一、数学基础
1.单位圆的半径是1，θsin 是动态的半径在横坐标轴上的投影，θcos 是变化的半径在横坐标轴上的投影，四个顶点坐标分别是)1-,0()0,1-()1,0()0,1(、、、，代表了θsin 与θcos 的取值范围（上下限），即在πθ≤≤0范围内，
1cos 1-≤≤θ，1in 0≤≤θs ，且不能同时取到，因为根据勾股定理，可得1sin cos 2
2
2
==+r θθ，对任意角都成立，还有θθθcos /sin tan =和
θθθsin cos 22sin =（或2
cos
2
sin
2sin θ
θ
θ=，
2
cos
/2
sin
2
tan
θ
θ
θ
=，2
cos
2
sin
2sin θ
θ
θ=，
2222sin 2-11-cos 2sin cos 2cos θθθθθ==-=，θ
θ
θθθθθ2
22tan 1tan 2sin cos sin cos 22sin +=+=
，θ
θ
θθθθθ222222tan 1tan 1sin cos sin cos 2co +-=
+-=s ） 令单位圆的半径是1=r ，坐标),(y x P ，由r y =θsin 和r
x
=θcos ，得θcos =x 和θsin =y ，即)sin ,(cos θθP .
随着θ增大，y 先增大后减小，x 一直减小；即θsin 先增↑后减↓，或θcos 一直减↓； 2.三角函数的单调性 当2
0π
θ≤
≤时，随着θ增大，y 增大，x 减小，即↑θ，↑θsin ，↓θcos ；
θsin =y 从0到1，而θcos =x 从1到0；
反之，随着θ减小，y 减小，x ，即↓θ，↓θsin ，↑θcos .
当
πθπ
≤≤2
时，随着θ增大，y 减小，x 减小，即↑θ，↓θsin ，↓θcos ；
θsin =y 从1到0，而θcos =x 从0到-1；
反之，随着θ减小，y 增大，x 增大，即↓θ，↑θsin ，↑θcos . 结论：随着θ增大，y 先增大后减小，即θsin 先增↑后减↓；
随着θ增大，x 一直减小，即θcos 一直减↓； 3正弦定理和拉密定理
1θ是力32F F 、
的夹角，2θ是力31F F 、的夹角，3θ是力21F F 、的夹角，矢量的夹角与三个力放在一个三角形里的边的夹角互补，故而余弦定理对于矢量和标量是有区别的，因为
θθπcos )cos(-=-，不像正弦定理那样等价，θθπsin )sin(=-，其它θθθπcos )cos()2cos(=-=-、θθθπsin )sin()2sin(-=-=-.
（1）正弦定理
2
2
1133sin sin sin θθθF F F =
=
（2）拉密定理
γ
βαsin sin sin 3
21F F
F ==
由于原来的矢量夹角321θθθ、、分别变成补角321θπθπθπ---、、，
但θθπsin )sin(=-，使得正弦定理和拉密定理的实质是一样的。（如同三角形定则和平行四边形定则是相同的）
二、应用例题
在有关物体平衡的问题中，有一类涉及动态平衡。这类问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，故这是力平衡问题中的一类难题。解决这类问题的一般思路是：把
“动”化为“静”，“静”中求“动”。根据现行高考要求，物体受到往往是三个共点力问题，利用三力平衡特点讨论动态平衡问题是力学中一个重点和难点，许多同学因不能掌握其规律往往无从下手，许多参考书的讨论常忽略几中情况，笔者整理后介绍如下。 方法一：三角形图解法。
特点：三角形图象法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题。 方法：先正确分析物体所受的三个力，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形。然后将方向不变的力的矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。
例1.1 如图1所示，一个重力G 的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。今使板与斜面的夹角β
缓慢增大，问：在此过程中，
挡板和斜面对球的压力大小如何变化？
解法一：取球为研究对象，如图1-2所示，球受重力G 、斜面支持力F 1、挡板支持力F 2。因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，将三个力矢量构成封闭的三角形。F 1的方向不变，但方向不变，始终与斜面垂直。F 2的大小、方向均改变，随着挡板逆时针转动时，F 2的方向也逆时针转动，动态矢量三角形图1-3中一画出的一系列虚线表示变化的F 2。由此可知，F 2先减小后增大，F 1随β增大而始终减小。 解法二：由拉密定理得
)
sin()sin()sin(1
2βααπβπ+=
-=-F F G 化简为
)
sin(sin sin 1
2βααβ+==F F G 图1-2
β
α
G
F 1
F 2 F 1
G
F 2
图1-3
一直减小。减小减小，则增大，随着时当减小减小，则增大，随着时当，
1221;cot ,2;
cot ,2
)cos cot (sin )cos sin cos sin (sin sin cos cos sin sin )sin(F F F G G G
G F ββπ
βββπ
βαβααββαββ
αβαββα>
<+=+=+=+=先减小后增大。
增大；减小，则增大，随着时当有最小值，时当减小也增大，则增大，随着时不变，当，22min 2222sin ,2
;sin ,
2
;sin ,2sin sin F F G F F F G F ββπ
βαπβββπβαβα>
==<=
方法二：相似三角形法。
特点：相似三角形法适用于物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其它二个力的方向均发生变化，且三个力中没有二力保持垂直关系，但可以找到力构成的矢量三角形相似的几何三角形的问题
原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。
例2．一轻杆BO ，其O 端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO 上，B 端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A 处的光滑小滑轮，用力F 拉住，如图2-1所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆BO 与杆A O 间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F 及杆BO 所受压力F N 的大小变化情况是( ) A ．F N 先减小，后增大 B .F N 始终不变 C ．F 先减小，后增大 D.F 始终不变
解析：取BO 杆的B 端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F )、BO 杆的支持力F N 和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G )的作用，将F N 与G 合成，其合力与F 等值反向，如图2-2所示，将三个力矢量构成封闭的三角形(如图中画斜线部分)，力的三角形与几何三角形OBA 相似，利用相似三角形对应边
A F
B O θ 图2-1 A F B O θ
G
F N F
L l H
图2-2
成比例可得：(如图2-2所示，设AO 高为H ，BO 长为L ，绳长l ,)
l
F L F H
G N ==，式中G 、
H 、L 均不变，l 逐渐变小，所以可知F N 不变，F 逐渐变小。正确答案为选项B
同种类型：如图2-3所示，光滑的半球形物体固定在水平地
面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮，后用力拉住，使小球静止．现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A 到半球的顶点B 的过程
中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化情况是( D )。 (A)N 变大，T 变小 (B)N 变小，T 变大
(C)N 变小，T 先变小后变大 (D)N 不变，T 变小
方法三：作辅助圆法 特点：作辅助圆法适用的问题类型可分为两种情况：①物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变，另两个力大小、方向都在改变，但动态平衡时两个力的夹角不变。②物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变，动态平衡时一个力大小不变、方向改变，另一个力大小、方向都改变，
原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，第一种情况以不变的力为弦作个圆，在辅助的圆中可容易画出两力夹角不变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。第二种情况以大小不变，方向变化的力为直径作一个辅助圆，在辅助的圆中可容易画出一个力大小不变、方向改变的的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。 例3、如图3-1所示，物体G 用两根绳子悬挂，开始时绳OA 水平，现将两绳同时顺时针转过
90°，且保持两绳之间的夹角α不变)90(0>α，物体保持静止状态，在旋转过程中，设绳OA 的拉力为F 1，绳OB 的拉力为F 2，则（ ）。 (A)F 1先减小后增大
(B)F 1先增大后减小 (C)F 2逐渐减小 (D)F 2最终变为零
解析：取绳子结点O 为研究对角，受到三根绳的拉力，如图3-2所示分别为F 1、F 2、F 3，将三力构
成矢量三角形(如图3-3所示的实线三角形CDE)，需满足力F 3大小、方向不变，角∠ CDE 不变(因为角α不变)，由于角∠DCE 为直角，则三力的几何关系可以从以DE 边为直径的圆中找，则动态矢量三角形如图3-3中一画出的一系列虚线表示的三角形。由此可知，F 1先增大后减小，F 2随始终减小，且转过90°时，当好为零。 正确答案选项为B 、C 、D
A B α O G 图3-1 A B α O G
F 1 F 2 F 3 图3-2
F 1 F 2 F 3
C D E
D D D 图3-3
A C
B O 图2-3
另一种类型：如图3-4所示，在做“验证力的平行四边形定则”的实验时，用M 、N 两个测力计通过细线拉橡皮条的结点，使其到达O 点，此时α+β= 90°．然后保持M 的读数不变，而使α角减小，为保持结点位置不变，可采用的办法是（ A ）。
(A)减小N 的读数同时减小β角 (B)减小N 的读数同时增大β角
(C)增大N 的读数同时增大β角
(D)增大N 的读数同时减小β角 βα
α
βαα
ββαsin sin sin )(sin sin sin )(sin ON
OM
ON
ON
OM F F F F F
F F ==+==+合
合
方法四：解析法
特点：解析法适用的类型为一根绳挂着光滑滑轮，三个力中其中两个力是绳的拉力，由于是同一根绳的拉力，两个拉力相等，另一个力大小、方向不变的问题。
原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，设一个角度，利用三力平衡得到拉力的解析方程式，然后作辅助线延长绳子一端交于题中的界面，找到所设角度的三角函数关系。当受力动态变
化是，抓住绳长不变，研究三角函数的变化，可清晰得到力的变化关系。 例4．如图4-1所示，在水平天花板与竖直墙壁间，通过不计质量的柔软绳子和光滑的轻小滑轮悬挂重物G =40N ，绳长L =2.5m ，OA =1.5m ，求绳中张力的大小，并讨论： （1）当B 点位置固定，A 端缓慢左移时，绳中张力如何变化？ （2）当A 点位置固定，B 端缓慢下移时，绳中张力又如何变化？
解析：取绳子c 点为研究对角，受到三根绳的拉力，如图4-2所示分别为F 1、F 2、F 3，延长绳AO 交竖直墙于D 点，由于是同一根轻绳，可得：21F F =，BC 长度等于CD ，AD 长度等于绳长。设
图4－1 A B C G O A B C G D F 1 F 2 F 3 O θ 图4－2 A B C G
D F 1 F 2 F 3
O θ A ′ D ′ 图4－3 A B
C
G D F 1 F 2 F 3 O
θ C ′ B ′ 图4－
4 M
N O α β
图3-4
角∠OAD 为θ；根据三个力平衡可得：
θsin
21G F =
；在三角形AOD 中可知，AD
OD
=θsin 。如果A 端左移，AD 变为如图4－3中虚线A ′D ′所示，可知A ′D ′不变，OD ′减小，θsin 减小，F 1变大。如果B 端下移，BC 变为如图4－4虚线B ′C ′所示，可知AD 、OD 不变，θsin 不变，F 1不变。
同种类型：如图4－5所示，长度为5cm 的细绳的两端分别系于竖立地面上 相距为4m 的两杆的顶端A 、B ，绳子上挂有一个光滑的轻质钩，其下端连着 一个重12N 的物体，平衡时绳中的张力多大？
4.相似三角形法分析动态平衡问题：
（1）相似三角形：正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。
（2）往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的大小和方向均发生变化，则此时用相似三角形分析。相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。 例4：如图所示，在半径为R 的光滑半球面上高为 h 处悬挂一定滑轮，重力为G 的小球被站在地面上的人用绕过定滑轮的绳子拉住，人拉动绳子，在与球面相切的某点缓慢运动到接近顶点的过程中，求小球对半球的压力和绳子的拉力大小将如何变化。
5.平衡方程式法：平衡方程式法适用于三力以上力的平衡，且有
一个恒力，通过它能够建立恒定不变的方程式。根据其中一个力的变化情况，求出另一个力的变化情况。
1.所示，小球被轻质细绳系着，斜吊着放在光滑斜面上，小球质量为m ，斜面倾角为θ，向右缓慢推动斜面，直到细线与斜面平行，在这个过程中，绳上张力、斜面对小球的支持力的变化情况？（答案：绳上张力减小，斜面对小球的支持力增大）
2.人站在岸上通过定滑轮用绳牵引低处的小船，若水的阻力不变，则船在匀速靠岸的过程中，下列说法中正确的是（ ） （A ）绳的拉力不断增大 （B ）绳的拉力保持不变
（C ）船受到的浮力保持不变
θ
图1-4
F
（D ）船受到的浮力不断减小
3．如图所示 质量为m 的小球被三根相同的轻质弹簧a 、b 、c 拉住，c 竖直向下a 、b 、c 三者夹角都是120°，小球平衡时，a 、b 、c 伸长的长度之比是3∶3∶1，则小球受c 的拉力大小为 （ ）
A ．mg
B ．0.5mg
C ．1.5mg
D ．3mg
4．如图所示．物体处于平衡状态，若保持a 不变，当力F 与水平方向夹角β多大时F 有最小值
（ ）
A ．β＝0
B ．β＝
2
C ．β＝α
D ．β＝2α
5．如图所示一条易断的均匀细绳两端固定在天花板的A 、B 两点，今在细绳O 处吊一砝码，如果
OA ＝2BO ，则 （ ）
A ．增加硅码时，AO 绳先断
B ．增加硅码时，BO 绳先断
C ．B 端向左移，绳子易断
D ．B 端向右移，绳子易断
6．图所示，A 、A ′两点很接近圆环的最高点．BOB ′为橡皮绳，∠BOB ′＝120°，且B 、B ′与OA 对称．在点O 挂重为G 的物体，点O 在圆心，现将B 、B ′两端分别移到同一圆周上的点A 、A ′，若
要使结点O 的位置不变，则物体的重量应改为 A ．G B ．
2
G C ．
4
G
D ．2G 7．长为L 的轻绳，将其两端分别固定在相距为d 的两坚直墙面上的A 、B 两点。一小滑轮O 跨过绳子下端悬挂一重力为G 的重物C ，平衡时如图所示，求AB 绳中的张力。
8．如图所示，质量为m ，横截面为直角形的物快ABC ，∠ABC ＝α，AB 边靠在竖直墙上，F 是垂直于斜面BC 的推力，现物块静止不动，求摩擦力的大小。
2．如图，电灯悬挂于两墙之间，更换水平绳OA 使连结点A 向上移动而保持O 点的位置不变，则A 点向上移动时（ ） A ．绳OA 的拉力逐渐增大 B ．绳OA 的拉力逐渐减小 C ．绳OA 的拉力先增大后减小
D ．绳OA 的拉力先减小后增大
3．如图，用细绳将重球悬挂在竖直光滑墙上，当绳伸长时（ ） A ．绳的拉力变小，墙对球的弹力变大 B ．绳的拉力变小，墙对球的弹力变小 C ．绳的拉力变大，墙对球的弹力变小 D ．绳的拉力变大，墙对球的弹力变大
4．如图，均匀光滑的小球放在光滑的墙壁与木板之间，图中
30=θ，当将θ角缓慢增大至接近 90的过程中（ ）
A ．小球施于木板的压力不断增大
B ．小球施于墙的压力不断减小
C ．小球对墙壁的压力始终小于mg
θ
A
O
D ．小球对木板的压力始终大于mg
5．在共点力的合成实验中，如图，使弹簧秤b 按图示
的位置开始顺时针
方向缓慢转
90角，在这个过程中，保持O 点位置不动，a 弹簧秤的拉伸方向不变，则整个过程中关于a 、b 弹簧的读数变化是（ ）A ．a 增大，b 减小B ．a 减小，b 减小C ．a 减小，b 先减小后增大D ．a 先减小后增大
能力提高题
6．如图，一个均质球重为G ，放在光滑斜面上，倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球。使之处于静止状态，今使板与斜面的夹角β缓慢增大，问：此过程中，球对挡板和球对斜面的压力如何变化？
α
β
7．如图，小球被轻质绳系着，斜吊着放在光滑劈上，球质量为m ， 斜面倾角为θ，在水平向右缓慢推动劈的过程中（ ） A ．绳上张力先增大后减小 B ．绳上张力先减小后增大 C ．劈对球的支持力减小
θ
D ．劈对球的支持力增小
8．如图，轻绳的一端系在质量为m 的物体上，别一端系在一个圆环上，圆环套在粗糙的水平横杆
MN 上，现用水平力F 拉绳上一点，使物体处在图中实线位置，然后改变F 的大小，使其缓慢下降
到图中虚线位置，圆环仍在原来位置不动，则在这一过程中，水平力F 、环与横杆的摩擦力f 和环对杆的压力N 的变化情况是（ ） A ．F 逐渐增大，f 保持不变，N 逐渐增大 B ．F 逐渐增大，f 逐渐增大，N 保持不变 C ．F 逐渐减小，f 逐渐增大，N 逐渐减小 D ．F 逐渐减小，f 逐渐减小，N 保持不变
思考：3重G 的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F 1、F 2各如何变化？
参考答案：
F F
F 1 F 2
G
动态平衡中的三力问题 方法一：三角形图解法。 特点：三角形图象法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题。 方法：先正确分析物体所受的三个力，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形。然后将方向不变的力的矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。 例如图1所示，一个重力G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。今使板与斜面的夹角β 缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化 解析：取球为研究对象，如图1-2所示，球受重力G、斜面支持α 图 图 G F G F 图1-3
力F1、挡板支持力F2。因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，将三个力矢量构成封闭的三角形。F1的方向不变，但方向不变，始终与斜面垂直。F2的大小、方向均改变，随着挡板逆时针转动时，F2的方向也逆时针转动，动态矢量三角形图1-3中一画出的一系列虚线表示变化的F2。由此可知，F2先减小后增大，F1随 增大而始终减小。 同种类型：例所示，小球被轻质细绳系着，斜吊着放在光滑斜面上，小球质量为m，斜面倾角为θ，向右缓慢推动斜面，直到细线与斜面平行，在这个过程中，绳上张力、斜面对小球的支持力的变化情况（答案：绳上张力减小，斜面对小球的支持力增大） 方法二：相似三角形法。 特点：相似三角形法适用于物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其它二个力的方向均发生变化，且三个力中没有二力保持垂直关系，但可以找到力构成的矢量三角形相似的几何三角形的问题原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的
共点力平衡的几种解法 1. 力的合成、分解法：对于三力平衡，一般根据“任意两个力的合力与第三个力等大反向”的关系，借助三角函数、相似三角形等手段求解；或将某一个力分解到另外两个力的反方向上，得到的这两个分力势必与另外两个力等大、反向；对于多个力的平衡，利用先分解再合成的正交分解法。 2. 矢量三角形法：物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接，构成一个矢量三角形；反之，若三个力矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零，利用三角形法，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识可求得未知力。 矢量三角形作图分析法，优点是直观、简便，但它仅适于处理三力平衡问题。 3. 相似三角形法：相似三角形法，通常寻找的是一个矢量三角形与三个结构（几何）三角形相似，这一方法也仅能处理三力平衡问题。 4. 正弦定理法：三力平衡时，三个力可构成一封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可用正弦定理列式求解。 5. 三力汇交原理：如果一个物体受到三个不平行外力的作用而平衡，这三个力的作用线必在同一平面上，而且必为共点力。 6. 正交分解法：将各力分别分解到x轴上和y轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件，多用干三个以上共点力作用下的物体的平衡，值得注意的是，对“x、y方向选择时，尽可能使落在x、y轴上的力多；被分解的力尽可能是已知力。不宜分解待求力。 7. 动态作图：如果一个物体受到三个不平行外力的作用而处于平衡，其中一个力为恒力，第二个力的方向一定，讨论第二个力的大小和第三个力的大小和方向。 三. 重难点分析： 1. 怎样根据物体平衡条件，确定共点力问题中未知力的方向？ 在大量的三力体（杆）物体的平衡问题中，最常见的是已知两个力，求第三个未知力。解决这类问题时，首先作两个已知力的示意图，让这两个力的作用线或它的反向延长线相交，则该物体所受的第三个力（即未知力）的作用线必定通过上述两个已知力的作用线的交点，然后根据几何关系确定该力的方向（夹角），最后可采用力的合成、力的分解、拉密定理、正交分解等数学方法求解。 2. 一个物体受到n个共点力作用处于平衡，其中任意一个力与其余（n-1）个力的合力有什么关系？ 根据二力平衡条件，一个物体受n个力平衡可看作是任意一个力和其余（n-1）个力的合力应满足平衡条件，即任意一个力和其余（n-1）个力的合力满足大小相等、方向相反、作用在同一直线上。 3. 怎样分析物体的平衡问题 物体的平衡问题是力的基本概念及平行四边形定则的直接应用，也是进一步学习力和运动关系的基础。 （1）明确分析思路和解题步骤 解决物理问题必须有明确的分析思路．而分析思路应从物理问题所遵循的物理规律本身去探求。物体的平衡遵循的物理规律是共点力作用下物体的平衡条件：，要用该规律去分析平衡问题，首先应明确物体所受该力在何处“共点”，即明确研究对象．在分析出各个力的大小和方向后，还要正确选定研究方法，即合成法或分解法，利用平行四边形定则建立各力之间的联系，借助平衡条件和数学方法，确定结果．由上述分析思路知，解决平衡问题的基本解题步骤为： ①明确研究对象。 在平衡问题中，研究对象常有三种情况： <1> 单个物体，若物体能看成质点，则物体受到的各个力的作用点全都画到物体的几何中心上；若物体不能看成质点，则各个力的作用点不能随便移动，应画在实际作用位置上。 <2> 物体的组合，遇到这种问题时，应采用隔离法，将物体逐个隔离出去单独分析，其关键是找物体之间的联系，相互作用力是它们相互联系的纽带。 <3> 几个物体的的结点，几根绳、绳和棒之间的结点常常是平衡问题的研究对象。 ②分析研究对象的受力情况 分析研究对象的受力情况需要做好两件事：
处理三力平衡问题的方法总结 一．三角形定则的应用 1.表达式法：多用于共点力的夹角出现900 训练1.如图，光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与水平面相切．穿 在轨道上的小球在拉力F作用下，缓慢地由A向B运动，F始终沿轨道的切线方向， 轨道对球的弹力为N.在运动过程中( ) A．F增大，N减小B．F减小，N减小 C．F增大，N增大D．F减小，N增大 2.动态三角形：多用于三个力中，有一个力大小方向均不变，一个力的方向不变，求第三 个力的变化情况 训练 2.如图所示，带有光滑竖直杆的三角形斜劈固定在水平地面上，放置于斜劈上的光滑小球与套在 竖直杆上的小滑块用轻绳连接，开始时轻绳与斜劈平行．现给小滑块施加一竖直向上的拉力，使小滑块 沿杆缓慢上升，整个过程中小球始终未脱离斜劈，则有( ) A．轻绳对小球的拉力逐渐增大 B．小球对斜劈的压力先减小后增大 C．竖直杆对小滑块的弹力先增大后减小 D．对小滑块施加的竖直向上的拉力逐渐增大 3.相似三角形：题目中明确指出长度问题，求力的变化。（多用于三角形中没有直角，且 两个力的大小方向都变化） 训练3.如图所示，一轻杆两端固定两个小球A、B，m A＝4m B，跨过定滑轮连接A、B的轻绳长为L，求平 衡时OA、OB分别为多长． 4.正弦定理：已知三角形中的各个角度，求力。 训练4.两个可视为质点的小球a和b，用质量可忽略的刚性细杆相连放置在一 个光滑的半球面内，如图所示，已知细杆长度是球面半径的 2 倍，当两球 处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角θ＝15°，则小球a和b的质量之比为 ( ) A．2∶1 B.3∶1 C．1∶ 3 D.2∶1 二．正交分解法的应用 1.斜面上重力的分解 训练5.如图所示，光滑斜面的倾角为30°，轻绳通过两个滑轮与A相连，轻绳的另一端固定于天花板 上，不计轻绳与滑轮的摩擦．物块A的质量为m，不计滑轮的 质量，挂上物块B后，当动滑轮两边轻绳的夹角为90°时，A、 B恰能保持静止，则物块B的质量为( ) A. 2 2 m B.2m C．m D．2m 2.如果发现两个力关于第三个力对称，往往沿第三个力的方向建立坐标系比较简单 训练 6.如图所示，左侧是倾角为 60°的斜面、右侧是 1 4 圆弧面的物 体固定在水平地面上，圆弧面底端的切线水平，一根两端分别系有质 量为m1、m2小球的轻绳跨过其顶点上的小滑轮．当它们处于平衡状态 时，连接m2小球的轻绳与水平线的夹角为60°，不计一切摩擦，两 小球可视为质点．两小球的质量之比m1∶m2等于( ) A．1∶1 B．2∶3 C．3∶2 D．3∶4 训练7.如图，用两根等长轻绳将木板悬挂在竖直木桩上等高的两点，制成一简 易秋千，某次维修时将两轻绳各剪去一小段，但仍保持等长且悬挂点不变．木 板静止时，F1表示木板所受合力的大小，F2表示单根轻绳对木板拉力的大小， 则维修后( ) A．F1不变，F2变大B．F1不变，F2变小 C．F1变大，F2变大D．F1变小，F2变小
三力平衡问题的几种求解方法 云南云天化中学张宝权 三力平衡问题是共点力平衡问题的重点，因而也就成了人们经常注意的问题。 如何求解三力平衡问题？一般来讲，有如下几种基本的求解方法：(1)正交分解法； (2)正弦定理法；(3)相似比法；(4)力矩平衡；(5)余弦定理法。 如何灵活、熟练地运用以上这些方法，使三力平衡问题顺利、简捷地得以解决，这就要理解和掌握这些方法的内容、特点及条件。下面举一个例题，分别阐述以上这五种方法。 题目：如图1所示，小圆环A吊着一重力为的砝码套在 另一竖直放着的大圆环上，有一细线的一端拴在小环A上，另 一端跨过固定在大圆环最高点B处的定滑轮后吊着一个重力为 砝码。如果小环、滑轮、绳子的质量和圆环之间、滑轮轴承 处的摩擦都可略去不计，绳子又不可伸长。求平衡时AB弦所对 的圆心角。 分析：选取结点A为研究对象：点A受到绳A竖直向下的拉力且＝，受到 绳AB沿AB方向的拉力且＝，受到大圆环沿OA方向的弹力N。在以上这三个力的作用下，结点处于静止状态，属于三力平衡问题。 解法一：用正交分解法求解。 该方法的内容是：以研究对象所在位置为坐标原点，过原点沿某一方向作一条直线为x轴，过原点且与x轴垂直的一条直线为y轴，从而建立直角坐标系。将不在两坐标轴上的力分别沿x轴和y轴上进行分解，若研究对象处于平衡状态，则有 。以上两式亦称为力的平衡条件。 在本题中，以结点A为坐标原点，过原点沿水平方向和竖直方向的直线分别为x轴 和y轴，建立直角坐标系后，结点的受力情况如图2所示，从图中可以看出，力和N 不在坐标轴上。根据力的平衡条件有：
将分别代入以上方程组后得： 由(4)得：并代入(3) 后化简得：。 注：此方法不仅可以求三力平衡问题，而且也可以求多个共点力的平衡问题。因此，该方法是求共点力平衡问题的普遍适用的基本方法。其难点是力的分解和解方程组。 解法二：用正弦定理求解。 该方法的内容是：当物体受到三个力、和的作用处于平衡状态时，若 ，那么下面等式成立：。 上面等式即为正弦定理。在本题中，结点A所受到的三个力的夹角如图3所示，于 是有：。 可得：，亦即。 注：在能够比较容易地找到各力之间的夹角和已知一个力时，求解另外两个力，运用此方法求解，较为简洁。关键在于准确地找出三个力之间的夹角。 解法三：用相似比求解
23.为“三力平衡”问题添一件新武器 “三力平衡”问题是静力学中一类典型问题，其解决方法已经十分丰富，可以利用正交分解、矢量三角形、矢量圆、静动法，甚至也可以利用摩擦角将四力化三力等。本文针对三力动态平衡中问某力的大小变化趋势问题提出一种新思路，用微元法解决既不方便写表达式、画图又无法直观得出结论的动态平衡问题。以下以三个题目为例作说明。 例1：一可视为质点的小球静止在光滑四分之一圆轨道的底部，现用绳子缓缓拉动小球，使小球从A点缓慢运动到B点，问在此过程中，绳子的拉力T和轨道的支持力N的大小变化情况？ 解：本题的分析方法很多，郭威老师群里弄出了八九种办法，大家如果有兴趣可以去看一下，我们这里只讲如何使用微元法分析。 我们可以画出两个很接近时刻的受力分析图，以此来对比出T和N的变化趋势： 将受力图画在一起后可以容易看出,则拉力增大；同理 中不发生质变，因此拉力和支持力皆是单调变化。 例2：如图所示，在悬点O处用细线拉着小球，使它静止在半径一定的光滑半圆柱上，现使半圆柱从图示位置沿水平面缓慢向左移动，在小球到达最高点的过
程中 A.小球对圆柱面的压力增大 B.细线对小球的拉力大小不变 C.圆柱面对小球的支持力大小不变 D.小球对细线的拉力减小 解：这题大家可以尝试一下别的方法，比如解析法，是很有难度的。以及常规的的力三角形法也行不通，现在用微元法就可以迎刃而解（这题是陕西咸阳刘源老师提供的）同样的我们直接画出两个相邻时刻的受力对比图。 可以看出本图的受力分析和上一题非常相似，容易判断，拉力减小，支持力增大。 例3：如图所示，在竖直平面内，根不可伸长的轻质软绳两端打结系于“V”形杆上的A.B两点，OM边竖直,O到A的距离等于O到B的距离。软绳绕过光滑的滑轮，重物悬挂于滑轮下，开始时整个系统处于静止状态.θ小于90度。若在纸面内绕O点顺时针方向缓慢转动“V"形杆，直到ON边竖直，绳结没有在杆上滑动。则A处绳与杆间的摩擦力f A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 解：本题可以分为两个阶段，从初始时刻到AB连线水平，以及AB水平到ON竖直。这前后两个阶段，我们可以根据“晾衣服”模型得到，绳子拉力前半
专题06 三力动态平衡问题的处理技巧【专题概述】 在分析力的合成与分解问题的动态变化时，用公式法讨论有时很繁琐，而用作图法解决就比较直观、简单，但学生往往没有领会作图法的实质和技巧，或平时对作图法不够重视，导致解题时存在诸多问题.用图解法和相似三角形来探究力的合成与分解问题的动态变化有时可起到事半功倍的效果 动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，但变化过程中的每一时刻均可视为平衡状态，所以叫动态平衡，这是力平衡问题中的一类难题．解决这类问题的一般思路是：化“动”为“静”，“静”中求“动”，【典例精讲】 1. 图解法解三力平衡 图解法分析物体动态平衡问题时,一般物体只受三个力作用,且其中一个力大小、方向均不变,另一个力的方向不变,第三个力大小、方向均变化 典例1如图所示，小球用细绳系住放在倾角为θ的光滑斜面上，当细绳由水平方向逐渐向上偏移时，细绳上的拉力将( ) A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】D
典例2、如图所示，一小球用轻绳悬于O点，用力F拉住小球，使悬线保持偏离竖直方向75°角，且小球始终处于平衡状态．为了使F有最小值，F与竖直方向的夹角θ应该是( ) A．90° B．45° C．15° D．0° 【答案】C 2 . 相似三角形解动态 一般物体只受三个力作用,且其中一个力大小、方向均不变,另外两个力的方向都在发生变化，此时就适合选择相似三角形来解题了， 物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，画出其中任意两个力的合力与第三个力等值反向的平行四边形中，可能有力三角形与题设图中的几何三角形相似，进而得到力三角形与几何三角形对应边成比例，根据比值便可计算出未知力的大小与方向 典例3 半径为R的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B的距离为h，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，半球对小球的支持力F N和绳对小球的拉力F T的大小变化的情况是( )
专题2.1 三力平衡与三维受力平衡 【题型概览】 在三力平衡与三维受力平衡中，物体只受到三个力作用而处于平衡状态，处理方法可以是合成法可以是分解法；合成法中可以应用三角函数、正弦定理、余弦定理等可以应用相似三角形、菱形性质甚至是对称性的应用等；涉及问题可以是平衡的判定可以是定量的计算，物体可以是在受同一平面作用力而平衡，也可以是物体受力分布在空间而平衡 【题型通解】 1.三力作用下的平衡利用合成法定量求解外力 常用数学方法有：(1)当出现直角三角形时应用三角函数解三角形;(2)当三角形中三个夹角已知时应用正弦定理求外力;(3)当几何三角形中三边已知时应用相似三角形对应边成比例求解;(4)当出现菱形时利用菱形对角线的性质求外力。 例1 .表面光滑、半径为R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方O′处有一无摩擦的定滑轮，轻质细绳两端各系一个小球挂在定滑轮上，如右图所示，两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为L1＝2.4R和L2＝2.5R，则这两个小球的质量之比m1∶m2为(不计球的大小) A．24∶1 B．25∶1C．24∶25 D．25∶24 【答案】Ｄ 【解析】对小球2进行受力分析，如图所示，显然△OPO′与△PBQ相似．设OO′＝H，OP＝R，O′P＝L2，由相似三角形的性质有m2g/H＝F N/R＝F2/L2， 则m2＝F2H/(gL2)，同理可得m1＝F1H/(gL1)。而F1＝F2，于是m1/m2＝L2/L1＝25∶24. 例2.质量为M的斜面体A放在粗糙水平面上，用轻绳拴住质量为m的小球B置于斜面上，整
个系统处于静止状态，已知斜面倾角及轻绳与竖直方向夹角均为=30°．不计小球与斜面间的 摩擦，则 A ．轻绳对小球的作用力大小为 B C ．斜面体对水平面的压力大小为( M+m )g D 【答案】AD 【解析】解法一：分析物体B 受力如图，作出平行四边形，由于N 和T 与竖直方向的夹角皆为θ，则该平行四边形为一菱形，故，A 正确B 错误。再分析A 受力如图 ，由平衡条件有、，解得、，C 错误D 正确。 作用于原点O 的三力平衡，已知三力均位于ｘO ｙ平面内，其中一个力的大小为F 1，沿ｙ轴负方向；力F 2的大小未知，与ｘ轴正方向的夹角为θ，如图所示。下列关于第三个力F 3的判θmg 33θsin N f =mg f 63=A θ B θ 例2图
专题一共点力平衡中的三力平衡问题 【学习目标】 1．进一步理解共点力作用下物体的平衡条件。 2．掌握求解三力平衡问题的常用方法：三力平衡原理和正交分解法。 【学习重点】三力平衡原理和正交分解法的理解和掌握。 【学习难点】三力平衡原理几种数学方法的掌握。 【学海导航】 1．平衡状态是指物体处于_________状态或_____________状态。 2．动力学特征是：合力F合=____，加速度a = ____，速度v ___0或v____0。 【导学过程】 一．三力平衡问题的特点 1．物体受三个力作用平衡时，其中任意两个力的合力必跟第三个力是一对______力，且大小________，方向________。 2．三力汇交原理：如果一个物体受三个不平行外力的作用而平衡，这三个力的作用线必在同一_________上，而且必定____________。 二．三力平衡问题的求解方法 1．正交分解法： 2．直角三角形知识： 3．相似三角形法： 4．正弦定理： 5．拉密定理： 例题一：（课本P79习题2）在倾角为α的斜面上，有一块竖 求：这个球对挡板和斜面的压力。
例题二：如图所示，一个重力为mg 的小环套在竖直的半径为r 的光滑大圆环上，一劲度系数为k ，自然长度为L （L<2r ）弹簧的一端固定在小环上，另一端固定在大圆环的最高点A 。当小环静止时，略去弹簧的自重和小环与大圆环间的摩擦。求弹簧与竖直方向之间的夹角φ。 例题三：如图所示，重5N 的电灯，由电线BO 和细绳AO 固定，BO 与天花板的夹角为60°，AO 与竖直墙垂直，试求：①电线受到的力；②细绳受到的力。 【思考练习】 1．课本P73练习3 2．如图所示，水平横杆（重力不计）的A 端用铰链固定在墙上，B 端用细绳悬挂重力为G 的物体，α = 30°求：墙壁对A 端的作用力的大小和方向。 3．静止在斜面上的物体，关于斜面对物体作用力的方向【 】 A ．沿斜面向上 B ．垂直斜面向上 C ．竖直向上 D ．竖直向下 4．上题中，若斜面倾角为θ，则斜面对物体作用力的大小【 】 A ．mg B ．mgsin θ C ．mgcos θ D ．不能确定 【学教后记】
三力动态平衡问题的几种解法 物体在几个力的共同作用下处于平衡状态，如果其中的某一个力或某几个力发生缓慢的变化，其他的力也随之发生相应的变化，在变化过程中物体仍处于平衡状态，我们称这种平衡为动态平衡。因为物体受到的力都在发生变化，是动态力，所以这类问题是力学中比较难的一类问题。因为在整个过程中物体一直处于平衡状态，所以过程中的每一瞬间物体所受到的合力都是零，这是我们解这类题的根据. 下面就举例介绍几种这类题的解题方法. 一，三角函数法 例1．（2014年全国卷1）如图，用橡皮筋将一小球悬挂在小车的架子上，系绕处于平衡状态。现使小车从静止开始向左加速，加速度从零开始逐渐增大到某一值，然后保持此值，小球稳定地偏离竖直方向某一角度（橡皮筋在弹性限度内）。与稳定在竖直位置时相比，小球的高度（） A．一定升高B．一定降低 C．保持不变D．升高或降低由橡皮筋的劲度系数决定 解析:设L0为橡皮筋的原长，k为橡皮筋的劲度系数，小 车静止时，对小球受力分析得：F1=mg，弹簧的伸长 ,即小球与悬挂点的距离为，当小车的加速度稳定在一定值时，对小球进行受力分析如图: 得：，，解得：，弹簧的伸长： ，则小球与悬挂点的竖直方向的距离为： ，即小球在竖直方向上到悬挂点的距离减小， 所以小球一定升高，故A正确，BCD错误．故选A. 点评：这种方法适用于有两个力垂直的情形，这样才能构建直角三角形，从而根据直角三角形中的边角关系解题. 二，图解法 例2.如图所示，半圆形支架BAD上悬着两细绳OA和OB，结于圆心O，下悬重为G的物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖
直的位置C的过程中，如图所示，OA绳受力大小变化情况是______，OB绳受力大小变化情况是______． 解析：对O点受力分析，根据O点合力是零可知绳OA和绳OB上拉力的合力跟重力大小相等，方向相反，也就是说这个合力的大小不变方向竖直向上。根据图像OA绳受力 变小，OB绳受力先变小后变大. 点评：这种方法适用于一个力大小方向都不变，另一个力方向不变，只有第三个力大小方向都变化的情况. 三，相似三角形法 例3.（2014年上海卷）如图，竖直绝缘墙上固定一带电小球A，将带电小球B用轻质绝缘丝线悬挂在A的正上方C处，图中AC=h。当B静止在与竖直方向夹角方 向时，A对B的静电力为B所受重力的倍，则丝线BC长度为。若A对B的静电力为B所受重力的0.5倍，改变丝线长度，使B仍能在处平衡。以后由于A 漏电，B在竖直平面内缓慢运动，到处A的电荷尚未漏完，在整个漏电过程中，丝线上拉力大小的变化情况是。
专题1共点力的平衡及应用 一、共点力的平衡 1．如图1所示，一个人站在自动扶梯的水平台阶上随扶梯 匀速上升，它受到的力有() A．重力、支持力 B．重力、支持力、摩擦力图1 C．重力、支持力、摩擦力、斜向上的拉力 D．重力、支持力、压力、摩擦力 2．在图中，灯重G＝20 N，AO与天花板间夹角α＝30 °，试求 AO、BO两绳受到的拉力多大？ 共点力的平衡 物体受到的________为零，即F合＝____或{ΣF x＝F y＝0 思考：物体的速度为零和物体处于静止状态是一回事吗？ 二、平衡条件的推论 1．二力平衡 如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小________、方向________，为一对____________． 2．三力平衡 如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任意两个力的________一定与第三个力大小________、方向________． 3．多力平衡 如果物体受多个力作用处于平衡状态，其中任何一个力与其余力的________大小________、方向________． 考点一处理平衡问题常用的方法 1．力的合成法 物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反；“力的合成法”是解决三力平衡问题的基本方法． 2．三角形法 对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量平移使三力组成一个首尾依次相接的封闭三角形，进而处理物体平衡问题的方法叫三角形法； 例1如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小 球，小球被竖直的木板挡住，不计摩擦，则球对挡板的压力
是( ) A ．mg cos α B ．mg tan α C.mg cos α D ．mg 共点力作用下物体平衡的一般解题思路： 实际问题―-----―→选用整体法或隔离法 确定研究对象 ―→ 对研究对象受力分析 ―→ 画受力图 ―-------―→将某些力进行 合成或分解 作出平行四边形 ――--→根据平衡 条件F 合＝0 列平衡方程求解 训练1 如图5所示，不计滑轮摩擦，A 、B 两物体均处 于静止状态．现加一水平力F 作用在B 上使B 缓慢右移， 试分析B 所受力F 的变化情况． 考点二 动态平衡问题 图5 例2 如图所示，两根等长的绳子AB 和BC 吊一重物静止， 两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB 与水平方 向的夹角不变，将 绳子BC 逐渐缓慢地变化到沿水平方向， 在这一过程中，绳子BC 的拉力变化情况是 ( ) A ．增大 B ．先减小，后增大 C ．减小 D ．先增大，后减小 如图7所示，质量分别为m A 和m B 的物体A 、B 用细绳连接后跨过滑轮， A 静止在倾角为45°的斜面上， B 悬挂着．已知m A ＝2m B ，不计滑轮摩擦， 现将斜面倾角由45°增大到50°，系统仍保持静止．下列说法正确的是 ( ) A ．绳子对A 的拉力将增大 B ．物体A 对斜面的压力将增大 图7 C ．物体A 受到的静摩擦力增大 D ．物体A 受到的静摩擦力减小 考点三 平衡中的临界与极值问题 例题3 如图所示，将两个质量均为m 的小球a 、b 用 细线相连并悬挂于O 点，用力F 拉小球a 使整个装置处于 平衡状态，且悬线Oa 与竖直方向的夹角为θ＝60°，则力 F 的大小可能为 ( ) A.3mg B ．mg C.32mg D.33mg 常见题型： 1.三力平衡：合成法。（知识点：任意两个力的合力与第三个力等值反向,建立矢量三角形。） 例题：某校物理课外实验小组研究石拱桥所用石料间的作用力的大小关系，如图所示。若四
动态平衡中的三力问题 方法一:三角形图解法。 特点:三角形图象法则适用于物体所受的三个力中,有一力的大小、方向均不变(通常为重力,也可能就是其它力),另一个力的方向不变,大小变化,第三个力则大小、方向均发生变化的问题。 方法:先正确分析物体所受的三个力,将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形。然后将方向不变的力的矢量延长,根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时,这个闭合三角形总就是存在,只不过形状发生改变而已,比较这些不同形状的矢量三角形,各力的大小及变化就一目了然了。 例1、1 如图1所示,一个重力G 的匀质球放在光滑斜面上,斜面倾角为α,在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球,使之处于静止状态。今使板与斜面的夹角β缓慢增大,问:在此过程中,挡板与斜面对球的压力大小如何变化？ 解析:取球为研究对象,如图1-2所示,球受重力G 、斜面支持力F 1、挡板支 持力F 2。因为球始终处于平衡状态,故三个力的合力始终为零,将三个力矢量构成 封闭的三角形。F 1的方向不变,但方向不变,始终与斜面垂直。F 2的大小、方向均 改变,随着挡板逆时针转动时,F 2的方向也逆时针转动,动态矢量三角形图1-3中 一画出的一系列虚线表示变化的F 2。由此可知,F 2先减小后增大,F 1随β增大而始 终减小。 同种类型:例1、2所示,小球被轻质细绳系着,斜吊着放在光滑斜面上,小球质量为m ,斜面倾角为θ,向右缓慢推动斜面,直到细线与斜面平行,在这个过程中,绳上张力、斜面对小球的支持力的变化情况？(答案:绳上张力减小,斜面对小球的支持力增大) 方法二:相似三角形法。 图1-1 图1-2 F 1 G F 2 图1-3 图1-4
求解共点力平衡问题的常见方法 共点力平衡问题，涉及力的概念、受力分析、力的合成与分解、列方程运算等多方面数学、物理知识和能力的应用，是高考中的热点。对于刚入学的高一新生来说，这个部分是一大难点。 一、力的合成法 物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反; 1.（2008年·广东卷）如图所示，质量为m 的物体悬挂在轻质支架上，斜梁OB 与竖直方向的夹角为θ(A 、B 点可以自由转动)。设水平横梁OA 和斜梁OB 作用于O 点的弹力分别为F 1和F 2，以下结果正确的是（ ） A.F 1=mgsinθ B.F 1= sin mg q C.F 2=mgcosθ D.F 2=cos mg q 二、力的分解法 在实际问题中，一般根据力产生的实际作用效果分解。 2、如图所示，在倾角为θ的斜面上，放一质量为m 的光滑小球，球被竖直的木板挡住，则球对挡板的压力和球对斜面的压力分别是多少？ 3．如图所示，质量为m 的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析挡板AO 与斜面间的倾角β多大时，AO 所受压力最小。 三、正交分解法 解多个共点力作用下物体平衡问题的方法 物体受到三个或三个以上力的作用时，常用正交分解法列平衡方程求解: 0x F =合,0 y F =合. 为方便计算，建立坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原则 . θ
4、如图所示，重力为500N 的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重200N 的物体，当绳与水平面成60° 角时，物体静止。不计滑轮与绳的摩擦，求地面对人的支持力和摩擦力。 四、相似三角形法 根据平衡条件并结合力的合成与分解的方法，把三个平衡力转化为三角形的三条边，利用力的三角形与空间的三角形的相似规律求解. 5、 固定在水平面上的光滑半球半径为R ，球心0的正上方C 处固定一个小定滑轮，细线一端拴一小球置于半球面上A 点，另一端绕过定滑轮，如图5所示，现将小球缓慢地从A 点拉向B 点，则此过程中小球对半球的压力大小N F 、细线的拉力大小T F 的变化情况是 ( ) A 、N F 不变、T F 不变 B. N F 不变、T F 变大 C ， N F 不变、T F 变小 D. N F 变大、T F 变小 6、两根长度相等的轻绳下端悬挂一质量为m 物体，上端分别固定在天花板M 、N 两点，M 、N 之间距离为S ，如图所示。已知两绳所能承受的最大拉力均为T ，则每根绳长度不得短于____ 。 五、用图解法处理动态平衡问题 对受三力作用而平衡的物体，将力矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的封闭力三角形，进而处理物体平衡问题的方法叫三角形法;力三角形法在处理动态平衡问题时方便、直观，容易判断. 7、如图4甲，细绳AO 、BO 等长且共同悬一物，A 点固定不动，在手持B 点沿圆弧向C 点缓慢移动过程中，绳BO 的张力将 ( ) A 、不断变大 B 、不断变小 C 、先变大再变小 D 、先变小再变大 六．矢量三角形在力的静态平衡问题中的应用 若物体受到三个力（不只三个力时可以先合成三个力）的作用而处于平衡状态，则这三个力一定能构成一个力的矢量三角形。三角形三边的长度对应三个力的大小，夹角确定各力的方向。 8．如图所示，光滑的小球静止在斜面和木版之间，已知球重为G ，斜面的倾角为θ，求下列情况
高中物理动态平衡专题 在有关物体平衡的问题中，有一类涉及动态平衡。这类问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，故这是力平衡问题中的一类难题。解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”。根据现行高考要求，物体受到往往是三个共点力问题，利用三力平衡特点讨论动态平衡问题是力学中一个重点和难点。 一 物体受三个力作用 例1. 如图1所示，一个重力G 的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。今使板与斜面的夹角β缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？ 解析：取球为研究对象，如图1-2所示，球受重力G 、斜面支持力F 1、挡板支持力F 2。因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，将三个力矢量构成封闭的三角形。F 1的方向不变，但方向不变，始终与斜面垂直。F 2的大小、方向均改变，随着挡板逆时针转动时，F 2的方向也逆时针转动，动态矢量三角形图1-3中一画出的一系列虚线表示变化的F 2。由此可知，F 2先减小后增大，F 1随β增大而始终减小。 例2．一轻杆BO ，其O 端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO 上，B 端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A 处的光滑小滑轮，用力F 拉住，如图2-1所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆BO 与杆A O 间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F 及杆BO 所受压力F N 的大小变化情况是( ) A ．F N 先减小，后增大 B .F N 始终不变 C ．F 先减小，后增大 D.F 始终不变 解析：取BO 杆的B 端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F )、BO 杆的支持力F N 和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G )的作用，将F N 与G 合成，其合力与F 等值反向，如图2-2所示， A 图2-1 A 图2-2 图1-1 图1-2 F 1 G F 2 图1-3
三力平衡四种解
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
三力平衡的四种解法 处理三个力的平衡时，有四种解法。 （一）分解法： （二）合成法： （三）三角形法： （四）正交分解法： 三个共点力作用于物体使之平衡时，这三个力首尾相连，围成一个封闭的三角形.如有直角直接解直角三角形;如已知角用正余弦定理;如已知边,用力组成的三角形与边组成的三角形进行相似比。 例如图所示，一粗细不均匀的棒长L=6m，用轻绳悬挂于两壁之间，保持水平，已知α=450，β=300，求棒的重心位置。 解：三力平衡必共点，受力分析如图所示。 由正弦定理得： 由直角三角形得： （三）有的多个力的平衡转化成三力的平衡求解： 先把同一直线上的力先求和，后只剩下三个力的平衡，再求解。 例一重量为G的小环套在竖直放置的、半径为R的光滑大圆环上，一个倔强系数为k、自然长度为L（L<2R）的轻弹簧，其一端与小环相连，另一端固定在大环的最高点。在不计摩擦时，静止的弹簧与竖直方向的夹角θ是多大？ 解：由三角形相似有 由正弦定理有 小结：（1）由分析得出弹簧是伸长的。 （2）同时用相似与正弦定理。
如图所示,一粗细不均匀的棒,棒长AB=6m,用轻绳悬挂于两壁之间,保持水平,已知 α=45°, β=30°.求棒的重心位 2010-11-16 12:24 提问者：丶埘绱丿|悬赏分：20 |浏览次数：441次 绳与壁的夹角为a b 2010-11-16 17:07 最佳答案 设A、B端绳子的拉力分别为F1、F2。重心距A为L,由水平方向受力平衡得：F1sin45°=F2sin30° 以A端为支点，由杠杆平衡条件得：F2cos30°*AB=G*L 再以B为支点，由杠杆平衡条件得：F1cos45°*AB=G*（AB-L) 联立可求出L=3(3-√3)=3.8米 在很多教学参考书和学习指导书中都能看到这样一个题目： 一个质量为m的小环套在位于竖直平面内半径为R的光滑大圆环上．有一个劲度系数为k、自然长度为L（L＜2R）的轻弹簧，其一端与小环相连，另一端固定在大环的最高点，如图1所示．当小环静止时，弹簧处于伸长还是压缩状态？弹簧与竖直方向的夹角θ是多少？ 一般书中都有答案：弹簧伸长． θ=arccos（kＬ）／（2（kＲ－ｍｇ））． 图1 图2 以上答案的求解过程如下：如图2所示，用“穷举法”可以证明，弹簧对小环的弹力只可能是向里的，即弹簧必定伸长．根据几何知识，“同弧所对的圆心角是圆周角的两倍”，即图中弹簧拉力T在重力mg和大环弹力N所夹角的角平分线上．所以计算可得 N=mg，① T=2mgcosθ．② 另外，根据胡克定律有 T=k（2Rcosθ-L），③ 根据以上各式可得 cosθ=（kL／2（kR-mg））． 二、发现的问题 到此似乎题目已经解决了，但是再仔细一想却发现了新的问题．因为cosθ的取值范围是－1≤cosθ≤1．而上面cosθ的表达式中，由于各个参数k、L、R、m等可以独立变化取不同的值（只要满足L＜2R），因此表达式右边的值完全可能超出cosθ的值域，例如当m较大时（或L较大，或R、k较小，它们的效果是一样的），完全可能大于1，此时上式cosθ无解．（当m更大时甚至还可能是负的，θ也许有解，但这意味着θ是个钝角，显然也不符合实际．） 但是，我们知道，无论m多大，小环必定会有一个平衡位置，θ必定会有一个确定的解，因此上面的解答必定是一个不完整的解．那么完整的解是怎样的呢？
三力平衡通解技巧 在有关物体平衡的问题中，有一类涉及动态平衡。这类问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，故这是力平衡问题中的一类难题。解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”，物体受到往往是三个共点力问题，利用三力平衡特点讨论动态平衡问题是力学中一个重点和难点，许多同学因不能掌握其规律往 特点：三角形图象法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题。 方法：先正确分析物体所受的三个力，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形。然后将方向不变的力的矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。 例1.1 如图1所示，一个重力G 的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。今使板与斜面的夹角β缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？ 解析：取球为研究对象，如图1-2所示，球受重力G 、斜面支持力F 1、挡板支持力F 2。因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，将三个力矢量构成封闭的三角形。F 1的方向不变，但方向不变，始终与斜面垂直。F 2的大小、方向均改变，随着挡板逆时针转动时，F 2的方向也逆时针转动，动态矢量三角形图1-3中一画出的一系列虚线表示变化的F 2。由此可知，F 2先减小后增大，F 1随β增大而始终减小。 同种类型：例1.2所示，小球被轻质细绳系着，斜吊着放在光滑斜面上，小球质量为m ，斜面倾角为θ 特点：相似三角形法适用于物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其它二个力的方向均发生变化，且三个力中没有二力保持垂直关系，但可以找到力构成的矢量三角形相似的几何三角形的问题 原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合 图1-1 图1-2 F 1 G F 2 图1-3
我们努力做温州最好的教育（精品讲义）新高一物理衔接课程 第12讲三力平衡问题的解决方法 一、三力平衡条件 1. 任意两个力的合力跟第三个力_________（合成法）； 2. 将某一个力分解到另外两个力的反方向上，得到的两个分力必定跟另外两个力_________ (分解法)； 3. 若三个力共面不平行，则三个力必_______ (“三力汇交”原理)； 二、平衡情景静态平衡、动态平衡、准静态平衡 三、三力平衡问题的解决方法1. 平行四边形定则2. 正交分解 3. 三角形定则：将两分力F1、F2首尾相连(有箭头的叫尾、无箭头的叫首)，则合力F就是由F1的首端指向F2的尾端的有向线段所表示的力。 4. 封闭矢量三角形 =三个力合力为零，则其必组成一个封闭的矢量三角形．（首尾相连）5. 勾股定理、余弦定理、正弦定理、拉密定理⑴勾股定理：F =⑵余弦定理：F αF1sinαF1sin 2F1F2cos(180-F2+F1 2 2 F2+F1 22
)α- =⑶正弦定理： βF2sinβF2sin = γF3sinγF3sin ==⑷拉密定理： 6. 矢量三角形和几何结构三角形相似
思考与练习： 1．如图，一个物体受到三个共点力F1、F2、F3的作用，这三个力的大小和方向刚好构成三角形，则这个物体所受的合力是( 答案：D ) A．2F1 B．F2 C．F3 D．2F3 解析：由力的三角形法则可知：力F1和F2的合力为F3，与另一个力F3大小相等，方向相同，所以力F1、F2、F3的合力为2F3，故选项D正确．此题如果将力F3改为反向，则F1、F2、F3的合力为零，表示三力的有向线段顺次首尾相接． 2．如图，A、B为竖直墙面上等高的两点，AO、BO为长度相等的两根轻绳，CO为一根轻杆(即：杆在O端所受的力沿杆OC方向)．转轴C在AB中点D的正下方，AOB在同一水平面内，∠AOB＝90°，∠COD＝60°.若在O点处悬挂一个质量为m的物体，则平衡后绳AO所受的拉力为( 答案：D ) A．mg B. 1 mg C.mg 36 mg 6
求解共点力平衡问题的八种方法 一、分解法 一个物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将其中任意一个力沿其他两个力的反方向分解，这样把三力平衡问题转化为两个方向上的二力平衡问题，则每个方向上的一对力大小相等。 二、合成法 对于三力平衡时，将三个力中的任意两个力合成为一个力，则其合力与第三个力平衡，把三力平衡转化为二力平衡问题。 [例1] 如图1所示，重物的质量为m ，轻细绳AO 和BO 的A 端、B 端是固定的，平衡时AO 是水平的，BO 与水平面的夹角为θ，AO 的拉力F 1和BO 的拉力F 2的大小是( ) 图1 A ．F 1＝mg cos θ B ．F 1＝mg cot θ C ．F 2＝mg sin θ D ．F 2＝mg /sin θ [解析] 解法一(分解法) 用效果分解法求解。F 2共产生两个效果：一个是水平方向沿A →O 拉绳子AO ，另一个是拉着竖直方向的绳子。如图2甲所示，将F 2分解在这两个方向上，结合力的平衡等知识解得F 1＝F 2′＝mg cot θ，F 2＝F 2″sin θ＝mg sin θ。显然，也可以按mg (或F 1)产生的效果分解mg (或 F 1)来求解此题。 图2 解法二(合成法) 由平行四边形定则，作出F 1、F 2的合力F 12，如图乙所示。又考虑到F 12＝mg ，解直角三角形得F 1＝mg cot θ，F 2＝mg /sin θ，故选项B 、D 正确。
[答案]BD 三、正交分解法 物体受到三个或三个以上力的作用处于平衡状态时，常用正交分解法列平衡方程求解：F x合＝0，F y合＝0。为方便计算，建立坐标系时以使尽可能多的力落在坐标轴上为原则。 [例2]如图3所示，用与水平成θ角的推力F作用在物块上，随着θ逐渐减小直到水平的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动。关于物块受到的外力，下列判断正确的是 () 图3 A．推力F先增大后减小 B．推力F一直减小 C．物块受到的摩擦力先减小后增大 D．物块受到的摩擦力一直不变 [解析]对物体受力分析，建立如图4所示的坐标系。 图4 由平衡条件得 F cos θ－F f＝0 F N－(mg＋F sin θ)＝0 又F f＝μF N 联立可得F＝μmg cos θ－μsin θ 可见，当θ减小时，F一直减小，故选项B正确。 [答案] B 四、整体法和隔离法 若一个系统中涉及两个或者两个以上物体的平衡问题，在选取研究对象时，要灵活运用整体法和隔离法。对于多物体问题，如果不求物体间的相互作用力，优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便；很多情况下，通常采用整体法和隔离法