大学 毕业设计（论文）开题报告 课题名称电路系统的状态空间模型分析 课题类型理论研究指导教师 学生姓名学号 一、研究或设计的目的和意义： 控制理论研究如何改进动态系统的性能以达到所需目标，这个广义定义包含了人类活动的许多方面。控制理论试图以定量方式描绘这些问题，并集中于寻求一些精确的数学描述方法。控制理论有两个目标：了解基本控制原理；以数学表达它们，使它们最终能用以计算进入系统的控制输入，或用以设计自动控制系统。 控制系统之所以能得到如此普遍的应用，不但要归功于现代仪表化(完备的传感器和执行机构)与便宜的电子硬件，还由于控制理论有处理其模型和输出信号所具有的不确定性动态系统的能力。在控制理论中已完善的各种方法愈来愈得到普遍应用的同时，先进的理论概念的应用却仍集中在像空间工程那样的高技术方面。当然，由于计算机技术的飞速发展和世界性的激烈的工业竞争，这种情况将会改变。 控制理论中的各种方法对现代技术的发展有很大影响。基于经典理论的单回路控制系统，以及最近出现的第一代自适应控制器，已在许多工业生产中得到广泛应用。
二、研究或设计的国内外现状和发展趋势： 控制理论的产生和发展要分为以下几个发展阶段：经典（自动）控制理论、现代控制理论和鲁棒控制理论。 科学技术的发展不仅需要迅速地发展控制理论，而且也给现代控制理论的发展准备了两个重要的条件—现代数学和数字计算机。现代数学，例如泛函分析、现代代数等，为现代控制理论提供了多种多样的分析工具；而数字计算机为现代控制理论发展提供了应用的平台。 在二十世纪五十年代末开始，随着计算机的飞速发展，推动了核能技术、空间技术的发展，从而出现了多输入多输出系统、非线性系统和时变系统。五十年代后期，贝尔曼（Bellman）等人提出了状态分析法；在1957年提出了动态规划。1959年卡尔曼（Kalman）和布西创建了卡尔曼滤波理论；1960年在控制系统的研究中成功地应用了状态空间法，并提出了可控性和可观测性的新概念。1961年庞特里亚金（俄国人）提出了极小（大）值原理。罗森布洛克（H.H.Rosenbrock）、欧文斯（D.H.Owens）和麦克法轮（G.J.MacFarlane）研究了使用于计算机辅助控制系统设计的现代频域法理论，将经典控制理论传递函数的概念推广到多变量系
第2章 控制系统的状态方程求解 要点： ① 线性定常状态方程的解 ② 状态转移矩阵的求法 ③ 离散系统状态方程的解 难点： ① 状态转移矩阵的求法 ② 非齐次状态方程的解 一 线性定常系统状态方程的解 1 齐次状态方程的解 考虑n 阶线性定常齐次方程 ? ? ?==0)0()()(x x t Ax t x & （2-1） 的解。 先复习标量微分方程的解。设标量微分方程为 ? ??==0)0(x x ax x & （2-2） 对式（2-2）取拉氏变换得 )()(0s aX X s sX =- 移项 0)()(x s X a s =- 则 a s x s X -= )(
取拉氏反变换，得 00 0!)()(x k at x e t x k k at ∑∞ === 标量微分方程可以认为是矩阵微分方程当n=1时的特征，因此矩阵微分方程的解与标量微分方程应具有形式的不变性，由此得如下定理： 定理2-1 n 阶线性定常齐次状态方程（2-1）的解为 00 0!)()(x k At x e t x k k At ∑∞ === （2-3） 式中，∑∞ ==0 !)(k k At k At e 推论2-1 n 阶线性定常齐次状态方程 ???==00 )()()(x t x t Ax t x & （2-4） 的解为 0)(0 )(x e t x t t A -= （2-5） 齐次状态方程解的物理意义是)(0 t t A e -将系统从初始时刻0t 的初始 状态0x 转移到t 时刻的状态)(t x 。故)(0 t t A e -又称为定常系统的状态转移 矩阵。 (状态转移矩阵有四种求法：即定义（矩阵指数定义）法、拉氏反变换法、特征向量法和凯来-哈密顿（Cayly-Hamilton ）法) 从上面得到两个等式 ∑∞ ==0 !)(k k At k At e ])[(11---=A sI L e At 其中，第一式为矩阵指数定义式，第二式可为At e 的频域求法或拉氏反变换法
第十六单元时序逻辑电路 （8学时——第49～56学时） 主要容：时序逻辑电路的分析与设计 教学重点：时序逻辑电路的分析与设计方法 教学难点：时序逻辑电路的设计 教学方法：启发式教学、探究式教学 教学手段：实验、理论、实际应用相结合 第一部分知识点 一、时序电路概述 时序电路的状态及输出是与时间顺序有关的，由组合电路和存储电路（多为触发器）组成，1、特点 任意时刻的输出，不仅与该时刻的输入有关、还与电路原来的状态有关。 2、分类 按逻辑功能分为计数器、寄存器等，按触发器工作分为同步电路和异步电路，按电路输出信号特性分为Mealy型（输出与输入及电路现态有关）和Moore型（输出仅与电路现态有关）电路。 二、时序电路的分析 1、分析步骤 （1）写出电路的时钟方程（各触发器的CP表达式）、输出方程（各输出端表达式）及驱动方程（各触发器的触发信号表达式）。 （2）求出电路的状态方程（各触发器的状态表达式） （3）计算得出电路工作状态表 （4）画状态图及时序图 （5）分析电路功能 2、分析举例 分析时序电路
（1）时钟方程CP0=CP1=CP2=CP 输出方程n n n Q Q Q Y 1 2 = 驱动方程n Q J 2 =、n Q K 2 =，n Q J 1 =、n Q K 1 =，n Q J 1 2 =、n Q K 1 2 =（2）状态方程 将J、K代入JK触发器特征方程n n n Q K Q J Q+ = +1得各触发器状态方程： n n Q Q 2 1 = +、n n Q Q 1 1 = +、n n Q Q 1 1 2 = + （3）计算得到状态表 现态次态输出 n Q 2 n Q 1 n Q 1 2 | n Q+1 1 + n Q1 + n Q Y 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 （4）画状态图及时序图 （5）逻辑功能 这是一个有六个工作状态的同步工作电路，属Moore型电路。 （6）有效态和无效态
第三章 系统的分析——状态方程的解 §3-1线性连续定常齐次方程求解 一、齐次方程和状态转移矩阵的定义 １、齐次方程 状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为： )()(t Ax t x =& 线性定常连续系统： Ax x =& 初始条件：00x x t == ２、状态转移矩阵的定义 齐次状态方程Ax x =&有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。其解为 )0()(x e t x At ?=。其中At e 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为： At e t =)(φ。 若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：) (0 0)(t t A e t t -=-Φ 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。但它一般不能写成指数形式。 （１）幂级数法——直接求解 设Ax x =&的解是t 的向量幂级数 Λ ΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b t x 2210)( 式中ΛΛ，，， ，，k b b b b 210都是n 维向量，是待定系数。则当0=t 时， 000b x x t === 为了求其余各系数，将)(t x 求导，并代入)()(t Ax t x =&，得： Λ ΛΛΛ&+++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x )(2210ΛΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b A
上式对于所有的t 都成立，故而有： ????? ??????======00 3 230 21201!1!31312121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K M 且有：00x b = 故以上系数完全确定，所以有： Λ ΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b t x 2210)( ΛΛ++++ +=k k t b A k t b A t Ab b 020200! 1 !21 )0()! 1!21(22x t A k t A At I k k ΛΛ+++++= 定义（矩阵指数或矩阵函数）： ∑∞==+++++=022! 1!1!21K k k k k At t A k t A k t A At I e ΛΛ 则 )0()(x e t x At ?=。 （２）拉氏变换解法 将Ax x =&两端取拉氏变换，有 )()0()(s AX X s sX =- )0()()(X s X A sI =- )0()()(1X A sI s X ?-=- 拉氏反变换，有 )0(])[()(1 1x A sI L t x ?-=--
§11-6 状态方程 一、状态：指在某给定时刻描述网络所需要的一组最少量信息，它连同从该时刻开始的任意输入，便可以确定网络今后的性状。 二、状态变量：描述系统所需要的一组最少量的变量。 三、状态方程：以状态变量为未知量的一组一阶微分方程。 状态变量[,]T c L X u i =取 1 11 C L L L c s C L L c L s du C i dt di L Ri u u dt du i dt C di R u i u dt L L L ==--+==--+ 写成矩阵形式 . 10011C c s L L du u dt C u i di R L dt L L X AX BU ???? ?? ????????=+??????????????--??????? ? ??=+标准形式 状态变量的选择不唯一, 也可12[,][, ]T C C du X x x u dt ==取 1 22 212211 ()C C S C S dx x dt d u du dx R x x u LC RC u u dt LC L LC dt dt ==--+++= 写成标准形式 ()C u t
11 2201011S dx x dt u R dx x LC L LC dt ?? ????????????=+??????? ?- -???????? ???? 四、状态方程的列写 1, 直观法 1 c C du i dt C =对仅含一条电容支路的节点列KCL 方程 1L L di u KVL dt L =对仅含一条电感支路的节点列方程 例1：列写如下图所示电路的状态方程。 解：选取单一电感回路，如图l 1、l 2所示；状态变量1 2 [,]T L L X i i =取 12 2 1 1112 112221211s s L L L di R i u L dt di R i R i u L dt i i i i i + =++==+= 整理并消去中间变量i 1、i 2，得 1122122225s s L L L L L L d u dt d u dt i i i i i i =--+=--+ 写成标准形式 R R 2L 21L H
第2章 系统的状态空间描述 输入输出：可测量，欠全面 §2.1 基本概念 例2.1 密封水箱 1 ()(),y t x t μ = 1 d [()()]d [()()]d c x u t y t t u t x t t μ ?=-?=-? 即 μ 2 (m ) c 3 ()(m /s)u t 3 ()(m /s)y t ()(m) x t
11 ()()()x t x t u t c c μ'=-+. 解 t t c c x t x u c 001()e ()e d τμμττ- ??=+ ? ??? ?. 若()u t r ≡, 则 0()e 1e ,()t t c c x t x r r t μμμμ--??=+-?→∞ ? ? ??, 若想()x h ∞=, 只要()h u t μ =.
例2.2 LRC 123()()();i t i t i t =+ ()()()()()L R L C u t v t v t v t v t =+=+ 选1()()C i t v t 和； 则： 1 1()()()1()()()C C C Li t v t u t Cv t i t v t R '=-+???'?=-? 其余 2()()/, C i t v t R = ()()(),()(). L C R C v t u t v t v t v t =-=)(t v C ) (t v L L R C )(1t i )(t u )(2t i )(3t i 2.2 图
1. 系统的状态变量 状态变量: 完全表征系统,个数最少的一组变量 未来()x t ：由0()x t 和0t t ≥的()u t 完全确定. 对定常, 常取00t =. 2. 状态向量和状态空间 状态向量：12()(),(),()T n x t x t x t x t =???? 状态空间：()x t 取值范围 状态轨线：()x t 的轨迹(无时间轴) 3．几点说明
实验二 二阶电路响应的三种（欠阻尼、过阻尼及临界阻尼）状态轨迹及其特点 一、实验目的 1、熟练掌握二阶电路微分方程的列写及求解过程； 2、掌握RLC 二阶电路零输入响应及电路的过阻尼、临界阻尼和欠阻尼状态； 3、学会利用MULTISIM 仿真软件熟练分析电路，尤其是电路中各电压电流的变化波形。 二、实验原理 用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件。二阶电路微分方程式一个含有二次微分的方程，由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。二阶方程一般都为齐次方程。 齐次方程的通解一般分为三种情况：（RLC 串联时） 1、 21S S ≠ 为两个不等的实根（称过阻尼状态） t S t S h e A e A f 211121+= 此时，C L R 2>，二阶电路为过阻尼状态。 2、 σ==21S S 为相等实根（称临界状态） t h e A A f σ)21+=（ 此时，C L R 2=，二阶电路为临界状态。 3、 ωσj S ±-=21、为共轭复根（称欠阻尼状态） t h e t f σβω-+=)sin( 此时C L R 2<，二阶电路为欠阻尼状态。 这三个状态在二阶电路中式一个重要的数据，它决定了电路中电流电压关系
以及电流电压波形。 三、实验内容 电路中开关S 闭合已久。t=0时将S 打开，并测量。 1、欠阻尼状态（R=10Ω,C=10mF,L=50mH ） 如图所示，为欠阻尼状态时的二阶电路图。 波形图展示了欠阻尼状态下的C U 和L U 波形(橙色线条为电容电压衰减波形，红色线条为电感电压衰减波形)。 2、临界阻尼（R=10Ω,C=10mF,L=0.25mH ） 如图所示，为临界状态的二阶电路图。图展示了临界状态下的C U 的波形。
Chapter2状态方程的解 我们要解决的问题是：在系统初始时刻0t t =时，初始状态为00)(x t x =的条件下，对该系统施加控制)(t u ，求出系统状态)(t x 的变化，即求解非齐次方程 （0)(≠t u ）初值问题的解： 00 0)()()()()()(t t x t x t u t B t x t A t x ≥=+=& 或者在系统不加控制)(t u ，（0)(=t u 称为自由系统）的条件下，求出初值)(0t x 对系统状态)(t x 的影响，即求解齐次方程初值问题的解： 00 0)(),()()(t t x t x t x t A t x ≥==& ????离散连续线性定常????离散连续线性时变?? ?? ? ??????数值解解析解非齐次数值解解析解齐次 2.1 线性定常系统状态方程的解 2.1.1 n 阶、线性、定常（无关与时间t A ）连续系统齐次状态方程的解 我们知道：常系数线性微分方程（标量方程）)()(t ax t x =&，0)0(x x =，0≥t 其解为 00 0!)(x k t a x e t x k k k at ∑∞ === 对齐次状态方程（矩阵方程） )()(t Ax t x =&，0)0(x x =，0≥t 很自然，仿照常系数线性微分方程，可得到n 阶线性、定常、连续系统齐次（0)(=t u ）状态方程的解 000! )(x k t A x e t x k k k At ∑ ∞ === 定义矩阵指数：k k k k k At t A k t A At I k t A e ! 1 21!220 ++++=≡∑ ∞ =Λ，它仍是一个矩阵。 若初始时间为0t ，则状态方程的解为 00 00) (!)()(0x k t t A x e t x k k k t t A ∑∞ =--== ∑ ∞ =--=0 0) (! )(0k k k t t A k t t A e 称为定常（连续）系统的状态转移矩阵。 )(0t t A e -物理意义：将系统从初始状态)(0t x 转移到（时刻t 的）状态)(t x 。 2.1.2 矩阵指数At e 的性质
求解系统的状态方程 一、实验设备 PC计算机，MATLAB软件，控制理论实验台 二、实验目的 (1)掌握状态转移矩阵的概念。学会用MATLAB求解状态转移矩阵 (2)学习系统齐次、非齐次状态方程求解的方法，计算矩阵指数，求状态响应； (3)通过编程、上机调试，掌握求解系统状态方程的方法，学会绘制输出响应和状态响应曲线； (4)掌握利用MATLAB导出连续状态空间模型的离散化模型的方法。 三、实验原理及相关基础 (1)参考教材P99~101“3.8利用MATLAB求解系统的状态方程” (2)MATLAB现代控制理论仿真实验基础 （3）控制理论实验台使用指导 四、实验内容 (1)求下列系统矩阵A对应的状态转移矩阵 （a）
（b） 代码： syms lambda A=[lambda 0 0;0 lambda 0;0 0 lambda];syms t;f=expm(A*t) （c） 代码： syms t;syms lambda;A=[lambda 0 0 0;0 lambda 1 0;0 0 lambda 1;0 0 0 lambda];f=expm(A*t) (2) 已知系统
a) 用MATLAB求状态方程的解析解。选择时间向量t，绘制系统的状态响应曲线。观察并记录这些曲线。 （1） 代码： A=[0 1; -2 -3]; B=[3;0]; C=[1 1]; D=[0]; u=1; syms t; f=expm(A*t);%状态转移矩阵 x0=0; s1=f*B*u; s2=int(s1,t,0,t)%状态方程解析解 状态曲线： （2）A=[0 1;-2 -3]; syms t; f=expm(A*t); X0=[1;0]; t=[0:0.5:10]; for i=1:length(t); g(i)=double(subs(f(1),t(i))); end plot(t,g)
实验报告 实验名称利用 MATLAB 求解系统的状态方程 系统的能控性、能观测性分析 系专业班 姓名学号授课老师 预定时间2014-5-28实验时间实验台号14 一、目的要求 掌握状态转移矩阵的概念。学会用 MATLAB求解状态转移矩阵。 掌握求解系统状态方程的方法，学会绘制状态响应曲线； 掌握线性系统状态方程解的结构。学会用 MATLAB 求解线性定常系统的状态响应和输出响应，并绘制相应曲线。 掌握能控性和能观测性的概念。学会用 MATLAB 判断能控性和能观测性。 掌握系统的结构分解。学会用 MATLAB 进行结构分解。 掌握最小实现的概念。学会用 MATLAB 求最小实现。 二、原理简述 线性定常连续系统的状态转移矩阵为。 函数 step( ) 可直接求取线性连续系统的单位阶跃响应。 函数 impulse( ) 可直接求取线性系统的单位脉冲响应。 函数 lsim( ) 可直接求取线性系统在任意输入信号作用下的响应。 函数 initial( ) 可求解系统的零输入响应。 n 阶线性定常连续或离散系统状态完全能控的充分必要条件是：能控性
的秩为 n。 线性定常连续或离散系统输出能控的充分必要条件是：矩阵 的秩为m。 n 阶线性定常连续或离散系统状态完全能观测的充分必要条件是：能观测性矩阵 的秩为 n。 三、仪器设备 PC 计算机，MATLAB 软件 四、内容步骤 题2.1 A=[0 1;-2 -3];B=[3;0];C=[1 1];D=0; G=ss(A,B,C,D); t=0.5; p=expm(A*t) u1=0;x10=[1;-1]; [y1o,t,x1o]=initial(G,x10,t) t2=0:0.5:10;x20=[0;0];u2=ones(size(t2)); [y2,t2,x2]=lsim(G,u2,t2); plot(t2,x2,':',t2,y2,'-')
第三章控制系统状态方程求解 3－1 线性连续定常齐次方程求解 所谓齐次方程解，也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，其状态方程为： ………………………………………………………(3 －1) 上式中，X是n×1维的状态向量，A是n×n的常数矩阵。 我们知道，标量定常微分方程的解为： ………………（3 －2） 与（3－2）式类似，我们假设（3－1）的解X(t)为时间t的幂级数形式，即： ………………………………(3 －3) 其中为与X（t）同维的矢量。 将（3－3）两边对t求导，并代入（3－1）式，得：
上式对任意时间t都应该成立，所以变量t的各阶幂的系数都应该相等，即： 即: ……………………………………………（3－4） 将系统初始条件代入（3－3），可得。代入（3－4）式可得： (3) 5） 代入（3－3）式可得（3－1）式的解为：
(3) 6) 我们记： (3) 7） 其中为一矩阵指数函数，它是一个n×n的方阵。所以（3－6）变为： (3) 8） 当（3－1）式给定的是时刻的状态值时，不难证明： (3) 9） 从（3－9）可看出，形式上是一个矩阵指数函数，且也是一个各元素随时间t变化的n×n矩阵。但本质上，它的作用是将时刻的系统状态矢量转移到t时刻的状态矢量，也就是说它起到了系统状态转移的作用，所以我们称之为状态转移矩阵(The State Transition Matrix)，并记： (3) 10） 所以：
【例3－1】已知，求解：根据（3－7）式， 3－2 的性质及其求法 性质1： 【证】根据的定义式（3－7）， 【证毕】 性质2：① ②
第7章
一阶电路和二阶电路的时域分析
状态方程的概念 会写电路的状态方程
状态方程
√ 状态方程的列写 √ 输出方程的列写 √
状态变量的选择 状态方程的求解（时域或频域求解） × 输出方程的求解（时域或频域求解） ×
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1、状态和状态变量 状态 电路在tk时刻的状态是指在该时刻电路所必须具 有的一组独立完备数据，这组数据不仅反映了tk 时刻以前所有输入对电路的作用效果，而且结 合（tk，t）期间的输入就能够完全确定t时刻电 路的特性。
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状态变量
一组独立的网络变量
(1)这组变量在t=t0时刻的值和从t=t0开始的输入能唯一 决定这组变量在任何时刻t>t0时的值。 (2) t时刻的这组变量值和t时刻的输入值能唯一决定网 络的任一变量在时刻t的值。 则这组变量称为状态变量,由这组变量构成的集合称为网 络的状态。 通常选独立的电容电压和电感电流作为网络的 状态变量
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2. 状态方程和输出方程
t
R
L
iL
uC
d uC C = iL dt
uS
uR
uL
C
d uC 1 = iL d 2 uC d uC + RC + uC = uS LC dt C 2 dt dt d iL 1 R 1 = ? u C ? iL + u S dt L L L
d iL uS = RiL + L + uC dt
t >0
? d uC ? ? ? dt ? ? 0 ? ?=? ? d iL ? ? ? 1 ? dt ? ? L ? ? ?
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1 ? ?0? C ? ? uC ? ? ? ? ? ? + 1 [uS ] R ? ? iL ? ? ? ? ?L? ? L?
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5-1 分析图5.77所示时序电路的逻辑功能，写出电路的驱动方程、状态方程和输出方程，画出电路的状态转换图和时序图。 CLK Z 图5.77 题 5-1图 解：从给定的电路图写出驱动方程为： 0012 10 21()n n n n n D Q Q Q D Q D Q ?=??=?? =?? e 将驱动方程代入D 触发器的特征方程D Q n =+1 ，得到状态方程为： 10012110 12 1()n n n n n n n n Q Q Q Q Q Q Q Q +++?=??=??=??e 由电路图可知，输出方程为 2 n Z Q = 根据状态方程和输出方程，画出的状态转换图如图题解5-1(a ）所示，时序图如图题解5-1(b ）所示。 题解5-1(a ）状态转换图
1 Q 2/Q Z Q 题解5-1(b ）时序图 综上分析可知，该电路是一个四进制计数器。 5-2 分析图5.78所示电路的逻辑功能，写出电路的驱动方程、状态方程和输出方程，画出电路的状态转换图。A 为输入变量。 Y A 图5.78 题 5-2图 解：首先从电路图写出驱动方程为： () 0110101()n n n n n D AQ D A Q Q A Q Q ?=? ?==+?? 将上式代入触发器的特征方程后得到状态方程 () 1011 10101()n n n n n n n Q AQ Q A Q Q A Q Q ++?=? ?==+?? 电路的输出方程为： 01n n Y AQ Q = 根据状态方程和输出方程，画出的状态转换图如图题解5-2所示
Y A 题解5-2 状态转换图 综上分析可知该电路的逻辑功能为： 当输入为0时，无论电路初态为何，次态均为状态“00”，即均复位； 当输入为1时，无论电路初态为何，在若干CLK 的作用下，电路最终回到状态“10”。 5-3 已知同步时序电路如图5.79(a)所示，其输入波形如图5.79 (b)所示。试写出电路的驱动方程、状态方程和输出方程，画出电路的状态转换图和时序图，并说明该电路的功能。 X (a) 电路图 1234CLK 5678 X (b)输入波形 图5.79 题 5-3图 解：电路的驱动方程、状态方程和输出方程分别为： 0010110001101101 1, ,n n n n n n n n n n J X K X J XQ K X Q X Q XQ X Q XQ Q XQ XQ XQ Y XQ ++?==??==???=+=?? ?=+=+?= 根据状态方程和输出方程，可分别做出11 10,n n Q Q ++和Y 的卡诺图，如表5-1所示。由此 做出的状态转换图如图题解5-3（a)所示，画出的时序图如图题解5-3（b ）所示。
第十章状态方程 10．2．1 基本概念与定义 一、状态变量 在任意瞬时都能与输入激励一起用一组线性代数方程来确定电路全部响应的一组独立完备的变量。对于一个电路，状态变量的选取不是唯一的，但在电路分析中，常取电容上的电压和电感电流作为状态变量。在含R、L、C的动态电路中，状态变量的数目就等于电路图中独立储能元件的数目。 二、状态方程 用来从已知的激励和初始状态求状态变量的一阶微分方程，称为状态方程，它描述了状态变量的一阶导数与状态变量和激励之间的关系。 三、输出方程 用来从已知的激励和状态变量求响应的代数方程，称为输出方程。它描述了输出与状态变量和激励之间的关系。 10．2．2 状态方程的列写方法 线性电路状态方程的列写方法主要有：观察法、叠加法和拓扑法。 一、观察法 观察法列写状态方程的步骤： (1)选所有独立的电容电压和电感电流作为状态变量； (2)对接有独立电容的节点列写KCL方程，对含有独立电感的回路列写KVL 方程； (3)若第(2)步所列的KCL和KVL方程中含有非状态变量，则利用适当的KCL 和KVL方程，将非状态变量消去；
(4)将状态方程整理成标准矩阵形式。 二、叠加法 叠加法是基于替代定理和线性叠加定理的一种方法，用叠加法列写状态方程的步骤为： (1)用电压为U C 的电压源替代电路中的电容、用电流为i L 的电流源替代电路 中的电感； (2)求每个独立源单独作用时在电容中产生的电流i C 和电感中的电压u L ； (3)应用线性叠加定理将各分量叠加即得到状态方程； (4)将状态方程整理成标准矩阵形式。 三、拓扑法 拓扑法即是借助网络图论法列写状态方程的方法，用拓扑法列写状态方程的步骤为： (1)将电路图变为拓扑图； (2)选择一棵常态树，它的树枝包含了电路中所有电压源支路和电容支路，以及一些必要的电阻支路，不包含任何电流源支路和电感支路； (3)对单电容树枝割集列写KCL方程，对单电感连枝回路列写KVL方程，消去非状态变量； (4)将状态方程整理成标准矩阵形式。
第七章 二阶电路 用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。 ◆ 重点： 1． 电路微分方程的建立 2． 特征根的重要意义 3． 微分方程解的物理意义 ◆ 难点： 1． 电路微分的解及其物理意义 2． 不同特征根的讨论计算 7.0 知识复习 一、二阶齐次微分方程的通解形式 0'''=++cy by ay ，其特征方程为：02 =++c bp ap ，特征根：a ac b a b p 44222 ,1-±-=。 当特征方程有不同的实根1p 、2p 时，t p t p e A e A y 2121+= 当特征方程有相同的实根p 时，pt e t A A y )(21+= 当特征方程有共轭的复根ω±δ-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e e y t t j ω+ω==δ-ω+δ- 二、欧拉公式 β+β=β sin cos j e j 2 )sin() ()(j e e t t j t j β+ω-β+ω-=β+ω β-β=β -sin cos j e j 2 )cos() ()(β+ω-β+ω+= β+ωt j t j e e t 7.1 二阶电路的零输入响应 7.1.1 二阶电路中的能量振荡 在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。
+ U 0 C L _ _ C L + (d) 图8-1 LC 电路中的能量振荡 设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有 储能。此时电流为零，电流的变化率不为零（0≠==dt di L u u L C Θ，0≠∴dt di ） ，这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。 电容电压虽然为零，但其变化率不为零（00≠===dt du C I i i C L C Θ，0≠∴dt du C ），电路中的电流 从I 0逐渐减小，电容在电流的作用下被充电（电压的极性与以前不同），当电感中的电流下降到零的瞬间，能量再度全部存储在电容中，电容电压又达到，只是极性与开始相反。 之后电容又开始放电，此时电流的方向与上一次电容放电时的电流方向相反，与刚才的过程相同，能量再次从电场能转化为电磁能，直到电容电压的大小与极性与初始情况一致，电路回到初始情况。 上述过程将不断重复，电路中的电压与电流也就形成周而复始的等幅振荡。 可以想象，当存在耗能元件时的情况。一种可能是电阻较小，电路仍然可以形成振荡，但由于能量在电场能与电磁能之间转化时，不断地被电阻元件消耗掉，所以形成的振荡为减幅振荡，即幅度随着时间衰减到零；另一种可能是电阻较大，电容存储的能量在第一次转移时就有大部分被电阻消耗掉，电路中的能量已经不可能在电场能与电磁能之间往返转移，电压、电流将直接衰减到零。 7.1.2 二阶电路的微分方程 二阶电路如下，其中电容电压的初始值为0)0()0(U u u C C ==-+，电感电流的初始值为 0)0()0(==-+L L i i 。 图8-2 R 、L 、C 串联的二阶电路 根据该电路列写电路方程为0=++-L R C u u u 其电路电流为：dt du C i C -= 因此：dt du RC Ri u C R -==，2 2dt u d LC dt di L u C R -==
第六章 时序逻辑电路 【题 】 分析图时序电路的逻辑功能，写出电路的驱动方程、状态方程和输出方程，画出电路的状态转换图，说明电路能否自启动。 Y 图P6.3 【解】驱动方程: 11323131233 J =K =Q J =K =Q J =Q Q ;K =Q ?? ??? 输出方程:3Y Q = 将驱动方程带入JK 触发器的特性方程后 得到状态方程为: n+11313131n 1 2121221n+1 3321 Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q +?=+=?=+=⊕??=? 电路能自启动。状态转换图如图 【题 】 分析图时序电路的逻辑功能，写出电路的驱动方程、状态方程和输出方程，画出电路的状态转换图。A 为输入逻辑变量。 图A6.3
Y 图P6.5 【解】 驱动方程: 12 21212() D AQ D AQ Q A Q Q ?=??==+?? 输出方程: 21Y AQ Q = 将驱动方程带入JK 触发器的特性方程后得到状态方程为: n+1 12 n+1 212() Q AQ Q A Q Q ?=??=+?? 电路的状态转换图如图 1 图A6.5 【题 】 分析图时序电路的逻辑功能，画出电路的状态转换图，检查电路能否自启动，说明电路能否自启动。说明电路实现的功能。A 为输入变量。
A Y 图P6.6 【解】驱动方程: 11221 1 J K J K A Q ==?? ==⊕? 输出方程: 1212Y AQ Q AQ Q =+ 将驱动方程带入JK 触发器的特性方程后得到状态方程为: n+111 n+1 2 12 Q Q Q A Q Q ?=??=⊕⊕?? 电路状态转换图如图。A ＝0时作二进制加法计数，A ＝1时作二进制减法计数。 01图A6.6 【题 】 分析图时序电路的逻辑功能，写出电路的驱动方程、状态方程和输出方程，画出电路的状态转换图，说明电路能否自启动。
第三章 线性系统的运动分析 §3-1线性连续定常齐次方程求解 一、齐次方程和状态转移矩阵的定义 １、齐次方程 状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为：)()(t Ax t x = 线性定常连续系统：Ax x = ２、状态转移矩阵的定义 齐次状态方程Ax x = 有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。其解为)0()(x e t x At ?=。 其中At e 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为：At e t =)(φ。 若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：)(00 )(t t A e t t -=-Φ 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。但它一般不能写成指数形式。 （１）幂级数法 设Ax x = 的解是t 的向量幂级数 +++++=k k t b t b t b b t x 2210)( 式中 ，，， ，，k b b b b 210都是n 维向量，则 +++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x )(2210 +++++=k k t b t b t b b A 故而有： ????? ?? ????== ====003 230 2 12 01!1! 3131 2 121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K
且有0)0(b x =。 故 +++++=k k t b t b t b b t x 2210)( ++ +++=k k t b A k t b A t Ab b 02 02 00! 1! 21 )0()! 1!21(22 x t A k t A At I k k ++ ++ += 定义：∑ ∞ == ++ +++=0 2 2! 1! 1!21K k k k k At t A k t A k t A At I e 则)0()(x e t x At ?=。 （２）拉氏变换解法 将Ax x = 两端取拉氏变换，有 )()0()(s Ax x s sx =- )0()()(x s x A sI =- )0()()(1x A sI s x ?-=- 拉氏反变换，有 )0(])[()(11x A sI L t x ?-=-- 则 ])[()(11---==A sI L e t At φ 【例3.1.1】 已知系统的状态方程为x x ?? ? ???=00 10 ，初始条件为)0(x ，试求状态转移矩阵和状态方程的解。 解：（１）求状态转移矩阵 ++ ++ +==k k At t A k t A At I e t ! 1! 21)(2 2φ 此题中： ???? ??=00 10A ， ?? ? ???====00 0032n A A A 所以
实验报告 实验名称利用MATLAB 求解系统的状态方程 系统的能控性、能观测性分析 系专业班 姓名学号授课老师 预定时间2014-5-28实验时间实验台号14 一、目的要求 掌握状态转移矩阵的概念。学会用MATLAB求解状态转移矩阵。 掌握求解系统状态方程的方法，学会绘制状态响应曲线； 掌握线性系统状态方程解的结构。学会用MATLAB 求解线性定常系统的状态响应和输出响应，并绘制相应曲线。 掌握能控性和能观测性的概念。学会用MATLAB 判断能控性和能观测性。 掌握系统的结构分解。学会用MATLAB 进行结构分解。 掌握最小实现的概念。学会用MATLAB 求最小实现。 二、原理简述 线性定常连续系统的状态转移矩阵为。 函数step( ) 可直接求取线性连续系统的单位阶跃响应。 函数impulse( ) 可直接求取线性系统的单位脉冲响应。 函数lsim( ) 可直接求取线性系统在任意输入信号作用下的响应。 函数initial( ) 可求解系统的零输入响应。 n 阶线性定常连续或离散系统状态完全能控的充分必要条件是：能控性
矩阵的秩为n。 线性定常连续或离散系统输出能控的充分必要条件是：矩阵 的秩为m。 n 阶线性定常连续或离散系统状态完全能观测的充分必要条件是：能观测性矩阵 的秩为n。 三、仪器设备 PC 计算机，MATLAB 软件 四、内容步骤 题 A=[0 1;-2 -3];B=[3;0];C=[1 1];D=0; G=ss(A,B,C,D); t=; p=expm(A*t) u1=0;x10=[1;-1]; [y1o,t,x1o]=initial(G,x10,t) t2=0::10;x20=[0;0];u2=ones(size(t2)); [y2,t2,x2]=lsim(G,u2,t2); plot(t2,x2,':',t2,y2,'-')