解题技巧专题：中点问题
——遇中点，定思路，一击即中
◆类型一直角三角形中，已知斜边中点构造斜边上的中线【方法7】
1．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H 分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于( )
A．5°B．10°C．20°D．30°
第1题图第2题图第3题图
2．如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD＝AB，点E，F分别是AC，BD的中点，AC＝6，则EF的长是_______.
3．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝4.设AB＝x，AD＝y，则x2＋(y－4)2的值为_______.
◆类型二遇两边中点利用(或构造)中位线
4．如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，点G，F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE＝2cm，则AC的长为【方法7】() A．33cm B．4cm C．23cm D．25cm
第4题图第5题图
5．★如图，已知AB＝12，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，AD＝5，BC＝10，点E 是CD的中点，则AE的长是________．
6．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点．
(1)求证：四边形DECF是平行四边形；
(2)若AC＝BC，则四边形DECF是什么特殊四边形？请说明理由．
◆类型三中点四边形与特殊平行四边形
7．(舟山中考)如图①，已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形：
(1)如图②，将图①中的点C 移动至与点E 重合的位置，点F ，G ，H 仍是BC ，CD ，DA 的中点，求证：四边形CFGH 是平行四边形；
(2)如图③，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A ，C ，B 都在格点上，在格点上画出点D ，使点C 与BC ，CD ，DA 的中点F ，G ，H 组成正方形CFGH ；
(3)在(2)条件下求出正方形CFGH 的边长．
参考答案与解析
1．B 解析：连接AH ，CH .∵∠BCD ＝∠BAD ＝90°，点H 是BD 的中点，∴AH ＝CH ＝12BD .∵点G 是AC 的中点，∴HG ⊥AC ，∴∠HGE ＝90°.又∵∠GEH ＝∠BEC ＝80°，∴∠GHE ＝10°.故选B.
2．3 解析：连接AF .∵AD ＝AB ，F 是BD 的中点，∴AF ⊥BD .又∵E 是AC 的中点，∴EF ＝12AC ＝12
×6＝3. 3．16 解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝x .在Rt △BDE 中，∠BDE ＝90°，点F 为BE 的中点，∴BF ＝EF ＝DF ＝4.在Rt △DCF 中，CD 2＋CF 2＝DF 2，即x 2＋(4－y )2＝16.∴x 2＋(y －4)2＝16.
4．D
5．6.5 解析：连接DB ，延长DA 到F ，使AF ＝DA .∵AD ＝5，∴AF ＝5，∴DF ＝10
＝BC .∵点E 是CD 的中点，∴AE ＝12
CF .在Rt △ABD 中，AD 2＋AB 2＝DB 2，∴BD ＝52＋122＝13.∵AB ⊥BC ，AB ⊥AD ，∴AD ∥BC .又∵DF ＝BC ，∴四边形DFCB 为平行四边形，∴FC ＝DB ＝13，∴AE ＝6.5.
6．(1)证明：∵点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，∴DE ∥AC ，DE ＝12
AC ，CF ＝12
AC ，∴DE ∥CF ，DE ＝CF ，∴四边形DECF 是平行四边形． (2)解：四边形DECF 是菱形．理由如下：∵点E ，F 分别是边BC ，CA 的中点，∴CE ＝12BC ，CF ＝12
AC .又∵AC ＝BC ，∴CE ＝CF .由(1)知四边形DECF 是平行四边形，∴四边形DECF 是菱形．
7．(1)证明：如图②，连接BD .∵C ，H 是AB ，AD 的中点，∴CH 为△ABD 的中位线，
∴CH ∥BD 且CH ＝12BD .同理可得FG ∥BD 且FG ＝12
BD ，∴CH ∥FG 且CH ＝FG ，∴四边形CFGH 是平行四边形．
(2)解：点D 的位置如图③.
(3)解：如图③，∵BD ＝5，∴FG ＝12BD ＝52，∴正方形CFGH 的边长为52
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