娄底市初中数学锐角三角函数的真题汇编及答案解析
一、选择题
1．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝8米，∠D＝36°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：
tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）
A．5.6 B．6.9 C．11.4 D．13.9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案．
【详解】
解:如图,延长DC、AB交于点E，
，
由斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得
BE：CE＝1：2．
设BE＝xm，CE＝2xm．
在Rt△BCE中，由勾股定理，得
BE2+CE2＝BC2，
即x2+（2x）2＝（12）2，
解得x＝12，
BE＝12m，CE＝24m，
DE＝DC+CE＝8+24＝32m，
由tan36°≈0.73，得
＝0.73，
解得AB＝0.73×32＝23.36m．
由线段的和差，得
AB＝AE﹣BE＝23.36﹣12＝11.36≈11.4m，
故选：C．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出CE ，BE 的长是解题关键，又利用了正切函数，线段的和差．
2．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，A 、B 、C 都是格点，则tan ABC ∠=（ ）
A ．
3 B ．
3 C ．
3 D ．
3 【答案】A 【解析】 【分析】
直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用
EC
tan ABC BE
∠=
得出答案． 【详解】
解:连接DC ，交AB 于点E ． 由题意可得:∠AFC=30°, DC ⊥AF, 设EC=x,则EF=
x
3x tan 30?
, ∴BF AF 2EF 23x ===
EC 3
tan ABC BE 9
23x 3x 33=
===
+∠, 故选:A 【点睛】
此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF 的长是解题关键．
3．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点
B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，
C ，E 成一直线，那么开挖
点E 离点D 的距离是（ ）
A ．500sin55m o
B ．500cos55m o
C ．500tan55m o
D ．
500
cos55m o
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可． 【详解】
在Rt △BDE 中，cosD=
DE
BD
， ∴DE=BD ?cosD=500cos55°． 故选B ． 【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
4．如图，在ABC ?中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且1
2
MN BC =
，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM x =，BMD ?的面积减去CNE ?的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
设a ＝1
2BC ，∠B ＝∠C ＝α，求出CN 、DM 、EN 的长度，利用y ＝S △BMD ?S △CNE ，即可求解． 【详解】
解：设a ＝
1
2
BC ，∠B ＝∠C ＝α，则MN ＝a ， ∴CN ＝BC?MN?BM ＝2a?a?x ＝a?x ，DM ＝BM·tanB ＝x·tanα，EN ＝CN?tanC ＝（a?x ）·tanα， ∴y ＝S △BMD ?S △CNE ＝
1
2
（BM·DM?CN·EN ）＝()()2
21tan tan 2
2
2x a x a tan x a ααα????-?=??
--， ∵
2
a tan α
?为常数， ∴上述函数图象为一次函数图象的一部分， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
5．如图，△ABC 内接于半径为5的⊙O ，圆心O 到弦BC 的距离等于3，则∠A 的正切值等于（ ）
A ．
35
B ．
45
C ．
34
D ．
43
【答案】C 【解析】
试题分析：如答图，过点O 作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接OB ，OC ， ∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4. ∵∠A=
1
2
∠BOC ，∴∠A=∠BOD. ∴tanA=tan ∠BOD=4
3
BD OD =. 故选D ．
考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义．
6．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（ ）
A 5
B ．
35
C ．
22
D ．
23
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ???，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BED CDF ∠=，设1CD =，CF x =，则2CA CB ==，再根据勾股定理即可求解． 【详解】
解：∵△DEF 是△AEF 翻折而成， ∴△DEF ≌△AEF ，∠A ＝∠EDF ， ∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠EDF ＝45°，由三角形外角性质得∠CDF +45°＝∠BED +45°， ∴∠BED ＝∠CDF ，
设CD ＝1，CF ＝x ，则CA ＝CB ＝2， ∴DF ＝FA ＝2﹣x ，
∴在Rt △CDF 中，由勾股定理得， CF 2+CD 2＝DF 2，
即x2+1＝（2﹣x）2，
解得：3 4
x=，
3
sin sin
5
CF
BED CDF
DF
∴∠=∠==．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．
7．如图，矩形纸片ABCD，4
AB=，3
BC=，点P在BC边上，将CDP
?沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP OF
=，则cos ADF
∠
的值为（）
A．
11
13
B．
13
15
C．
15
17
D．
17
19
【答案】C
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP= OF可得出△OEF≌AOBP(AAS)根据全等三角形的性质可得出0E=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=4-x、
BF=PC=3-x，进而可得出AF=1+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出cos∠ADF的值．
【详解】
解：∵矩形纸片ABCD，点P在BC边上，将CDP
?沿DP折叠，点C落在点E处，
根据折叠性质，可得：△DCP≌△DEP ，
∴.DC=DE=4， CP= EP，
在△OEF和△OBP中
90
EOF BOP
B E
OP OF
∠=∠
?
?
∠=∠=?
?
?=
?
∴△OEF≌△OBP(AAS)
∴ОE=OB， EF= ВР.
设EF=x,则BP=x，DF= DE-EF=4-X，
又∵ BF=OB+OF=OE+ OP=PE=PC, РС=ВC-BP=3-x, ∴AF=AB-BF=1+x.
在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2= DF 2，即(1+x) 2+32= (4-x)2 解得: x=
35 ∴DF=4-x=
175
∴cos ∠ADF=15
17
AD DF = 故选: C.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x ，求出AF 的长度是解题的关键．
8．如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为（ ）
A ．23
B ．3
C ．33
D ．3【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
设AC=x ，在Rt △ABC 中，∠ABC=30°，即可得AB=2x ，3， 所以BD=BA=2x ，即可得33）x ， 在Rt △ACD 中，tan ∠DAC=(32)32CD x
AC x
==， 故选A.
9．如图，O e 是ABC V 的外接圆，AD 是O e 的直径，若O e 的半径是4，
1
sin
4
B=，则线段AC的长是（）．
A．2 B．4 C．3
2
D．6
【答案】A 【解析】【分析】
连结CD如图，根据圆周角定理得到∠ACD＝90?，∠D＝∠B，则sinD＝sinB＝1
4
，然后在
Rt△ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长．【详解】
连结CD，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90?，
∵∠D＝∠B，
∴sinD＝sinB＝1
4
，
在Rt△ACD中，∵sinD＝AC
AD
＝
1
4
，
∴AC＝1
4
AD＝
1
4
×8＝2．
故选A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
10．如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且AB ＝BD ，则tan D 的值为（ ）
A ．3
B ．33
C ．23
D ．23
【答案】D 【解析】 【分析】
设AC ＝m ，解直角三角形求出AB ，BC ，BD 即可解决问题． 【详解】 设AC ＝m ，
在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∠ABC ＝30°， ∴AB ＝2AC ＝2m ，BC 33， ∴BD ＝AB ＝2m ，DC ＝3， ∴tan ∠ADC ＝AC CD 23m m
+＝23 故选：D ． 【点睛】
本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosA 的值是（ ） A ．
45
B ．
35
C ．
43
D ．
34
【答案】B 【解析】 【分析】
根据勾股定理，可得AB 的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案． 【详解】
解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4， 由勾股定理，得22AC BC +
cosA=
AC AB =3
5 故选：B ． 【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
12．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60°角与直尺的交点，B 为光盘与直尺的交点，AB =4，则光盘表示的圆的直径是( )
A ．4
B ．83
C ．6
D ．43
【答案】B 【解析】 【分析】
设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案. 【详解】
设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，
由切线长定理知，AB =AC =3，AO 平分∠BAC ， ∴∠OAB =60°，
在Rt △ABO 中，OB =AB tan ∠OAB 3 ∴光盘的直径为3 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.
13．如图，在矩形ABCD 中，4,AB DE AC =⊥，垂足为E ，设ADE α∠=，且
3
cos 5
α=
，则AC 的长为（ ）
A．3 B．16
3
C．
20
3
D．
16
5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，然后求出AC．
【详解】
解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CAD=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠ADE=α，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵cosα=3
5
，
3
5
AB
AC
∴=，
∴AC=520
4
33
?=．
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC是解题的关键．
14．cos60tan45
+o o的值等于()
A．3
2
B．
2
2
C
3
D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】
解：原式
13
1
22 =+=．
故选A．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
15．如图，有一个边长为2cm 的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（ ）
A ．3cm
B ．2cm
C ．23cm
D ．4cm
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB 的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可． 【详解】
解：如图所示，正六边形的边长为2cm ，OG ⊥BC ， ∵六边形ABCDEF 是正六边形， ∴∠BOC=360°÷6=60°， ∵OB=OC ，OG ⊥BC ，
∴∠BOG=∠COG=1
2
∠BOC =30°， ∵OG ⊥BC ，OB=OC ，BC=2cm ，
∴BG=12BC=1
2×2=1cm ， ∴OB=
sin 30
BG
o
=2cm ， ∴OG=2222213OB BG -=-=， ∴圆形纸片的半径为3cm ， 故选：A ．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=
23，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为
半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )
A
．
53
42
π
-B．
53
42
π
+C．23π
-D．43
2
π
-
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.
【详解】
连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，
则有AD=2AH，∠AHO=90°，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，tan∠A=
3
23
BC
AB
==，
∴∠A=30°，
∴OH=1
2
OA=
3
，AH=AO?cos∠A=
33
3
2
?=，∠BOC=2∠A=60°，
∴AD=2AH=3，
∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=
()2
603
113
2323
22360
π?
??-??-=
53
42
π
-，
故选A.
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
17．在一次数学活动中，嘉淇利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD .如图，嘉淇与假山的水平距离BD 为6m ，他的眼睛距地面的高度为1.6m ，嘉淇的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE 经过量角器的60?刻度线，则假山的高度CD 为（ ）
A ．()
23 1.6m + B ．()
22 1.6m +
C ．()
43 1.6m +
D ．23m
【答案】A 【解析】 【分析】
根据已知得出AK=BD=6m ，再利用tan30°= 6
CK CK
AK =，进而得出CD 的长． 【详解】
解：如图，过点A 作AK ⊥CD 于点K
∵BD=6米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°， ∴DB=AK ，AB=KD=1.6米，∠CAK=30°， ∴tan30°=
6
CK CK
AK =， 解得：3即3（3+1.6）m ． 故选：A ． 【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，解答关键是应用锐角三角函数定义.
18．如图，等边ABC V 边长为a ，点O 是ABC V 的内心，120FOG ∠=?，绕点O 旋转
FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：
①ODE V 形状不变；②ODE V 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一；
③四边形ODBE 的面积始终不变；④BDE V 周长的最小值为1.5a ．上述结论中正确的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】A 【解析】 【分析】
连接OB 、OC ，利用SAS 证出△ODB ≌△OEC ，从而得出△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，即可判断①；过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH ，利用锐角三角函数可得OH=1
2
OE 和3OE ，然后三角形的面积公式可得S △ODE =
34
OE 2
，从而得出OE 最小时，S △ODE 最小，根据垂线段最短即可求出S △ODE 的最小值，然后证出S 四边形ODBE =S △OBC 2
3即可判断②和③；求出BDE V 的周长=a ＋DE ，求出DE 的最小值即可判断④． 【详解】 解：连接OB 、OC
∵ABC V 是等边三角形，点O 是ABC V 的内心， ∴∠ABC=∠ACB=60°，BO=CO ，BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB
∴∠OBA=∠OBC=12∠ABC=30°，∠OCA=∠OCB=1
2
∠ACB=30° ∴∠OBA=∠OCB ，∠BOC=180°－∠OBC －∠OCB=120°
∵120FOG ∠=? ∴∠=FOG ∠BOC
∴∠FOG －∠BOE=∠BOC －∠BOE ∴∠BOD=∠COE 在△ODB 和△OEC 中
BOD COE BO CO
OBD OCE ∠=∠??
=??∠=∠?
∴△ODB ≌△OEC ∴OD=OE
∴△ODE 是顶角为120°的等腰三角形， ∴ODE V 形状不变，故①正确；
过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH ∵△ODE 是顶角为120°的等腰三角形 ∴∠ODE=∠OED=
1
2
（180°－120°）=30° ∴OH=OE·sin ∠OED=12OE ，EH= OE·cos ∠OED=3
OE ∴DE=2EH=3OE ∴S △ODE =
12DE·OH=34
OE 2
∴OE 最小时，S △ODE 最小，
过点O 作OE′⊥BC 于E′，根据垂线段最短，OE′即为OE 的最小值
∴BE ′=
12BC=12a 在Rt △OBE ′中
OE′=BE′·tan ∠OBE ′=12a 33 ∴S △ODE 322
3
∵△ODB ≌△OEC
∴S 四边形ODBE =S △ODB ＋S △OBE = S △OEC ＋S △OBE =S △OBC =
122
3 23=1
423 ∴S △ODE ≤1
4
S 四边形ODBE 即ODE V 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一，故②正确；
∵S 四边形ODBE =
2
312
a ∴四边形ODBE 的面积始终不变，故③正确； ∵△ODB ≌△OEC ∴DB=EC
∴BDE V 的周长=DB ＋BE ＋DE= EC ＋BE ＋DE=BC ＋DE=a ＋DE
∴DE 最小时BDE V 的周长最小 ∵DE=3OE ∴OE 最小时，DE 最小 而OE 的最小值为OE′=
3
6
a ∴DE 的最小值为3×
3
6
a =12a ∴BDE V 的周长的最小值为a ＋1
2
a =1.5a ，故④正确； 综上：4个结论都正确， 故选A ． 【点睛】
此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键．
19．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，BC ＝a ，那么AC 等于（ ） A ．a?tanα B ．a?cotα
C ．a?sinα
D ．a?cosα
【答案】B 【解析】 【分析】
画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可. 【详解】
如图，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝a ， ∵cot αAC
BC
， ∴AC ＝BC?cotα＝a?cotα，
故选：B ． 【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.
20．如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16m 到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物
MN的高度等于( )
A．31)m B．31)m C．31)m D．31)m 【答案】A
【解析】
设MN=xm，
在Rt△BMN中,∵∠MBN=45°，
∴BN=MN=x，
在Rt△AMN中,tan∠MAN=MN AN
，
∴tan30°=
16x
x
+
=3√3，
解得：3，
则建筑物MN的高度等于3 +1)m；
故选A.
点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相结合求边的长.