高中物理必修二第六章
万有引力与航天 知识点归纳与重点题型总结
一、行星的运动
1、 开普勒行星运动三大定律 ①第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
②第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
推论：近日点速度比较快，远日点速度比较慢。 ③第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次
方的比值都相等。 即： 其中k 是只与中心天体的质量有关，与做圆周运动的天体的质量无关。
推广：对围绕同一中心天体运动的行星或卫星，上式均成立。K 取决于中心天体的质量
例.有两个人造地球卫星，它们绕地球运转的轨道半径之比是1：2，则它们绕地球运转的周期之比为 。
二、万有引力定律
1、万有引力定律的建立
①太阳与行星间引力公式 ②月—地检验
③卡文迪许的扭秤实验——测定引力常量G 2、万有引力定律
①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘
积成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。即： ②适用条件
（Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。 （Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。 ③运用
（1）万有引力与重力的关系：
重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。 忽略地球自转可得： 例.设地球的质量为M ，赤道半径R ，自转周期T ，则地球赤道上质量为m 的物体所受重力的大小为？（式中G 为万有引力恒量）
（2）计算重力加速度
地球表面附近（h 《R ） 方法：万有引力≈重力 地球上空距离地心r=R+h 处 方法： 在质量为M ’，半径为R ’的任意天体表面的重力加速度''g 方法：
（3）计算天体的质量和密度
利用自身表面的重力加速度：
利用环绕天体的公转： 等等
（注：结合 得到中心天体的密度）
例.宇航员站在一星球表面上的某高处，以初速度V 0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t ，球落到星球表面，小球落地时的速度大小为V. 已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的质量M 。
例. 宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球经时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点的距离为L ，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为√3L ，已知两落地点在同一平面上，该星球的半径为R ，万有引力常量为G ，求该星球的质量M 。
经验总结———“天上”：万有引力提供向心力
2M ma=m m F G r
πω??= ?
??
2
22
v 2一条龙：＝=mr =mr r
T “地上”：万有引力近似等于重力 2GM gR 黄金代换：＝
（4）双星：两者质量分别为m 1、m 2，两者相距L
特点：距离不变，向心力相等，角速度相等，周期相等。
双星轨道半径之比： 双星的线速度之比： 三、宇宙航行
1、人造卫星的运行规律
3
2
a k T =2Mm F G r =1122
6.6710/G N m kg -=??122m m F G r =2
R Mm G mg =2')(h R Mm
G
mg +=2
'''
''
'R m M G mg =mg R Mm
G =2
r T
m r m r v m r Mm G 222224πω===334R M πρ?=12
212
1m m v v R R =
=2
R
Mm
G mg =r
T m
r m r
v m
r Mm G 2
22
22
4πω===
P
例.两颗人造卫星A、B
T
A
：T
B
=1：8，则轨道半径之比
和运动速率之比分别为（）
2、宇宙速度
第一宇宙速度：V
1
=7.9km/s 第二宇宙速度：V
2
=11.2km/s 第三宇宙速度：
V
3
=16.7km/s
注：（1）宇宙速度均指发射速度
（2）第一宇宙速度为在地面发射卫星的最小速度，也是环绕地球运行的最大速度
3、地球同步卫星（通讯卫星）
（1）运动周期与地球自转周期相同，且T=24h；
（2）运转角速度等于地球自转的角速度，周期等于地球自转的周期；
（3）同步卫星高度不变，运行速率不变（因为T不变）；
（4）同步卫星的轨道平面必须与赤道平面平行，在赤道正上方。
对同步卫星：运动规律：
由于同步卫星的运动周期确定（为T=24h），故而其r、v、ω、T 、a 等均为定值。
四、小专题剖析
1、测天体的质量及密度：
继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里
在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号
土星探测器于美国东部时间6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜
访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若
“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高h的
圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t。试计算土星的质量和平均密度。
2、行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：
一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g0，行星的质量M
与卫星的质量m之比M/m=81，行星的半径R0与卫星的半径R之比R0/R＝3.6，行星与卫
星之间的距离r与行星的半径R0之比r/R0＝60。设卫星表面的重力加速度为g，则在卫
星表面有mg
r
GMm
=
2
……
3、人造卫星、宇宙速度：
将卫星发射至近地圆轨道1（如图所示），然后再次点火，将卫星送入同步轨道3。
轨道1、2相切于Q点，2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，
以下说法正确的是：
A．卫星在轨道3上的速率大于轨道1上的速率。
B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度。
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2
上经过Q点时的加速度。
D．卫星在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上
经过P点时的加速度。
4、双星问题：
【例4
周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质
量。
5、有关航天问题的分析：
无人飞船“神州二号”曾在离地高度为H＝3. 4?105m的圆轨道上运行了47小时。
求在这段时间内它绕行地球多少圈？（地球半径R=6.37?106m，重力加速度g＝9.8m/s2）2
2
(1) :
M m v
G m v
r r
==
卫
地
卫
由得
2
2
(2) :
M m
G m r
r
ωω
==
卫
地
卫
由得
2
22
4
2
(3) :
M m
G m r T
r T
π
==
卫
地
卫
由得
r
m
r
m
v
m
GMm
2
2
2
2
)
2
(
π
ω=
=
=
四、针对训练
1．利用下列哪组数据，可以计算出地球质量：（）A．已知地球半径和地面重力加速度
B．已知卫星绕地球作匀速圆周运动的轨道半径和周期
C．已知月球绕地球作匀速圆周运动的周期和月球质量
D．已知同步卫星离地面高度和地球自转周期
2．“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗天体各有一颗靠近表面飞行的卫星，并测得两颗卫星的周期相等，以下判断错误的是
A．天体A、B表面的重力加速度与它们的半径成正比
B．两颗卫星的线速度一定相等
C．天体A、B的质量可能相等
D．天体A、B的密度一定相等
3．已知某天体的第一宇宙速度为8 km/s，则高度为该天体半径的宇宙飞船运行速度为
A．22km/s B．4 km/s
C．42 km/s D．8 km/s
4．2002年12月30日凌晨，我国的“神舟”四号飞船在酒泉载人航天发射场发射升空，按预定计划在太空飞行了6天零18个小时，环绕地球108圈后，在内蒙古中部地区准确着陆，圆满完成了空间科学和技术试验任务，为最终实现载人飞行奠定了坚实基础.若地球的质量、半径和引力常量G均已知，根据以上数据可估算出“神舟”四号飞船的
A.离地高度
B.环绕速度
C.发射速度
D.所受的向心力
5.现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点。众多的恒星组成不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，如图7－12所示，两星各以一定速率绕其连线上某一点匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起。已知双星质量分别为m1、m2，它们间的距离始终为L，引力常量为G，求：
(1) 双星旋转的中心O到m1的距离；
(2) 双星的转动周期。
6．（1998年全国卷）宇航员站在某一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。
7．（2004年全国理综第23题，16分）在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为r0的均匀球体。
图7－12