数P(x)的方法称为插值法。 2实验目的和要求 用matlab定义分段线性插值函数、分段二次插值函数、拉格朗日插值函数，输入所给函 数表，并利用计算机选择在插值计算中所需的节点，计算f(0.15),f(0.31),f(0.47)的近似值。
3算法描述 1.分段线性插值流程图
2.分段二次插值流程图
3.拉格朗日插值流程图
4程序代码及注释 1.分段线性插值
数值分析 报告 班级： 专业： 流水号： 学号： 姓名：
常用的插值方法 序言 在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。 早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 插值问题的提法是：假定区间[a，b〕上的实值函数f（x）在该区间上 n＋1 个互不相同点x 0，x 1 (x) n 处的值是f（x ），……f（x n ），要求估算f（x）在[a，b〕 中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C ， C 1，……C n 的函数类Φ(C ，C 1 ，……C n )中求出满足条件P（x i ）＝f（x i ）（i＝0，1，…… n）的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。此处f（x）称为被插值函数，x 0，x 1 ，……xn 称为插值结(节)点，Φ(C 0，C 1 ，……C n )称为插值函数类，上面等式称为插值条件， Φ（C 0，……C n ）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝ f（x）－P（x）称为 插值余项。
求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit 插值，分段插值和样条插值。 一．拉格朗日插值 1.问题提出： 已知函数()y f x =在n+1个点01,, ,n x x x 上的函数值01,, ,n y y y ，求任意一点 x '的函数值()f x '。 说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。 2.解决方法： 构造一个n 次代数多项式函数()n P x 来替代未知（或复杂）函数()y f x =，则 用()n P x '作为函数值()f x '的近似值。 设()2012n n n P x a a x a x a x =+++ +，构造()n P x 即是确定n+1个多项式的系数 012,,,,n a a a a 。 3.构造()n P x 的依据： 当多项式函数()n P x 也同时过已知的n+1个点时，我们可以认为多项式函数 ()n P x 逼近于原来的函数()f x 。根据这个条件，可以写出非齐次线性方程组： 20102000 201121112012n n n n n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ?+++ +=?++++=??? ?+++ +=? 其系数矩阵的行列式D 为范德萌行列式： () 200021110 2 111n n i j n i j n n n n x x x x x x D x x x x x ≥>≥= = -∏
1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z 值。它实际上是一个趋势面分析作图程序。使用多元回归法时要涉及到曲面定义和指定XY的最高方次设置，曲面定义是选择采用的数据的多项式类型，这些类型分别是简单平面、双线性鞍、二次曲面、三次曲面和用户定义的多项式。参数设置是指定多项式方程中X 和Y组元的最高方次。 5、径向基本函数法 径向基本函数法是多个数据插值方法的组合。根据适应你的数据和生成一个圆滑曲面的能力，其中的复二次函数被许多人认为是最好的方法。所有径向基本函数法都是准确的插值器，它们都要为尊重你的数据而努力。为了试图生成一个更圆滑的曲面，对所有这些方法你都可以引入一个圆滑系数。你可以指定的函数类似于克里金中的变化图。当对一个格网结点插值时，这些个函数给数据点规定了一套最佳权重。 6、谢别德法 谢别德法使用距离倒数加权的最小二乘方的方法。因此，它与距离倒数乘方插值器相似，但它利用了局部最小二乘方来消除或减少所生成等值线的"牛眼"外观。谢别德法可以是一个准确或圆滑插值器。在用谢别德法作为格网化方法时要涉及到圆滑参数的设置。圆滑参数是使谢别德法能够象一个圆滑插值器那样工作。当你增加圆滑参数的值时，圆滑的效果越好。 7、三角网/线形插值法 三角网插值器是一种严密的插值器，它的工作路线与手工绘制等值线相近。这种方法是通过在数据点之间连线以建立起若干个三角形来工作的。原始数据点的连结方法是这样：所有三角形的边都不能与另外的三角形相交。其结果构成了一张覆盖格网范围的，由三角形拼接起来的网。每一个三角形定义了一个覆盖该三角形内格网结点的面。三角形的倾斜和标高由定义这个三角形的三个原始数据点确定。给定三角形内的全部结点都要受到该三角形的表面的限制。因为原始数据点被用来定义各个三角形，所以你的数据是很受到尊重的。 8.自然邻点插值法 自然邻点插值法(NaturalNeighbor)是Surfer7.0才有的网格化新方法。自然邻点插值法广泛应用于一
第十章 插值与拟合方法建模 在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。 §1 数据插值方法及应用 在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据 ),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高，要求确定一个初等函数)(x P y =（一般用多项式或分段 多项式函数）通过已知各数据点（节点），即n i x P y i i ,,1,0,)( ==，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。 1、分段线性插值 这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果 b x x x a n =<<<= 10 那么分段线性插值公式为 n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11 1 11 =≤<--+--= ----- 可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。 例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm ）。
空间插值可以有很多种分类方法，插值种类也难以举尽。在网上看到这篇文章，觉得虽然作者没能进行分类，但算法本身介绍地还是不错的。 在科学计算领域中，空间插值是一类常用的重要算法，很多相关软件都内置该算法，其中GodenSoftware 公司的Surfer软件具有很强的代表性，内置有比较全面的空间插值算法，主要包括： Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法） Kriging（克里金插值法） Minimum Curvature（最小曲率） Modified Shepard's Method（改进谢别德法） Natural Neighbor（自然邻点插值法） Nearest Neighbor（最近邻点插值法） Polynomial Regression（多元回归法） Radial Basis Function（径向基函数法） Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法） Moving Average（移动平均法） Local Polynomial（局部多项式法） 下面简单说明不同算法的特点。 1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋
多种插值法比较与应用 （一）Lagrange 插值 1． Lagrange 插值基函数 n+1个n 次多项式 ∏ ≠=--=n k j j j k j k x x x x x l 0)( n k ,,1,0ΛΛ= 称为Lagrange 插值基函数 2． Lagrange 插值多项式 设给定n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0ΛΛ=，j i x x ≠，j i ≠，满足插值条件 )()(k k n x f x L =，n k ,,1,0ΛΛ= 的n 次多项式 ∏∏ ∏=≠==--==n k n k j j j k j k k n k k n x x x x x f x l x f x L 0 00 ))(()()()( 为Lagrange 插值多项式，称 ∏=+-+=-=n j j x n n x x n f x L x f x E 0 )1()()!1()()()()(ξ 为插值余项，其中),()(b a x x ∈=ξξ （二）Newton 插值 1．差商的定义 )(x f 关于i x 的零阶差商 )(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商
i j i j j i x x x f x f x x f --= ][][],[ 依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商 i k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --= +-+++++] ,,[],,[],,,[111ΛΛΛΛΛ 2． Newton 插值多项式 设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0ΛΛ=，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件 )()(k k n x f x N =，n k ,,1,0ΛΛ= 的n 次多项式 )()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N ΛΛΛΛΛ 为Newton 插值多项式，称 ],[,)(],,,[)()()(010b a x x x x x x f x N x f x E n j j n n ∈-=-=∏=ΛΛ 为插值余项。 （三）Hermite 插值 设],[)(1b a C x f ∈，已知互异点0x ，1x ，…，],[b a x n ∈及所对应的函数值为0f ，1f ，…，n f ，导数值为'0f ，'1f ，…，'n f ，则满足条件 n i f x H f x H i i n i i n ,,1,0,)(,)(''1212Λ===++ 的12+n 次Hermite 插值多项式为 )()()(0 '12x f x f x H j n j j j n j i n βα∏∏=++= 其中 )())((,)]()(21[)(2 2'x l x x x l x l x x x j j j j j j j j ---=βα
常见插值方法及其介绍 Inverse Distance to a Power（反距离加权 插值法）”、 “Kriging（克里金插值法）”、 “Minimum Curvature（最小曲率)”、 “Modified Shepard's Method（改进谢别德法）”、 “Natural Neighbor（自然邻点插值法）”、 “Nearest Neighbor（最近邻点插值法）”、 “Polynomial Regression（多元回归法）”、 “Radial Basis Function（径向基函数法）”、 “Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法）”、 “Moving Average（移动平均法）”、 “Local Polynomial（局部多项式法）” 1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数 控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被 给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。 计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距 离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个 观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点
被给予一 个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。 距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可 以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的 权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数 据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。 克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最 小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的 曲面。 使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛 标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类 型。多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z 值。它实际上是一个趋势面分析作
各种插值法的对比研究
目录 1.引言 (1) 2.插值法的历史背景 (1) 3.五种插值法的基本思想 (2) 3.1拉格朗日插值 (2) 3.2牛顿插值 (3) 3.3埃尔米特插值 (3) 3.4分段线性插值 (4) 3.5三次样条插值 (5) 4.五种插值法的对比研究 (5) 4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较 (5) 4.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较 (6) 4.3多项式插值法与分段线性插值的比较 (6) 4.4 分段线性插值与样条插值的比较 (6) 5.插值法在实际生活中的应用 (6) 6.结束语 (6) 致谢 (7) 参考文献 (7)
各种插值法的对比研究 摘要：插值法是一种古老的数学方法,也是数值计算中的一个算法.插值法不仅是微分方程、数值积分、数值微分等计算方法的基础,而且在医学、通讯、精密机械加工等领域都涉及到了它.本文首先介绍了插值的背景以及常用的五种插值法的基本思想,然后通过拉格朗日插值与牛顿插值、多项式插值与埃尔米特插值、多项式插值与分段线性插值、分段线性插值和样条函数插值给出相应的算法与MATLAB 程序,根据已学的知识对五种插值方法与被插函数的逼近程度进行对比研究,找出不同方法间的联系与区别,分析出它们的优缺点,最后在此基础上进一步研究插值法的实际应用,以提高插值法的实用性,从而能让我们在以后的应用中看到一个问题,就知道哪种方法更适合于它,然后大大地快速的提高效率. 关键词：多项式插值;样条函数插值;MATLAB 程序;应用 1.引言 在很多解题以及应用生活中,常常需要用数量关系来反映问题,但是有时没有办法通过数学语言准确地表达出来.已知有些变量之间存在一种函数关系,但没法用函数的表达式表示出来.比如,)(x f 在某个区间上[]b a ,是存在某种数量关系的,但是根据观察和测量或者实验只能得到有限个函数值,我们可以利用这几点来确定函数表达式.或者有一些函数表达式是已经知道的,但是它们的计算是十分繁琐复杂的,不容易发现它的本质,而且它的使用方法也比较局限.函数是表达数与数之间的联系,为了能很好地用数学语言表达出函数的关系,一般通过给定的数据构造一个函数)(x P ,这样既能反映函数)(x f 的特点,又方便计算,用)(x P 近似)(x f .通常选一个简单的函数)(x P ,而且=)(i x P )(i x f ()n i ,...,2,1,0=成立,这个时候的)(x P ,从要表达的函数规律来看,就是我们需要的插值函数[1] .所用方法就是插值法,由于所选用的)(x P 的多样化,得到不同的插值法. 2.插值法的历史背景 插值法的历史源远流长,在很早的时候就涉及到了它.它是数值计算中一个古老的分支,它来源于生产实践. 因为牛顿力学的物理理论知识在一千年前没有出现,所以我们的祖先没有办法用很准确的数学解析式来表达日月五星的运行规律.后来,古代的人们有着聪慧的头脑,想出了插值方法,然后发现了日月五星的运行规律.例如唐朝数学家张遂提出了插值法的概念以及不等距
分类： 算法 数字图像处理中常用的插值方法 2010-11-15 14:05 在做数字图像处理时，经常会碰到小数象素坐标的取值问题，这时就需要依据邻近象如：做地图投影转换，对目标图像的一个象素进行坐标变换到源图像上对应的点时，数，再比如做图像的几何校正，也会碰到同样的问题。以下是对常用的三种数字图像 1、最邻近元法 这是最简单的一种插值方法，不需要计算，在待求象素的四邻象素中，将距离待求象
对于 (i, j+v)，f(i, j) 到 f(i, j+1) 的灰度变化为线性关系，则有： f(i, j+v) = [f(i, j+1) - f(i, j)] * v + f(i, j) 同理对于 (i+1, j+v) 则有： f(i+1, j+v) = [f(i+1, j+1) - f(i+1, j)] * v + f(i+1, j) 从f(i, j+v) 到 f(i+1, j+v) 的灰度变化也为线性关系，由此可推导出待求象素灰度的计算 f(i+u, j+v) = (1-u) * (1-v) * f(i, j) + (1-u) * v * f(i, j+1) + u * (1-v) * f(i+1, j) 双线性内插法的计算比最邻近点法复杂，计算量较大，但没有灰度不连续的缺点，结性质，使高频分量受损，图像轮廓可能会有一点模糊。 3、三次内插法 该方法利用三次多项式S(x)求逼近理论上最佳插值函数sin(x)/x, 其数学表达式为： 待求像素(x, y)的灰度值由其周围16个灰度值加权内插得到，如下图：
待求像素的灰度计算式如下：f(x, y) = f(i+u, j+v) = ABC 其中:
五种插值法的对比研究 1.选题依据 1.1 选题背景 插值法是一种古老的数学方法，插值法历史悠久。据考证，在公元六世纪时，我国刘焯(zhuo) 已经把等距二次插值法应用于天文计算。十七世纪时，Newton和Gregory(格雷格里) 建立了等距节点上的一般插值公式，十八世纪时，Lagrange(拉格朗日) 给出了更一般的非等距节点插值公式。而它的基本理论是在微积分产生以后逐渐完善的，它的实际应用也日益增多，特别是在计算机工程中。许多库函数的计算实际上归结于对逼近函数的计算。 1.2 研究的目的和意义 插值法是数值分析中最基本的方法之一。在实际问题中碰到的函数是各种各样的，有的甚至给不出表达式，只提供了一些离散数据，例如，在查对数表时，要查的数据在表中找不到，就先找出它相邻的数，再从旁边找出它的修正值，按一定关系把相邻的数加以修正，从而找出要找的数，这种修正关系实际上就是一种插值。在实际应用中选用不同类型的插值函数，逼近的效果也不同。在数值计算方法中，我们学习过五种基本的插值方法，即Lagrange插值、Newton插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值、样条插值函数。所以通过从这五种插值法的基本思想、特征、性质和具体实例入手，探讨五种插值法的优缺点和适用范围，让学习者能够迅速而准确的解决实际问题，掌握插值法的应用。 2. 研究的方法
从具体实例入手并结合Matlab 在科学计算中的优势，通过实验对它们的精度和效率进行比较分析。 3. 论文结构 3.1 论文的总体结构 第一部分 导言 主要介绍选题的背景、目的及意义、研究现状、文献综述等。 第二部分 五种插值法的基本思想、性质及特点 在数值计算方法中，插值法是计算方法的基础，数值微分、数值积分和微分方程数值解都建立在此基础上。 插值问题的提法是：已知f(x)(可能未知或非常复杂函数)在彼此不同的n+1 个实点0x ,1x ,…n x 处的函数值是f(0x )，f(1x )，…,f(n x )，这时我们简单的说f(x)有n+1 个离散数据 对0n i i )}y ,{(x i .要估算f(x)在其它点x 处的函数值，最常见的一种办法就是插值，即寻找 一个相对简单的函数y(x)，使其满足下列插值条件：y(i x )=f(i x )，i=0,1,…,n.，并以y(x)作为f(x)的近似值.其中y(x)称为插值函数，f(x)称为被插函数。 多项式插值是最常见的一种函数插值.在一般插值问题中，由插值条件可以唯一确定一个次数不超过n 的插值多项式满足上述条件.从几何上看可以理解为：已知平面上n+1 个不同点，要寻找一条次数不超过n 的多项式曲线通过这些点.插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日（Lagrange ）插值多项式，另一个是牛顿（Newton ）插值多项式. 且Lagrange 插值公式恒等于Newton 插值公式. 分段线性插值与样条插值可以避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用
数学系 信息与计算科学1班 李平 指导老师：唐振先 摘要:插值在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有许多直接的应用,在很多领域都要用插值的办法找出表格和中间值,插值还是数值积分微分方程数值解等数值计算的基础。本文归纳了几种常用的插值方法,并简单分析了其各自的优缺点。 关键词:任意阶多项式插值,分段多项式插值。 引言:所谓插值,通俗地说就是在若干以知的函数值之间插入一些未知函数值,而插值函数的类型最简单的选取是代数多项式。用多项式建立插值函数的方法主要用两种：一种是任意阶的插值多项式,它主要有三种基本的插值公式：单项式,拉格朗日和牛顿插值；另一种是分段多项式插值,它有Hermite 和spine 插值和分段线性插值。 一．任意阶多项式插值： 1.用单项式基本插值公式进行多项式插值： 多项式插值是求通过几个已知数据点的那个n-1阶多项式,即P n-1(X)=A 1+A 2X+…A n X n-1,它是一个单项式基本函数X 0,X 1…X n-1的集合来定义多项式,由已知n 个点（X,Y ）构成的集合,可以使多项式通过没数据点,并为n 个未知系数Ai 写出n 个方程,这n 个方程组成的方程组的系数矩阵为Vandermonde 矩阵。 虽然这个过程直观易懂,但它都不是建立插值多项式最好的办法,因为Vandermonde 方程组有可能是病态的,这样会导致单项式系数不确定。另外,单项式中的各项可能在大小上有很大的差异,这就导致了多项式计算中的舍入误差。 2.拉格朗日基本插值公式进行插值： 先构造一组插值函数L i （x ） =011011()()()() ()()()() i i n i i i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--------，其中i=0，… n.容易看出n 次多项式L i （x ）满足L i （x ）=1，（i=j ）；L i （x ）=0，（i ≠j ），其中i=0，1…n ，令L i （x ）=0()n i i i y l x =∑这就是拉格朗日插值多项式。与单项式基本 函数插值多项式相比,拉格朗日插值有2个重要优点:首先,建立插值多项式不需要求解方程组；其次,它的估计值受舍入误差要小得多。拉格朗日插值公式结构