简单的优化模型.

第三章 简单的优化模型

1.在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订货批量.证明在不允许缺货模型和允许缺货模型中找结果都与原来的一样.

解：设购买单位重量货物的费用为k ，对于不允许缺货模型，每天平均费用为

c （T ）=c1/T+c2rT/2+kr,T,Q 的[最优结果不变。对于允许缺货模型，每天平均费用为c(T,Q)=1/T[c1+c2Q^2/2r+c3(rT-Q)^2/2r+kQ],利用

0,0=??=??Q

c T c ，可求出T,Q 的最优结果为 3

2))32(23323212(*,)32332212(*21222212

c c kr c c c r k c c c c c r c Q c c k c c c rc c T +-+-+=-+= T*,Q*均比不考虑费用k 时的结果减少。

3.在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.

解：不妨设1)('

+=b b λλ，表示火势b 越大，灭火速度λ越小，分母b+1中的1是防止0

→b 时∞→λ而加的。最优解为

.)1()32)1]()1(221[('212'2'λ

βλβλ+++++=b c b b b c b c x

4.在3.4节最优价格模型中，如果考虑到成本q 随着产量x 的增加而降低，试做出合理的假设，重新求解模型.

解：不妨设k kx q x q ,)(0-=是产量增加一个单位时成本的降低。最优价格为.2)1(2*0b

a k

b ka q p +--=

5.在考虑最优价格问题时设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长，设q=q0+βt ，

β为增长率.又设单位时间的销售量为x=a-bp

（p 为价格）.今将销售期分为0

解：总利润为

)]}43(2[)2()]4(1[)1{(2)2()](2[)1()](1[)2,1(002/2

/0T q p b bp a T q p b bp a T dt bp a t q p dt bp a t q p p p U T

T T ββ+---++---=--+--=??

由02

,01=??=??p U p U ，可得最优价格 )]4

3([212)],4([21100T q b a b p T q b a b p ββ++=++= 设总销量为Q 0， ).21(2

)2()1(2/02/0p p bT aT dt bp a dt bp a Q T T T +-=-+-=?? 在此约束条件下U(p1,p2)的最大值点为

8

2~,81~00T bT Q b a p T bT Q b a p ββ--=--=

6.在3.6节消费者的选择模型中，

（1） 证明若条件B 成立，则条件A 成立.

（2） 验证（3），（5），（7）式给出的效用函数是否满足条件B 和A.

（3） 若消费者的效用函数为（7）式，求最优比例p1q1/p2q2，并分析参数a ，b 的意

义.

（4） 若商品甲的价格p1增加，其余条件不变，讨论消费者均衡状态的变化.

（5） 若消费者购买商品的钱s 增加，其余条件不变，讨论消费者均衡状态的变化.

（6） 推广到消费者购买m （m>2）种商品的情况。

解：（1）用隐函数求导规则可以证明当条件B 成立时，,01

2,01222>

（3）1

2221122p b p a q p q p =,a,b 分别表示消费者对商品甲、乙的偏爱程度。 （4）p1增加时，消费者均衡状态Q 点将左移（见书中图7）.

（5）s 增加时,消费者状态Q 点将向右上方移动（见书中图7）.

（6）优化模型为Max U(q1,…,qm ) ,∑==m

i s piqi 1.

7.要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少.

将人体简化成一个长方体，高a=1.5cm （颈部以下），宽b=0.5m ，厚c=0.2m.设跑步距离d=1000m ，跑步最大速度vm=5m/s ，雨速u=4m/s ，降雨量w=2cm/h ，记跑步速度为v 。按一下步骤进行讨论：

（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量.

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v 及参数a ，b ，c ，d ，u ，w ，θ之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少.计算θ=0，θ=?30时的总淋雨量.

（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图

2.建立总淋雨量与速度v 及参数a ，b ，c ，d ，u ，w ，α之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少.计算α=?30时的总淋雨量.

（4）以总淋雨量为纵轴，速度v 为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义.

（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面模型会有什么变化.

解：（1）全身面积s=2ab+2ac+bc=2.2m 2 ,淋雨时间t=d/v m =200s,降雨量w=2cm/h=10- 4/18m/s,所以总淋雨量Q=st w ≈2.44升.

（2）顶部淋雨量Q1=bcdwcos θ/v;雨速水平分量usin θ,方向与v 相反，合速度usin θ+v,迎面单位时间、单位面积的淋雨量w(usin θ+v)/u,迎面淋雨量Q2=abdw(usin θ+v)/uv,所以总淋雨量Q=Q1+Q2=.)sin (cos v

v u a cu u bdw ++θθv=v m 时Q 最小. θ=0, Q ≈1.15升. θ=300, Q ≈1.55升.

（3）与（2）不同的是，合速度为|usin θ+v|，于是总淋雨量

Q=｛a u v v

av a a a c u u bdw v a u v a a cu u bdw a u v v av a a a c u u bdw v v a u a a cu u bdw sin ,)sin cos ()sin (cos sin ,)sin cos ()sin (cos >+-=-+≤-+=-+ 若,0sin cos <-a a a c 即,/tan a c a >则a u v sin =时Q 是最小.否则, m v v =时Q 是最小最小(见下图).当a=300 ,tan a>0.2/1.5,v=2m/s, Q ≈0.24升最小.可与m v v =, Q ≈0.93升相比.

（4）雨从背面吹来，只要a 不太小，满足a c a /tan >(a=1.5m 、c=0.2m 时, 06.7>a 即可),

a u v sin =时Q 是最小，此时人体背面不淋雨，只有颈部淋雨.

（5）再用一个角度表示雨的方向，应计算侧面的淋雨量，问题本质上没有变化。

数学模型程序代码-Matlab-姜启源-第三章-简单的优化模型

第3章简单的优化模型 1. 生猪的出售时机p63~65 目标函数（生猪出售纯利润，元）： Q(t) = ( 8 – g t )( 80 + rt ) – 4t–640 其中，t≥0为第几天出售，g为每天价格降低值（常数，元/公斤），r为每天生猪体重增加值（常数，公斤）。 求t使Q(t)最大。 1.1（求解）模型求解p63 (1) 图解法 绘制目标函数 Q(t) = ( 8 – g t )( 80 + rt ) – 4t–640 的图形（0 ≤t≤ 20）。其中，g=0.1, r=2。 从图形上可看出曲线Q(t)的最大值。 (2) 代数法 对目标函数 Q(t) = ( 8 – g t )( 80 + rt ) – 4t–640 用MATLAB求t使Q(t)最大。其中，r, g是待定参数。（先对Q(t)进行符号函数求导，对导函数进行符号代数方程求解） 然后将代入g=0.1, r=2，计算最大值时的t和Q(t)。 要求： ①编写程序绘制题(1)图形。

②编程求解题(2). ③对照教材p63相关内容。 相关的MATLAB函数见提示。 ★要求①的程序和运行结果：程序： 图形： ★要求②的程序和运行结果：程序：

运行结果： 1.2（编程）模型解的的敏感性分析p63~64 对1.1中(2)所求得的符号表达式t(r,g)，分别对g和r进行敏感性分析。 (1) 取g=0.1，对t(r)在r=1.5:0.1:3上求r与t的关系数据，绘制r与t的关系图形（见教材p65）。 (2) 取r=2，对t(g)在g=0.06:0.01:0.15上求g与t的关系数据，绘制g与t 的关系图形（见教材p65）。 要求：分别编写(1)和(2)的程序，调试运行。 ★给出(1)的程序及运行结果： 程序：

简单的优化模型

第三章 部分习题 1. 在3.1节存储模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优定货周期和定货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优定货周期和定货批量都比原来结果减小 3. 在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。 4. 在3.4节`最优价格模型中，如果考虑到成本q 随着产量x 的增加而降低，试做出合理的假设，重新求解模型。 7. 要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学，模型讨论是否跑都越快，淋雨量越少。 将人体简化成一个长方体，高m a 5.1=（颈部以下），宽m b 5.0=厚m c 2.0=，设跑步距离 ,1000m d =跑步最大速度s m v m /5=，雨速s m u /4= ，降雨量h cm w /2=，记跑步速度为v ，按以下步骤进行讨论； （1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量 （2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为θ，如图1建立总淋雨量与速度v 及参数θ,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算0 30,0==θθ时的总淋雨量。 （3））雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为?，如图2建立总淋雨量与速度v 及参数?,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算030=θ时的总淋雨量。 （4）以总淋雨量为纵轴，速度v 为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。 （5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。

简单的优化模型.

第三章 简单的优化模型 1.在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订货批量.证明在不允许缺货模型和允许缺货模型中找结果都与原来的一样. 解：设购买单位重量货物的费用为k ，对于不允许缺货模型，每天平均费用为 c （T ）=c1/T+c2rT/2+kr,T,Q 的[最优结果不变。对于允许缺货模型，每天平均费用为c(T,Q)=1/T[c1+c2Q^2/2r+c3(rT-Q)^2/2r+kQ],利用 0,0=??=??Q c T c ，可求出T,Q 的最优结果为 3 2))32(23323212(*,)32332212(*21222212 c c kr c c c r k c c c c c r c Q c c k c c c rc c T +-+-+=-+= T*,Q*均比不考虑费用k 时的结果减少。 3.在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型. 解：不妨设1)(' +=b b λλ，表示火势b 越大，灭火速度λ越小，分母b+1中的1是防止0 →b 时∞→λ而加的。最优解为 .)1()32)1]()1(221[('212'2'λ βλβλ+++++=b c b b b c b c x 4.在3.4节最优价格模型中，如果考虑到成本q 随着产量x 的增加而降低，试做出合理的假设，重新求解模型. 解：不妨设k kx q x q ,)(0-=是产量增加一个单位时成本的降低。最优价格为.2)1(2*0b a k b ka q p +--= 5.在考虑最优价格问题时设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长，设q=q0+βt ， β为增长率.又设单位时间的销售量为x=a-bp （p 为价格）.今将销售期分为0

数学建模实验答案_简单地优化模型

实验03 简单的优化模型（2学时） （第3章简单的优化模型） 1. 生猪的出售时机p63~65 目标函数（生猪出售纯利润，元）： Q(t) = ( 8 – g t )( 80 + rt ) – 4t – 640 其中，t≥ 0为第几天出售，g为每天价格降低值（常数，元/公斤），r为每天生猪体重增加值（常数，公斤）。 求t使Q(t)最大。 1.1（求解）模型求解p63 (1) 图解法 绘制目标函数 Q(t) = ( 8 – g t )( 80 + rt ) – 4t – 640 的图形（0 ≤t≤ 20）。其中，g=0.1, r=2。 从图形上可看出曲线Q(t)的最大值。 (2) 代数法 对目标函数 Q(t) = ( 8 – g t )( 80 + rt ) – 4t – 640 用MATLAB求t使Q(t)最大。其中，r, g是待定参数。（先对Q(t)进行符号函数求导，对导函数进行符号代数方程求解） 然后将代入g=0.1, r=2，计算最大值时的t和Q(t)。 要求： ①编写程序绘制题(1)图形。 ②编程求解题(2). ③对照教材p63相关内容。 相关的MATLAB函数见提示。 ★要求①的程序和运行结果：

★要求②的程序和运行结果：

1.2（编程）模型解的的敏感性分析p63~64 对1.1中(2)所求得的符号表达式t(r,g)，分别对g和r进行敏感性分析。 (1) 取g=0.1，对t(r)在r=1.5:0.1:3上求r与t的关系数据，绘制r与t 的关系图形（见教材p65）。 (2) 取r=2，对t(g)在g=0.06:0.01:0.15上求g与t的关系数据，绘制g 与t的关系图形（见教材p65）。 要求：分别编写(1)和(2)的程序，调试运行。 ★给出(1)的程序及运行结果：

实验03讲评、参考答案_简单的优化模型(2学时)

实验03讲评、参考答案 讲评未按时交的同学 批改情况： 批改了奇数学号的实验报告。

附参考答案： 《数学建模实验》王平 实验03 简单的优化模型（2学时） （第3章简单的优化模型） 1. 生猪的出售时机p63~65 目标函数（生猪出售纯利润，元）： Q(t) = ( 8 – g t )( 80 + rt ) – 4t–640 其中，t≥0为第几天出售，g为每天价格降低值（常数，元/公斤），r为每天生猪体重增加值（常数，公斤）。 求t使Q(t)最大。 1.1（求解）模型求解p63 (1) 图解法 绘制目标函数 Q(t) = ( 8 – g t )( 80 + rt ) – 4t–640 的图形（0 ≤t≤ 20）。其中，g=0.1, r=2。 从图形上可看出曲线Q(t)的最大值。 ★(1) 给出编写的程序和运行结果：

(2) 代数法 对目标函数 Q(t) = ( 8 – g t )( 80 + rt ) – 4t–640 用MATLAB求t使Q(t)最大。其中，r, g是待定参数。（先对Q(t)进行符号函数求导，对导函数进行符号代数方程求解） 然后将代入g=0.1, r=2，计算最大值时的t和Q(t)。 相关的MATLAB函数见提示。 ★(2) 给出编写的程序和运行结果（比较[63]）： 运行结果（比较[63]）

1.2（编程）模型解的的敏感性分析p63~64 对1.1中(2)所求得的符号表达式t(r,g)，分别对g和r进行敏感性分析。 (1) 取g=0.1，对t(r)在r=1.5:0.1:3上求r与t的关系数据，绘制r与t的关系图形（见教材p64）。 ★(1) 给出编写的程序及运行结果（比较[64]）：