多项式除以多项式.docx

多项式除法示例

多项式除以多项式的一般步骤：

多项式除以多项式一般用竖式进行演算

（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项

用零补齐．

（2 ）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．

（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项

结合起来．

（ 4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+ 余式

如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除

多项式除以多项式的运算

多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：

例 1 计算( x29x 20) ( x 4)

规范解法

∴( x 29x20)(x 4)x 5.

解法步骤说明：

（1）先把被除式x29x20 与除式x 4 分别按字母的降幂排列好．

（2）将被除式x29x20 的第一项 x2除以除式 x 4 的第一项x，得x2x x ，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式x 4 相乘，得x24x ，写在 x29x20 的下面．

（4）从x29x20 减去 x24x ，得差5x20，写在下面，就是被除式去掉x24x 后的一部分．（5）再用5x20 的第一项 5x 除以除式的第一项x ，得5x x 5 ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．

（6）以商式的第二项 5 与除式x 4 相乘，得 5x20 ，写在上述的差5x 20的下面．

（7）相减得差0，表示恰好能除尽．

（8）写出运算结果， (x 29x20)( x 4)x 5.例 2 计算(6x59x47x220 x3) (2x2x 5) ．规范解法

∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)

3x33x26x1???????????余9x 2．

注①遇到被除式或除式中缺，用0 位或空出；②余式的次数低于除式的次数．

另外，以上两例可用分离系数法求解．如例2．

∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)

3x33x26x1???????????余9x 2．

8．什么是合除法

由前面的 4我知道两个多式相除可以用式行，但当除式一次式，而且它的首系数 1 ，情况比特殊．

如：算 ( 2x33x4)( x 3) ．

因除法只系数行，和x 无关，于是算式（1）就可以化成算式（2）．

可以再化．方框中的数2、6、21 和余式首系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首系数是1，所以余式的首系数 6、21 与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首系数也

省略，算式（ 2）就化成了算式（30 的形式：

将算式（ 3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（ 4）中的除数－ 3 换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．

多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．

例 1 用综合除法求x43x33x 23x 12 除以x 1的商式和余式．

规范解法

∴商式x32x 2x 2 ，余式＝10．

例 2用综合除法证明2x515x3 10 x29 能被x 3整除．

规范证法这里 x 3x( 3) ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）

因余数是 0，所以2x515x310 x29 能被x 3 整除．

当除式为一次式，而一次项系数不是 1 时，需要把它变成 1以后才能用综合除法．．

例 3 求2x3x7 除以2x 1 的商式和余数．

规范解法把 2x

1除以2，化为x1，用综合除法．

2

但是，商式2x2x3，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了 2 倍，应当除以 2 才是所求的商

2

式；余数没有变．

∴ 商式

x21x3，余数73．

244

为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下．

用 2

x 3

x 7 除以 x

1 ，得商式 2x

2 x

3 ，余数为 7 3 ，即

2 2 4 ∴

2x

3

x 3

x 1

2x

2

x

3 7 3

2

2 4

2x 1 x 2

1 x 3

7 3

．

2 4

4

即

2x

3

x 3 除以 2x 1的商式

x

2

1 x 3 ，余数仍为 7

3

．

2

4

4

综合除法与余数定理

综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。

一、综合除法

一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式

f (x) 除以除式 g( x), ( g( x) 0) 得商式

q(x) 及余式 r (x) 时，就有下列等式：

f ( x)

g (x) q( x) r ( x) 。

其中 r (x) 的次数小于 g (x) 的次数，或者 r ( x)

0 。当 r ( x) 0 时，就是 f (x) 能被 g( x) 整除。

下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例 1、用综合除法求

2x 4

14x 4 7x 3 除以 x 2 所得的商和余式。 2

7 0

14 4 2 解：

4

6

12

4

8

2

3 6

2

余式

商的各项的系数

∴ (2x 4

14 x 4 7 x 3 ) ( x 2) 的商是 2 x 3 3x 2

6x 2 ，余式是 8。

上述综合除法的步骤是：

（ 1）把被除式按降幂排好，缺项补零。

（ 2）把除式的第二项 -2 变成 2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。

（ 3）把被除式的第一项的系数 2 移到横线的下面，得到商的第一项的系数。

（ 4）用 2 乘商的第一项的系数

2，得 4，写在被除式的第二项的系数

-7 的下面，同

-7 相加，得到商的第二项系数 -3。

（ 5）用 2 乘商的第二项的系数 -3，得 -6，写在被除式的第三项的系数

0 的下面，

同 0 相加，得到商的第三项的系数

-6。

（ 6）用 2 乘商的第三项的系数 -6，得 -12，写在被除式的第四项的系数

14 的下面，

同 14 相加，得到商的第三项系数

2。

（ 7）用 2 乘商的常数项 2，得 4，写在被除式的常数项 4 的下面，同

4 相加，得到

余式 8。

前面讨论了除式都是一次项系数为

1 的一次式的情形。如果除式是一次式， 但一次项系数不是 1，能不能利用综

合除法计算呢

例 2、求(3x310x 223x 16)( 3x 2) 的商式Q和余式R。

解：把除式缩小 3 倍，那么商就扩大 3 倍，但余式不变。因此先用x2 3 倍去除被除式，再把所得的商缩小

3

即可。

3 3102316

2

28103

3 312156

145

∴ Q= x24x 5 ，R=6。

下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。

例 3、用综合除法求(3

x 47

x

311210

x

4) (

x

23

x

2)的商 Q 和余式 R。

x

371110432

96

64

解：

32

32

321

∴ Q=3x22x 5 ，R= 3x 2 。

二、余数定理

余数定理又称裴蜀定理。它是法国数学家裴蜀（ 1730~1783）发现的。余数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重

要的作用。

余数定理：多项式 f (x) 除以 x a 所得的余数等于 f (a) 。

略证：设 f (x)Q( x) ( x a)R

将 x=a 代入得f (a)R 。

例 4、确定 m 的值使多项式 f (x)x53x 48x 311x m 能够被x-1整除。

解：依题意 f (x) 含有因式x-1，故 f (1)0。

∴ 1－ 3＋８＋ 11＋ｍ＝０。可得ｍ＝－ 17。

求一个关于 x 的二次多项式，它的二次项系数为1，它被 x-3除余 1，且它被 x-1 除和被 x-2 除所得的余数相同。

解：设 f ( x)x 2ax b

∵ f (x) 被 x3除余 1，∴f (3)93a b1①

∵ f (x) 被 x1除和 x 2除所得的余数相同，∴ f (1) f(2)即1 a b 4 2a b ②

由②得 a 3 ，代入①得 b 1

∴ f ( x) x 23x1。

注：本例也可用待定系数法来解。同学们不妨试一试。

即：

2

( 1)( ) ( 2)( ) ( 3)(

) 1

x ax b

x

x

x x p

x m R x n R 由

( x 1)( x m) R (x 2)( x n) R ，可得 m 2,n 1 再由 (x 2)( x 1) R ( x 3)( x p) 1 ，解得 p 0 。

∴

f ( x)

x 2 3x 1。

练习：

1、综合除法分别求下面各式的商式和余式。

（ 1） (3x

4 4 x 3 5x 2 6x

7) ( x 2) ；

（ 2） ( x

5 6 x 4 9x 3 14x

8) ( x 4) ；

（ 3） ( x 3 ( a b c) x 2 (ab bc ca)x abc) ( x a) ；

（ 4） (9x 4

5 x 2 y 2 8 y 4

8xy 3

18x 3 y) (3x

2 y) ；

（ 5） ( 2x 4 7 x 3 16 x 2 15x 15) ( X 2 2 x

3) ；

（ 6） ( x

6

x 5

12x 3 7x) ( x 3

3x 2 5x

2)

2、一个关于 x 的二次多项式

f (x) ，它被 x-1 除余 2，被 x-3 除余 28，它可以被

x+1 整

除，求 f ( x) 。

3、一个整系数四次多项式

f (x) ，有四个不同的整数

1 ,2

,

3

, 4 ，可使 f ( 1 ) 1, f ( 2 ) 1,

f ( 3 ) 1, f (

4

) 1，求证：任何整数 都不能使 f (

)

1 。

綜合除法：

當除式 g(x)=x

a 時，我們介紹綜合除法去求商式、餘式。

【範例】：設 f (x)=2x 4+x 2

5x ， g(x)= x 2，求 f(x)除以 g(x)的商式、餘式。 解 ： 2 x 4

+ x

2

3

2

5x = ( 2x + 4x

+ 9x +23 ) ( x –2) +46

綜合除法的原理：

2 0 1 5 0 2 設 f( x)=a 3x 3+a 2 x 2+a 1 x+a 0 ， g( x)= x b ，若存在商式

( )

4

8

18

46

q (x)= c 2x 2

+c 1 x+c 0，餘式 r( x)=d 。

由除法的定義：

( a

3 x 3 +a 2x

2

+a 1x+a 0)=( c 2 x 2 +c 1x+c 0)( x b )+d

2 4

9 23 , 46 a 3 c 2

c 2 a 3

商

式 ,

餘 式

a 2 c 2

b

c 1

c 1 a 2 c 2 b

經比較係數可得：

c 1b c 0

c 0

a 1 c 1b

a 1

a 1

a 0

a 0

f (x)

a 3

a 0

a 2

c 0b d

d

c 0 b

c 1b

c 0b

b

( )

c 2 b

上面的關係可寫成以下的形式：

a 3 a 2 c 2

b a 1

c 1b , a 0 c 0 b

q( x) c 2

c 1

c 0

, d

r ( x)

當 f(x)除以 g(x)=ax+b 時，我們也可利用綜合除法求餘式 r(x)、商式 q(x) 。

由除法的定義： f(x)=(ax+b)

b

) [aq(x)]+r( x)可先利用綜合除法求出

b

q( x)+r(x)=(x+f(x)除以 (x+ )的商式 q/ (x)=aq( x)與餘式

a a

1

q/ (x)，餘式 r(x)不變。

r(x)，而所要求的商式q(x)=a

餘式定理、因式定理

除法原理： f (x)= g (x)q(x) + r(x)， deg r(x)

餘式定理：多項式f(x)除以 x a 的餘式等於 f (a)。

有關 f (a)的求值我們可以利用綜合除法得到。

餘式定理推廣：多項式 f (x)除以 ax+b 的餘式等於 f (b

)。a

f (a)的雙重意義：(1)多項函數 f(x)在 x=a 的函數值。(2)多項式 f (x)除以 x a 的餘式。

範例：二次式 ax2+bx 4 以 x+1 除之，得餘式 3，以 x 1 除之，得餘式 1，若以 x 2 除之，所得的餘式為。解： f(x) = ax2+bx4，f(-1) =3 且 f(1) =1 由此解得 a 與 b，再求 f(2)=18 即為所得。

範例：試求 11 5411 472 11 3 56 11 2 +15 11+7 之值為。

解： f(x) = x 5

-4x4-72x3-56x2+15x +7

利用綜合除法求f(11) = 51

範例：設二多項式 f(x),g(x)以 2x 2

3x 2 除之，餘式分別為 3x+2,4x+7，則 f(x)+g(x)以 2x+1 除之，其餘式為何Ans：

19 2

解： f(x) = (2x 2

3x2)× p(x) + (3x+2)

2

3x2)× q(x) + (-4x+7)

g(x) = (2x

2

3x 2)(p(x)+q(x)) + (-x+9) f(x)+g(x) = (2x

= (2x+1)(x-2) (p(x)+q(x)) + (-x+9)

11 F(x) = f(x)+g(x) , F() = -(

22

19 ) +9 =2

範例： f (x)=2x4 +3x3+5x26，求 2x 1 除 f(x 3)的餘式。

解：可令 g (x)=f (x3) ，再利用餘式定理。Ans：113 2

範例：求多項式 (x 2

+3x+2)3 被x 2+2x+3 除之餘式為何

解： x 2

+3x+2 = (x2+2x+3) + (x-1)

2323 (x+3x+2) = ( (x +2x+3) + (x-1) )

= (x 2

+2x+3)

3

+ 3(x

2

+2x+3)

2

(x-1) + 3 (x

2

+2x+3)(x-1)

2

+ (x-1)

3

求多項式 (x 2

+3x+2)3 被x 2+2x+3 除之餘式

=求多項式 (x-1)

3被x2 +2x+3 除之餘式=10x+14

範例：試求下列各小題：

(1)求多項式 f(x)=x 7 50x 5+8x 4 5x

3

19x 2

+41x+6 除以 (x 1)(x 7)之餘式。

(2)設多項式 f(x)不低於 2 次，以 x 1 除之餘 2，以 x+2 除之餘

1，則以 (x 1)(x+2)

除 f(x)的餘式為何

(3)設多項式 f(x)不低於 3 次，以 x 1 除之餘 3，以 x+1

除之餘 1，以 x 2 除

之餘 2，則求以 (x 1)(x+1)(x 2)除 f(x)的餘式。

解： (1)

f(x)=x 7 50x 5

+8x

4

5x

3

19x 2+41x+6 除以 (x 1)(x

7) 也就是 f(x)=x 7 50x 5 +8x 4 5x 3 19x 2+41x+6 除以 x 2

-8x +7

我們可得餘式 11x -29 (2) f(x) = (x-1)(x+2)Q(x) + ax + b

由 f(1) = 2 及 f(-2) = -1 我們可以解得 a = 1 , b =1 我們可得餘式 x + 1

2

+ bx + c

(3) f(x) = (x-1)(x+1)(x-2)Q(x) + ax

由 f(1) = 3， f(-1) = 1 及 f(2) = -2 我們可以解得 a = -2 , b =1, c = 4

我們可得餘式

2

+x + 4

2x

Ans ： (1)11x 29 (2)x+1 (3) 2x 2+x+4

範例： 多項式 f(x)以 x

2

-3x 4，2x 2

3x+1 除之餘式各為 4x 1，2x+7，試求 f(x)以

2

9x+4 除之餘式為何

2x

解： f(x) = (x 2

-3x 4) × p(x) + 4x

1 = (x-4)(x+1) × p(x) + 4x 1

f(x) = (2x

2

3x+1) × q(x) + 2x+7 = (x-1)(2x-1) × q(x) + 2x+7

f(4) = 15 1

) =8

且 f(

2

2

9x+4) × S(x) + ax +b = (x-4) (2x-1) × S(x) + ax +b

f(x) = (2x

利用 f(4) = 15 = 4a +b 及

f(

1

) = 8 =

1

2 a +b

2

2

9x+4 除之餘式為 2x + 7

我們可解得 a = 2， b =7，故 f(x)以 2x

範例： 多項式 f(x)以 x(x

1)除之，餘式為

x+3，以 x(x+1)除之餘式為

3x+3，則 f(x)

2

1)之餘式為何

除以 x(x

解： f(x) = x(x 1) × p(x) + (

x+3)

f(x) = x(x+1) × q(x) + (

3x+3)

2

2

+ bx + c

f(x) = x(x 1) × S(x) + ax

我們有 f(0) = 3，f(1) = 2， f(-1)= 6 分別代入 f(x) = x(x

2

1) × S(x) + ax 2

+ bx + c 。

可以解得

2

2

2x+3。

a = 4,

b = -2,

c = 3 ，故 f(x)除以 x(x 1)之餘式為 4x

範例： 多項式 f(x)除以 x 3 得餘式 16，除以 x+4 得餘式 19，則 f(x)除以 (x 3)(x+4)所得的餘式為

Ans ： 5x+1

範例： 多項式 f(x)以 x 2

3x+2 除之餘式為 3，以 x 2 4x+3 除之得餘式為 3x ，則以 x

2

5x+6 除之餘式為

Ans ： 6x 9

範例： 以 x 2 +2x+3 除 f(x)餘 x+12，以 (x+1) 2 除 f(x)餘 5x+4，則以 (x+1)(x 2

+2x+3)除 f(x)的餘式為

Ans ：

6x

2

11x 6 範例： 用 (x

1)2 除 x 10+2 所得的餘式為何

Ans ：10x 7 (直接除觀察係數規則即可得 )

範例： 以 (x+1) 2 除 x 50

+1 之餘式為 。

Ans ： 50x 48 ( 直接除觀察係數規則即可得

)

因式定理： 設 f(x)為一多項式，則

x

為 f(x) 的因式

f(

)=0 。

證明：因為 f(x) = (x

) Q(x)

b

推廣： ax b 為 f(x)的因式 f( a )=0

範例： 因式定理的應用：

(1)試問下列何者為 f(x)= 4x 5

+8x 4

+7x

3

22x 2

2x+5 的因式

(a)x 1 (b)x+2 (c)2x 1 (d)x

2

(2)設 f(x)=x 4 2x 3+4x 2 +ax+3 之一因式為 x 3，求 a 之 。 範例：設 f (x)=4 x 4 11x 3+14 x 2 10 x+3，則下列何者為 f( x) 之因式 (A) x+1 (B)4 x+3 (C)4 x 3 (D)3 x 2 (E) x 1

Ans ： (C)(E)

範例： 若 f (x)= x 3 5x 2 +mx +n 有因式 x 2 +x

6，則 m+n=

Ans ： 24

範例： a,b,c 為整數， 0

17 的因式，則 (a,b,c)=

Ans ： (2,18,1)

一次因式檢驗定理：

設 f(x)=2x+3， g(x)=5x 2

x+7，h(x)=f(x) g(x)=10x

3 +13x 2 +11x+21， 10x

3 是 2x × 5x 2

來的， 21 是 3 × 7

來的，因此觀察一次式

2x+3|h(x) ，而 2|10 ，3|21 ，這個結果

對於一般整係數的多項式也是成立，我們將它寫成下面的定理：

定理：設 f(x)=a

n x n +a

n 1 x n 1 +? +a x + a

0 為一個整係數 n 次多項式， 若整係數一次式

ax b 是 f(x)的因式， 且 a,b

1

互質，則 a|a n 且 b|a 0 。

注意：

一次因式檢驗定理的逆敘述不成立。

3

2

1

例如： f(x)=3x +5x +4x

2， f( 3 ) 0。

由此定理，可知若一次式

cx d 中 c 不為 an 的因數或 d 不為 a 0

的因數的話，則

cx

d 必不

為 f(x)的因式。故只有滿足 a|a n 且 b|a 0 的一次式 ax

b 才有可能成為 f(x) 的因式，因此我們只要從滿足 a|a n

且 b|a 0 這些 ax

b 去找一次因式就可以了。

範例： 求整係數 f(x)=3x 3 +5x 2

+4x 2 的整係數一次因式。

根據一次因式檢驗定理，假設

ax b 為 f(x)的一次因式，則 a|3 且 b|2 。

我們將所有可能的 ax b 組合 x+1,x

1,x+2,x 2,3x+1,3x 1,3x+2,3x 2，再

利用綜合除法檢驗看看那一個是

f(x)的因式

3x 1 是 f(x)的因式。

範例： 求 f (x)=2x 4+5x 3 x 2 +5x 3 的一次因式。

Ans ： 2x 1 與 x+3

範例： 找出 f( x)=6x 4

7x 3

+6x

2

1 的所有整係數一次式。

Ans ： 2x 1、3x+1

定理：設 f(x)為整係數多項式， a,b 為不同的整數，證明： (a b)| f(a) f( b)。

範例： 歷史學家為了推敲大數學家歐幾里得的出生年份，發現在西元前 336 年時，流傳了一則有趣的故事：那一年

的某一天， 歐幾里得造了一個整係數的多項式， 並興高采烈的跟旁人 「我現在的年齡剛好是這個多項式的一個根

。」

旁人為了想知道歐幾里得的年齡，於是將

7 及一個比 7 大的整數代入歐幾里得的多項式，結果得到

77 及 85 的 。

這時候歐幾里得笑著 ： 「我的年齡有你代的數那麼小嗎 」你能根據這些史料推測出歐幾里得出生的年份嗎

[提示：設歐幾里得提及的多項式為

f(x)，而歐幾里得有 a ，且 f (7)=77，f(b)=85，且 b>7，由例題 13

可得 b 7| f(b) f(7)

b 7|8 ，且 7 a|

f(7) f(a)=77，b

a| f(b)

f(a)=85，再根據這些條件，去求得

a 的 ， a=14，所以歐幾里得出生

的年份是西元前 350 年。 ] 最高公因式、最低公倍式

定義：設 f(x),g(x)為二多項式，若存在多項式 h(x)使得 f(x)=g(x) h(x)，則稱 f(x)

為 g(x)的因式或 g(x)為 f(x)的倍式 。符號： f(x)|g(x) 。

範例： 因為 x 3

1=(x 1)(x

2 +x+1)，所以 x 1 與 x 2 +x+1 均為 x

3 +1 的因式， x

3 +1 為 x 1 與 x 2 +x+1

的倍式。

範例： 因為

1

x

2

3 x 1 = 1

( x 1)( x 2) = ( 1

x 1)( 1

x 1) ，所以 x+1，x+2，

4

4 2 4

2 2 2

1 x 1 ， 1 x 1 都是 1 x

2

3 x

1 的因式。

2 2 2 4 4

2

注意：由上面兩個例子可知，若

f(x)|g(x) ，則 c

f(x)|g(x)(c 0)。因此就一般而言，只要求出

整係數的因式或倍式即可。

(2)性質：若設 d(x)|f(x) ，d(x)|g(x) ，則 d(x)|m(x)

f(x)+n(x) g(x)。

公因式與公倍式：

若多項式 d(x)同時為多項式 f(x),g(x)的因式，則稱 d(x)為 f(x),g(x)的公因式。 注意： d(x)=c (c

0)為任何兩個多項式的公因式。

設 d(x) 為 f(x),g(x)的公因式，則 k d(x)(k

0)亦為 f(x),g(x)的公因式，因此我們通常只取一個代表就行了。

如果多項式 f(x),g(x)除了常數以外，沒有其它的公因式，就稱它們互質。

設 f(x),g(x)都是非零多項式， 如果 m(x)同時是 f(x),g(x)的倍式，那麼就稱 m(x)為 f(x),g(x) 的公倍式。設 m(x) 為

f(x),g(x)的公倍式，則 k m(x)亦為 f(x),g(x)的公倍式，因此我們通常只取一個代表就行了。

範例： 設 f(x)=4x

2

1,g(x)=4x 2 +4x+1,h(x)=2x 2

7x+3。求 f(x),g(x)的公因式， g(x),h(x)

的公因式。

因為 f(x)=(2x+1)(2x 1)， g(x)=(2x+1)2， h(x)=(2x

1)(x 3)，

1

所以 2x+1,x+ ，4x+2?等凡是 k(2x+1)的形式都是 f(x),g(x)的公因式。

2

在 g(x),h(x)中，除了常數外沒有其它的公因式，故

g(x),h(x)互質。

最高公因式、最低公倍式：

設 f(x),g(x)為兩多項式，如果 d(x) 是它們公因式中次數最高的，那麼稱 d(x)為最高公因式 ，符號： (f(x),g(x))=d(x)。

注意當多項式 f(x),g(x)互質時，符號：(f(x),g(x))=1。

最高公因式與公因式一樣，並不是只有一個，不過任兩個最高公因式之間都只差一個常

數因式，因此通常所謂兩個多項式的最高公因式，可取它們的任意一個最高公因式。

設 f(x),g(x)為兩多項式，如果m(x)是它們公倍式中次數最低的，那麼稱d(x)為最低公倍式，符號： [f(x),g(x)]=m(x)注意：最低公倍式也不是唯一的，不過它們之間也都只差一個常數因式。

與的求法：

因式分解法：

範例： f(x)=(x 2

x+3)(x+4)(x 5)(x+1)， g(x)=(x2x+3)(2x3)(x+6)(x5)

2

x+3) (x5)

則 f(x)與 g(x)的最高公因式為 (x

範例： f(x)=(x 2

x+3)(x+4)(x 5)(x+1)， g(x)=(x2x+3)(2x3)(x+6)(x5)

則 f(x)與 g(x)的最低公倍式為 (x 2

x+3) (x5) (x+4)(x+1)(2x+3)(x+6)

輾轉相除法：

設 f(x)，g(x)為二多項式，且 g(x) 0，則由除法定理可知：恰有兩個多項式q(x),r(x) 滿足 f(x)=g(x)q(x)+r(x)，其中 r(x)=0或deg r(x)

原理： (f(x),g(x))=k (g(x),r(x))。k0

範例：以 f(x)=x 5

2x 32x23x 2，g(x)=x42x32x 1為例，求f(x)與g(x)的最高公因式。

f ( x) g( x)

利用輾轉相除法，求出f(x)與 g(x)的為 d(x)，則 f(x)與 g(x)的

d (x) 。

原理： f(x) g(x)=k(f(x),g(x))[f(x),g(x)]

範例：以 f(x)=x 5

2x32x23x 2， g(x)=x42x32x 1 為例，求 f(x)與 g(x)的最低公因式。