2019-2020年中考数学总复习第二轮中考题型专题专题复习六几何综合题试题
1．(2016·德州)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
(1)如图1，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；
(2)如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足PA ＝PB ，PC ＝PD ，∠APB ＝∠CPD.点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想；
(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状．(不必证明)
图1 图2
解：(1)证明：连接BD.
∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点， ∴EH ＝1
2
BD ，EH ∥BD.
∵F 、G 分别是BC 、CD 的中点， ∴FG ＝1
2
BD ，FG ∥BD.
∴EH ＝FG ，EH ∥FG.
∴中点四边形EFGH 是平行四边形． (2)中点四边形EFGH 是菱形． 证明：连接AC 、BD.
∵∠APB ＝∠CPD，∴∠APB ＋∠APD＝∠CPD＋∠APD，即∠BPD＝∠APC. 又∵PA＝PB ，PC ＝PD ，
∴△APC ≌△BPD(SAS )．∴AC＝BD.
∵点E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点， ∴EF ＝12AC ，FG ＝1
2BD.∴EF＝FG.
又∵四边形EFGH 是平行四边形，
∴中点四边形EFGH 是菱形．
图3
(3)当∠APB＝∠CPD＝90°时，如图3，AC 与BD 交于点O ，BD 与EF ，AP 分别交于点M ，Q ，中点四边形EFGH 是正方形．理由如下：
由(2)知：△APC≌△BPD，∴∠PAC ＝∠PBD. 又∵∠AQO＝∠BQP，∴∠AOQ ＝∠APB ＝90°. 又∵EF∥AC，∴∠OMF ＝∠AOQ＝90°. 又∵EH∥BD，∴∠HEF ＝∠OMF＝90°. 又∵四边形EFGH 是菱形， ∴中点四边形EFGH 是正方形．
2．(2016·菏泽)如图，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE. (1)如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°. ①求证：AD ＝BE ； ②求∠AEB 的度数；
(2)如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM 为△DCE 中DE 边上的高，BN 为△ABE 中AE 边上的高，试证明：AE ＝23CM ＋23
3
BN.
图1 图2
解：(1)①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED，∴AC ＝BC ，CD ＝CE. ∵∠CAB ＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED， ∴∠ACB ＝∠DCE.∴∠ACD＝∠BCE. ∴△ACD ≌△BCE(SAS )．∴AD＝BE. ②由①得△ACD≌△BCE，
∴∠ADC ＝∠BEC＝180°－∠CDE＝130°.
∴∠AEB ＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°.
(2)证明：在等腰△DCE 中，∵CD ＝CE ，∠DCE ＝120°，CM ⊥DE ， ∴∠DCM ＝1
2
∠DCE＝60°，DM ＝EM.
在Rt △CDM 中，DM ＝CM·tan ∠DCM ＝CM·tan 60°＝3CM ，∴DE ＝23CM. 由(1)，得∠ADC ＝∠BEC＝150°，AD ＝BE ， ∴∠AEB ＝∠BEC－∠CED＝120°. ∴∠BEN ＝60°. 在Rt △BEN 中，BE ＝BN sin 60°＝23
3
BN.
∴AD ＝BE ＝23
3
BN.
又∵AE＝DE ＋AD ，∴AE ＝23CM ＋23
3
BN.
3．(2016·东营)如图1，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，四边形ADEF 是正方形，点B 、C 分别在边AD 、AF 上，此时BD ＝CF ，BD ⊥CF 成立．
(1)当△ABC 绕点A 逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时，如图2，BD ＝CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(2)当△ABC 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长DB 交CF 于点H ，交AF 于点N. ①求证：BD⊥CF；
②当AB ＝2，AD ＝32时，求线段DH 的长．
图1 图2 图3
解：(1)BD ＝CF 成立．
证明：∵AB＝AC ，∠BAD ＝∠CAF＝θ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF(SAS )．∴BD ＝CF. (2)①证明：由(1)得，△ABD ≌△ACF ， ∴∠HFN ＝∠ADN.
又∵∠HNF＝∠AND， ∴∠NHF ＝∠NAD＝90°. ∴HD ⊥HF ，即BD⊥CF.
②连接DF ，延长AB 交DF 于点M.
在△MAD 中，∵∠MAD ＝∠MDA＝45°， ∴∠BMD ＝90°.
∵AD ＝32，四边形ADEF 是正方形， ∴MA ＝MD ＝32
2＝3，FD ＝6.
∴MB ＝3－2＝1，DB ＝12
＋32
＝10. 在Rt △BMD 和Rt △FHD 中， ∵∠MDB ＝∠HDF， ∴△BMD ∽△FHD. ∴
MD HD ＝BD FD ，即3HD ＝106.∴DH＝9105
.
4．(2016·宁夏)在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，动点Q 从点A 出发，以每秒1个单位的速度，沿AB 向点B 移动；同时点P 从点B 出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC 向点C 移动，连接QP ，QD ，PD.若两个点同时运动的时间为x 秒(0＜x≤3)，解答下列问题：
(1)设△QPD 的面积为S ，用含x 的函数关系式表示S ；当x 为何值时，S 有最大值？并求出最小值； (2)是否存在x 的值，使得QP⊥DP？试说明理由．
解：(1)∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ＝AD ＝4，CD ＝AB ＝3. 当运动x 秒时，则AQ ＝x ，BP ＝x ，
∴BQ ＝AB －AQ ＝3－x ，CP ＝BC －BP ＝4－x. ∴S △ADQ ＝12AD ·AQ＝1
2×4x＝2x ，
S △BPQ ＝12BQ·BP＝12(3－x)x ＝32x －12x 2
，
S △PCD ＝12PC·CD＝12·(4－x)×3＝6－3
2x.
又S 矩形ABCD ＝AB·BC＝3×4＝12，
∴S ＝S 矩形ABCD －S △ADQ －S △BPQ －S △PCD ＝12－2x －(32x －12x 2)－(6－32x)＝12x 2－2x ＋6＝12(x －2)2＋4，即S ＝12(x －2)2
＋4.
∴S 为开口向上的二次函数，且对称轴为直线x ＝2.
∴当0＜x≤2时，S 随x 的增大而减小； 当2＜x≤3时，S 随x 的增大而增大， 又当x ＝0时，S ＝6，当S ＝3时，S ＝9
2
.
但x 的范围内取不到x ＝0，∴S 不存在最大值． 当x ＝2时，S 有最小值，最小值为4.
(2)存在，理由：由(1)可知BQ ＝3－x ，BP ＝x ，CP ＝4－x. 当QP⊥DP 时，则∠BPQ＋∠DPC＝∠DPC＋∠PDC， ∴∠BPQ ＝∠PDC.又∵∠B＝∠C，
∴△BPQ ∽△CDP. ∴
BQ PC ＝BP CD ，即3－x 4－x ＝x 3，解得x ＝7＋132(舍去)或x ＝7－132
. ∴当x ＝7－132
时，QP ⊥DP.
5．(2016·泰安)(1)已知：△ABC 是等腰三角形，其底边是BC ，点D 在线段AB 上，E 是直线BC 上一点，且∠DEC ＝∠DCE，若∠A＝60°(如图1)，求证：EB ＝AD ；
(2)若将(1)中的“点D 在线段AB 上”改为“点D 在线段AB 的延长线上”，其他条件不变(如图2)，(1)的结论是否成立，并说明理由；
(3)若将(1)中的“若∠A＝60°”改为“∠A＝90°”，其他条件不变，则EB
AD 的值是多少？(直接写出结论，不要求写
解答过程)
图1 图2
解：(1)证明：过D 点作BC 的平行线交AC 于点F. ∵△ABC 是等腰三角形，∠A ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形．∴∠ABC＝60°. ∵DF ∥BC ，∴∠ADF ＝∠ABC＝60°. ∴△ADF 是等边三角形． ∴AD ＝DF ，∠AFD ＝60°.
∴∠DFC ＝180°－60°＝120°.
∵∠DBE ＝180°－60°＝120°，∴∠DFC ＝∠DBE. 又∵∠FDC＝∠DCE，∠DCE ＝∠DEC， ∴∠FDC ＝∠DEC，ED ＝CD. ∴△DBE ≌△CFD(AAS )． ∴EB ＝DF.∴EB＝AD.
(2)EB ＝AD 成立．理由如下：
过D 点作BC 的平行线交AC 的延长线于点F. 同(1)可证△ADF 是等边三角形， ∴AD ＝DF ，∠AFD ＝60°.
∵∠DBE ＝∠ABC＝60°，∴∠DBE ＝∠AFD. ∵∠FDC ＝∠DCE，∠DCE ＝∠DEC， ∴∠FDC ＝∠DEC，ED ＝CD. ∴△DBE ≌△CFD(AAS )． ∴EB ＝DF.∴EB＝AD. (3)EB
AD
＝ 2.理由如下： 如图3，过D 点作BC 的平行线交AC 于点G.
图3
∵△ABC 是等腰三角形，∠A ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB＝45°，
∴∠DBE ＝180°－45°＝135°. ∵DG ∥BC ，
∴∠GDC ＝∠DCE，∠DGC ＝180°－45°＝135°. ∴∠DBE ＝∠DGC. ∵∠DCE ＝∠DEC，
∴ED ＝CD ，∠DEC ＝∠GDC.
∴△DBE ≌△CGD(AAS )．∴B E ＝GD. ∵∠ADG ＝∠ABC＝45°，∠A ＝90°， ∴△ADG 是等腰直角三角形． ∴DG ＝2AD.∴BE＝2AD.∴EB
AD ＝ 2.
6．(2016·烟台)【探究证明】
(1)在矩形ABCD 中，EF ⊥GH ，EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，H.求证：EF GH ＝AD
AB ；
【结论应用】
(2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M ，N 分别在边BC ，CD 上．若EF GH ＝1115，则BN
AM 的值为________；
【联系拓展】
(3)如图3，四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝10，BC ＝CD ＝5，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求
DN
AM 的值．
图1 图2 图3
解：(1)证明：过点A 作AP∥EF，交CD 于点P ，过点B 作BQ∥GH，交AD 于点Q. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，AD ∥BC.
∴四边形AEFP 、四边形BHGQ 都是平行四边形．∴AP＝EF ，GH ＝BQ. 又∵GH⊥EF，
∴AP ⊥BQ.∴∠QAP ＋∠AQB＝90°.
∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝∠D＝90°. ∴∠DAP ＋∠DPA＝90°.∴∠AQB ＝∠DPA. ∴△PDA ∽△QAB.∴AP BQ ＝AD AB .∴EF GH ＝AD
AB .
(2)∵EF⊥GH，AM ⊥BN ，
∴由(1)中的结论可得EF GH ＝AD AB ，BN AM ＝AD
AB ，
∴
BN AM ＝EF GH ＝1115.故答案为1115
.
(3)连接AC ，过点D 作AB 的平行线交BC 的延长线于点E ，作AF⊥AB 交直线DE 于点F. ∵∠BAF ＝∠B＝∠E＝90°， ∴四边形ABEF 是矩形．
易证△ADC≌△ABC，∴∠ADC ＝∠ABC＝90°. ∴∠FDA ＋∠EDC＝90°.
又∵∠EDC＋∠ECD＝90°，∴∠FDA ＝∠ECD. 又∵∠E＝∠F， ∴△ADF ∽△DCE. ∴
DE AF ＝DC AD ＝510＝12
. 设DE ＝x ，则AF ＝2x ，DF ＝10－x.
在Rt △ADF 中，AF 2＋DF 2＝AD 2，即(2x)2＋(10－x)2
＝100，解得x 1＝4，x 2＝0(舍去)． ∴AF ＝2x ＝8.∴DN AM ＝AF AB ＝810＝4
5
.
7．(2016·武汉)在△ABC 中，P 为边AB 上一点．
(1)如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC 2
＝AP·AB； (2)若M 为CP 的中点，AC ＝2.
①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB ＝3，求BP 的长；
②如图3，若∠ABC＝45°，∠A ＝∠BMP＝60°，直接写出BP 的长．
图1 图2 图3
解：(1)证明：∵∠ACP＝∠B，∠CAP ＝∠BAC， ∴△ACP ∽△ABC. ∴
AC AB ＝AP AC
，即AC 2
＝AP·AB. (2)①作CQ∥BM 交AB 的延长线于点Q ，则∠PBM＝∠Q. ∵∠PBM ＝∠ACP，∴∠ACP ＝∠Q. 又∠PAC＝∠CAQ，∴△APC ∽△ACQ. ∴
AC AQ ＝AP AC
，即AC 2
＝AP·AQ. 又∵M 为PC 的中点，BM ∥CQ ，∴设BP ＝x ，则BQ ＝x.∴AP＝3－x ，AQ ＝3＋x. ∴22
＝(3－x)(3＋x)，解得x 1＝5，x 2＝－5(不合题意，舍去)． ∴BP ＝ 5. ②BP ＝7－1.
作CQ⊥AB 于点Q ，作CP 0＝CP 交AB 于点P 0. ∵AC ＝2，∴AQ ＝1，CQ ＝BQ ＝ 3.
设AP 0＝x ，则P 0Q ＝PQ ＝1－x ，BP ＝3－1＋x ， ∵∠BPM ＝∠CP 0A ，∠BMP ＝∠CAP 0， ∴△AP 0C ∽△MPB ，∴AP 0MP ＝P 0C
BP
.
∴MP ·P 0C ＝12P 0C 2＝（3）2
＋（1－x ）
2
2＝AP 0·BP ＝x(3－1＋x)．
解得x ＝7－3或x ＝－7－3(舍去)．
∴BP ＝3－1＋7－3＝7－1.
8．(2016·岳阳)数学活动——旋转变换
(1)如图1，在△ABC 中，∠ABC ＝130°，将△ABC 绕点C 逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接B B′.求∠A′B′B 的大小； (2)如图2，在△ABC 中，∠ABC ＝150°，AB ＝3，BC ＝5，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△A ′B ′C ，连接BB′.以A′为圆心，A ′B ′长为半径作圆．
①猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论； ②连接A′B，求线段A′B 的长度；
(3)如图3，在△ABC 中，∠ABC ＝α(90°＜α＜180°)，AB ＝m ，BC ＝n ，将△ABC 绕点C 逆时针旋转2β角度(0°＜2β＜180°)得到△A′B′C，连接A′B 和BB′.以A′为圆心，A ′B ′长为半径作圆．问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由．并求此条件下线段A′B 的长度．(结果用角α或角β的三角函数及字母m 、n 所组成的式子表示)
图1 图2 图3
解：(1)由旋转得：∠A′B′C＝∠ABC＝130°，CB ＝CB′，∠BCB ′＝50°， ∴∠BB ′C ＝1
2
(180°－∠BCB′)＝65°.
∴∠A ′B ′B ＝∠A′B′C－∠BB′C＝130°－65°＝65°. (2)①猜想：直线BB′与⊙A′相切．
证明：由旋转得：∠A′B′C＝∠ABC＝150°，CB ＝CB′，∠BCB ′＝60°， ∴∠BB ′C ＝1
2
(180°－∠BCB′)＝60°.
∴∠A ′B ′B ＝∠A′B′C－∠BB′C＝150°－60°＝90°，即B′B⊥A′B′. 又A′B′为半径，
∴直线BB′与⊙A′相切．
②由旋转得：A′B′＝AB ＝3，B ′C ＝BC ＝5，∠BCB ′＝60°， ∴△BCB ′为等边三角形．∴BB′＝BC ＝5.
在Rt △A ′B ′B 中，A ′B ＝（A′B′）2
＋（BB′）2
＝32
＋52
＝34. (3)满足的条件：α＋β＝180°.
理由：在△BB′C 中，∠BB ′C ＝180°－2β
2
＝90°－β，
∴∠A ′B ′B ＝α－∠BB′C＝α－(90°－β)＝α＋β－90°.
∵α＋β＝180°，∴∠A ′B ′B ＝α＋β－90°＝180°－90°＝90°，即B′B⊥A′B′. ∴直线BB′与⊙A′相切． 过点C 作CD⊥BB′于点D. ∴∠B ′CD ＝1
2
∠BCB′＝β.
在Rt △B ′CD 中，B ′D ＝B′C·s in β＝BC·sin β＝n sin β，∴BB ′＝2B′D＝2n sin β. 由α＋β＝180°得到△A′B′B 为直角三角形，
∴A ′B ＝（A′B′）2
＋（BB′）2
＝m 2
＋（2n sin β）2
＝m 2
＋4n 2
sin 2
β.
9．(2016·宜昌)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10.D 是△ABC 内部或BC 边上的一个动点(与B ，C 不重合)．以D 为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC(相似比k>1)，EF ∥BC. (1)求∠D 的度数；
(2)若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH.
①连接GH ，AD ，当GH⊥AD 时，请判断四边形AGDH 的形状，并证明；
②当四边形AGDH 的面积最大时，过A 作AP⊥EF 于P ，且AP ＝AD ，求k 的值．
解：(1)∵AB 2
＋AC 2
＝62
＋82
＝102
＝BC 2
， ∴∠BAC ＝90°.
又∵△DEF∽△ABC，∴∠D ＝∠BAC ＝90°. (2)①四边形AGDH 是正方形．
证明：延长ED 、FD 分别交BC 于点M 、N. ∵△DEF ∽△ABC ，∴∠E ＝∠B. 又∵EF∥BC，
∴∠E ＝∠EMC.∴∠B＝∠EMC.∴ED∥BA. 同理FD∥AC.
∴四边形AGDH 是平行四边形．
又∵∠FDE＝90°，∴四边形AGDH 是矩形． 又∵AD⊥GH，∴四边形AGDH 是正方形．
②当D 点在△ABC 内部时，四边形AGDH 的面积不可能最大．
其理由是：如图1，点D 在内部时，延长GD 到D′，过D′作MD′⊥AC 于点M ，则四边形GD′MA 的面积大于矩形AGDH 的面积，∴当点D 在△ABC 内部时，四边形AGDH 的面积不可能最大． 按上述理由，只有当D 点在BC 边上时，面积才有可能最大．
图1 图2
如图2，D 在BC 上时，易证明DG∥AC， ∴△GDB ∽△ACB. ∴BG BA ＝GD AC ，即BA －AG BA ＝AH AC . ∴
6－AG 6＝AH 8，即AH ＝8－4
3
AG. ∴S 矩形AGDH ＝AG·AH＝AG×(8－43AG)＝－43AG 2＋8AG ＝－43(AG －3)2
＋12.
当AG ＝3时，S 矩形AGDH 最大，此时DG ＝AH ＝4.
即当AG ＝3，AH ＝4，S 矩形AG DH 最大．
在Rt △BGD 中，BD ＝BG 2
＋DG 2
＝5，则DC ＝BC －BD ＝5. 即D 为B C 上的中点时，S 矩形AGDH 最大． ∴在Rt △ABC 中，AD ＝BC
2＝5，∴PA ＝AD ＝5.
延长PA 交BC 于点Q ，∵EF ∥BC ，QP ⊥EF ， ∴QP ⊥BC.
∴QP 是EF 、BC 之间的距离． ∴D 到EF 的距离为PQ 的长．
在Rt △ABC 中，12AB·AC＝1
2BC·AQ，
∴AQ ＝4.8.
又∵△DEF∽△ABC，
∴k ＝PQ AQ ＝PA ＋AQ AQ ＝5＋4.84.8＝4924
.
10．(2016·河南)(1)发现
如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ，AB ＝b.
填空：当点A 位于CB 延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为a ＋b ．(用含a ，b 的式子表示)
图1
(2)应用
点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝3，AB ＝1.如图2所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE.
①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE 长的最大值． (3)拓展
如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(5，0)，点P 为线段AB 外一动点，且PA ＝2，PM ＝PB ，∠BPM ＝90°.请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标．
图2 图3 备用图
解：(2)①DC＝BE.理由如下： ∵△ABD 和△ACE 为等边三角形，
∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CA E ＝60°.
∴∠BAD ＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB. ∴△CAD ≌△EAB.∴DC ＝BE. ②BE 长的最大值是4.
(3)AM 的最大值为3＋22，点P 的坐标为(2－2，2)．
提示：如图3，构造△BNP≌△MAP，则NB ＝AM ，易得△APN 是等腰直角三角形，AP ＝2，∴AN ＝2 2.由(1)知，当点N 在BA 的延长线上时，NB 有最大值(如备用图)．∴AM＝NB ＝AB ＋AN ＝3＋2 2. 过点P 作PE⊥x 轴于点E ，PE ＝AE ＝ 2. 又∵A(2，0)，∴P(2－2，2)．
2019-2020年中考数学总复习第二轮中考题型专题专题复习四图形操作题试题
1．(2016·宜昌)将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是(D) A ．360° B ．540° C ．720° D ．900°
2．(2016·宿迁)如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为(B)
A ．2 B. 3 C. 2 D ．1
3．(2015·河北)如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则(A)
A ．甲、乙都可以
B ．甲、乙都不可以
C ．甲不可以，乙可以
D ．甲可以，乙不可以
4．(2015·海南)如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧AMB ︵
上一点，则∠APB 的度数为(D) A ．45° B ．30° C ．75° D ．60°
5．(2016·温州)如图，一张三角形纸片ABC ，其中∠C＝90°，AC ＝4，BC ＝3，现小林将纸片做三次折叠：第一次使点A 落在C 处；将纸片展平做第二次折叠，使点B 落在C 处；再将纸片展平做第三次折叠，使点A 落在B 处．这三次折叠的折痕依次记为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是(D)
A ．b ＜a ＜c
B ．c ＜a ＜b
C ．a ＜b ＜c
D ．a ＜c ＜b
6．(2016·贵州)如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH.若BE∶EC ＝2∶1，则线段CH 的长是(B)
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7.(2016·海南)如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿着直线AD 对折，点C 落在点E 的位置， 如果BC ＝6，那么线段BE 的长度为(D)
A ．6
B ．6 2
C ．2 3
D ．3 2
8．(2016·常德)如图，把?ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD ＝55°．
9．(2016·重庆)正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得
到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F.若AE＝2，则四边形
2
10．(2015·杭州)如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个
是面积为2的平行四边形，则CD
11．(2016·自贡)已知矩形ABCD中，AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
(1)如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA，若△OCP与△PDA的面积比为1∶4，求边CD的长；
(2)如图2，在(1)的条件下擦去AO、OP，连接BP，动点M在线段AP上(点M不与点P、A重合)，动点N在线段AB 的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律，若不变，求出线段EF的长度．
图1 图2
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°.∴∠APD＋∠DAP＝90°.
∵由折叠可得∠APO＝∠B＝90°，
∴∠APD＋∠CPO＝90°.∴∠CPO＝∠DAP.
又∵∠D＝∠C，∴△OCP∽△PDA.
∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4，
∴OP
PA
＝
CP
DA
＝
1
4
＝
1
2
.∴CP＝
1
2
AD＝4.
设OP ＝x ，则CO ＝8－x ，在Rt △PCO 中，∠C ＝90°，
由勾股定理得x 2＝(8－x)2＋42
，解得x ＝5. ∴AB ＝AP ＝2OP ＝10，即边CD 的长为10. (2)作MQ∥AN，交PB 于点Q. ∵AP ＝AB ，MQ ∥AN ，
∴∠APB ＝∠ABP ＝∠MQP.∴MP＝MQ. ∵BN ＝PM ，∴BN ＝QM.
∵MP ＝MQ ，ME ⊥PQ ，∴EQ ＝1
2PQ.
∵MQ ∥AN ，∴∠QMF ＝∠BNF.
在△MFQ 和△NFB 中，????
?∠QFM＝∠BFN，∠QMF ＝∠BNF，QM ＝BN ，
∴△MFQ ≌△NFB(AAS)．∴QF＝BF ＝1
2QB.
∴EF ＝EQ ＋QF ＝12PQ ＋12QB ＝1
2
PB.
由(1)中的结论可得：PC ＝4，BC ＝8，∠C ＝90°， ∴PB ＝82＋42
＝45.∴EF＝12
PB ＝2 5.
即在(1)的条件下，当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度不变，它的长度为2 5.
13．(2016·襄阳)如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG.
(1)求证：四边形EFDG 是菱形；
(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系，并说明理由； (3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．
解：(1)证明：∵GE∥DF，∴∠EGF ＝∠DFG.
∵由翻折的性质可知GD ＝GE ，DF ＝EF ，∠DGF ＝∠EGF， ∴∠D GF ＝∠DFG.
∴GD ＝D F.∴DG＝GE ＝DF ＝EF. ∴四边形EFDG 为菱形． (2)EG 2
＝12
GF·AF.
理由：连接DE ，交AF 于点O. ∵四边形EFDG 为菱形， ∴GF ⊥DE ，OG ＝OF ＝1
2
GF.
∵∠DOF ＝∠ADF＝90°，∠OFD ＝∠DFA， ∴△DOF ∽△ADF. ∴
DF AF ＝FO DF
，即DF 2
＝FO·A F. ∵FO ＝12GF ，DF ＝EG ，∴EG 2
＝12
GF·AF.
(3)过点G 作GH⊥DC，垂足为H. ∵EG 2
＝12
GF·AF ，AG ＝6，EG ＝25，
∴20＝12FG(FG ＋6)，整理，得FG 2
＋6FG －40＝0.解得FG ＝4或FG ＝－10(舍去)．
∵DF ＝GE ＝25，AF ＝10，
∴AD ＝AF 2－DF 2
＝4 5.
∵GH ⊥DC ，AD ⊥DC ，∴GH ∥AD.
∴△FGH ∽△FAD.∴GH AD ＝FG AF ，即GH 45＝4
10.
∴GH＝85
5
.
∴BE ＝BC －EC ＝AD －GH ＝45－855＝125
5
.