08级《组合数学》考试要求
1．掌握计数的基本原则。
2．掌握排列、组合、T 路、二项式反演公式等的应用。
3．掌握容斥原理及其用应。
4．掌握递推关系的建立和迭代法及用特征根求递推关系解。
5．掌握Catalan 数和Fibonacci 数的性质和计算。
6．掌握常生成函数求法和应用。
7．掌握整数分拆的计数公式及简单应用。
《组合数学》10练习题（08级）
一、填充题：（每题3分，共21分）
1．不含数字2，也不含数字7，且各位数字相异的大于5400的4位数有 个。
2．由n 个人排成一列，要求1号不能排在第一位，2号不排在第二位，共有 种不同排法。
3．甲乙两人比赛乒乓球，最后的比分是20：20，在比赛过程中甲都领先乙的记分情况的种数共有 个。
4．不定方程r x x x n =+++ 21 的非负整数解的个数是 。
5．若)(n ?表示不大于n 且与n 互质的自然数的个数，则=)56(? 。
6．)(n π表示不大于n 的质数的个数，则)70(π= 。
7．以n Q 表示由1，2，3，…，n （n ≥2）作成的不含有连续数对的全排列的个数，则5Q 。
二、选择题：（每题3分，共30分）
1．整除632632的正整数的个数是 （ C ）
A ．48
B ．32
C ．64
D ．72
2．多重集}4,4{b a S ??=的6-排列的个数是 （ A ）
A ．50
B ．60
C ．70
D ．80
3．∑==+n
k k n k
C k 01(-1) （
D ）
A ．n 1
B ．11+n
C ．n n )1(-
D ．1
)1(+-n n
4．从1到500的整数中，能被3和5都整除但不能被7整除的个数是 （ A ）
A ．29
B ．38
C ．27
D ．41
5．以),,(n p n r h +表示把r 件相异物件分给n+p 个人，使得预先指定的n 个人中每人至少分得一件物件的不同分法的种数是 （ B ）
A ． ∑=-+-n k r k n k
k p n C 0)()1( B ．∑=-+-n
k k k n k r p n C 0)()1(
C ． ∑=-+n k r k n k p n C
0)( D ．∑=-+-n
k r k n k k p n C 1)()1( 6．平面上有)2(≥n n 条直线，任意两直线都相交但无三线共点，这n 条直线把平面分成的不连通区域的个数是 （ D ）
A ．)22(21
2++n n B ．)12(21
2++n n C ．)1(21
2++n n D ．)2(21
2
++n n 7．把平面上的一个凸七边形7A 用4条不相交的对角线分成5个三角形的所有方法数是 （ D ）
A ．9C
B ．8
C C ．7C
D ．6C
8．Fibonacci 数=)20(f （ C ）
A ．966
B ．1530
C ．10946
D ．12645
9．数列 ）
）2(1(++=n n n a n 的常生成函数是 （ A ） A ．4)-(16t t B ．4)-(116t t - C ．3)-(16t t D ．42
)-(16t t 10．=≤)48(3p （ B ）
A ．21
B ．37
C ．50
D ．74
三、计算题：（每题6分，共18分）
1．解递推关系：?
??==≥+--=--9,3)2(,24341021a a n n a a a n n n 2．求不定方程1544321=+++x x x x 的非负整数解的个数。
3．求532)321(x x x +++展开式中5x 的系数。
四．证明题：（第1题，每题7分，第2题8分，共15分）
1．求证：0)
1(1=-∑=k n n k k C k
2．证明，用)2(≥m m 种颜色去涂n ?1（n ≥2）棋盘，每格涂一种颜色，相邻格子异色，首尾两格也相异的不同涂色方法数以)1()1()1()(--+-=m m n f n n
五、应用题：（每题8分，共16分）
1．一次宴会上有7位来宾寄存他们的帽子，在取回他们的帽子时，有多少种可能使得至少有两位来宾取回他们自己的帽子？
2．由1至1000的整数中，由多少个整数能被4整除，但不能被7也不能被10整除？